SKKN sáng kiến kinh nghiệm phát huy năng lực, tư duy sáng tạo của học sinh qua việc giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12 THPT

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình cấp THPT, nói đến môn “ Hình học”, đa phần học sinh cảm thấy “ngại” tiếp xúc, đặc biệt hình học không gian Yêu cầu người học phải có trí tưởng tượng không gian tốt, tư logic, chặt chẽ, xác Khi học đến chương trình “Hình học giải tích không gian” em học sinh có phần “đỡ sợ” đòi hỏi phải có trí tưởng tượng, suy luận logic Còn gặp toán “cực trị hình học giải tích” em cảm thấy mảng kiến thức khó, lại có sức hấp dẫn mạnh mẽ người yêu toán học, học môn toán Trước tình hình đó, với thực tế giảng dạy nghiên cứu với mong muốn tháo gỡ khó khăn cho học sinh việc giải số toán cực trị, để góp phần nâng cao chất lượng học tập, giúp học sinh tự tin giải nhanh số toán cực trị, chọn đề tài: “Phát huy lực, tư sáng tạo học sinh qua việc giải số toán cực trị hình học giải tích Lớp 12 THPT” II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở luận đề tài Giải toán cực trị hình học toán tổng hợp yêu cầu học sinh phải tổng hợp tốt kiến thức sau:  Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, hàm số bằng: đạo hàm, véc tơ, bất đẳng thức cổ điển,…  Suy luận hình học: Yêu cầu học sinh phải có khả tưởng tượng không gian, suy luận logic Thực trạng đề tài nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy học sinh, gặp toán cực trị hình học giải tích, em thường gặp khó khăn sau:  Ngoài việc nắm kiến thức chương này, em phải nắm vững kiến thức hình học không gian lớp 11, kiến thức véc tơ, kiến thức đạo hàm, kiến thức để đánh giá biểu thức Đây kiến thức khó nhiều học sinh  Không xác định hướng để giải toán khả suy luận tổng hợp kiến thức  Nhiều toán dạng có nhiều cách suy luận, cách cho ta đến kết đường dài, ngắn khác Tôi nghiên cứu đề tài nhằm giúp em giải số toán cực trị hình học giải tích phương pháp quen thuộc, hiệu quả, dễ hiểu nhanh gọn Cũng có toán đưa nhiều phương pháp giải nhằm giúp em học sinh chọn cho cách giải phù hợp với khả mình, muốn đưa để cung cấp thêm kiến thức cho em Khảo sát chất lượng học sinh 12B5, 12B6.12B9 trường THPT Yên Định 2, thấy việc giải toán dạng em học sinh không tốt, học sinh lớp 12B9 Từ thực tế giảng dạy, nghiên cức đề tài triển khai thực Tôi thấy tính hiệu đề tài cao, thu kết tốt năm qua Các giải pháp tổ chức thực 3.1 Các giải pháp thực a Hệ thống lại kiến thức học Giúp học sinh nắm vững công thức cần nhớ để từ vận dụng tốt vào việc giải tập cụ thể b Phân dạng tập Vì thời gian không cho phép nên nghiên cứu dạng tập sau:  Dạng 1: Một số toán cực trị hình học giải tích lớp12 liên quan đến tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước  Dạng 2: Một số toán cực trị hình học giải tích lớp12 liên quan đến tìm đường thẳng, mặt phẳng thoả 3.2.Các biện pháp tổ chức thực Do thời lượng tiết học khóa không đủ để thực nên sử dụng số tiết học tự chọn để thực đề tài Vì thời gian có hạn nên đưa nội dung mà hướng dẫn cho học sinh để sau tiết học em tự tin tìm hướng giải tốt số toán cực trị không gian Đối tượng áp dụng: Học sinh THPT Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT Địa điểm tổ chức thực nghiệm: Học sinh lớp 12B5, 12B9 Trường THPT Yên Định a Cơ sở lí thuyết: Để làm phần yêu cầu em học sinh nắm vững toàn kiến thức chương III: Phương pháp toạ độ không gian, sách giáo khoa hình học 12, làm tốt tập sách giáo khoa Nắm vững phương pháp tìm giá trị lớn nhất,nhỏ hàm số đoạn, khoảng Ngoài yêu cầu em học sinh phải nắm thêm số kiến thức sau đây: -Cho mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) Nếu:  (axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) > điểm A B phía (α)  (axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) < điểm A B khác phía mặt phẳng (α)   - Với u , v hai véc tơ bất kỳ, ta có:       │ u + v │≥ │ u + v │ Dấu = xảy  u , v hướng hai véc tơ - Cho điểm phân biệt A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) M điểm chia đoạn AB theo tỉ số k≠1 Ta có: xM = xA-kxB 1-k yM = yA-kyB 1-k zM = zA-kzB 1-k Tiến hành giải số toán Dạng 1:Một số toán cực trị liên quan đến tìm vị trí điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho đường thẳng d hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA+MB có giá trị nhỏ -Xét trường hợp đặc biệt: +Nếu d AB vuông góc với nhau, ta làm sau: Viết phương trình mặt phẳng (P )qua AB vuông hinh1 góc với d Tìm giao điểm H AB mp(P) Khi với mọiđiểm M thuộc d ta có MA  HA, dấu = xảy M  H MB  HB,dấu = xảy M  H nên MA+MB nhỏ A B M giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (P) +Nếu AB//d, ta làm sau: H M Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d Gọi H trung điểm AA’ A'hinh2 Ta có: Với M thuộc d MA+MB=MA’+MB  A’B Dấu xảy M thuộc đoạn A’B Mà MH//AB, H trung điểm AA’ suy M trung điểm A’B Vậy M trung điểm đoạn A’B MA+MB nhỏ Phương pháp chung cho toán sau: Phương pháp 1: Tìm điểm A1,B1 hình chiếu vuông góc A,B d Lấy điểm B’ thỏa mãn: B’  mp(d,A), khác phía với A qua d, B’B1  d B’B1=BB1 Khi : MA+MB=MA+MB’  AB’ Do A,B, d cố định nên B’ cố định Dấu đẳng thức xảy M thuộc đoạn AB’giao với d Lại có MA1 AA1 , mà B’B1=BB1  MB1 B ' B1 Suy ra: MA1 AA1 AA1   MA1   MB1 MB1 BB1 BB1 d A A1 M hình3 Chứng tỏ M điểm chia đoạn AB Theo tỉ số k=- AA1 Từ tìm tọa độ điểm M BB1 B B1 B' Nhận xét: Cách giải lập luận dài, dễ bị sai sót nên yêu cầu em học sinh phải tính toán cận thận  x  xo  at  Phương pháp 2: -Viết phương trình d dạng tham số t:  y  y0  bt  z  z  ct , t  R  -Gọi M(xo+at;yo+bt;zo+ct) Tính MA+MB -Xét hàm số: f(t)=MA+MB Tìm giá trị nhỏ hàm số f(t), từ suy t, suy tọa độ điểm M -Kết luận  x  xo  at  Phương pháp 3: -Viết phương trình d dạng tham số t:  y  y0  bt  z  z  ct , t  R  -Gọi M(xo+at;yo+bt;zo+ct) Tính MA+MB -Xác định tọa độ véc tơ u, v để u  MA, v  MB, u  v không đổi, - Khi MA+MB= u  v  u  v , dấu xảy u, v hướng Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x 1 y z    hai điểm A(-1;2;1), B(1;-2;-1) Tìm đường thẳng d 1 điểm M để MA+MB nhỏ Nhận xét: AB =(2;-4;-2), véc tơ phương d ud =(-1;2;1), A  d Nên đường thẳng AB song song với đường thẳng d Gọi H(1-t;2t;-1+t) hình chiếu vuông góc A d,suy AH =(2-t;2t-2;t-2) Ta phải có: AH ud   t   4t   t    t  Suy ra: H ( 1 ; ; ) 3 Gọi A’ điểm đối xứng A qua d, H trung điểm AA’ 3 Suy A’( ; ;  ) Ta có: Với M thuộc d MA+MB=MA’+MB  A’B Dấu xảy M thuộc đoạn A’B Mà MH//AB, H trung điểm AA’ suy 2 3 M trung điểm A’B Suy M( ; ;  ) 2 3 Vậy M( ; ;  ) thỏa mãn điều kiện toán Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x 1 y  z    hai điểm A(-4;1;1), B(3;6;-3) Hãy tìm d điểm M 2 cho MA+MB nhỏ  x   2t Nhận xét: Phương trình tham số đường thẳng d là:  y  2  2t  z   t , t  R  AB =(7;5;-4), véc tơ phương d ud =(2;-2;1) Suy AB ud =0 nên đường thẳng d vuông góc với AB Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vuông góc với d,suy (P) qua A nhận ud làm véc tơ pháp tuyến nên (P) có phương trình là: 2x-2y+z+9=0 Điểm M thuộc d thỏa