NHỮNG KỸ NĂNG GIÚP HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Ở MỘT TIẾT LUYỆN TẬP HÌNH HỌC LỚP 9

Nhưng thực tế học sinh ở trường THCS Lê Hồng Phong sau khi học xong một tiết Toán nói chung và đặc biệt là tiết hình học không phải em nào cũng hiểu được nội dung bài học và làm được tất

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên sáng kiến: NHỮNG KỸ NĂNG GIÚP HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Ở MỘT TIẾT LUYỆN TẬP HÌNH HỌC LỚP 9.

Tên cá nhân: NGUYỄN THỊ HỒNG THU

Thời gian thực hiện: Năm học 2011-2012

I SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN:

Trong các môn học ở trường phổ thông môn Toán là một bộ môn không phải dễ học đối với đa số học sinh, vì thế đòi hỏi người giáo viên dạy toán luôn phải tìm tòi những phương pháp nào tối ưu nhất để truyền đạt hết nội dung kiến thức cho học sinh một cách nhẹ nhàng và dễ hiểu

Vì vậy, là giáo viên dạy Toán lúc nào tôi cũng mong muốn tất cả học sinh của mình sau một tiết học trên lớp em nào cũng hiểu và làm được tất cả các bài tập đã cho Nhưng thực tế học sinh ở trường THCS Lê Hồng Phong sau khi học xong một tiết Toán nói chung và đặc biệt là tiết hình học không phải em nào cũng hiểu được nội dung bài học và làm được tất cả các bài tập mà giáo viên yêu cầu, nhất là đối với học sinh lớp 9, mà chủ yếu là các em mất gốc và thiếu đi một

số kỹ năng cơ bản trong quá trình lĩnh hội kiến thức Do đó, các em thiếu tự tin trong quá trình làm bài tập và việc nắm bắt kiến thức chậm so với yêu cầu của từng bài học

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa số học sinh khối lớp 9 rất ngại khi giáo viên gọi lên giải những bài toán của phân môn hình học Thật vậy, hình học

đã trừu tượng khó hiểu, khó áp dụng giữa lý thuyết vào giải các bài tập, chứng minh hình học, hơn thế nữa các bài toán về cực trị hình học lại càng khó hơn các

em không biết bắt đầu từ đâu để làm dạng bài này, từ thực tế trên tôi thấy đa số học sinh lớp 9 trường THCS Lê Hồng Phong khi giải các bài toán về cực trị trong hình học chỉ vài em làm bài theo cảm tính, các em giải không được đầy đủ, không theo logíc toán học mà chỉ trình bày theo ý hiểu của các em

Để giúp các em giải quyết những khó khăn nêu trên với những năm kinh nghiệm trong công tác và sự tìm tòi của bản thân tôi đã thử nghiệm một số kỹ năng trong việc giải các bài toán về cực trị hình học để phần nào giúp các em tự tin hơn trong giải toán Nhằm mục đích nâng cao về chất lượng học tập của môn toán nói chung và phân môn hình học nói riêng tôi đã mạnh dạn chọn đề tài

“Những kỹ năng giúp học sinh giải một số bài toán cực trị hình học ở một tiết luyện tập hình học lớp 9”

II PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN:

Đề tài được thực hiện tại khối lớp 9 trường THCS Lê Hồng Phong, huyện Phú Tân, tỉnh Cà Mau

III NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

1 Cơ sở lý luận:

Các bài toán cực trị trong hình học đa dạng, có nhiều dạng bài khác nhau đòi hỏi người giải phải linh hoạt, phải sáng tạo lựa chọn kiến thức phù hợp để vận dụng vào bài toán cần giải Và trong chương trình sách giáo khoa lại không đưa ra phương pháp giải dạng toán này một cách cụ thể nên học sinh thật sự bỡ ngỡ và lúng túng khi gặp dạng bài toán này Chính vì thế mà tôi đã chọn một tiết luyện tập * trong phân phối chương trình để “giúp học sinh giải một số bài toán cực trị hình học ở một tiết luyện tập hình học lớp 9”

2 Các bước thực hiện:

Bước 1: Cung cấp cho học sinh hiểu thế nào là toán “Cực trị hình học”.

