Tuyển tập các bài toán hệ phương trình (hay có đáp án chi tết)

Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC năm 2016 gồm : 1) Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. 2) Phần II. Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá. 3) Phần III. Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2015. Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết Nguyễn Thế Duy trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và giải quyết nó một cách dễ dàng.

Lời nói đầu : Cũng tiêu đề viết , viết gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC năm 2016 gồm : 1) 2) 3) Phần I Các toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số Phần II Các toán sử dụng phương pháp đánh giá Phần III Phân tích hướng hai toán Khối A Khối B năm 2015 Toàn toán sưu tầm mạng xã hội lời giải tác giả viết Nguyễn Thế Duy trình bày Hi vọng mong muốn bạn có nhiều phương pháp giải hệ phương án đối mặt gặp để biến toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa giải cách dễ dàng Phần I Các toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàmsố x  y 2    xy x  y xy Bài toán Giải hệ phương trình :  x  y    x  2x xy   Lời giải Điều kiện : x  y  ; xy  Phương trình đầu hệ phương trình viết lại thành : x  y   2xy   x, y    x y  2  0 20  xy x  y xy xy xy x  y  x y  x y  1 x  y   0  2 xy xy x  y  x  y   Với x  y  xuống phương trình hai có :       2  y  1 x  3 3x  4x        x  3 y 2  Với  x  y  x  y xuống phương trình hai có :    1  2x  x  x  y    x 1 x  y2 2    x  0   x  y2   x   ptvn  y  2  1  2    ;  ;  ;      3     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : x, y   x3  y  3x  6x  3y   Bài toán Giải hệ phương trình :   x  y   x  y   x  5x  12y  Lời giải Điều kiện : x  ; y  1    Phương trình tương đương với : 3      x  3x  6x   y  3y  x   x   y  3y  y  x  Thế vào phương trình hai ta : x, y   x  1 x   x  6 x   x  7x  12  x  1 x    x   x    x  x 1  x6  x     x  4   x2 2 x7  2x   x   suy : x   Do x  nên  x 1 x2 2  x 2 x 2  x  x 6   x4  0      x73  x73 x  2  x 2 2 x6      Từ suy x, y  2, nghiệm hệ phương trình   2x  xy  x   x  3y  y  x  y  Bài toán Giải hệ phương trình :  2 4x  y  4xy  6x  3y   x, y    Lời giải Điều kiện : 2x  xy  x   ; x  3y  y  Xử lý phương trình hai có : y  2x  4x  y2  4xy  6x  3y    2x  1 y 2x   y    y  2x   Với y  2x  xuống phương trình hai :    4x  x   4x  x   3x   3x 4x  x   4x  x 2  4x  x   4x  x    4x  x   3x  x x x   2x 4x  x   3x     x 1 2  4x 4x  x   3x    Với y  2x  xuống phương trình hai :    4x   4x2  3x   3x  Ý 2 1 Do hệ phương trình có nghiệm x, y  1, ;  ,   3 3  xy   x  y  y  xy  x  y Bài toán Giải hệ phương trình :   x  y  xy  x  x   tưởng giải tương tự trường hợp ta x           Lời giải Điều kiện : x, y  ; xy  x  y Chúng ta có :  xy  x  y  xy      xy   x y y   xy  x  y x, y     xy   y   x   y 0 x  y  xy y  xy  0    0   x  y xy  x  y xy   y x  y xy   y  xy  x  y   4   x   x   Từ phương trình hai : y  xy  x  x    2 x  1 x  1   xy y      xy       Hay nói cách khác : y  y  xy  xy     xy  x  y    0 x y xy   y Do từ phương trình x  y  suy xuống phương trình hai ta : x  y  x  y     x  y   17 x  2x  3x    Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể  x  xy   y    2y2  Bài toán Giải hệ phương trình :  2  x  y  y      x, y     Lời giải Điều kiện : xy  1 ; y  2 Cộng chéo theo vế hệ phương trình ta :     x   xy   y    2y  x  y  y   x   xy   y    2y2  x  2y2  2xy  2y 2  xy   y   y  xy    xy     y   xy  y      xy  y    xy  y    1   xy   y   xy   y    Với xy  y  kết hợp với phương trình hai có : xy  y       xy  y 1    2  1    ;   1,  x  y  y    x, y  2, ;  1  2,  2  2    xy  1 ; y  2          Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể    2y2  4xy  3y  