Công thức toán THPT

Tài liệu bao gồm toàn bộ công thức cơ bản của 3 năm THPT giúp hệ thống lại kiến thức, củng cố kĩ năng giải bài tập.

Cơng thức tổng hợp 2016 MỤC LỤC A ĐẠI SỐ Tam thức bậc hai Bất đẳng thức Cauchy 3 Phương trình- bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương trình- bất phương trình chứa Cấp số cộng Cấp số nhân Nhị thức Niutơn Giới hạn B HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC Định lý hàm Cơsin Định lý hàm Sin Cơng thức tính diện tích tam giác Độ dài trung tuyến C PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ đối xứng loại Hệ đối xứng loại Hệ đẳng cấp D LƢỢNG GIÁC I Cơng thức lượng giác Các cung liên quan đặc biệt Cơng thức lượng giác Cơng thức cộng Cơng thức nhân đơi Cơng thức nhân ba Cơng thức hạ bậc Cơng thức biến đổi tổng thành tích Cơng thức biến đổi tích thành tổng 10 a 10 10 Một số cơng thức quan trọng 10 Cơng thức biểu diễn theo II Phƣơng trình lƣợng giác 10 Phương trình lượng giác 10 Một số dạng phương trình lượng giác 12 Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page Cơng thức tổng hợp 2016 E CƠNG THỨC ĐẠO HÀM 14 Quy tắc 14 Bảng cơng thức tính đạo hàm 14 F CƠNG THỨC MŨ, LOGARIT 15 G CƠNG THỨC NGUN HÀM 16 H PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN OXYZ 17 I PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘNG TRONG MẶT PHẲNG OXY 20 Phương trình đường thẳng 20 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 20 Góc hai đường thẳng 20 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 20 Phương trình đường tròn 20 Elip 21 Hypebol 21 Parabol 22 J HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 23 I – Các hình 23 Hình chóp 23 Hình trụ 23 Hình cầu 24 Hình nón 24 II – Các phƣơng pháp chứng minh 24 III – Các vấn đề góc 25 IV – Các vấn đề khoảng cách 26 K SỐ PHỨC 27 Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page Cơng thức tổng hợp 2016 A ĐẠI SỐ Tam thức bậc hai: Giả sử ( ) ( ) ( ) { ( ) { { ( ) { nghiệm ( ) * { ( ) { { ( ) { ( ) ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) { Bất đẳng thức Cauchy : a b  ab Dấu “=” xảy a = b a bc  abc Dấu “=” xảy a = b = c Với hai số Với ba số Phương trình- bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: | | { | | | | | | | ( )( | | | | | | | || | | | { | | { * ) | || | | | | | | | | || | √ { | || Phương trình- bất phương trình chứa căn: √ { Biên soạn Hồng Ngọc Phú √ ( ) Page Cơng thức tổng hợp 2016 √ { √ { √ [ √ { { Cấp số cộng: cấp số cộng dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số tổng số hạng đứng trƣớc số d khơng đổi, nghĩa là: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: cơng sai) - Số hạng tổng qt: un  u1  (n  1)d - Tính chất số hạng: uk  - Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1  u2   un  với n  uk 1  uk 1 với k  2 n(u1  un ) = n 2u1  (n  1)d  2 Cấp số nhân: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số tích số hạng đứng trƣớc số q khơng đổi, nghĩa là: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* - Số hạng tổng qt: un  u1.qn1 với n  - Tính chất số hạng: uk2  uk 1.uk 1 với k  - Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  nu1  n  S  u1(1  q )  n 1 q (q: cơng bội) với q  với q  Nhị thức Niutơn: - Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: (a  b)n  n  Cnk ank bk k 0 - Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng qt (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnnk 5) Cn0  Cnn  , Cnk 1  Cnk  Cnk1 Giới hạn: - Dãy số có giới hạn 0:  Nếu | | với n lim  Nếu | | lim 