Một số bài toán hình học mà trong đó tất cả các hình nêu ra có chung một tính chất và đòi hỏi ta phải tìm được hình sao cho một đại lượng nào đó (như số

đo góc, độ dài đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích…) đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất được gọi chung là bài toán “Cực trị hình học”

Bước 2: Cung cấp cho học sinh các dạng của bài toán cực trị hình học:

a) Bài toán về dựng hình:

VD: Xác định vị trí của dây đi qua điểm P trong một đường tròn sao cho dây có độ dài nhỏ nhất

b) Bài toán về chứng minh:

VD: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất

c) Bài toán về tính toán:

VD: Cho đường tròn (O, R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = a Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P

Bước 3: Cung cấp cho học sinh cách trình bày bài toán cực trị hình học: Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài chỉ ra một hình, rồi chứng

minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra

Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác tương

đương (nếu được) rồi từ đó dùng kiến thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A (A là một đại lượng nào đó như góc, đoạn thắng …)

a) Ta chứng minh được A m ( m không đổi)

Có một hình sao cho A = m thì giá trị nhỏ nhất của A là m

b) Ta chứng minh được A m (m không đổi)

Có một hình sao cho A = m thì giá trị lớn nhất của A là m

Từ đó xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị

Bước 4: Cung cấp các kiến thức cần thiết để giải bài toán cực trị:

a Quy tắc các điểm:

- Với A, B, C bất kỳ ta có BCAB+AC Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC

b Bất dẳng thức trong tam giác:

Trong tam giác ABC ta có:

AC

AB  <BC < AB+AC;

Aˆ  B ˆ BC  AC;

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC

c Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu:

- Trong tam giác vuông có cạnh góc vuông AH, cạnh huyền AB thì AB

AH, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BH

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng đó có độ dài nhỏ nhất

- Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất

- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lướn hơn thì lớn hơn

d Các bất đẳng thức đại số thường sử dụng

- Bất đẳng thức cô-si:

Với a,b dương: ab ab

2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

- Nếu a >0;b >0 thì   2

a

b b

a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b

- Nếu a 0;b 0 mà a+b là hằng số thì a.b đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi a= b

- Nếu a 0;b 0 mà a.b là hằng số thì a+b đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a= b

e Các bất đẳng thức đường tròn gồm các định lý sau:

1 Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.

2 Trong 2 dây của 1 đường tròn

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

3 Trong 2 cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc

ở tâm lớn hơn

4 Trong 2 cung nhỏ của một đường tròn

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

3 Các ví dụ minh hoạ:

3.1 Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC vuông ở C, D là một điểm thay đổi trên cạnh AB Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của D trên AC và BC Xác định vị trí của D trên AB

để MN có độ dài nhỏ nhất?

Hướng dẫn:

Kẻ CHAB, CDCH, CD nhỏ nhất khi và chỉ khi

CD = CH D  H

(quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Để MN nhỏ nhất ta cần chứng minh MN = CD

Giải:

Ta có: DMAC(giả thiết) nên góc DMC = 900

DNBC(giả thiết) nên góc DNC = 900

Mà Cˆ =900 (giả thiết).Suy ra tứ giác CMDN là

hình chữ nhật  MN = CD (t/c hình chữ nhật)

Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi CD nhỏ nhất

Kẻ CHAB, CDCH, CD nhỏ nhất khi và chỉ khi

CD = CH D  H

(quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Vậy MN nhỏ nhất khi D là chân đường vuông góc hạ từ C xuống cạnh AB

3.2 Ví dụ 2:

Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất

Hướng dẫn: Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho góc xOm = góc AOy.

Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA

Ta có: AB + BD ≥ AD (dùng quy tắc các

điểm)  AC + AB ≥ AD

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi B  AD

Giải:

Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho góc

xOm = góc AOy Trên tia Om lấy điểm D sao cho

OD = OA Các điểm D và A cố định

O

y

A C

B

D m

x

OD = OA, OC = OB, DOB = AOC

 DOB = AOC  BD = AC

Do đó AB + BD = AB + AC

Mà AB + BD ≥ AD (dùng quy tắc các điểm)  AC + AB ≥ AD

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi B AD

Vậy Min(AC + AB) = AD Khi đó B là giao điểm của AD và Ox, C thuộc tia Oy sao cho OB = OC

3.3 Ví dụ 3:

a Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?

b Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ nhất?

Hướng dẫn:

a Các hình chữ nhật có cùng chu vi nghĩa là

(x+y) không đổi thì tích x.y(S= x.y) lớn nhất khi x = y

(Vận dụng các bất đẳng thức đại số)

b Các hình chữ nhật có cùng diện tích nghĩa là

x.y không đổi thì tổng x+y( mà C =2.( x+y)) nhỏ nhất khi x = y

(Vận dụng các bất đẳng thức đại số)

Giải:

Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x,y(x,y >0) Ta có (x - y)2  0

xy y

x y x y

x2 2 2 ( ) 2 4











a Các hình chữ nhật có cùng chu vi nghĩa là

(x+y) không đổi thì tích x.y(S= x.y) lớn nhất khi x = y

(Vận dụng các bất đẳng thức đại số)

Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

b Các hình chữ nhật có cùng diện tích nghĩa là x.y không đổi thì tổng (x+y) nhỏ nhất khi x = y (Vận dụng các bất đẳng thức đại số)

Suy ra C =2.( x+y) nhỏ nhất khi x = y

Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất

3.4 Ví dụ 4:

Cho nửa đường tròn(O,R) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Bx tại B của (O).Gọi M là điểm di động thuộc nửa đường tròn (O) và AM cắt Bx tại N Xác định vị trí của M để 2AM +AN đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn: dùng bất đẳng thức Cô-si cho

2AM và AN ta có :

2AM+AN2 2AM AN Dấu bằng xảy ra khi

2AM = AN từ đó ta xác định được điểm M

Giải:

Ta có: góc AMB = 900

ABN vuông tại B có đường cao BM nên:

AM AN = AB2 4R2(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2AM và AN ta có:

2AM+AN2 2AM AN  4 2R Dấu bằng xảy ra khi

2AM = AN  ABN vuông cân  M là trung điểm cung AB.Vậy khi

M là trung điểm cung AB thì 2AM +AN đạt giá trị nhỏ nhất

3.5 Ví dụ 5:

Chứng minh rằng trong một tam giác, ứng với cạnh lớn nhất là đường phân giác ngắn nhất

Hướng dẫn: Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

để chứng minh bài toán trên

XétABC Giả sử AB > AC Dựng các phân giác trong BE và CF Ta chứng minh rằng CF < BE

Ta có: AB > AC  Cˆ Bˆ

2

ˆ 2

ˆ B

C





Gọi I là giao điểm của BE và CF

Xét IBC, ta có: IB > IC

Trên tia IB, lấy đoạn ID = IC,

D nằm giữa I và B

Dựng góc IDJ bằng góc ICA tức là bằng

2

ˆ

C DJ cắt AB trên đoạn BF:

 DJ cắt CF tại K nằm ngoài C và F

 IK > IF

Do đó : IK + IB > IC + IF = CF (1)

Ta lại có: IDK = ICE (g.c.g)  IK = IE

Do đó: (1)  IB + IE > CF

 BE > CF, đpcm

3.6 Ví dụ 6:

Cho đường tròn (O) và 1 điểm P nằm trong đường tròn (P O) Xác định

vị trí của dây đi qua P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P (hình 1)

và CD là dây bất kì đi qua P (CD AB)