4x   y  y  2x  Bài toán Giải hệ phương trình :    y   y  2x  y  x   Lời giải Điều kiện : y  ; y  2x  Bình phương phương trình hai ta : Phương trình viết lại thành : 2y2  x, y    y  1 y  2x    y  1 y  2x  14  3y   4x y  1  y  1 y  1 y  2x  Từ hai điều suy :    y1  2y  3y   y  y   2y   y    y 1          y   y    41   23  ,  ;  ,2    72   24  Do hệ phương trình cho có nghiệm x, y      x  3y  x  y  2x 2y    Bài toán Giải hệ phương trình :  x   x  y  9y  Lời giải Điều kiện : x  y ; 2y  x, y   a  x  y 2x  2a2  b2 1    x  y  a  x  3y  2b2  a2  hệ phương trình trở thành : Đặt b  2y    2y   b x  9y  a2  4b2  a,b      a  2b2  a  b2  2a  b  a  a  2b       2 2 b  a  2a   4b  a  2b  a  b  2a  b  x  y  x  nghiệm hệ phương trình   Do suy :  2y   y               y x  y  x  y  y  x   Bài toán Giải hệ phương trình :  2 x y   y x    Lời giải Điều kiện : x  y  x  x, y     a  x  y  a2  b2  x phương trình hệ phương trình trở thành : b  y Đặt  b         a  a  b  a  b2   a  b  a  b   Phương trình hai hệ phương trình viết lại thành :    x y    y x   x y   16x y   64  y x    x  2x y   y    x  y  0x   y2  a  x  y  x  y  x  4,   ta có :    2 y  3, x  y  x  y  y   y  b  y  x    Với  ta có :   2 y  x  y  x  y   Với   Với a  b    x  y  y   phương trình vô nghiệm     xy  y  7   2 Kết hợp với điều ta nghiệm hệ phương trình x, y  3, ;  ,    x  y  x  y  2xy   Bài toán Giải hệ phương trình :  xy x  y   x  y  4x y   4y x   Lời giải Điều kiện : x, y   x, y    Phương trình viết lại thành : x  y   x  y  2xy  x  y   2xy 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :     2x y   x2  4y    4x y   4y x   x  y  x  y   2y x   y  4x    Từ điều kết hợp với phương trình hai đa :           Từ 1 2 suy : x  y  4 x  y  12 x  y  16   x  y  4   xy x  y   x2  y2  x  y   x  y  2xy x  y  16  12 x  y  2  0 xy 2x  y   Dấu = xảy 2y  x   x  y  nghiệm hệ phương trình  x  y   x  y  2y   x  y  x, y   Bài toán 10 Giải hệ phương trình :  y   xy  y   Lời giải Điều kiện : x  y    a  x  y  a2  b  x  y  , phương trình trở thành : a 2 b  a  b  b  2y  Đặt  Từ cách đặt, ta có : a  x  y x  y  a2   a2b2  a2  b2  x  y   x  y  2y   b b  2y    2y  1  2xy  2y  2y 1 Mặt khác , từ phương trình hai : 2xy  2y  2y  nên suy a2b2  a  b2  Do ta có hệ phương trình : a2  b2  a  b   a  b  1  2 2 a  b  a b  Bài toán 11 Giải hệ phương trình : x    nghiệm hệ phương trình ban đầu  y     x  y y  y x  y   x  xy  y x y  3x   2x  3x y      x, y    Lời giải Điều kiện : x  y    a  x  y phương trình trở thành : b  y Đặt           ab a  b  ab  a  b   ab a  b   a  b  a  b   ab  a  b  Với ab  a  b  ta có :     y  1   xy  y2   x  y  y  xy  y 2  x  x y   y  Đặt t  x y    y  t  xuống phương trình hai có : x t   3x   2x  3x t   t  x  t  x     x           y   x  y 1   y   1  y   1  TH1 Với y  vào phương trình  ta có : x  x   TH2 Với x  y  vào phương trình  ta có :  y  1 y   1   y     y    y 1   y 1   y  y  1 y   1   y     y    y    vô nghiệm V T Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x, y  1,1 ; 2,1   0   y3  y  x  y  2y   Bài toán 12 Giải hệ phương trình :  2 y  y  y   2y  y x  y  y x  Lời giải Điều kiện : x  y Khi phương trình hai có dạng :  y y x y   x, y    y  y x  y  yy xy20  y  y x  y  2  Xử lý phương trình :  y  1 x y    y  y   2 x  y Với y  1thế xuống phương trình hai suy x   Với y  y   2 x  y ta có : y  1y    y 1 2 y 1 y  y   2 x  y y2  y   2 x  y    Hệ phương trình :  2y  2y x  y   y  y  y   2 y  y   2 x  y y  y   2 x  y  Hệ phương trình :  y  2y x  y  4   y3  y2  3y   2     Kết hợp với điều kiện, nghiệm hệ phương trình ban đầu thỏa mãn điều       x x  y  x  y  x   Bài toán 13 Giải hệ phương trình :  2 x  2x  x  xy  xy  y  17 x, y    Lời giải Điều kiện : x  y x    a  x  y phương trình trở thành : a