SKKN một số cách hướng dẫn học sinh tiếp cận cách giải hệ phương trình lớp 10 nhằm phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh trường THPT

A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: Với tư tưởng dạy học không dạy kiến thức cho em, mà cần dạy phương pháp suy luận, khả vận dụng, khả kết nối môn khoa học, hướng tư khái quát phát minh khoa học Giáo viên phải thực điều hướng dẫn học sinh thực tiết học Để làm việc người giáo viên phải có khả trên, với yêu nghề đam mê khoa học, đồng thời phải có phương pháp tạo tình có vấn đề cho học sinh từ đưa tư tưởng phát minh vào tiết học Với hy vọng mong muốn đem đến cho em kỹ năng, phương pháp nhằm giúp em nâng cao lực tư học Toán Từ giúp em yêu thích có hứng thú học tập môn Toán Chính lý chọn nghiên cứu đề tài: “Một số cách hướng dẫn học sinh tiếp cận cách giải hệ phương trình lớp 10 nhằm phát triển lực tư duy, khả sáng tạo cho học sinh trường THPT Số Văn Bàn” II Mục đích nghiên cứu Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Trong đề tài đề cập đến số cách hướng dẫn học sinh tiếp cận giải toán theo nhiều cách từ phát huy lực tư duy, khả sáng tạo linh hoạt giải toán cho học sinh.Từ học sinh thấy thích thú say mê học tập, đem lại kết cao Mặt khác để đáp ứng với đổi giáo dục: • Cần giúp học sinh phái triển tư trừu tượng tư sáng tạo • Biết cách nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ • Giúp học sinh có khả tổng quát hoá vấn đề ( lối tư xây dựng ) III Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tiếp cận giải toán IV Phạm vi nghiên cứu - Làm tài liệu cho giáo viên - Áp dụng cho học sinh khối 10,11, 12 Đặc biệt học sinh lớp 12 tham gia thi học sinh giỏi, đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp V Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm B NỘI DUNG Cơ sở lý luận Để giải vấn đề đề xuất ý tưởng sau: Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt học sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao không áp đặt học sinh giải toán theo cách cụ thể ) Trong đề tài hướng dẫn học sinh giải số toán giải hệ phương trình theo hướng sau: - Hướng tổng quát hóa: Hướng dựa quan điểm tổng hợp, chuyển từ tập hợp đối tượng toán sang tập hợp khác lớn chứa đựng tập hợp ban đầu - Hướng cụ thể hóa: Hướng dựa quan điểm phân tích, chuyển toán ban đầu thành toán thành phần có quan hệ logic với Chuyển tập hợp đối tượng toán ban đầu sang tập hợp nó, từ tập hợp tìm lời giải toán tình hữu ích cho việc giải toán cho - Hướng chuyển toán toán trung gian: Khi gặp toán phức tạp, học sinh giải toán trung gian để đạt đến điểm một, giải toán cho giả định điều đối lập với toán tìm cách giải xác định hệ điều khẳng định hay đưa toán liên quan dễ hơn, toán tương tự phần toán, từ rút điều hữu ích để giải toán cho Cơ sở thực tiễn Thực trạng trường THPT số Văn Bàn, đa số em học sinh chưa thực tích cực học toán Các em quen với cách học thụ động thầy cô giáo đưa dạng tập cách giải từ học sinh vận dụng theo cách máy móc mà không cần phải suy nghĩ Để khắc phục tình trạng theo tôi: Trong tiết học thông qua vấn đề tập sách giáo khoa, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng toán, biết nhìn toán nhiều góc độ Để cụ thể hoá điều trên, trình bày đề tài : Xuất phát từ toán đơn giản sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình yếu, với cách giải áp dụng thuật toán có sẵn Nhưng suy nghĩ ta sẽ: * Tìm thấy nhiều cách giải thú vị * Đồng thời từ đặt nhiều toán nâng cao, tổng quát thành nhiều toán *Qua đưa giải vấn đề mới, có liên quan trực tiếp đến thi đại học thi học sinh giỏi Ví Dụ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : x + y =   x + 2y = (1) (2) Thông thường học sinh nghĩ dùng phương pháp để giải hệ phương trình Cách 1: Từ (2) rút x =4-2y (3) vào (1) ( Rút x rút y rút x biểu thức sau rút gọn hơn) Ta : (4 − y ) + y = ⇔ 16 − 16 y + y + y = ⇔ y − y + = ⇔ y1 = y = thay vào biểu thức (3) ta có : x=2 x = y =1 Vậy hệ có nghiệm :  (*) Giáo viên giúp học sinh phát triển lực tư cách hướng dẫn động viên để học sinh tự tin thoải mái suy nghĩ tìm tòi cách giải theo nhiều hướng khác nhau, không nên hướng học sinh theo cách cho dù cách làm nhanh ngắn Trong trường hợp học sinh chưa nghĩ giáo viên gợi ý Giáo viên hướng dẫn cách cho học sinh nhận xét số hạng tương ứng hai phương trình(1) (2) Rõ ràng hệ đối xứng với hai ẩn x,y, tìm ẩn để hệ đối xứng? Học sinh nghĩ cách gải thứ 2: Cách 2: Hệ (1.2)  x + (2 y ) = ⇔  x + 2y = Đặt : 2y = t hệ trở thành x + t =   x+t = (Đây hệ đối xứng với hai ẩn x t ) x + t = ( x + t ) − xt = x + t = ⇔ ⇔ x+t =  xt =  x+t =  Hệ  Vậy x, t nghiệm phương trình x − x + = (**) x = ⇔ x1 = x = nên hệ có nghiệm x=t=2 Suy nghiêm hệ (1.2) :  y =1 Để rèn luyện tư cho học sinh giáo viên đặt câu hỏi : Nếu ta thay trả lời nhanh nghiệm phương trình : x + y =   x + 2y = ? Trả lời : Ta thấy x ≥ 0; y ≥ Suy x + y ≥ PT có nghiệm x=y=0 : x + y ≠ nên hệ VN Giáo viên hướng dẫn: Từ phương trình (*) cách (**) cách ta thấy chúng có nghiệm kép hay hai PT “danh giới vô ngiệm” Từ học sinh phát để gải hệ ta có coa thể sử dụng phương pháp đánh giá Vấn đề phải đánh ? Ta để ý : Hạng tử thứ PT thứ x2 Hạng tử thứ PT thứ hai x Hạng tử thứ hai PT thứ y = (2 y ) Hạng tử thứ hai PT thứ hai 2y Giáo viên: Các em nghĩ đến bất đẳng thức liên hệ số a, b a , b ? Học sinh nhớ lại (a )( ) + b c + d ≥ ( ac + bd ) (bất đẳng thức bất đẳng thức bunhiacôxki cho số) Ta có cách 3( Đây cách giải phức tạp so với hai cách trên) Tuy nhiên người giáo viên có ý thức động viên, khích lệ học sinh suy nghĩ để tìm cách giải khác cho dù cách đơn giản ngắn gọn Để làm giáo viên cần lựa chọn hệ thống câu hỏi gợi mở cho phù hợp Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức cho số : x; 2y; 1; ta có: (1 )( ) ( ) + 12 x + y ≥ ( x.1 + y.1) ⇔ x + y ≥ ( x + y ) 2 (4) Vậy theo (2) ta có : 2( x + y ) ≥ ⇒ x + y ≥ Để có (1) cần có x 2y = ⇔ x = y , thay vào (2) ta : y=1 ; x=2 1 Giáo viên : Vẫn với phân tích để tìm cách , ta thấy phép toán hình học có liên quan đến mối liên hệ cặp số (a,b) ( a ,b ) Đó : → → u = ( a, b ) , u = a + b → → → Vậy chọn v = (1,1) ⇒ u v = a + b Từ gợi cho ta cách giải Cách 4: Đặt → → u = ( x,2 y ); v = (1,1) → ⇒u = → x +( y ) ; v = 2; → → u v = x +2 y → → Mặt khác :   → →  α =  u, v      → → u v = u v cos α Giáo viên lưu ý cho học sinh:    ⇒u v ≤ u v bên trái trị tuyệt đối số bên phải độ lớn véc tơ Vậy ta : x + y ≤ x + ( y ) ( ⇔ ( x + y ) ≤ x + y 2 ) (5) (Trở lại bất đẳng thức (4)), dấu xảy cos α = ⇒ α = o → → α = 180 o ⇔ u ; v phương hay tồn → →  x = k ⇔ x = y ⇒ x = 2; y = k ∈ R để : u = k v ⇔   y = k Giáo viên hướng dẫn : Ta để ý bất đẳng thức (4) cách bất đẳng thức (5) cách giống hai cách dẫn đến khác Vì mà gợi cho ta nghĩ đến việc đặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứng minh cách sử dụng tích vô hướng hai véc tơ Nếu bắt trước cách làm 1.a ta có cách chứng minh 8.a sau: → → Xét u = ( a, b ); v = ( c, d ) → → → → ⇒ u = a + b ; v = c + d ,và u v = a.c + b.d → → → → do: u v ≤ u v nên a.c + b.d ≤ a + b c + d ⇔ ( a.c + b.d ) ≤ ( a + b ).