bài tập mũ và logarit với biểu thức

Tài liệu bao gồm một số bài tập về phương trình logarit có đáp án và lời giải chi tiết.

MŨ VÀ LOGARIT VỚI BIỂU THỨC a. Tính B = 1. Sử dụng công thức 1 1 với x = 2007!    .  log x log x log x log 2007 x  log a b , 2007 ! > nên ta có : log b a log x  log x  .  log x 2007 = log x (2.3 .2007) = log x x =1 b. Tương tự câu a. c. Tính C = log tan10  log tan 20  log tan 30  .  log tan 890 Ta có log tan10  log tan 890  log1  log tan 20  log tan 880  log1  . log tan 440  log tan 460  log1  log tan 450 = 0. Do C = ln x x  1;e3  6. Tìm GTNN hàm số: y  x ln x ln x(2  ln x) y  f (x)  x  1;e3  f (x)  f (x)   x   x  e2 x x f(1)=0; f (e2 )  ; f (e3 )  e e GTNN f(1)=0; GTLN f (e2 )  7. Cho hàm số y  e x  sin x  y  f ( x)  e x  sin x  x2 Tìm GTNN hàm số CMR f(x)=3 có nghiệm. x2 f ( x)  e x  cos x  x f ( x)  e x  sin x       Suy f’(x) đồng biến R, f’(0)=0 Suy f’(x)>0 x>0 f’(x) 0, y > 0. x x2  x Dùng tính chất để x = y xét hàm số f  x   e x  x2   2007 . Nếu x < 1 f x   e 1  2007  suy hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x > dùng định lý Rôn với x0 = f(2) < để suy điều phải chứng minh. b a 1 19. Cho a  b  . Chứng minh  2a  a    2b  b   BĐT    1 ln  2a  a  ln  2b  b  1 2    .  b ln  2a  a   a ln  2b  b    a b     Xét ln  x  x    f  x  x với x > Suy f’(x) < với x > 0, nên hàm số nghịch biến với a  b  ta có f (a)  f b (Đpcm). 20. Rút gọn biểu thức sau : a. A  a  a  a  a  a  a  A  a  a 1 a  a 1 a  a 1 = a 1 a a 1 a a  a 1     = a   a a   a   a     ab    =  a  2.3 ab   a 3 b  b   :   a  c. C   1  b   a  C   1  b    1      2a   a  a  a    a 3 b   =    a 3 b 3 a  b. B    ab  :  a b   ab  B    ab  :  a b    a 3 b 1      a .3 b  a b  b      ab  :    a 3 b  1 a 1 . 2 b a 1 a 3 a 1 . 2  a . 2 = b b b d. D  Hoàng Ngọc Phú 3 2 .31 Page 3 D 2 = 1 3 .33 .3 2 e. E  E a  1 1 a  .a 3 = 10 2 2 = 1 .3 1 a 7  3 10 2 2 a4  1 a 2 .51 2 .5 2 g. G = 1 a  .a 3 a 51 .5  21.3  18 1 a  f. F  F 1  51  .5 75 3 75 G      G      3.3  .3  .G  G  3G  14   G  42  42 h. H = H  42  42 = i. K =   1    1  1  1     1   1   80   80 K   80   80  K   80   80  3.3  80 .3  80 .K  K  3K  18   K  23. a/ Từ giả thiết : a2  c2  b2   c  b  c  b    log a  c  b   log a  c  b  2 1   2log c b a.log c b a  log c b a  log c b a log c b a log c b a b/ Nếu số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta có : b2  ac Lấy lo ga rít số N vế : 1 1    logb N log a N log c N logb N log a N  logb N logb N  log c N log a N log a N  logb N . ( đpcm )     log a N .logb N log c N .logb N log c N log b N  log c N c/ Nếu : log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng log x a  log z c  2log y b  2log N b  log N a  log N c   2log a x.log c z 1    logb y  log a x log c z logb y log a x  log c z  ab  d/ Nếu : a  b  7ab   a  b   9ab     ab . Lấy lê be vế ta có :    ab  a  b  ln a  ln b 2ln    ln a  ln b  ln       24. Hoàng Ngọc Phú Page a. Cho số dương a, b thõa mãn a  4b  12ab . CMR: loga  2b  log  log a  log b a  4b  12ab  a  2b  16ab . Do a, b dương nên a  2b  ab . Khi logarit số 10 hai vế ta loga  2b   log  log ab hay loga  2b  log  b. Cho a = 10 1logb , b = 10 1log c . CMR: c = 10 log a  log b 1log a Giả sử a,b,c đêu dương khác 10. Để biểu diễn c theo a, ta rút logb từ biểu thức a = 10 vào biểu thức b = 10 a = 10 1logb  log a  Mặt khác, từ b = 10 1log c 1logb ( sau lấy logarit 10 vế) ta có: 1 .  log b    log b log a 1log c suy log b  . Do :  log c 1 log a 1 . Tù suy c = 101log a 1    log c   1  log c  log a  log c log a  log a  1  log a c. CMR: < log  log  AD BĐT Cauchy cho số dương ta có : log  log  log 3.log   ( không xảy dấu “=” log  log ). Mặt khác ta lại có : log  log  5  log     log 22  log    2 log  1log  2  (*) log Hơn nữa, log  log 2 nên log   . Mà log  log nên log   Từ suy (*) đúng. Vậy ta có đpcm. d. Cho a, b  . CMR: Vì a, b  nên ln a, ln b, ln ln a  ln b ab  ln 2 ab không âm. AD BĐT Cauchy ta có : ln a  ln b  ln a.ln b Suy 2ln a  ln b  ln a  ln b  ln a.ln b  Mặt khác Hay  ln a  ln b  ab ab ab  ab  ln  ln a  ln b  . Từ ta có ln  ln a  ln b  2 2 ln a  ln b ab  ln 2 Hoàng Ngọc Phú Page e. CMR: log 2006 2007  log 2007 2008 . Hãy phát biểu chứng minh toán tổng quát. Ta CM toán tổng quát log n n  1  log n1 n  2, n  Thật vậy, từ n  12  nn  2   nn  2  suy log n12 nn  2   log n1 nn  2   log n1 n  log n1 n  2  2 AD BĐT Cauchy ta có :  log n1 n  log n1 n  2  log n1 n.log n1 n  2 Do ta có  log n1 n  log n1 n  2 log n n  1  log n1 n  2 n  25. Cho f x   Hoàng Ngọc Phú 4x      2006  . Tính S = f   f    .  f   x 2  2007   2007   2007  Page . biến vậy với 0 ba ta có   bfaf )( (Đpcm). 20. Rút gọn biểu thức sau : a.     111 44  aaaaaaA     111 44  aaaaaaA =     111 44  aaaaaa = .  11211 22  aaaaaaaaa b.   2 333 33 : baab ba ba B                2 333 33 : baab ba ba B              =         2 333 33 2 333 2 333 : . baab ba bbaaba                     . 2 ln,ln,ln ba ba  không âm. AD BĐT Cauchy ta có : baba ln.ln2lnln  Suy ra     2 lnlnln.ln2lnlnlnln2 babababa  Mặt khác   ba ba ab ba lnln 2 1 2 ln 2     . Từ đ ta có 