b2   b a2   b  x  Đặt     Mặt khác phương trình hai biểu diễn dạng :  x  xy    2x  y  21  ab  2  a  b 2 2 2    21 ab a  b  a  b   Khi hệ phương trình cho tương đương  2  ab   a  b  21  2ab        t u   ut  t  t  a  b u     Đặt  , ta có :    2 u  ab t   u   t  21  2u  u   t  21  2u  Vậy nên x  y,   x nghiệm phương trình: X  X  3X      X 2  x  x   y  3 or  y       1, 3 ; 4, 3 Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x, y x  3y3  3x 2y  xy2  x  3y  Bài toán 14 Giải hệ phương trình :  2x  3x  36y   x 27y3  x   Lời giải Điều kiện : x, y  Chúng ta có : x, y      x  3y3  3x2y  xy  x  3y  x  3y x  y  x  3y    x  3y x   y    x  3y  x  9y  x  27y 2 Thế vào phương trình hai ta :  3x  4x   x  2x  x  3x  3x  x   x  2x  x  x2  x     x  3x       x  2x  x  x  3x      x  2x  x     3x  1 x   x   x  2x   x      1   3 x    x 2   ptvn  0  1   1  , ; ,   ;  3 3  3 3    x 2x  y 22  y 16  2x  Bài toán 15 Giải hệ phương trình :  2 x  y  x   x  y  11  Lời giải Điều kiện : x  ; x  y  11    x  x2  x 2 x  x x Do hệ phương trình có nghiệm : x, y  1,  x  2x  x x      x, y    Phương trình cho trở thành :      x  2y x  2x y  4y  x y x  2y    x  2y 2x  x 4y2  16y  2x 2y  x6  8y  x 2y2 x2  2y  2 2 2 Với x  2y xuống phương trình hai có : x  2x   x  x  2x  22 x   x  2x   x 1  x  2x  22    x  3   x1 x1 x 1  x  1 x  3 x  2x  22  0 Mặt khác : x 3 x3     x3 x  2x  22  x1 x  2x  22  x  2x  22  Do x   y  nghiệm hệ phương trình   y  2x  y  x  x  xy  Bài toán 16 Giải hệ phương trình :  x  y  2xy  3x    Lời giải Điều kiện : 2x  y   Xét phương trình , ta có : y  1 2x  y  x  y  1x       x1 x, y    x  1  x  x  xy   y  2x  y  y   2x  y  x   2x  y  Mặt khác , từ phương trình hai : 3x   x  y x    x  2x  y  y1    x  hay x   2x  y  suy x  y y   x   2x  y  x  y  2x  y   2 x  y  2xy  2x y x  y  2xy  2x  y  Kết hợp với phương trình hai ta : x  y  2xy  3x    x  y ; 2x  y  x   y      Vậy x,y  2,0 nghiệm hệ phương trình ban đầu  Bài toán 17 Giải hệ phương trình :     y 1 x2   y     2   x  4y x    x  1      x,y   x  1 y  1   Lời giải Điều kiện : x  ; y  a  x   x  a2    hệ phương trình cho trở thành : b y   b  y     3  a  b b2  ab  b  ab  b     2 2 2 a  4ab   5a b a  4ab  3ab  3b  5a b  a  4b  a   5a  ab  ab2  b3  a  3b a  a  b a  3b       2 3 b 1 ab  b  a  7ab  5a b  3b  ab  b      a   x    x  10  x, y  10, ;  10,  Với  ta có :   b  y   y   Đặt                    x, y   x x  y  x  y  2y 2y   Bài toán 18 Giải hệ phương trình :  8x  8y  x  y   8y 2x  3x    Lời giải Điều kiện : x  y  ; y    Từ phương trình có :     x x  y  x  y  2y2  2y  x2  xy  2y2   x  y  2y  x  y  xy 0   x  y x  2y  x  2y  0  x  y  2y  x  y  2y   nên  vônghiệm Mặt khác với điều kiện : x  y  ; y  x  y  y  x  y  2y Với x  y  phương trình hai trở thành :       8x  8x   8x 2x  3x   x  2x  3x   2 2x  3x   x    2 2x  3x   4x  x    3 Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm : x, y            2x  1 2  13 1  13  13      ; ; ;      4     x  y  x   x   x y2  Bài toán 19 Giải hệ phương trình :  x  x   y  y x      Lời giải Điều kiện : x  ; x  y  Đặt t  x, y    x10 x    x  t  phương trình trở thành :   t  t  y   t  t   y2  t  t  y   t   t  y2  t t y1 t 1   t  t  y   t 1   y t   Từ phương trình hai 2có : x 1 1  y y   Do suy :  y  t ta có : y  t  y   t  y t y  t   t t y 1 t 1   y t y  t    x    y  y   y  0;1  y  t    t  y   t   hay nói cách khác từ phương trình x  xuống phương trình hai thì: y  x   y  x     5 1  ,  x, y  1, ;        y   y  y y  y  2y             Do hệ phương trình có nghiệm kể   y  y   3x  x   Bài toán 20 Giải hệ phương trình :     x  y   Lời giải Điều kiện : x  y ; x   x2 x  y  2y   x, y   a  x  y  a  b2  2y phương trình hai trở thành : b  x  y  a  b  a  b2    a b   b2  5b  Đặt       a b  