1  ; lim  (k  n n n n k  lim Biên soạn Hồng Ngọc Phú  ) Page Cơng thức tổng hợp 2016 - Dãy số có giới hạn hữu hạn:  lim C  C n  (  ( ) )  0, n lim  Nếu  (  ( ) a  lim lim un  a lim √  Nếu lim  lim )  Nếu lim un   lim = a, lim  Nếu lim = a  0, lim  Nếu lim = +, lim a (nếu b  0) b √  lim qn   (q  1) 0 un =  lim  Nếu lim  un  a  lim nk   (k   )  lim n   un un =0 = lim un  =   )=   = a lim( a.vn  a.vn  a  a  - Hàm số có giới hạn hữu hạn:  lim x  x0 ;  lim c  c (c: số) x  x0 x  x0  lim  f ( x )  g( x )  L  M  Nếu lim f ( x )  L lim g( x )  M thì: x  x0 x  x0 x  x0  lim  f ( x )  g( x )  L  M x  x0  lim  f ( x ).g( x )  L.M x  x0  lim x  x0  Nếu f(x)  lim f ( x )  L L  lim x  x0 x  x0 f (x) L (nếu M  0)  g( x ) M f ( x)  L  Nếu lim f ( x )  L lim f ( x )  L x  x0 x  x0 - Hàm số có giới hạn vơ cực, vơ cực:  lim x k   ; x   lim x  c xk 0 Biên soạn Hồng Ngọc Phú  k chẵn  lim x k   x   k lẻ  lim x 0   ; x  lim c  c ; x   lim x 0   x Page Cơng thức tổng hợp 2016 - Hàm số có giới hạn bên:  lim  x 0 1  lim    x x 0 x  L lim g( x ) dấu  x  x0  Nếu lim f ( x )  L  lim g( x )   thì: + lim f ( x )g( x )   g( x ) trái dấu x  x0 x  x0 x  x0  L xlim  x0  0 lim g( x )   x  x0 f ( x )    lim g( x )  L.g( x )  + lim x  x0 g( x ) x  x0  g( x )  L.g( x )   xlim  x0  Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page Cơng thức tổng hợp 2016 B HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC Định lý hàm Cơsin : Định lý hàm Sin : Cơng thức tính diện tích tam giác: √ ( )( )( ) Độ dài trung tuyến  ma2  2(b2  c2 )  a2 ; Biên soạn Hồng Ngọc Phú  mb2  2(a2  c2 )  b2 ;  mc2  2(a2  b2 )  c2 Page Cơng thức tổng hợp 2016 C HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Hệ phương trình bậc hai ẩn: - Xét hệ phƣơng trình bậc hai ẩn ( ) { | - Đặt | hệ có nghiệm (  : + + | ,  | ), | , | ; : hệ vơ nghiệm hệ có vơ số nghiệm, tập nghiệm hệ tập nghiệm phƣơng trình ( ) ) ) với ( ( ) ( ( ) ( )  Nhận dạng : ta hốn vị ( đổi chỗ) x y f(x,y) g(x,y) khơng thay đổi  Phƣơng pháp giải :  Đặt S = x+ y, P = xy  Đƣa hệ phƣơng trình (I) hệ (II) với ẩn S, P  Giải hệ (II) ta tìm đƣợc S, P  Tìm nghiệm cách giải phƣơng trình ( ) ( ) Hệ đối xứng loại 2: (I) { ( ) ( )  Nhận dạng : ta hốn vị ( đổi chỗ) x y (1) biến thành (2) ngƣợc lại ( ) ( ) ( )  Phƣơng pháp giải:  trừ (1) (2) vế theo vế ta đƣợc { ( ) ( ) ) ( )  Biến đổi (3) pt tích (3) ( Hệ đối xứng loại 1: (I) { * ( { ( ) )  Lúc (I) ( ) ) [ (  Giải hệ ta tìm đƣợc nghiệm hệ (I) { Hệ đẳng cấp: (I) {  Giải hệ x = (hoặc y = 0)  Khi Đặt vào hệ (I) ta đƣợc hệ theo t x Khử x ta đƣợc phƣơng trình bậc hai theo t Giải phƣơng trình ta tìm đƣợc t từ ta tìm đƣợc (x, y)  Phƣơng pháp giải: Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page Cơng thức tổng hợp 2016 D LƢỢNG GIÁC I Cơng thức lượng giác: Các cung liên quan đặc biệt: Góc đối ( ) Góc bù ( Góc phụ ) Góc Góc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cơng thức lượng giác bản:       Cơng thức cộng: sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a cos(a  b)  cosa.cos b tan(a  b)  sina.sin b tan a  tan b tan a.tan b Cơng thức nhân đơi:  sin2  2sin  cos  cos2  cos2   sin2   cos2     2sin2   tan 2  tan  ;  tan2  Cơng thức nhân ba: cot 2  cot   cot  sin 3  3sin   4sin3  cos3  cos3   3cos  3tan   tan3  tan 3   3tan2  Cơng thức hạ bậc:  cos 2  cos 2 cos    cos 2 tan    cos 2 sin2   Cơng thức biến đổi tổng thành tích: Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page Cơng thức tổng hợp 2016 cos a  cos b  cos ab ab cos 2 ab ab sin 2 ab ab sin a  