TOM TAT CONG THUC TOAN ON THI THPT QUOC GIA

“Phải cùng, trái trái” TÓM TẮT CÔNG THỨC ÔN THI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2.Dấu tam thức bậc hai: f ( x )  ax  bx  c(a  0) ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I.Các đẳng thức đáng nhớ: 2 (a  b)  a  2ab  b 3 0 2 (a  b)  a  3a b  3ab  b (a  b)2  a2  2ab  b (a  b)3  a3  3a2 b  3ab2  b3 a2  b  (a  b)(a  b) a3  b3  (a  b)(a  ab  b ) a3  b3  (a  b)(a2  ab  b ) 0 x f ( x)  x   dấu a  II.Phương trình bậc hai: ax  bx  c  0(a  0) 1.Công thức nghiệm phương trình bậc hai:   b2  4ac    : Phương trình vơ nghiệm b    : Phương trình có nghiệm kép: x1  x   2a    : Phương trình có nghiệm phân biệt: 0 f ( x) dấu a x  dấu a f ( x) b 2a x1  dấu a x2 trái dấu a  dấu a “Trong trái, cùng” 3.Dấu đa thức bậc  3: Bắt đầu từ ô bên phải dấu với hệ số a số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu IV.Điều kiện để tam thức không đổi dấu  Nếu “b chẵn” (ví dụ b  4;2 3;2m; 2(m  1); ) ta dùng công thức Cho tam thức bậc hai: f ( x )  ax  bx  c (a  0) nghiệm thu gọn  b a  a   '  b '2  ac  b '   f ( x )  0x     f ( x )  0x           b   b   x1  ; x2  2a 2a 2.Công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai:  '  : Phương trình vơ nghiệm  a  a  f ( x )  0x     f ( x )  0x         V.Phương trình bất phương trình chứa trị tuyệt đối b'  '  : Phương trình có nghiệm kép: x1  x2   a  '  : Phương trình có nghiệm phân biệt:   x1  A 1.Phương trình : A    A b '  '  b '  ' ; x1  a a phương trình bậc 2: ax  bx  c   x1  Nếu a  b  c  phương trình có nghiệm:  x  c  a   x1  1 Nếu a  b  c  phương trình có nghiệm:  x   c  a B   A  B   A  B  A  B  A  B A  B   A  B 2.Bất phương trình:    5.Dấu nghiệm số: ax  bx  c  0(a  0) Phương trình có nghiệm trái dấu x1   x2  P   Phương trình có nghiệm dương phân biệt  x1  x2  VI.Phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai 1.Phương trình:     P  S    ax  b trái dấu a b a  B  A B  A  B  A  0( B  0) A B A  B 2.Bất phương trình:  III.Dấu đa thức: 1.Dấu nhị thức bậc nhất: f ( x )  ax  b(a  0)  A  B  A2  B  A2  B2   ( A  B )( A  B )  A  B  A  B  A2  B  Phương trình có nghiệm âm phân biệt x1  x2  x  A  B A B A  B  A  B A B A  B     P  S    A  B A B  A  B A  B A B  A  B  A0  x1 , x2 thì:  ,  3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc ax  bx  c  có nghiệm  b  S  x1  x2   a  “Tổng bà, tích ca”   P  x x  c  a 4.Các trường hợp đặc biệt phương trình bậc 2: A0  A   A  B A  B     A     A  B  Chú ý: ax  bx  c   a( x  x1 )( x  x2 ) với x1, x2 hai nghiệm ,  dấu a  B    A  AB    B    A  B tan a  Hệ quả: sin x cos x  sin3a  3sin a  4sin a;cos3a  cos3 a  3cos a 8.Công thức biến đổi tích thành tổng: A   A  B  B   A  B2   cos(a  b)  cos(a  b) 2 sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b) cos a cos b  A   A  B  B   A  B2   sin(a  b)  sin(a  b) 2 9.Công thức biến đổi tổng thành tích: sin a cos b  A  A B A  B ab ab cos 2 ab ab cos a  cos b  2sin sin 2 ab ab sin a  sin b  2sin cos 2 ab ab sin a  sin b  cos sin 2 10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo;  - tan, cot  Hai cung bù nhau:     sin(   )  sin  cos(   )   cos tan(   )   tan  cot(   )   cot  cos a  cos b  cos A  A B A  B VII LƯỢNG GIÁC 1.