1  b  1 b  4  a  b   x  y   xy Mặt khác , xét phương trình có :    x  x  2 3 x 2 4 x2  y   x   1   y 33  y  x   y y x  y3  x21 y  x21 Do hệ phương trình ban đầu trở thành : 2  x  y   x  y x   y   x   y   y   y 2  y  y      y   x   x   y    x2 y1   2  3y  y  y   y  3y   y x  y   y y1       y   x   y    x   y    x   y            Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm x, y  3,  x y   x x  y  Bài toán 21 Giải hệ phương trình :  2 4x  9y  16  9xy  7x  9y  Lời giải Điều kiện : x  y  x, y      a  x  y  a2  b2   x có : pt  a  b a  b2   b  y  Với điều ta đặt a2b2  xy  y  y  x mặt khác từ phương trình hai ta có :    Đặt     4x  16x  16  xy  y  y  x  x     9a 2b2 2a2  2b2   3ab 2x   3ab   2a  2b2   3ab  2x   3ab   Như hệ phương trình cho trở thành :        a  b a  b2    a  b a  b2   or   2 2a  2b2   3ab 2a  2b   3ab   Giải hai hệ phương pháp ẩn phụ cho ta nghiệm hệ ban đầu : x, y    2, 2 ; 2,1  y  8x   xy  12  6x   Bài toán 22 Giải hệ phương trình :   x  y  10x  6y  12  y  x    x, y     Lời giải Điều kiện : x  2 ; y  ; y  8x  x   x  y   10x  6y  12   x   y     x   y    x     y    x   y   x   y    x   y    x   y    x   y    x   y  x   y   y  x   Xử lý phương trình hai ta có : x  y  10x  6y  12  y  2 2 2 2 2 Với y  x  nên phương trình ta : x  4x  13  x  4x  12   x   y  Sở dĩ phương trình cuối dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta giải dễ dàng Do hệ phương trình ban đầu có nghiệm x, y  2,      x y   y x   x, y   Bài toán 23 Giải hệ phương trình :  2 x y  16x  16y  12  20xy  Lời giải Điều kiện : x, y   Đặt a  x    x  a2  phương trình trở thành :   y  b  b  y   a          b  b2  a   ab a  b  a  b   a  b ab   Xét phương trình hai :   x 2y  16x  16y  12  20xy  xy        16 x  y   16xy  xy  2   y  1  16 xy  x  y  1 16a b nên ta có : xy  2  16a b  xy   4ab  a  1 b  1   4ab Mặt khác : a2b2  x    16 xy  x  y  2 2 2         a2b2  a2  b2  4ab   x,y  1,2 a  0,b  Cuối ta hệ phương trình :    a  1,b   a  b ab    x, y  2,1   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm kể   Bài toán 24 Giải hệ phương trình :     2x  y 4x  2y   x 2y2  xy  x  y  7x   2 2 2  x y  x  y  xy  yx  x,y     Lời giải Điều kiện : x  y ; xy y  x  Từ phương trình ta có :   4x  y  2x  y  x 2y2  xy  x  y  7x  x  2y2  2x  y  x 2y2  xy  x  y       x  2y  2x  y  x  y y  x    x  y  x  y y  x   y  x    x  2y  2x  y  x y  x  y y  x  2 2  x 2  y  y2  x  x 2   y  y2  x  x  y   x  y  y2  x   x  y  y2  x   x  y  TH1 Với x  y  xuống phương trình hai ta có : x  2x  2x  x x      x, y  0, ; 1,1 x  TH2 Với y  x  xuống phương trình hai ta có :         2x   2x  2x   x  x  ptvn Phương trình dễ dàng chứng minh vô nghiệm phương pháp bình phương hai lần hệ phương trình cho có hai nghiệm kể   x  7y x  y  7x y  2xy x  y  x, y  Bài toán 25 Giải hệ phương trình :  2 1 y x  2x   2x   y   Lời giải Điều kiện : x           21;y0 Phương trình cho trở thành : x  7y  y x y Đặt a    xy ;b  y y  7x  x x y  8  x y y x y x 6 6 8  y xy x xy xy  a2  b2  ta có : x a2  b2  a  b   a  b  1   2 ab a  b  a  b  2ab a  b  Với x  y  x  xuống phương trình hai ta :     1 x  x  2x   x  2x    x  2x     xy  y   x  2x  2x x  2x  x  2x   2x x  2x   x  2x   x  2x  2  2x  x  2x  2x  x  2x    x  y    Vậy nên hệ phương trình có nghiệm x, y  xy  x y x   1, 1  1      x  x  x  y  y2  y    Bài toán 26 Giải hệ phương trình :  x  y   Lời giải Điều kiện : x, y  Trước hết x  1 nhận xét không nghiệm hệ phương trình , ta có : x      x, y    x2  x  y  y2  y    x  y  y2  y   x2  x   x  x  y2  y      x 1  Chia hai vế phương trình cho x  ta : y  x2  x  x1  Rõ ràng đến xảy hai tình :  x  a) Nếu x   có :   y  y  y       x  1  2  x   x   x  1   x  1        Đến xét hàm số f t  t  t  t  hàm số đơn điệu x  1 y  