Ta sẽ chứng minh CD > AB

Kẻ OH  CD Xét OHP vuông tại H

OH < OP => CD > AB (liên hệ dây và khoảng cách đến tâm)

Vậy trong các dây đi qua P, dây AB  OP tại P có độ dài nhỏ nhất

3.7 Ví dụ 7:

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O) Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại M, N Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN Hãy chỉ ra vị trí của đường thẳng d để tổng AM + AN lớn nhất

Hướng dẫn giải:

Ta có I là trung điểm MN

Suy ra OI  MN

AM + AN = AM + NI + AI

= (AM + MI) + AI = 2AI

O

d

=> Max (AM + AN) = Max AI

Mặt khác góc OIA = 900 => AI là dây cung của đường tròn (K) đường kính AO

Max AI <=> AI là đường kính của đường tròn (K)(áp dụng đường kính là dây lớn nhất của đường tròn) <=> d qua O

Vậy vị trí của đường thẳng d phải tìm để tổng AM + AN lớn nhất là đường thẳng đi qua O

3.8 Ví dụ 8:

Cho ABC nhọn Điểm M di chuyển trên cạnh BC Gọi P, Q là hình chiếu của M trên AB, AC Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Ta có: P + Qˆ = 1800

= > APMQ là tứ giác nội tiếp (O)

kẻ OH  PQ Đặt góc BAC = 

= > góc POH =

Ta có: PQ = 2PH = 2PO Sin = AM Sin 

Do  không đổi

Nên PQ nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất

<=> AM  BC

Nhận xét: Kết luận bài toán cũng đúng trong trường hợp  = 900 và

 > 900

3.9 Ví dụ 9:

Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB

vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB Qua M có 2 đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D Xác định vị trí các điểm

C, D sao cho  MCD có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Ta có: SMCD = 21 MC MD

Đặt gócAMC = góc BMD = 

Ta có :

MC =



Cos

MA

; MD =



Sin MB

Nên: SMCD =

2

1



Sin

MB MA

.

Do MA , MB không đổi, nên SMCD nhỏ nhất <=> 2 Sin Cos lớn nhất

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

2Sin Cos  Sin2 + Cos2 = 1

=> SMCD  MA MB

Dấu "=” xảy ra khi Sin = Cos <=> Sin  = Sin (900 -  ) <=>  =

450



D

C





Vậy: Min SMCD = MA MB khi các điểm C, D được xác định trên các tia

Ax , By sao cho AC = AM , BD = BM

IV KẾT QUẢ HIỆU QUẢ MANG LẠI:

1 Kết quả:

Những năm qua với sự nỗ lực của bản thân trong công tác giảng dạy, tôi

đã tìm hiểu những cái mới, cái hay để truyền thụ cho học sinh những kiến thức

cơ bản và dễ hiểu nhất với mục đích tạo nền móng vững chắc cho các em trong môn toán nói chung và đặc biệt là phân môn hình học tìm cực trị nói riêng Với

sự nỗ lực đó tôi đã thành công trong việc kích thích sự hứng thú học tập của học sinh trong môn toán nói chung và phân môn hình học nói riêng Ngoài ra, còn giúp cho các em nhớ lâu và khắc sâu được kiến thức của từng bài học qua các dạng bài tập hình học tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; sau một năm áp dụng biện pháp trên kết quả đem lại khá rõ nét Những năm trước đây trong tiết toán rất hiếm học sinh tự ý xung phong lên bảng giải các bài tập, hoặc tự ý phát biểu về bài học; nhưng sau khi các em đã được làm quen với các dang bài tập nêu trên, bên cạnh việc giúp học sinh nhớ lâu, khắc sâu kiến thức, còn giúp các em mạnh dạn tự tin trong quá trình làm bài tập chất lượng học tập ngày một nâng cao