sin b  2sin cos 2 ab ab sin a  sin b  cos sin 2 cos a  cos b   2sin Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b   cos(a  b)  cos(a  b) sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  Cơng thức biểu diễn a Đặt: t  tan (a    2k ) thì: a : theo sin a  2t 1 t cos a  ;  t2 1 t ; tan a  2t  t2 10 Một số cơng thức quan trọng:     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4       sin   cos  sin       cos      4  4 ( ) II Phương trình lượng giác: Phương trình lượng giác : - Phương trình sinx = sina  x    k 2 (k  Z )  sin x  sin     x      k 2  sin u   sin v  sin u  sin(v) sin x  a Điều kiện :   a   x  arcsin a  k 2 sin x  a   (k  Z )  x    arcsin a  k 2    sin u  cos v  sin u  sin   v  2      sin u   cos v  sin u  sin  v    2 ***Các trƣờng hợp đặc biệt: Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 10 Cơng thức tổng hợp 2016 E CƠNG THỨC ĐẠO HÀM Quy tắc bản: (  (C)’ =  u  uv  vu    v v2  (uv)  uv  vu ) Bảng cơng thức tính đạo hàm: (kx )  k (ku)  ku (xn) = n.xn–1 (un) = n.un–1(u)’      x x   u    u u  x    u   x (sinx) = cosx ( ) (cosx) = – sinx ( )  tan x     tan2 x   cos2 x u' cos2 u  cot x      cot x    cot u     1  cot u  u '   e  '  e  a  '  a ln a  e  '  e u'  a  '  a ln a.u' ( ( ( Đặc biệt: u  tan u    1  tan2 u  u '  x x x x  u' sin x ) ( )  y  y Biên soạn Hồng Ngọc Phú a c u u u u u' sin2 u ) ) b d ax  b  y'  cx  d  cx  d  a1x  b1x  c1 a2 x2  b2 x  c2  y'  a1 a2 b1 a1 x  b2 a2 a x 2 c1 b x c2 b2  b2 x  c2  c1 c2 Page 14 Cơng thức tổng hợp 2016 F CƠNG THỨC MŨ, LOGARIT CƠNG THỨC MŨ STT a  a.a a n thuaso CƠNG THỨC LOGARIT STT n loga  a1  a a loga a  a0  a  loga aM  M a n  an a a n  n am loga (N1N2 )  loga N1  loga N2 N  loga    loga N1  loga N2  N2  loga Nb  b loga N loga N2  loga N loga N  loga b.logb N 10 logb N  loga N loga b logb a m  m n a am an  am n  a m n  n am loga N N am  am  n an (am )n  (an )m  am.n 10 (ab)n  an bn 11 a an    bn b 11 loga b  12 aM  N  M  loga N 12 logab N  13 a n Chú ý :  af (x)  ag(x) logb c loga N b logb a c  0  a    f(x)  g(x)   a    f(x),g(x) xacdinh  a0  af (x)  ag(x)   (a  1)  f(x)  g(x)   Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 15 Cơng thức tổng hợp 2016 G CƠNG THỨC NGUN HÀM Ngun hàm hàm số thƣờng gặp Ngun hàm hàm số thƣờng gặp  dx  x  C 2  kdx  kx  C  f (ax b)dx  a F(ax  b)  C   x dx  x 1  C,  1 (  1) 1 x e n x dx   dx  x  C (ax  b)n1  C  a  1 a n 1 1  n  1 x n  (ax b) dx   ax  bdx  ln ax  b  C  x   n1 C dx  e x  C x  a dx  x  x dx  ln x  C  ax  C (0  a  1) ln a  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C e ax  b dx  ax b e  C, (a  0) a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C (a  0)  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C (a  0) dx  tan(ax b)  C a cos2 (ax  b) 1 dx   cot(ax b)  C  a sin (ax  b)  1 dx  tan x  C cos2 x  dx   cot x  C sin x  Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 16 Cơng thức tổng hợp 2016 H PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Cho u   x; y; z   u  xi  y j  zk a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R A( x A ; yA ; zA ), B( xB ; yB ; zB ) a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) a1  b1  Điều kiện để hai vectơ a  b  a2  b2 a  b  a1  kb1  a phương b (b  0)  a  kb (k  R)  a2  kb2 a  kb   a1 b1  a2 b2  a3 b3 , (b1, b2 , b3  0) a, b phƣơng  [a, b]  Tích vơ hướng hai vectơ a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3 Độ dài vectơ a  a12  a22  a22 Góc hai vectơ cos(a, b )  a.b a.b  a1b1  a2 b2  