x  kết hợp với phương trình hai : x    x1 yx 0 x  y2      x   suy x 1  f y  f           1 x    y   2  x    y  1   2   b) Với trường hợp x   ta khẳng định x  y  x  Tóm lại từ phương trình có : x  1  y x   x         1  1 ; 1   2 nghiệm x, y    hệ phương trình ban đầu có hai     1  ;  ; 1  5  2     xy   2y  x x  4y2 3  Bài toán 27 Giải hệ phương trình :   y  x y   y  x        x, y    Lời giải Điều kiện : x  4y2  ; x   Phương trình hai hệ phương trình viết lại thành : y 1  y 1  x   1 x  1   Sở dĩ có điều ta xét hàm số f t  t  Với y    f y 1  f  x   1 y  hàm số đồng biến tập xác định t x  vào phương trình có :     x x1 2 x2   x2 x2 x2 x      x  x   x  4x  x  4x    x  2 x x 1 2   4x  x    x 0 6x  16x  16x     0,1  Do hệ phương trình ban đầu có nghiệm x, y  4x  2 2x   4x  2x y  2y   x Bài toán 28 Giải hệ phương trình :  3    2y  x  2x  x   2x    Lời giải Điều kiện : x  ; x   x, y   1 ; y 2 Với điều kiện x  phương trình trở thành :   4x  x     2y  2y   x x x 3 1          2y  2y x x x x 3  1  1           2y   2y  x x   2x   4x  2x 2y   2y      Đặt a   ;b x     2y phương trình  viết lại thành :     a  a  b3  b  a  b a  ab  b2  1   a  b      x  a  21 b 34 b2 1      Với   2y   xuống phương trình hai có : x    2y 3 x x  2x  x    2x  1   x  2x  x  x 2x  x 3   1 2    1 2  2                     x  x  x x x x x  x      Lập luận tương tự xét hàm số f t  t  t dễ dàng cho ta :  2 1 3  1 y     1    1    x  x x x x    1   , Kết hợp với điều kiện suy x, y    nghiệm hệ phương trình            x  1  2y  xy  xy  y x   Bài toán 29 Giải hệ phương trình :   2x  2 x   x1  y  Lời giải Điều kiện : x  ; y  Phương trình chia hai vế cho y x  ta :   Lấy pt  pt có : x x1  y 2  2x x1 x, y    3   2x x 2x    2 2 2  y x 1 x1 y x1 2x  x    2x  x    y x 1 x1 x1 y x1 x x4 4 x4  x  0x  x 1 x1 x1 x   Từ dễ dàng tìm nghiệm hệ phương trình ban đầu   x   y  x  y 1  Bài toán 30 Giải hệ phương trình :   x  y  6x  2y   y  x    Lời giải Điều kiện : x  ;  y   x, y    Ta xử lý phương trình hai sau :  xy   6x  2y   y  x1   y x  1  2x  4xy  2y2  6x  2y   y  x   y x        x   2y x   y   x   y      x y   x 1  0yx1 y Với y  x   thay vào phương trình ta : x   x  x  x 2     x   x  x    x  x  3x    x  3x  x 1 x x  3x    x  3x   x   x   1  x2  3x   1   0 x 1 x x 2  x   x  3x    x   3 5 5 3 5 5 , , Từ suy hệ phương trình có nghiệm x, y   ;       2           Phần II Các toán sử dụng phương pháp đánh giá      2x2 y  x4 y2  x  2x  y  Bài toán 31 Giải hệ phương trình :  1   x  y  x x  x  2y2   Lời giải Điều kiện : x,y   2 4   x y   2x  x  y Viết hệ phương trình cho lại thành : 1   x  y  x x  x  2y          x, y    Lấy phương trình hai trừ cho phương trình ta :    x y  1    x   4 x y1 1 1 xy  2 2  1  x y y  0 x  y 2 x y x y       y2  4x   4x 8x   Bài toán 32 Giải hệ phương trình :  40x  x  y 14x   Lời giải Điều kiện : 14x  ; y  Chúng ta có :       4x 8x   2y 14x   y2  4x  2 40x  x Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta : x, y    4x 8x   2y 14x    8x  1.1  2y 14x   1 8x    8x   1  y  14x  3   y  4x   40x  x  8x  8x  y2     4x  1  40x 2   x  ;y  nghiệm hệ ban đầu   1     2xy 1 2y2 Bài toán 33 Giải hệ phương trình :   2x x, y   x  2x  y 1 2y   Do dấu = xảy x    Lời giải Điều kiện :  x, y       Trước hết , ta chứng minh bất đẳng thức : 1  2x  1  2y2  2xy  1 2xy Thật , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki có :      2x    1    2     2y2  2xy   2x  2y2  2 x  y 2xy  1   0 0   2x 2y2 2xy 1 2x 1 2y2 1 2xy        Dấu = đạt x  y nhiệm vụ lại không khó khăn với phương trình hai :   73  73    73  73  73 x ,  x, y   ; ,   36  36 36 36 36    Do hệ phương trình cho có hai nghiệm kể      x  2x  x  2x    x  2x   y2  4y   Bài toán 34 Giải hệ phương trình :  6x  y  11  10  4x  