( c + d ) →   a = k b → a b u = k v Dấu xảy  → → ⇔  c = k d ⇔ a.d = b.b; (hay : = ) c d  v = b = d = Giáo viên : Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc khác: ( ) ( ) a + b ≤ a + b ; (hay : ( a + b ) ≤ a + b ) từ ta có cách 5: (***) Cách 5: Áp dụng BĐT (***) với a = x b = 2.y ta trở BĐT(4) GV: Nếu để ý đến phương trình (1) ta thấy VT có dạng : x 2+(2y)2 Điều lại gợi cho ta liên tưởng đến công thức hình học (0 o ≤ α < 180 o ) sin α + cos α = (SGK hình học 10) Nhưng vấn đề vế trái công thức , đế điều ta chia hai vế phương trình (1) cho đó: 2  x   y   +  =1 (1) ⇔  2 2  2 Vậy có góc α để sin α = điều kiện x 2 x 2 cos α = y Nhưng để có : sin α = x 2 cần có ≥ Ta quay lại xét hệ (1.2) Ta thấy :  x 0) toán : cho điểm M(x,y) nằm đường tròn tâm O(0,0) bán kính a > tìm mối liên hệ x y Hai làm không khó, cần học sinh học xong phần toạ độ điểm làm ) Còn phương trình thứ hai hệ : x + t = phương trình đường thẳng cắt trục Ox điểm A(4,0) cắt trục Ot điểm B(0,4) Khi thử biểu diễn hình học hai đường, hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ta có cách giải thứ : Cách 8: Đường thẳng x+t=4 cắt Ox điểm A Ot điểm B, ∆OAB tam giác vuông cân, suy khoảng cách từ O đến đường thẳng có phương trình : x+t =4 độ dài đường cao OH =       +  4 = 8=2 bán kính 4 đường tròn có phương trình x + t = , đường thẳng tiếp xúc với đường tròn x + t = điểm H, hay nghiệm hệ  toạ độ điểm H Mặt khác ∆OAB  x+t = x A + xB  = x = xH = ⇒ tam giác vuông cân O nên  t +t y =1  tH = A B =  GV: Tinh tế ta thấy cách giải khác Cách 9: Nhân phương trình (2) với -4 sau cộng vế với vế vào phương trình (1) ta được: x = 2 x − x + y − 16 y = −8 ⇔ ( x − ) + 4( y − 1) = ⇔  y =1 vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, hệ có nghiệm x=2 ,y=1 10 Giáo viên: Ta chưa dừng lại đây, ta tham số hoá hệ phương trình ta có toán Như để phát triển tư duy, khả sáng tạo cho học sinh việc khuyến khích học sinh giải toán theo nhiều hướng khác nhau, không nên hướng học sinh đến cách giải cho dù cách ngắn, đơn giản thời gian Và giải xong toán giáo viên hướng dẫn học sinh suy nghĩ phát triển toán thành toán khác tìm cách giải chúng từ học sinh thu nhiều kiến thức Dưới vài cách phát triển toán ví dụ Chẳng hạn: ta thay m ( tham số) ta hệ x + y = m   x + 2y = (6) (7 ) ta đưa số toán Ví dụ 2: Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm Bài làm: Cách 1: Dựa vào cách ví dụ ta có cách sau: Rút từ phương trình (7) : x= 4- 2y (6’) vào phương trình (6) ta : (4-2y)2 + 4y2 = m ⇔ 8y2- 16y+ 16- m = Giáo viên : ta nên chia hai vế cho để phương trình với hệ số gọn hơn: y2 − 2y + − m =0 (7’) ta để ý với nghiệm y0 phương trình (7’) ta nghiệm (xo,yo) Vậy để hệ (6, 7) có nghiệm phương trình (7’) có nghiệm tức ∆′ ≥ ⇔ m ≥ Cách 2: 11 Giáo viên: Nếu ta phân tích cách giải ví dụ với phép đặt 2y= t ta đưa hệ dạng m  x + t = m x.t = − = P ⇔    x+t =  x + t = = S Để hệ có nghiệm cần đủ là: S ≥ P ⇔ 4(8 − m ) ≤ 42 ⇔ m ≥ GV: yêu cầu học sinh phân tích cách ví dụ để tìm cách giải Ví dụ 3: Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm Bài làm: Cách 1: Với việc phân tích ví dụ ta thấy để hệ có nghiệm cần đủ ∆’=0 ⇔ m=8 Giáo viên : để rèn luyện thói quen kiểm tra kết sau giải toán khả tư biện chứng cho học sinh, giáo viên đặt câu hỏi cho học sinh : Giáo viên : Ta thấy đáp số đáng tin cậy Vì sao? TL: m= ta trở lại toán ví dụ Giáo viên : học sinh làm đáp số giáo viên khẳng định kết sai chưa cần kiểm tra bước tính toán Giáo viên : yêu cầu học sinh phân tích cách cách ví dụ để tìm cách x + t = m Giáo viên : với phép đặt : 2y = t ta đưa hệ dạng hệ đối xứng   x+t = Theo tính chất hệ đối xứng (x 0,to) nghiệm hệ (x0,to) nghiệm hệ, để hệ có nghiệm cần x 0=to(chú ý điều kiện đủ ) từ ta có cách giải : Cách : 12 Điều kiện cần : (x0, to) nghiệm hệ (x 0, to) nghiệm hệ, để hệ có nghiệm cần x0=to  m x = ⇒ o ⇔ m=8  xo = Điều kiện đủ : Thay m =8 vào hệ ta thấy thoả mãn Vậy m=8 kết cần tìm Giáo viên : Đây phương pháp quan trọng để giải toán nghiệm hệ đối xứng Ví dụ 4: Tìm m để hệ (6.7) có hai nghiệm (x1, y1) (x2, y2) cho y1 < < y Bài làm : Cách 1: Để hệ có nghiệm (x1,y1) (x2,y2) cho cho y1 < < y cần đủ phương trình (7’) phải có nghiệm y1,y2 thoả mản điều kiện y1 < < y tức a.c < ⇔ 2− m < ⇔ m > 16 Cách 2: Nếu sử dụng cách ví dụ với phép đặt 2y = t m  x + t = m x.t = − ⇔    x+t =  x + t = đưa hệ Vậy để hệ ban đầu có hai nghiệm thoả mãn điều kiện y1 < < y hệ phải có hai nghiệm thoả mãn t1 < < t Vì phương trình : X − X + − ⇔ 2− m = có nghiệm trái dấu tức a.c < m < ⇔ m > 16 Cách 3: Từ cách với biểu diễn hình học yêu cầu toán tương đương với việc đường tròn có phương trình : x +t2 = m phải cắt đường thẳng : x + t = hai điểm nằm góc phần tư thứ thứ tức bán kính : R= m > ⇔ m > 16 13 Ví dụ 5: Tìm m để hệ (6.7) có hai nghiệm (x1,y1) (x2,y2) cho < y , y Vẫn sử dụng cách toán Đáp số: ≤ m < 16 Giáo viên : Ta lại thay đổi yêu cầu toán từ ràng buộc y thay ràng buộc x tức là: Ví dụ 6: Tìm m để hệ phương trình (6.7) có nghiệm (x1,y1) (x2,y2) cho : < x1, x2 Giáo viên : Đây vấn đề đặt lên cho học sinh vướng mắc Vấn đề ta đưa phương trình ẩn y yêu cầu ràng buộc x Vì ta có hai hướng giải : - Chuyển ràng buộc x thành ràng buộc y - Chuyển thành phương trình x Ta thấy cách khả thi Bài làm: Từ pt (7) ⇒ y = 4−x vào (6) ⇒ x2 + (4 - x)2 = m ⇔ 2x2- 8x +16 - m = (8) Vậy yêu cầu toán ⇔ phương trình (8) có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: < x1, x2 ∆' ≥  ⇔ S > P >  ⇔ ≤ m < 16 (Giáo viên :Tất nhiên toán giải dựa theo cách cách toán 3) Tiếp tục ta mở rộng cho ràng buộc x y Ví dụ 7: Tìm m để hệ phương trình (6.7) có nghiệm (x 1,y1 )và( x2,y2) thoả mãn điều kiện:  x1 , x >   y1 , y > 14 Giáo viên : Ta phân tích ví dụ sau : Bài toán tương đương với toán: tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x1,y1) (x2,y2) thoả mãn điều kiện x1,x2 > y1,y2 > Vậy giá trị m thoả mãn hai ví dụ thoả mãn ví dụ 6, đồng thời thoả mãn toán thoả mãn hai ví dụ Vậy giá trị cần tìm m giao hai tập giá trị m hai ví dụ Tức : [8;16) ∩ [8;16) = [8;16) Giáo viên : (Tất nhiên toán giải theo cách cách ví dụ Ta chứng minh điều kiện : m ∈ [ 8;16) điều kiện để hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện : x >  y > Giáo viên : Từ ta đưa toán 15 C KẾT THÚC VẤN ĐỀ I Ý nghĩa