a3b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32 (với a, b  ) Điều kiện vng góc hai vectơ a  b  a1b1  a2b2  a3b3  Vectơ tạo hai điểm: AB  ( xB  x A ; yB  yA ; zB  zA ) 10 Độ dài đoạn thẳng AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  (zB  zA )2  x  kxB y A  kyB zA  kzB  ; ; 11 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M  A  1 k 1 k   1 k  x  xB y A  yB zA  zB  ; ; 12 Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  A   2   x  xB  xC y A  yB  yC zA  zB  zC  ; ; 13 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: G  A  3   14 Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD:  x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD zA  zB  zC  zC  G A ; ;   4  15 Tích có hướng hai vectơ Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 17 Cơng thức tổng hợp 2016  a2 a3  b2 b3  a, b   a  b   ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2     a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3; a1b2  a2b1  b1 b2  16 Tích chất quan trọng tích có hướng [a, b]  a; [a, b]  b 17 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng  [a, b].c    AB, AD  18 Diện tích hình bình hành ABCD: S 19 Diện tích tam giác ABC: S ABC  20 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: VABCD A ' B 'C ' D '  [ AB, AD].AA ' 21 Thể tích tứ diện ABCD: VABCD  22 Chiều cao AH tứ diện ABCD: AH  ABCD 1  AB, AC  [ AB, AC ] AD 3.VABCD SBCD 23 Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác:  AB,AC khơng phƣơng 24 Bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng  ABCD tứ diện   AB,AC AD    25 Điều kiện để tứ giác ABCD hình bình hành  AB  DC 26 Phương trình mặt cầu: ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 - Phƣơng trình x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  với a2  b2  c2  d  phƣơng trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2  b2  c  d 27 Phương trình mặt phẳng - Phương trình tổng qt mặt phẳng Ax  By  Cz  D  với A2  B2  C  - Nếu () có phƣơng trình Ax  By  Cz  D  n  ( A; B; C) VTPT () - Phƣơng trình mặt phẳng qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n  ( A; B; C) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  - Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z    () cắt trục toạ độ điểm a b c (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 28 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = d  M0 ,( )   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 29 Góc hai mặt phẳng: Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 18 Cơng thức tổng hợp 2016 cos  ( ),( )   n1.n2 A1 A2  B1B2  C1C2  n1 n2 A12  B12  C12 A22  B22  C22 30 Phương trình đường thẳng - Phương trình tham số đƣờng thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) :  x  xo  a1t  (d ) :  y  yo  a2t z  z  a t o  - Nếu a1a2a3  (d ) : x  x0 a1 ( t  R)  y  y0 a2  z  z0 đƣợc gọi phương trình tắc d a3 31 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho đƣờng thẳng d qua M0 có VTCP a M M, a    d ( M , d )  điểm M a 32 Khoảng cách hai đường thẳng chéo cho hai đƣờng thẳng chéo d1 d2 d1 qua d (d1, d2 )  điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2  a1, a2  M1M2  a1, a2  33 Góc hai đường thẳng cho hai đƣờng thẳng d1, d2 lần lƣợt có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos  a1, a2   a1.a2 a1 a2 34 Góc đường thẳng mặt phẳng cho đƣờng thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C) Góc đƣờng thẳng d mặt phẳng () góc đƣờng   thẳng d với hình chiếu d () sin d ,( )  Biên soạn Hồng Ngọc Phú Aa1  Ba2  Ca3 A2  B  