Từ những kỹ năng trên tôi đã đưa các em đến gần gũi với mình hơn, các

em đam mê hơn trong học tập; tỉ lệ học sinh không yêu thích hoặc học sinh yếu kém giảm một cách rõ rệt, tỷ lệ học sinh khá giỏi được nâng lên đáng kể trong phân môn hình học so với khi chưa áp dụng biện pháp này cụ thể như sau:

* Khi chưa áp dụng các kỹ năng trên đối với phân môn hình học học lực khảo sát năm học 2010 - 2011:

Lớp Số HS Giỏi Khá TB Yếu Kém

* Khi áp dụng các kỹ năng trên kết quả phân môn hình học năm học 2011 - 2012:

2 Hiệu quả mang lại:

- Đối với bản thân: Với những kết quả áp dụng các kỹ năng trên tôi đã thành công và được sự tín nhiệm của lãnh đạo nhà trường, đồng nghiệp và đặc biệt là các bậc phụ huynh Từ đó, đã được nhà trường phổ biến áp dụng rộng rãi trong toàn trường Bên cạnh đó đã giúp tôi tự tin hơn trong công tác giảng dạy và tìm tòi những cái mới trong giảng dạy; luôn tự hào và tin tưởng vào công tác lãnh đạo của nhà trường và sự tin yêu của các bậc phụ huynh và đây chính là động lực giúp tôi phấn đấu hơn trong công tác giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trong nhà trường, đưa sự nghiệp giáo dục của địa phương từng bước phát triển đi lên

- Đối với học sinh: Giúp các em khắc sâu hơn kiến thức cơ bản ở các lớp dưới; đồng thời tạo cho các em một niềm tin, sự hứng thú trong học tập, chất lượng học tập ngày một được nâng lên

- Đối với nhà trường: Phổ biến rộng rãi trong đội ngũ giáo viên để tạo sự phấn đấu chung trong nhà trường; chất lượng giảng dạy của giáo viên ngày một nâng lên, chất lượng giáo dục đại trà ngày một phát triển; là nơi tin tưởng của các bậc cha mẹ học sinh và của toàn xã hội

V ĐÁNH GIÁ VỀ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN:

- Ưu điểm:

Áp dụng đề tài này vào giảng dạy sẽ giúp các em mạnh dạn và tự tin hơn trong quá trình học tập phân môn hình học góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh; sáng kiến này dễ áp dụng đối với các trường thuộc vùng sâu, vùng

xa, cho toàn thể cán bộ giáo viên giảng dạy bộ môn toán, đặc biệt là đội ngũ giáo viên thường xuyên trong công tác ôn thi học sinh giỏi;

Các kỹ năng, nội dung này dễ áp dụng ít mất thời gian, có thể lồng ghép vào các buổi sinh hoạt chuyên đề hoặc thao giảng

Quá trình áp dụng sẽ tạo được sự húng thú, say mê trong học tập của học sinh, giúp học sinh tự tin và yêu thích trong khi học môn toán nói chung và phân môn hình học nói riêng Từ đó, chất lượng giảng dạy và học tập ngày một nâng lên, tạo được sự tin yêu trong phụ huynh

- Hạn chế:

Tuy nhiên nội dung sáng kiến nằm trong phạm vi hẹp, mới áp dụng trong

1 năm, chỉ dành riêng cho giáo viên dạy toán ở khối 9, chỉ áp dụng trong việc giải các tiết luyện tập * đối với phân môn hình học, học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản trong phân môn hình học

VI KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT:

Cần đầu tư thêm các trang thiết bị trong phân môn hình học; sớm đưa những đề tài có chất lượng vào triển khai nhân rộng, để quá trình giáo dục ngày một hoàn thiện hơn

Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi rút ra từ vịêc giảng dạy trong nhiều năm qua Rất mong được sự góp ý của lãnh đạo ngành, lãnh đạo nhà trường và các bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn

Ý KIẾN XÁC NHẬN Cái Đôi Vàm, ngày 28 tháng 12 năm 2012

Nguyễn Thị Hồng Thu