mãn MA+MB nhỏ M giao điểm d (P) Nên M(1+2t;2-2t;3+t) với tlà nghiệm phương trình 2(1+2t)-2(-2-2t)+(3+t)+9=0  t=-2.Vậy M(-3;2;1) thỏa mãn điều kiện toán Sau ta làm toán không thuộc dạng đặc biệt Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  x   2t d:  y   t cho điểm A(2;-2;1), B(0;2;-3) Tìm đường thẳng d  z   t , t  R  điểm M cho MA+MB nhỏ Cách 1: Gọi A1(1+2t;2-t;1+t) hình chiếu vuông góc A d Ta có: AA1  (2t  1;  t; t ) ud  (2; 1;1) Ta phải có AA1.ud   2(2t  1)  1(4  t )  t   6t   t  Suy A1(3;1;2) Gọi B1(1+2t’;2-t’;1+t’) hình chiếu vuông góc B d, làm tương tự ta B1(-1;3;0) Ta lấy điểm B’ cho: B’  mp(A,d), B’khác phía với A qua d, B’B1=BB1 B’B1 vuông góc với d Khi : MA+MB=MA+MB’  AB’ Do A,B, d cố định nên B’ cố định Dấu đẳng thức xảy M thuộc đoạn AB’giao vơi d Lại có MA1 AA1 , mà B’B1=BB1  MB1 B ' B1 Suy ra: MA1 AA1 AA1   MA1   MB1 MB1 BB1 BB1 Chứng tỏ M điểm chia đoạn AB Theo tỉ số k=- AA1 Mà AA1= 11 , BB1= 11 nên k=-1 Từ ta có M(1;2;1) BB1 Nhận xét: Để giải cách yêu cầu học sinh phải lập luận chặt chẽ, tính toán cận thận phép tính nhiều dễ dẫn đến sai sót Cách 2: Gọi M(1+2t;2-t;1+t) Ta có: MA  6t  12t  17  ( 6t  6)2  11 MB  6t  12t  17  ( 6t  6)  11 Chọn u  ( 6t  6; 11), v  ( 6t  6; 11) suy ra: u  v  (2 6; 11) Khi MA+MB= u  v  u  v  68 , Dấu = xảy khi: u  kv, k   6t   k ( 6t  6)  k    11  k 11   M (1; 2;1) t  k   Vậy M(1;2;1) thỏa mãn điều kiện toán Nhận xét: Cách giải nhanh , học sinh gặp khó khăn chọn véc tơ u, v cho u  v không đổi u  kv, k  Nhưng cần làm đến hai tương tự việc chọn véc tơ u, v trở nên đơn giản Cách 3: Xét hàm số f (t )  6t 12t  17  6t  12t  17, t  R f '(t )  6t  6t  12t  17 6t   6t  12t  17 f '(t )   t  Ta có bảng biến thiên T F’(t) - - 0 + + + + f(t) 17 Nhìn vào bảng biến thiên ta suy hàm số y=f(t) đạt giá trị nhỏ t=0 nên M(1;2;1) Nhận xét: Cách giải quen thuộc em học sinh 12 trở toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Bài toán 2: Cho điểm A, B mặt phẳng (α) Tìm trênmặt phẳng(α) điểm M cho MA + MB nhỏ Hướng dẫn giải: -Xét xem điểm A, B phía hay khác phía (α) +TH1: Nếu điểm A, B khác phía (α) Khi đó: Với điểm M ta có: A MA + MB  AB, dấu = xảy  M  AB Vì M  (α), A, B khác phía nên có M, hình dấu = xảy M giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (α) M Vậy M giao điểm AB (α) MA P+ MB nhỏ +TH2: Nếu điểm A, B đối xứng với A qua (α) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (α) B Với điểm M  (α) ta có: ’ B A ’ MA + MB = MA + MB  A B (1) Do A cố định, (α) cố định nên A’ cố định H => A’B không đổi P M hinh5 dấu = M  đoạn A’B ( xảy A’ B khác phía (α) ) A' => MA + MB nhỏ  M giao điểm A’B (α) Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (α) có phương trình : x-2y-2z+4=0 hai điểm A(1;2;1),B(2;0;2).Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Giải Thay tọa độ A B vào phương trình tơ (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía mp (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ M giao điểm AB (α) Đường thẳng AB qua điểm B ,nhận AB =(1;-1;0) làm vecto phương x   t Phương trình tham số AB:  y  t z   Tọa độ ứng với t ngiệm phương trình 2+t -2(-t)-2.2+4=0  3t    t   3 Hay M ( ; ; 2) điểm cần tìm Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (α) có phương trình : x-y+2z=0 ba điểmA(1;2;-1) B(3;1;-2),C(1;-2;-2).Hãy tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Giải Thay tọa độ A B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm phía (α) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (α) , để