Định nghĩa giá trị lượng giác: sin   OK  Hai cung đối nhau:   cos( )  cos  sin(  )   sin  tan( )   tan  cot(  )   cot   Hai cung phụ nhau:  cos  OH tan   AT cot   BS 2.Các công thức lượng giác bản: sin  3)sin   cos2   cos cos 2)cot   4)1  tan2   sin  cos2  3.Các giá trị lượng giác đặc biệt: 1)tan   sin x 6.Công thức hạ bậc:  cos x  cos x  cos x sin x  ; cos x  ; tan x  2  cos2 x 7.Công thức nhân ba: B    A  AB    B    A  B  tan a  tan a 5)1  cot   sin      sin      cos 2    cos      sin    6)tan  cot      tan      cot  2    cot      tan  2  Hai cung  :     sin       sin  cos       cos tan      tan  cot      cot  Hệ quả: 4.Công thức cộng: cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a tan( x  k )  sin x   sin x  cos x   cos x  tan x cot( x  k )  cot x sin( x  k ) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a tan a  tan b tan a  tan b tan(a  b)  ;tan(a  b)   tan a tan b  tan a tan b 5.Công thức nhân đôi: sin a  2sin a cos a cos( x  k ) cos a  cos2 a  sin a  cos a    sin a , k chaü n , k lẻ , k chẵ n , k lẻ k  k  k  k   Hai cung  :      sin     2    cos     2    tan     2   cos x   x   cos  tan x   x  k   sin   cot x   x  k   cot    tan  11.Cơng thức tính sin x ,cos x ,tan x theo tan x :      sin x  cos x  sin  x    cos  x   4     sin2x   sin x  cos x   sin x  cos4 x  sin x  cos2 x   a sin x  b sin x  c  a cos2 x  b cos x  c  a tan x  b tan x  c   Ngoại lệ:  cos  cos(   ) 14 Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng    a cot x  b cot x  c   2sin x cos2 x   sin 2 x 2 sin x  cos  sin x  cos x sin x  sin x cos x  cos x  Đặt:  t  sin x  t  cos x   Điều kiện 1  t    sin 2 x 13.Phương trình lượng giác u  v  k 2 sin u  sin v   u    v  k 2 u  v  k 2 cos u  cos v   u  v  k 2  cot   cot( )     sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4   cot x  tan x  s in2x cot x  tan x  2cot x    cot   tan     2  c) Cách loại dấu trừ:  sin   sin( )  tan   tan( ) 2t  t2 2t x thì: sin x  ;cos x  tan x  2 1 t  t2  t2 12.Một số công thức khác: Nếu đặt t  tan     sin   cos         cos  sin     2    tan   cot       “Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ”   k b) Cách chuyển hàm:   cot     2     t  tan x  t  cot x   Không có điều kiện t u  arcsin a  k 2 sin u  a   u    arcsin a  k 2 Đặc biệt:  sin u   u   k 2 sin u   u  k  sin u  1  u    k 2   Phương trình có chứa tan x cot x : Điều kiện x  k a  b ta được: Chia vế phương trình cho a a2  b2 sin x   a Vì  2  a b b a  b2 c cos x  a  b2   b    2   a b    nên tồn cung  cho   a  cos   a  b2  b sin    a2  b2  Khi phương trình trở thành: tan u  tan v  u  v  k tan u  a  u  arctan a  k cot u  cot v  u  v  k cot u  a  u  arccot a  k Lưu ý: a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện gặp hai trường hợp sau: TH1: Phương trình có chứa hàm số tang cotang (trừ phương trình bậc bậc hai theo hàm số tang cotang)   Phương trình có chứa tan x : Điều kiện x   k Phương trình có chứa cot x : Điều kiện x  k  cos2 x  2cos2 x    2sin2 x 15 Phương trình bậc đối vối sinx cosx : Là phương trình có dạng a sin x  b cos x  c u  arccos a  k 2 cos u  a   u   arccos a  k 2 Đặc biệt: cos u   u  k 2  cos u   u   k cos u  1  u    k 2  Các công thức cần nhớ: 2 sin x   cos x sin x  cos