C a12  a22  a32 Page 19 Cơng thức tổng hợp 2016 I PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY Phương trình đường thẳng: với a2  b2  với VTPT n  (a; b) VTCP - Phương trình tổng qt: u  (b; a) u  (b; a) - Phƣơng trình đƣờng thẳng qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n  (a; b) pt  là: a( x  x0 )  b( y  y0 )  - Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:  qua hai điểm ( ) ( )( x y  1 a b  ) - Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: y  y0  k ( x  x0 )  qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k  x  x0  at - Phương trình tham số đường thẳng:   y  y0  bt (1) ( t tham số)  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (a; b) - Phương trình tắc đường thẳng: x  x0 y  y0  u1 u2 (2) (a  0, b  0)  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (a; b) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Cho đƣờng thẳng : ax  by  c  điểm M0 ( x0 ; y0 ) : d ( M0 , )  ax0  by0  c a2  b2 Góc hai đường thẳng - Cho hai đƣờng thẳng 1: a1x  b1y  c1  (có VTPT n1  (a1; b1 ) ) 2: a2 x  b2 y  c2  (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) )  (n1, n2 )  900 (n1, n2 )  (1, 2 )   0  180  (n1, n2 ) (n1, n2 )  90  cos(1, 2 )  cos(n1, n2 )  n1.n2 n1 n2  a1b1  a2 b2 a12  b12 a22  b22 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cho hai đƣờng thẳng 1: a1x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  cắt Phƣơng trình đƣờng phân giác góc tạo hai đƣờng thẳng 1 2 là: a1x  b1y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a22  b22 Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x  a)2  ( y  b)2  R2 Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 20 Cơng thức tổng hợp 2016 - Phƣơng trình x  y2  2ax  2by  c  , với a2  b2  c  , phƣơng trình đƣờng tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2  b2  c - Phương trình tiếp tuyến đường tròn cho đƣờng tròn (C) tâm I, bán kính R đƣờng  tiếp xúc với (C)  d (I , )  R thẳng  Elip: x2 - Phương trình tắc elip:  y2 a b - Toạ độ tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0)  (a  b  0, b2  a2  c2 ) - Với M(x; y)  (E), MF1, MF2 đƣợc gọi bán kính qua tiêu điểm M c c x, MF2  a  x a a - (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng MF1  a  - Toạ độ đỉnh: A1(a;0), A2 (a;0), B1(0; b), B2 (0; b) - Độ dài trục: trục lớn: A1 A2  2a ,trục nhỏ: B1B2  2b c (e < 1) a - Hình chữ nhật sở: tạo đƣờng thẳng x  a, y  b (MNPQ) (ngoại tiếp elip) - Tâm sai (E): e  - Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x  - Điều kiện tiếp xúc (E) - Với M  (E) ta có: MF1 d ( M , 1 ) a 0 e  MF2 d ( M , 2 ) e y 𝑀 𝐴 𝑎 𝑄 𝑏𝐵 𝐹 𝑐 O 𝑁 𝐹 𝑐 𝑏 𝐵 𝐴 𝑎 x 𝑃 Hypebol: - Phương trình tắc hypebol: x2 a  y2 b  (a, b  0, b2  c2  a2 ) - Toạ độ tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0) - Với M(x; y)  (H), MF1, MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 21 Cơng thức tổng hợp 2016 c c x , MF2  a  x a a - (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng - Toạ độ đỉnh: A1(a;0), A2 (a;0) - Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b c - Tâm sai (H): e  (e > 1) a - Hình chữ nhật sở: tạo đƣờng thẳng x  a, y  b MF1  a  b - Phương trình đường tiệm cận: y   x a - Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x  - Điều kiện tiếp xúc (H) a 0 e Parabol: - Phƣơng trình tắc parabol: y2  px (p > 0) p  - Toạ độ tiêu điểm: F  ;  2  - Phương trình đường chuẩn: : x  p  - Với M(x; y)  (P), bán kính qua tiêu điểm M MF  x  p - (P) nằm phía bên phải trục tung - (P) nhận trục hồnh làm trục