đề tài - Tôi muốn lấy làm tài liệu phục vụ trình giảng dạy thân, đồng thời tài liệu để đồng nghiệp tham khảo giảng dạy - Giúp học sinh phát triển tốt lực tư duy, khả sáng tạo học tập Từ mang lại say mê hứng thú học Toán II Kết nghiên cứu - Đề tài bắt đầu thực từ năm học 2012 – 2013 trực tiếp lớp mà thân giảng dạy Kết đa số em hứng thú học tập môn Toán Các em không rèn luyện theo lối mòn tức giải tập theo mẫu mà học sinh tự sáng tạo giải toán theo nhiều hướng khác nhau, say mê sáng tạo Từ tạo hứng thú học tập đạt kết cao - Kết kiểm tra khảo sát đầu học kỳ I thi học kỳ I lớp 10A với 36 em, đa số em có tiến Cụ thể sau: số H/S Đợt thi KT Số học sinh không đạt Số học sinh đạt 45% 55% 16 khảo sát Thi HKI 10% 90% - Tôi hy vọng rằng, tài liệu mà thầy cô giáo dạy Toán yêu thích, đồng thời giúp em học sinh yêu môn Toán hơn, qua góp phần nâng cao kết học tập em II Những kiến nghị làm tăng tính khả thi Đề tài có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt dùng cho học sinh học lớp 10 Vì thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu mở rộng để đề tài hoàn chỉnh thực tài liệu bổ ích cho em học sinh mơ ước bước chân vào cổng trường Đại Học Để đề tài hiệu thì: - Cần điều chỉnh phạm vi tập nhằm áp dụng nhiều đối tượng học sinh - Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm chuyên đề khác có liên quan 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Đào Ngọc Nam- Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên, Đại số giải tích 11 ban bản, NXBGD, 2010 Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Doãn Minh Cường- Đỗ Mạnh Hùng-Nguyễn Tiến Tài, Đại số 10 ban bản, NXBGD, 2006 18 MỤC LỤC A Đặt vấn đề B Nội Dung Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ C Kết thúc vấn đề Tài liệu tham khảo 3 3 10 11 12 13 13 14 16 18 19 [...]... nếu ta tham số hoá hệ phương trình ta sẽ có những bài toán mới Như vậy để phát triển tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh ngoài việc khuyến khích học sinh giải quyết một bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không nên hướng học sinh đến một cách giải cho dù cách đó là ngắn, đơn giản và mất ít thời gian Và nếu được khi giải xong một bài toán giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy nghĩ phát triển bài... mẫu nữa mà mỗi học sinh đều tự do sáng tạo giải quyết các bài toán theo nhiều hướng khác nhau, say mê sáng tạo Từ đó tạo sự hứng thú hơn trong học tập và đạt kết quả cao - Kết quả bài kiểm tra khảo sát đầu học kỳ I và thi học kỳ I của lớp 10A 1 với 36 em, đa số các em đã có sự tiến bộ Cụ thể như sau: số H/S Đợt thi KT Số học sinh không đạt Số học sinh đạt 45% 55% 16 khảo sát Thi HKI 10% 90% - Tôi hy... khảo trong giảng dạy - Giúp học sinh có thể phát triển tốt nhất năng lực tư duy, khả năng sáng tạo trong học tập Từ đó mang lại sự say mê và hứng thú trong học Toán II Kết quả nghiên cứu - Đề tài này tôi bắt đầu thực hiện từ năm học 2012 – 2013 trực tiếp trên những lớp mà bản thân tôi giảng dạy Kết quả đa số các em rất hứng thú trong học tập môn Toán Các em không còn rèn luyện theo lối mòn tức là giải. .. thành một bài toán khác và tìm cách giải quyết chúng từ đó học sinh sẽ thu được rất nhiều kiến thức Dưới đây là một vài cách phát triển bài toán trong ví dụ 1 Chẳng hạn: ta thay 8 bởi m ( tham số) ta được hệ x 2 + 4 y 