x    2 cos x   sin x c sin x.cos  sin  cos x  a b  sin( x   )  c a  b2 c   a2  b2  c2 a2  b2  Công thức cần nhớ: sin  cos   sin  cos  sin(   ) 16.Phương trình bậc hai: phương trình có dạng  Điều kiện có nghiệm: a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  (*)  TH1: cos x   x  TH2: Phương trình có chứa ẩn mẫu  Điều kiện: mẫu  sin x   x  k    k sin  x  vào (*) TH2: cos x  Chia vế (*) cho cos2 x ta phương trình bậc theo tan x Lưu ý: Phương trình a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d với d  đưa dạng (*) cách:  Đối với hàm phân thức y  a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d  a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d (sin2 x  cos2 x ) y'  17 Phương trình đối xứng phản xứng : phương trình có dạng a(sin x  cos x )  b sin x cos x  c     t  sin x  cos x  sin  x    Điều kiện   t  4  t2   sin x cos x   sin x cos x   t2 (ku)'  k u ' ( x )'  ' '  u  v   u ' v '  uv   u ' v  uv ' '  u  u ' v  uv '    v2 v '  uvw   u ' vw  uv ' w  uvw ' ( x n )'  n.x n 1 (u n )'  n.u n 1.u ' '  Vẽ đồ thị:  1     v ' v v ' u' u  u     (sin u)'  cos u.u ' (sin x )'  cos x (cos x )   sin x (tan x )'   tan x  cos2 x (cot x )'  (1  cot x )   sin x (tan u)'  (1  tan u).u '  (cot u)'   (eu )'  eu u ' (a x )'  a x ln a (au )'  a u ln a.u ' (ln x )  x (ln u)  u ' u (log a x )'  u ' cos2 u u '  (1  cot u).u ' sin u (e x )'  e x ' Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y  ax  bx  c(a  0) a0 (log a u)'  u ' u ln a a b '  ax  b  c d ad  cb     (cx  d )2  cx  d  (cx  d ) y'  có nghiệm a b a c b c x 2 x '  ax  bx  c  a' b' a' c' b' c'    (a ' x  b ' x  c ')2  a' x  b' x  c'  “anh bạn ăn cơm chén” IX.Các dạng toán hàm số: 1.Các bước chung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)  Tập xác định: ax  b  Giới hạn (và tiệm cận hàm phân thức y  ) cx  d  a0 y'  có nghiệm phân biệt ' x ln a a0 y'  vô nghiệm (cos u)'   sin u.u ' ' a0 y'  có nghiệm kép ' 1    x x ' x  x ad  bc  (hoặc  ) x  D (cx  d )2  Số nghiệm phương trình y'  y'  có nghiệm phân biệt VIII.Cơng thức tính đạo hàm: (c )'   Các dạng đồ thị hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d (a  0)   t  sin x  cos x  sin  x    Điều kiện   t  4   (cx  d )2 Bảng biến thiên: Nhận xét chiều biến thiên cực trị Bảng giá trị:(5 điểm hàm bậc 3, bậc 4; điểm ax  b hàm phân thức y  ) cx  d  Đặt :  a b c d ax  b : cx  d Các dạng đồ thị hàm số phân thức y  y'  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d y'  Đạo hàm: y '  Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y '  tìm nghiệm 2.Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu khoảng xác định: a.Hàm bậc 3: y  ax  bx  cx  d xi  [a; b](i  1,2,3 ) Tập xác định D    Tính y ( a ) , y ( b ) , y( xi )  So sánh kết luận b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f ( x ) Đạo hàm y '  3ax  2bx  c tam thức bậc    y'  Hàm số đồng biến   y '  0, x      ay '     y'  Hàm số nghịch biến   y '  0, x      ay '  b.Hàm biến: y  khoảng nửa khoảng (a; b),(a;  ),(; b),[a; b),(a; b] …  Tìm tập xác định  Tính đạo hàm y '  Lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên, so sánh kết luận 5.Tìm giao điểm hai đường  Cho hai đồ thị (C1 ) : y  f1 ( x ) (C2 ) : y  f2 ( x ) ax  b cx  d   d Tập xác định D   \    c Đạo hàm y '  f1 ( x )  f2 ( x ) (*) Giải phương trình (*) ta hồnh độ giao điểm, vào hàm số y  f1 ( x ) y  f2 ( x ) tung độ giao điểm 6.Tìm điều kiện tham số m để hai đường cong cắt với số điểm cho trước  Cho hai đồ thị (C1 ) : y  f1 ( x ) (C2 ) : y  f2 ( x )  ad  cb có dấu phụ thuộc vào dấu tử (cx  d )2  Hàm số đồng biến khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  cb  (Khơng có dấu “=”)  Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  cb  (Khơng có dấu “=”) 3.Cực trị hàm số:   y '( x )  Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị x0    y ''( x )    y '( x0 )  Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại x    y ''( x0 )    y '( x )  Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu x    y ''( x )   Phương trình hồnh độ giao điểm (C1 ) (C ) : f1 ( x )  f2 ( x ) (*) (C1 ) (C ) cắt n điểm phân biệt phương trình (*) có n nghiệm phân biệt Lưu ý : Trục hồnh có phương trình y   7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình h( x , m)  a.Hàm bậc 3: y  ax  bx  cx  d (a  0) Biến đổi phương trình h( x , m)  dạng f ( x )  g(m) (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai  y  f ( x ) (C ) đồ thị :   y  g(m) (d )  Bảng kết : m g(m) Số giao điểm Số nghiệm … … … … Lưu ý: Nếu toán yêu cầu tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, nghiệm,… ta khơng cần lập bảng kết mà cần rõ trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) (d) cắt điểm, điểm …) 8.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị đường cong (C) Phương trình tiếp    y '  3ax  2bx  c  Hàm số có cực trị (cực đại cực tiểu)  phương trình   y '  y '  có nghiệm phân biệt   ay '  Hàm số khơng có cực trị  Phương trình y '  vô nghiệm  y '  có nghiệm kép   ay '  b.Hàm bậc trùng phương: y  ax  bx  c(a  0)  y '  4ax  2bx Ta có: y '   4ax  2bx   x (2ax  b)  tuyến đồ thị điểm M0 ( x0 ; y0 ) là: y  f '( x0 )( x  x )  y0 x   2ax  b  (1)  x0  Lưu ý: Ta phải tìm đại lượng:  y0  f ( x )  f '( x )  (2) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết hoành độ tiếp điểm x x    b x  2a  Hàm số có cực trị  Phương trình y '  có nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác b  0 2a  Hàm số có cực trị  Phương trình y '  có nghiệm  Phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm kép b  0 2a 4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f ( x ) xác  Hàm số liên tục đoạn [a; b] Tính đạo hàm y ' Giải phương trình y'  Tìm  Tính đạo hàm y '  Thay x0 vào y tính y0  Thay x0 vào y ' tính f '( x0 )  Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x )  y0 Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm y0  Giải phương trình f ( x0 )  y0 tìm x0  Thay x0 vào y ' tính f '( x0 )  Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x )  y0 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k định đoạn [a; b ]    Phương trình hồnh độ giao điểm (C1 ) (C ) : nghiệm  Giả sử tiếp điểm M0 ( x0 ; y0 )  Giải phương trình f '( x0 )  k tìm x0  Thay x0 vào y ta tìm y0 2.Bất phương trình lơgarit: Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x )  y0  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b  Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  