MA + MB có giá trị nhỏ M la giao điểm A’B với (α) Đường thẳng AA’ qua A vuông góc với (α) ,AA’ nhận n  (1; 1;2) làm P vecto phương x  1 t  Phương trình tham số AA’:  y   t  z  1  2t  Tọa độ hình chiếu vuông góc H A (α) ứng với t phương trình 3 2 1+t-(2-t)+2(-1+2t)=0  6t   hay t=  H ( ; ;0)  x A '  xH  x A   Do H trung điểm AA’ nên  y A '  yH  y A   A '(2;1;1) z  2z  z  H A  A' 10 A’B có vtcp A ' B  (1;0; 3) x   t Phương trình tham số A’B:  y   z   3t  Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình : 2+t-1+2(1-3t)=0  5t    t  Vậy với M( 13 hay M( ;1;  ) 5 13 ;1;  ) MA +MB có giá trị nhỏ 5 Bài toán 3: Cho điểm phân biệt A1, A2,…,An số thực t1, t2,…,t n cho đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d    hay mặt phẳng (α) cho: │t1.MA1 + t2.MA2 +…+ tn.MAn│ đạt giá trị nhỏ Từ ví dụ sau , học sinh hoàn toàn suy luận phương pháp giải dạng toán Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d: x  y 1 z   hai 1 điểm A(0;1;5),B(0;3;3) Tìm M d để MA  4MB có giá trị nhỏ Giải Cách1 Gọi M(4+t;-1+t;t) Ta có MA  (4  t;2  t;5  t ) ; MB  (4  t;4  t;3  t )  4MB  (16  4t; 16  4t; 12  4t ) MA  4MB  (12  3t; 14  3t; 7  3t )  MA  4MB  (3t  12)  (3t  14)  (3t  7)  27t  54t  389 = 27(t  2t  1)  362  27(t  1)  362  362 Dấu “ =” xảy  t=1  t=1  M(5;0;1) Vậy M(5;0;1) thõa mãn điều kiện toán 11 Cách2: Trước hết ta tìm điểm I cho IA  IB   I (0; 13 ; ) 5 Ta có MA  4MB  MI  IA  4(MI  IB)  IA  4IB  3MI  3MI MA  4MB  3MI  MI MA  4MB nhỏ  MI nhỏ  M hình chiếu I d Nhận xét: Phương pháp chung cho toán tìm điểm I cho t1 IA1    + t2 IA2 +…+ tn IAn = Khi đó: │t1.MA1 + t2.MA2 +…+ tn.MAn│  (t1  t2   tn ) MI  t1.IA1  t IA2  t n IAn  (t1  t2   tn ) MI  (t1  t2   tn ) MI Biểu thức cho đạt giá trị lớn MI nhỏ  M hình chiếu vuông góc I d hay trên(  ) Bài toán 4: Cho điểm phân biệt A1, A2,…,An số thực t1,t2,…,tn Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (hay đường thẳng) cho tổng T= t1.MA12 + t2.MA22 + … + tn.MAn2 đạt giá trị nhỏ (nếu t1+t2+…+tn>0), đạt giá trị nhỏ (t1+t2+…+tn[...]... phải tư ng tư ng nhiều 17 III.KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Một bài toán có rất nhiều cách giải song tìm ra một lời giải ngắn gọn, hợp lí là một việc không dễ Do đó đây chỉ là một chuyên đề nhỏ giúp phát triển tư duy, sáng tạo của học sinh Trong quá trình giảng dạy , tôi đã đem đề tài này áp dụng và thấy học sinh có thể tiếp cận rất nhanh và biết vận dụng để giải các bài tập mà tôi đã cho kiểm tra trên lớp Kết... là học sinh đã tiến bộ nhanh chóng và còn yêu thích học phần này hơn Và cũng từ những bài toán này với nhiều phương pháp mà tôi đã đưa ra Tôi tin là các em hoàn toàn có thể suy luận tìm hướng giải cho các bài toán cực trị khác trong hình học giải tích lớp 12 Đó chính là mục tiêu của tôi khi viết đề tài này Do kinh nghiệm chưa nhiều nên bài viết của tôi còn nhiều hạn chế Rất mong được sự đóng góp ý kiến. .. 10,5% 0% 12B9 22,7% 61,9% 15,4% 0% Sau khi triển khai đề tài này tôi tiếp tục khảo sát được kết quả như sau: Điểm Lớp Điểm dưới 5 Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 12B5 8,3% 34,5% 41,7% 15,5% 12B9 4,5% 31,4% 50,5% 13,6% Đây là những kết quả tích cực, thể hiện rằng học sinh đã tự tin hơn và giải quyết các bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12 tốt hơn, những phương pháp mà tôi đã đưa ra học sinh có... giáo khoa Hình học 12 chương trình nâng cao-Nhà xuất bản Giáo dục- Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên) 3.Sách giáo viên Hình học 12 chương