đối xứng - Toạ độ đỉnh: O(0; 0) - Tâm sai: e = - Điều kiện tiếp xúc (H) Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 22 Cơng thức tổng hợp 2016 J HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I – Các hình bản: Hình chóp: a Hình chóp thƣờng Hình chóp thƣờng Hình chóp tứ giác b Hình chóp - Hình chóp tam giác (Hình tứ diện đều) + Đáy tam giác + Tất cạnh bên + Tất mặt bên tam giác cân + Chân đƣờng cao trùng với tâm mặt đáy(Tâm đáy trọng tâm ABC) + Tất góc tạo cạnh bên mặt đáy + Tất góc tạo mặt bên mặt đáy + Chú ý:  Diện tích  Đƣờng cao đều: đều: ( ) √ ( )√ - Hình chóp tứ giác + Đáy hình vng + Tất cạnh bên + Tất mặt bên tam giác cân + Chân đƣờng cao trùng với tâm mặt đáy(Tâm đáy giao điểm hai đƣờng chéo) + Tất góc tạo cạnh bên mặt đáy + Tất góc tạo mặt bên mặt đáy Hình trụ: Lăng trụ thƣờng Biên soạn Hồng Ngọc Phú Lăng trụ đứng Hình lập phƣơng Page 23 Cơng thức tổng hợp 2016 - Diện tích xung quanh ( hay diện tích hình trụ) - Thể tích khối trụ Hình cầu: - Thể tích khối cầu V   R3 - Diện tích hình cầu S  4 R2 Hình nón: - Diện tích xung quanh hình nón: Với p chu vi đáy, q độ dài đƣờng sinh( hay khoảng cách từ O tới cạnh đáy) - Thể tích khối nón: II – Các phƣơng pháp chứng minh: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Cách 1: Chứng minh đƣờng thẳng d vng góc với hai đƣờng thẳng cắt mặt phẳng(P) { ( ) ( ) Cách 2: Sử dụng định lí: “Nếu hai mp vng góc với đƣờng thẳng nằm mp vng góc với giao tuyến vng góc với mp kia” ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) Cách 3: Sử dụng định lí: “Nếu hai mp phân biệt vng góc với mp thứ giao tuyến chúng vng góc với mp đó” ( ) ( ) {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 24 Cơng thức tổng hợp 2016 Chứng minh hai đường thẳng vng góc: ta chứng minh đƣờng thẳng vng góc với mp chứa đƣờng thẳng ( ) { ( ) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc: chứng minh mp chứa đƣờng thẳng vng góc với mp ( ) { ( ) ( ) ( ) III – Các vấn đề góc: Góc hai đường thẳng cho hai đƣờng thẳng d1, d2 lần lƣợt có VTCP a1, a2 Góc cos  a1, a2   d1, d2 bù với góc a1, a2 a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng cho đƣờng thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C) Góc đƣờng thẳng d mặt phẳng () góc đƣờng thẳng d với hình chiếu d ()   sin d ,( )  - Gọi góc cần tìm Aa1  Ba2  Ca3 A2  B  C a12  a22  a32 + Tìm giao điểm O đƣờng thẳng d mp(P) + Tìm đƣờng thẳng vng góc từ đƣờng thẳng d xuống mp (P) + OH hình chiếu d lên (P) + Vậy (̂) Góc hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng (), () có phƣơng trình: (): A1x  B1y  C1z  D1  (): A2 x  B2 y  C2 z  D2  Góc (), () bù với góc hai VTPT n1, n2 cos  ( ),( )   Biên soạn Hồng Ngọc Phú n1.n2 n1 n2  A1 A2  B1B2  C1C2 A12  B12  C12 A22  B22  C22 Page 25 Cơng thức tổng hợp 2016 IV – Các vấn đề khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho đƣờng thẳng d qua M0 có VTCP M M, a    d (M , d )  a a điểm M Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm đƣờng thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mp đến mp Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: cho hai đƣờng thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 Trƣờng hợp 1: a, b chéo a d (d1, d2 )   a1, a2  M1M2  a1, a2  b Khi đó: a + Tìm mp (P) { A + Từ A kẻ AB b B + AB đoạn vng góc chung a b Vậy ( b ) B Trƣờng hợp 2: a, b chéo đồng thời có mp(P) chứa b song song với a a A M + Lấy M thuộc a, kẻ MH (P) H + Từ H dựng a’ // a, cắt b B + Từ B dựng đƣờng thẳng // MH cắt a A + AB đoạn vng góc chung a