2x   Lời giải Điều kiện : y  4y   ; 2x  4x  10  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM có : x, y         10  4x  2x 14  4x  2x 2 2 Rút gọn ta : y  6x  11  14  4x  2x  x  10x  2y  15  y  6x  11  10  4x  2x     Tiếp tục cho phương trình có : x  2x   y  4y   y  4y   2x  4x  y2  4y   Cộng vế với vế hai phương trình ta có :    3x  6x  y  6y  12   x   y  x  0  y  3  Kết hợp với điều kiện suy hệ phương trình có nghiệm kể  x  xy  3y2  y xy  2 x  Bài toán 35 Giải hệ phương trình :  y 1   1 y 1   x  Lời giải Điều kiện :  x  ; y   x, y    Nhận xét y  không nghiệm hệ phương trình nên có : x x x pt      3 y  y y  x   x y y 2  x   Với x  y vào phương trình hai ta được: Theo bất đẳng thức AM – GM : 2x x2 1 2x   2 x 1 x 1  ta :      21  98 x      9  g x  g 2  x    x  1   2  x  1  8 25 x  2x g x     x1  5x 8 5 x  x x2 Dấu = xảy x  suy x  y  nghiệm hệ phương trình     y  24 0 x  x   y  Bài toán 36 Giải hệ phương trình :  2y2    5x  y    x  y  x, y    Lời giải Điều kiện : x  ; 5x  y   ; 2y2  ;  x  y Đặt t  x   , trước hết ta có đánh giá sau : t     t  4t  4  t 2 4t  49 49  y  4  y4 2y  2y  2y2      2y  y   49    2y2  y   49  y   2y     2y  y   49            Ta viết phương trình hai lại thành : 5t  y  y  t  , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :    1  2   5t  y  5y  5t      6y  36  5t y  y  t  5     5t  y  y t t  x       nghiệm Dấu = đạt :  y y y    hệ phương trình ban đầu      x   x3 x, y   Bài toán 37 Giải hệ phương trình :  x y  4y2  3x   5xy  5y   Lời giải Điều kiện : x,y  Sử dụng đánh giá cho phương trình :       2  2x    2x  x   2x   1 x    xy x  y   xy4 x  y    x y 5t  y  y  t           x  x  y    2x x  y     x   x   2x   xy xy4   x  xy  4x  3x  3y  12  2x  2xy  8x    x  xy  x  3y   *      Phương trình hai để thuận tiện đánh giá đưa thành : 5xy  5y  4y2  3x   * * **  * suy :   x  xy  x  3y   5xy  5y  4y  3x    x  2y  2 Lấy   x  2y  Với điều kiện để bất đẳng thức xảy x  y  nghiệm hệ phương trình    x 1 2 x y Bài toán 38 Giải hệ phương trình :   2 x  x  3y    Lời giải Điều kiện : x,y       72 x, y   x  y4 x y 2 Áp dụng đánh giá bất đẳng thức AM – GM ta có : x  y   2   x y x2  y   Do từ phương trình ta có : x y2         x  y2   x  y 4 x y 2  y2  x  y2  x  x   x  3y2    2 x  3y  x  6x  y   2x  Bình phương phương trình hai : x    Kết hợp với đánh giá : x  y   x  2x    x    x 2   x 1 Đối chiếu với tất điều kiện để dấu = xảy suy x  y  nghiệm hệ ban đầu       x   y  x 2x   Bài toán 39 Giải hệ phương trình :  3x  x  y x  x   Lời giải Điều kiện : x,y  Hệ phương trình cho tương đương với : x,y         x   y  x 2x   x   y2  x 2x      3x  x   y x2  x 5x  x   2y x  x         Áp dụng bất đẳng thức AM – GM có : 2x   4x  2x   2x   x  2x   y2   2x  4x   2y2  2x   2x  6x   2y2    2.4x 2x   Và từ phương trình hai ta có điều sau :   5x  x   2y x  x  y  x  x  5x  3x   y     Do 5x  3x   y  2x  6x   2y   2x  nghiệm hệ phương trình  Bài toán 40 Giải hệ phương trình :    x  12  y  2x  4y2  3 4    xy 1  y x   xy  x   xy  3x  2y   2x x y   x  y        x,y    0  Lời giải Điều kiện : x  ; y  3  Phương trình hệ cho tương đương với :     2x  xy  4y2  2x  3y x x  y y       4xy  4y2  2x  3xy  2x  3xy   4xy  4y  2x  3xy  xy  y  0 Phương trình hai viết lại thành :      x  y  3 0 Kết hợp hai điều suy x, y  4,1 nghiệm hệ phương trình   xy32 x xy3 2 xy3  Phần III Phân tích ý tưởng hai toán khối A B năm2014     x 12  y  y 12  x  12 Khối A.2014 Giải hệ phương trình :  x  8x   y  x, y    Lời giải Nói chung mạng xuất nhiều lời giải cho viết riêng nên đem mà phải đối mặt với câu hệ phòng thi Và hi vọng có ích cho bạn đọc biết Trước hết , nhìn câu hệ phải tới 1,2 phút định hướng cần phải làm Các bạn , dành vài phút để nháp Việc quan trọng tìm điều kiện toán : x  12  2  x  ; y  công việc nhẹ nhàng cho ta 0,25 điểm Tiếp theo ta nên làm gì, quan sát phương trình rõ ràng phương trình hai mối liên hệ nên tìm hướng phương trình Đây phương trình đối xứng số 12 đồng thời hai biến x, y có xuất x, x y, y nên đặt z  y phương trình trở thành : x 12  z  z 12  x  12 Đến nghĩ đến ý tưởngwcwủawb.