trình chuẩn- Nhà xuất bản Giáo dục-Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên) 4.Sách giáo viên Hình học 12 chương trình nâng cao- Nhà xuất bản Giáo dục-Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên) 5 Đề thi TSĐH từ năm 2002-2011 của BGD&ĐT 6 Mạng Internet 7 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Hình học 12- NXB ĐHQG... nhỏ nhất 16 Bài 4: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0 và đường thẳng d: x-1 y-2 z -3   Trong các mặt phẳng đi qua B và vuông góc với (P), viết 1 2 1 phương trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất 4 Kết quả thực nghiệm của đề tài Khi chưa triển khai đề tài trên tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra như sau Điểm Lớp Điểm dưới 5 Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 12B5 25% 64,5%... Hà Nội-Ths Lê Hoành Phò 8 Hình giải tích- Nhà xuất bản Hà Nội- Trần Phương - Lê Hồng Đức 9 .Hình học giải tích- Nhà xuất bản Giáo dục- Trần Văn Hạo(Chủ biên) 19 MỤC LỤC Trang I.ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………… 1 II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………1 1 Cơ sở lí luận của đề tài ………………………1 2 Thực trạng của đề tài nghiên cứu…………… 1 3 Giải pháp và tổ chức thực hiện ……………….2 4 Kết quả thực nghiệm của đề tài …………… 17 III.KẾT... 2: Các bài toán cực trị liên quan đến tìm đường thẳng, mặt phẳng thoả mãn điều kiện cho trước Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d cho trước và tạo với mặt phẳng cho trước một góc nhỏ nhất Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt phẳng (P) cần tìm có dạng: ax+by+cz+d=0 Lấy hai điểm có toạ độ cụ thể thuộc d thay vào phương trình mp(P) ta rút được hai ẩn c,d theo a và b Tính sos của góc... chế Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp xa gần để đề tài thành một chuyên đề tốt giúp ích cho quá trình giảng dạy Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Yên Định, Ngày 20 tháng 4 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Trịnh Thị Minh 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình chuẩn- Nhà xuất bản...  IC 2 12  MA2  MB2  MC 2 lớn nhất  MI nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên (P) Đường thẳng d qua I và x  3  t vuông góc với (P) là  y  3  2t ;(t  R)  z  2t  Tọa độ diểm M thõa mản đk bài toán là nghiệm của hệ : x  3  t  4 t  y  3  2t   9   z  2 t 23   x  , y   35 , z   8  x  2 y  2 z  7  0  9 9 9 Vậy M ( 23 35 8 ;  ;  ) thõa mản điều kiện bài toán 9... giá trị nhỏ nhất Từ ví dụ sau , học sinh hoàn toàn có thể suy luận được phương pháp giải dạng toán này Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d: x  4 y 1 z   và hai 1 1 1 điểm A(0;1;5),B(0;3;3) Tìm M trên d để MA  4MB có giá trị nhỏ nhất Giải Cách1 Gọi M(4+t;-1+t;t) Ta có MA  (4  t;2  t;5  t ) ; MB  (4  t;4  t;3  t )  4MB  (16  4t; 16  4t; 12  4t ) MA  4MB  (12  ... tập sau:  Dạng 1: Một số toán cực trị hình học giải tích lớp1 2 liên quan đến tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước  Dạng 2: Một số toán cực trị hình học giải tích lớp1 2 liên quan đến tìm đường... sau: Điểm Lớp Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 12B5 8,3% 34,5% 41,7% 15,5% 12B9 4,5% 31,4% 50,5% 13,6% Đây kết tích cực, thể học sinh tự tin giải toán cực trị hình học giải tích lớp 12 tốt hơn,... thêm kiến thức cho em Khảo sát chất lượng học sinh 12B5, 12B6.12B9 trường THPT Yên Định 2, thấy việc giải toán dạng em học sinh không tốt, học sinh lớp 12B9 Từ thực tế giảng dạy, nghiên cức đề