b a’ b H B ) Vậy ( ( ( )) Trƣờng hợp 3: tổng qt b a A B b’ O H Biên soạn Hồng Ngọc Phú + Dựng mp (P) vng góc với a O Dựng hình chiếu vng góc b’ b (P) + Dựng hình chiếu vng góc H O b’ Từ H dựng đƣờng thẳng // với a cắt b B + Từ B dựng đƣờng thẳng song song với OH, cắt a A + AB đoạn vng góc chung a b ) Vậy ( Page 26 Cơng thức tổng hợp 2016 K SỐ PHỨC Khái niệm số phức - Tập hợp số phức: C - Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b  R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) - z số thực  phần ảo (Imz) z (b = 0) z ảo  phần thực (Rez) z (a = 0) - Số vừa số thực vừa số ảo a  a ' - Hai số phức nhau: a  bi  a’  b’i   (a, b, a ', b '  R) b  b ' Các phép tốn tập số phức - Cộng trừ số phức:   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i  Số đối z = a + bi –z = –a – bi  u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u  u ' biểu diễn z + z’ u  u ' biểu diễn z – z’ - Nhân hai số phức :   a  bi  a ' b ' i    aa’– bb’   ab’  ba’ i  k(a  bi)  ka  kbi (k  R) - Chia hai số phức: z' z' z '.z z '.z  z1    z ' z1    w  z '  wz z (z  0)  2 z z z.z z z Số phức liên hợp số phức z = a + bi z  a  bi z  z  z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';    ;  z2  z2  z số thực  z  z ; z số ảo  z   z Mơđun số phức : z = a + bi z.z  a2  b2  z  a2  b2  zz  OM  z  0, z  C , z 0z0  z.z '  z z '  z z  z' z'  z  z'  z  z'  z  z' Căn bậc hai số phức:  - z  x  yi bậc hai số phức w  a  bi  z2  w   x  y  a  xy  b - w = có bậc hai z = - w  có hai bậc hai đối - Hai bậc hai a >  a - Hai bậc hai a <  a i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trƣớc, A  )   B2  AC    : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2  Biên soạn Hồng Ngọc Phú B   , (  bậc hai ) 2A Page 27 Cơng thức tổng hợp 2016 B 2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) z0 nghiệm (*)    : (*) có nghiệm kép: z1  z2   Dạng lượng giác số phức:  r  a2  b2  a  z  r(cos   i sin ) (r > 0) dạng lƣơng giác z = a + bi (z  0)  cos   r  b sin    r   acgumen z,   (Ox, OM )  z   z  cos  i sin  (  R) - Nhân, chia số phức dạng lượng giác : cho z  r(cos   i sin ) , z '  r '(cos  ' i sin  ') :  z.z '  rr '. cos(   ')  i sin(   ')  z r   cos(   ')  i sin(   ') z' r ' - Cơng thức Moa–vrơ: n  r(cos   i sin )  r n (cos n  i sin n) , ( n  N * ) n   cos   i sin   cos n  i sin n - Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:  Số phức z  r(cos    i sin ) (r > 0) có hai bậc hai là:    r  cos  i sin   2          r  cos  i sin   r  cos      i sin       2  2   2  Mở rộng: Số phức z  r(cos    i sin ) (r > 0) có n bậc n là:   k 2   k 2  n  r  cos  i sin  , k  0,1, , n  n n   Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 28 [...]...  b  y'  2 cx  d  cx  d  2 a1x  b1x  c1 a2 x2  b2 x  c2  y'  a1 a2 b1 2 a1 x  b2 a2 a x 2 2 c1 b x 1 c2 b2  b2 x  c2  c1 c2 2 Page 14 Cơng thức tổng hợp 2016 F CƠNG THỨC MŨ, LOGARIT CƠNG THỨC MŨ STT 1 a  a.a a n thuaso CƠNG THỨC LOGARIT STT n 1 loga 1  0 2 a1  a a 2 loga a  1 3 a0  1 a  0 3 loga aM  M 4 a n  1 an 4 a 5 a n  n am 5 loga (N1N2 )  loga N1  loga N2 6 N... 2  Tƣơng tự dạng trên Khi tìm x cần lƣu ý phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  Lƣu ý dấu: Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 13 Cơng thức tổng hợp 2016 E CƠNG THỨC ĐẠO HÀM 1 Quy tắc cơ bản: (  (C)’ = 0  u  uv  vu    v v2  (uv)  uv  vu ) 2 Bảng cơng thức tính đạo hàm: (kx )  k (ku)  ku (xn) = n.xn–1 (un) = n.un–1(u)’  1  1    2 x x  1  u    2 u u  x  ...  