ấMtđAẳnTgHthVứcNA.Mco–mGMmà không quan tâm điều khác đặc biệt điều kiện để dùng bất đẳng thức :  x  12  z 2  x 12 z  x  12  z2 z2  12  x 2 2  x 12  z  z 12  x   12   2  12  x 2 z z 12  x   Dấu = xảy : x  z2  12  y  12  x xuống phương trình hai ta có : x  8x   10  x Đến lại khai thác kỹ giải hệ phương trình nhẩm nghiệm Rõ ràng điều nghĩ đến phải số phương kinh nghiệm thi Ta cần xử lý cho 10  x số phương Vậy xảy hai trường hợp sau : x  ; x  thử lại giá trị biến thấy x  thỏa mãn nên nghĩ đến việc liên hợp sau:   x  8x   10  x  x  8x   10  x  x x  x  x  3x   0 10  x    2x   x  x  3x     10  x    Nên phương trình lại vô nghiệm : x  3x   để suy vô nghiệm chí         cần điều kiện x   bước làm có : x   nên làm đến có vấn đề Vấn để chỗ điều kiện chặt x kiểm tra lại dấu hỏi đặt cho : ‘’ Chưa có x  mà áp dụng bất đẳng thức AM – GM ‘’ chứng minh x  gần hoàn thành toán Thật :     y  12  y 12  x  12  x 12  y  12  y 12  x   x  Vậy chuyện coi xong Trình bày vào giấy thi cẩn thận Tôi điểm trọn vẹn cho toán        1 y x  y  x   x  y  y 2y  3x  6y   x  2y  4x  5y  Khối B.2014 Giải hệ phương trình :  x, y    Lời giải Trước hết , ta nên tìm điều kiện toán : x  y  ; x  2y ; 4x  5y  Tiếp tục ta phân tích toán Quan sát phương trình nhận thấy đặc biệt phương trình hai Nó không rắc rối phương trình hai nên hi vọng tìm điều Để ý phương trình xuất hai thức xy ; y nên ý tưởng đưa   a  x  y điểm đáng b y  ý hạng tử x đứng nên đưa mối liên hệ a,b x thật tình cờ ta phức tạp đơn giản qua phép ẩn phụ phá thức Đặt  có : a2  b2  x phương trình viết lại thành : 1  b a  a 2    b2   a  b Oh, phương trình hai ẩna,b có đối xứng rõ ràng nên ta tiếp tục tìm nhân tử khám phá mối quan hệ a,b Để làm công việc , nghĩ kiểu có dạng : b  ma  n nên với a  b tìm m,n Đầu tiên đơn giản chọn a  hay b  thật tình cờ lại điều Ak phương trình viết dạng : a  1b  1 f a,b  chưa biết f a,bnhư Và dựa phương trình     khéo léo nhóm lại sau : a  b a  b   Vì a,b  nên a  b   vô nghiệm hai trường hợp sau : TH1 Ta nên từ đơn giản trước với b   y  xuống phương trình hai Dễ dàng     thấy x, y  3,1 nghiệm hệ phương trình TH2 Với a   x  y   x  y  xuống phương trình hai ta có : 2y2  3y    y Đến chuyện phức tạp nhiều nghiệm đẹp Thực điểm nhấn toán Bởi thi hoàn thành , đáng buồn Nếu làm lại làm sau : trước hết việc có máy tính cầm tay dùng chức SHIFT SOLVE nghiệm xấu Thật thú vị gặp câu chuyện Đó phòng thi nơi trọ có hỏi người xem xử lý đoạn Và bất ngờ chứng kiến câu trả lời bấm máy tính số quen thuộc : y    1 0, 61803 hàm số f y   2y  3y    y đồng biến 0;1 nên có nghiệm Điều chẳng bảo sai xếp vào dạng may mắn Nhưng cần tìm cách tự nhiên cho Đó : hệ số trước hạng tử có điều đặc biệt 2,3,2,1 mặt khác + = nên tách 3y  y  2y ta nhóm sau :     2y  3y    y  y  y   y   y     y2  y   y y1 y  1y 0y2y10 Bài toán đến coi kết thúc  Tác giả : Nguyễn ThếDuy [...]