2 = m   x + 2y = 4 (6) (7 ) và ta có thể đưa ra một số bài toán Ví dụ 2: Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm Bài làm: Cách 1: Dựa vào cách 1 của ví dụ 1 ta có cách sau: Rút từ phương trình. .. giải toán và khả năng tư duy biện chứng cho học sinh, ở đây giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh như : Giáo viên : Ta thấy đáp số là đáng tin cậy Vì sao? TL: vì m= 8 ta trở lại bài toán trong ví dụ 1 Giáo viên : còn nếu học sinh làm ra đáp số không phải là 8 giáo viên khẳng định ngay kết quả là sai mặc dù chưa cần kiểm tra các bước tính toán Giáo viên : yêu cầu học sinh phân tích cách 2 và cách. .. thời giúp các em học sinh yêu môn Toán hơn, qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em II Những kiến nghị làm tăng tính khả thi Đề tài này có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt là dùng cho học sinh đang học lớp 10 Vì vậy trong thời gian tới, tôi tiếp tục nghiên cứu và mở rộng hơn nữa để đề tài được hoàn chỉnh hơn và thực sự là cuốn tài liệu bổ ích cho cả những em học sinh còn đang mơ... (6’) thế vào phương trình (6) ta được : (4-2y)2 + 4y2 = m ⇔ 8y2- 16y+ 16- m = 0 Giáo viên : ta nên chia hai vế cho 8 để được phương trình với hệ số gọn hơn: y2 − 2y + 2 − m =0 8 (7’) ta để ý với mỗi nghiệm y0 của phương trình (7’) ta được một nghiệm (xo,yo) Vậy để hệ (6, 7) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (7’) có nghiệm tức là ∆′ ≥ 0 ⇔ m ≥ 8 Cách 2: 11 Giáo viên: Nếu ta phân tích cách giải 2 ở ví... của x tức là: Ví dụ 6: Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho : 0 < x1, x2 Giáo viên : Đây là vấn đề đặt lên cho học sinh vướng mắc Vấn đề ở đây là ta đưa về phương trình ẩn y trong đó yêu cầu là ràng buộc của x Vì vậy ta có hai hướng giải quyết : - Chuyển ràng buộc của x thành ràng buộc của y - Chuyển thành phương trình của x Ta thấy cách 2 khả thi hơn Bài làm: Từ pt (7)... tìm cách 2 và 3 của bài này x 2 + t 2 = m Giáo viên : với phép đặt : 2y = t ta đã đưa hệ về dạng hệ đối xứng   x+t = 4 Theo tính chất của hệ đối xứng nếu (x 0,to) là nghiệm của hệ thì (x0,to) cũng là nghiệm của hệ, vậy để hệ có nghiệm duy nhất cần x 0=to(chú ý đây mới là điều kiện đủ ) từ đây ta có cách giải : Cách 4 : 12 Điều kiện cần : (x0, to) là nghiệm của hệ thì (x 0, to) cũng là nghiệm của hệ, ... để hệ có nghiệm duy nhất cần x0=to  2 m x = ⇒ o 2 ⇔ m=8  xo = 4 Điều kiện đủ : Thay m =8 vào hệ ta thấy thoả mãn Vậy m=8 là kết quả cần tìm Giáo viên : Đây là một phương pháp rất quan trọng để giải bài toán nghiệm duy nhất của hệ đối xứng Ví dụ 4: Tìm m để hệ (6.7) có hai nghiệm (x1, y1) và (x2, y2) sao cho y1 < 0 < y 2 Bài làm : Cách 1: Để hệ có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho sao cho ... mãn, hệ có nghiệm x=2 ,y=1 10 Giáo viên: Ta chưa dừng lại đây, ta tham số hoá hệ phương trình ta có toán Như để phát triển tư duy, khả sáng tạo cho học sinh việc khuyến khích học sinh giải toán... Vậy hệ có nghiệm :  (*) Giáo viên giúp học sinh phát triển lực tư cách hướng dẫn động viên để học sinh tự tin thoải mái suy nghĩ tìm tòi cách giải theo nhiều hướng khác nhau, không nên hướng học. .. hướng học sinh theo cách cho dù cách làm nhanh ngắn Trong trường hợp học sinh chưa nghĩ giáo viên gợi ý Giáo viên hướng dẫn cách cho học sinh nhận xét số hạng tư ng ứng hai phương trình( 1) (2)