sin x  0  x  k (k  Z ) Biên soạn Hồng Ngọc Phú  cos x  0  x   2  k (k  Z ) Page 11 Cơng thức tổng hợp 2016  tan x  0  x  k  (k  Z )  cot x  0  x  k  (k  Z ) 2 2 2 Một số dạng phương trình lượng giác: - Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: vận dụng các cơng thức trên để giải - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: asin2 x  b sin x  c  0 Điều... c 1 loga N b logb a c  0  a  1   f(x)  g(x)   a  1   f(x),g(x) xacdinh  a0  af (x)  ag(x)   (a  1)  f(x)  g(x)  0  Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 15 Cơng thức tổng hợp 2016 G CƠNG THỨC NGUN HÀM Ngun hàm của những hàm số thƣờng gặp Ngun hàm của những hàm số thƣờng gặp  dx  x  C 2  kdx  kx  C  f (ax b)dx  a F(ax  b)  C   x dx  x 1  C,  1 (  1) 1...Cơng thức tổng hợp 2016  sin x  0  x  k (k  Z )  sin x   1  x    2  sin x  1  x   2  k 2 (k  Z )  k 2 (k  Z )  sin x   1  sin2 x  1  cos2 x  0  cos x  0  x   2  k (k ... 0 (3) Vì x    k 2  b  c  0, nên (3) có nghiệm khi:  '  a2  (c2  b2 )  0  a2  b2  c2 Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phƣơng trình: tan Biên soạn Hồng Ngọc Phú x  t0 2 Page 12 Cơng thức tổng hợp 2016 - Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx : dạng  Cách 1:  Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay khơng?  Lưu ý: cosx = 0  x   k  sin2 x  1  sin x   1 2  Khi cos... x  sin x  2.cos  x  ; t  2  4 1  t 2  1  2sin x.cos x  sin x.cos x   (t 2  1) 2  Thay vào phƣơng trình đã cho, ta đƣợc phƣơng trình bậc hai theo t Giải phƣơng trình  Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc (1)  a này tìm t thỏa t  2 Suy ra x     + cos x  sin x  2 cos  x    2 sin  x    4  4     + cos x  sin x  2 cos  x     2 sin  x    4  4  Dạng 2: a.|sinx... cos(ax  b)  C (a  0) 1 dx  tan(ax b)  C a cos2 (ax  b) 1 1 dx   cot(ax b)  C  2 a sin (ax  b)  1 1 dx  tan x  C cos2 x 1  2 dx   cot x  C sin x  Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 16 Cơng thức tổng hợp 2016 H PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Cho u   x; y; z   u  xi  y j  zk a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R A( x A ; yA ; zA ), B( xB ; yB ; zB ) 1 a  b  (a1 ... A  3 3 3   14 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:  x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD zA  zB  zC  zC  G A ; ;   4 4 4  15 Tích có hướng của hai vectơ Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 17 Cơng thức tổng hợp 2016  a2 a3  b2 b3  a, b   a  b   ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2     a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3; a1b2  a2b1  b1 b2  16 Tích chất quan trọng của tích có hướng [a, b]  a; [a, b] ... 0; c) 28 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0 d  M0 ,( )   Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 29 Góc giữa hai mặt phẳng: Biên soạn Hồng Ngọc Phú Page 18 Cơng thức tổng hợp 2016 cos  ( ),( )   n1.n2 A1 A2  B1B2  C1C2  n1 n2 A12  B12  C12 A22  B22  C22 30 Phương trình của đường thẳng - Phương trình tham số của đƣờng thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; ...Cơng thức tổng hợp 2016 E CƠNG THỨC ĐẠO HÀM 14 Quy tắc 14 Bảng cơng thức tính đạo hàm 14 F CƠNG THỨC MŨ, LOGARIT 15 G CƠNG THỨC NGUN... a x 2 c1 b x c2 b2  b2 x  c2  c1 c2 Page 14 Cơng thức tổng hợp 2016 F CƠNG THỨC MŨ, LOGARIT CƠNG THỨC MŨ STT a  a.a a n thuaso CƠNG THỨC LOGARIT STT n loga  a1  a a loga a  a0  a ...  Sn  nu1  n  S  u1(1  q )  n 1 q (q: cơng bội) với q  với q  Nhị thức Niutơn: - Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: (a  b)n  n  Cnk ank bk k 0