... phương trình hai ta có : x  0 2x 2  2x 3  x x  1  0    x, y  0, 0 ; 1,1 x  1 TH2 Với y  x  1 thế xuống phương trình hai ta có :         2x  1  2x 2  2x  1  x 2  x  ptvn Phương trình trên dễ dàng chứng minh vô nghiệm bằng phương pháp bình phương hai lần do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên   x  7y x  y  7x y  8 2xy x  y  x, y  Bài toán 25 Giải hệ. .. Phần II Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá     3  2x2 y  x4 y2  x 4 1  2x 2  y 4  Bài toán 31 Giải hệ phương trình :  2 1  1  x  y  x 3 x 3  x  2y2   Lời giải Điều kiện : x,y   2 2 6 4 4  4  x y  1  2x  x  y Viết hệ phương trình đã cho lại thành : 1  1  x  y  x x  x  2y 2       3   3  2 x, y    Lấy phương trình hai trừ cho phương trình một ta được... với điều kiện suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất kể trên  x 2  xy  3y2  y xy  2 x 2  2 Bài toán 35 Giải hệ phương trình :  y 1   1 y 1  2  x  Lời giải Điều kiện : 2  x  0 ; y  0  x, y    Nhận xét y  0 không là nghiệm của hệ phương trình nên chúng ta có : 2 x x x pt 1      3 y  y y  x  1  x y y 2  x   2 Với x  y thế vào phương trình hai ta được: Theo... lại từ phương trình một chúng ta có : x  1  y x  1  x  0        1  1 1 5 ; 1 5  2  2 nghiệm x, y    do đó hệ phương trình ban đầu có hai     1  ; 1  5 ; 1 1  5  2 2     xy 2  2  2y 2  x x 2  4y2 3  Bài toán 27 Giải hệ phương trình :  2  y  x y  1  y  2 x  1  1      x, y    Lời giải Điều kiện : x 2  4y2  3 ; x  1  0 Phương trình hai...   x  x 2  x  1 y  y2  y  1  1  Bài toán 26 Giải hệ phương trình :  x 2  y 2  3  Lời giải Điều kiện : x, y  Trước hết x  1 nhận xét không là nghiệm của hệ phương trình , do đó ta có : x      x, y    x2  x  1 y  y2  y  1  1  x  1 y  y2  y  1  x2  x  1  x  x  y2  y  1     x 1  Chia cả hai vế của phương trình cho x  1 ta được : y  x2  x  1 x1... Kết hợp với điều kiện suy ra x, y    là nghiệm duy nhất của hệ phương trình   2  4   3 2       x  1 1  2y  xy  2 xy  y x  1  Bài toán 29 Giải hệ phương trình :  1 4  2x  2 2 x   x1  y  Lời giải Điều kiện : x  1 ; y  0 Phương trình một chia cả hai vế cho y x  1 ta được :   Lấy pt 2  pt 3 chúng ta có : x x1  1 y 2  2x x1 x, y    2 3  1 4  2x x 2x 1... chúng ta có : 2x  1  4x  2 2x  1  2x  1  x 2  2x  1  y2  3 2  2x 2  4x  2  2y2  2x  1  2x 2  6x  1  2y2  0 3   2.4x 2x  1  Và từ phương trình hai ta có điều sau : 2   5x 2  x  1  2y x 2  x  y 2  x 2  x  5x 2  3x  1  y 2  0    Do vậy 2 5x 2  3x  1  y 2  2x 2  6x  1  2y 2  0  2x  1 nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 40 Giải hệ phương trình. .. nhìn câu hệ này tôi phải mất tới 1,2 phút định hướng cần phải làm gì Các bạn cũng vậy , hãy dành vài phút để nháp nó Việc quan trọng đầu tiên là tìm điều kiện của bài toán : x 2  12  2 3  x  2 3 ; y  1 một công việc nhẹ nhàng cho ta 0,25 điểm đầu tiên Tiếp theo ta nên làm gì, đó là quan sát từng phương trình và rõ ràng ở phương trình hai không hề có mối liên hệ gì nên tôi tìm hướng ở phương trình. .. thành bài toán Thật vậy :     y  12  y 12  x 2  12  x 12  y  12  y 12  x 2  0  x  0 Vậy là mọi chuyện coi như đã xong Trình bày vào giấy thi cẩn thận Tôi được điểm trọn vẹn cho bài toán này        1 y x  y  x  2  x  y  1 y 2 2y  3x  6y  1  2 x  2y  4x  5y  3 Khối B.2014 Giải hệ phương trình :  x, y    Lời giải Trước hết , ta nên tìm điều kiện của bài toán. .. tục ta sẽ đi phân tích bài toán Quan sát từng phương trình một và nhận thấy sự đặc biệt ở phương trình hai Nó không quá rắc rối như ở phương trình hai nên tôi hi vọng sẽ tìm ra được điều gì đó Để ý ở phương trình một xuất hiện hai căn thức xy ; y nên ý tưởng của tôi sẽ là đưa   a  x  y và một điểm đáng b y  chú ý ở đây là hạng tử x đứng một mình nên tôi sẽ đưa mối liên hệ giữa a,b về x thì thật ... trình :  2  x  y  y      x, y     Lời giải Điều kiện : xy  1 ; y  2 Cộng chéo theo vế hệ phương trình ta :     x   xy   y    2y  x  y  y   x   xy   y   ... kiện : 14x  ; y  Chúng ta có :       4x 8x   2y 14x   y2  4x  2 40x  x Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta : x, y    4x 8x   2y 14x    8x  1.1  2y 14x   1 8x...       Trước hết , ta chứng minh bất đẳng thức : 1  2x  1  2y2  2xy  1 2xy Thật , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki có :      2x    1    2     2y2  2xy   2x  2y2