ax  b(a  0) log a f ( x )  b  f ( x )  a b a  f '( x0 )  a loga f ( x )  b  f ( x )  a b  a   log a f ( x )  log a g( x )  f ( x )  g( x )  a  Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ lơgarit: am  amn an an a  m n  a m n  ab  n m  a  an a n  n am    n b b Các tính chất quan trọng: n  a n b n loga a  3) log a b   log a b Đặc biệt: log a n b  4) log a b  5) 6) 7) x  log a b 8) 9) loga b.logb c  log a c x a f ( x )  b  f ( x )  log a b 1 dx  ax  b  C a ax  b  1 dx   C a ax  b  (ax  b)  cos xdx  sin x  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin xdx   cos x  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C log b  (ax  b) 1 dx  C a  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C   (ax  b) dx  x  C x a x  b  x  loga b x  1 C  1 1  x dx   x  C  sin log a x 1 1 dx  tan x  C  cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C dx   cot x  C  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C x  e dx  e x C 1 e ax  b dx  ax  b e C a   e x dx  e x  C  x dx  x C ln   ax  b  ax  b dx  C a ln  t ( b) b  Phương pháp đổi biến số dạng 1: I   f [t( x )].t '( x )dx  a  f (t)dt t ( a) Một số cách đổi biến thường gặp:  a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x ) 2.Bất phương trình mũ: a x  b  x  log a b a  a f ( x )  b  f ( x )  log a b a    f (e )e dx  Đặt t  e  f (sin x)cos xdx  Đặt t  sin x  f (cos x)sin xdx  Đặt t  cos x a f ( x )  b  f ( x )  log a b  a    a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x )  a  XII.Phương trình bất phương trình lơgarit: 1.Phương trình lơgarit: Đặt t  ln x  f (ln x ) x dx   a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x ) a  1  a x  b  x  loga b  a  log a x  b  x  a  cos loga b  logb a   dx   Nếu  a  loga   loga      XI.Phương trình bất phương trình mũ: 1.Phương trình mũ:    a.dx  ax  C  x dx  ln x  C log a b n 10) a b  c b Đặc biệt: a a  b Các tính chất quan trọng:  Nếu a  log a   log a         f ( x)   log f ( x ) g( x )  Điều kiện:  f ( x )   g( x )   1.dx  x  C  log a (bc)  log a b  log a c (lơgarit tích tổng lôgarit) b log a  log a b  log a c (lôgarit thương hiệu c lôgarit) logc b loga b  (đổi số) logc a log c a f ( x )  Khơng có điều kiện Đặt t  ax  Điều kiện: t  Đặt t  log a x  Không có điều kiện t XIII.Cơng thức ngun hàm-tích phân  Công thức nguyên hàm: Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng  Nếu  a  a  a      Công thức lôgarit: 1) loga  2)    an  n a Nếu a  a  a       log a f ( x )  log a g( x )  f ( x )  g( x ) a   am an  am  n a0  an  log a x  b  x  a b  a   f '( x0 ).a  1  f '( x0 )   a X.Các công thức lũy thừa lôgarit: 1.Công thức lũy thừa:  log a x  b  x  a b a   Lưu ý:  x x x dx  Đặt t  tan x   f (tan x ) cos   f (cot x ) sin  Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa  Khi tính tích phân dạng x x dx  Đặt t  cot x b n A đặt t  n A b  log a f ( x )  b  f ( x )  a  loga f ( x )  loga g( x )  f ( x )  g( x ) o  sin m x cosn xdx : Nếu m n chẵn ta dùng công thức hạ bậc  o Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t  sin x o Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t  cos x Phương pháp đổi biến số dạng 2:  Hàm có chứa a  x đặt x  a sin t  Hàm có chứa x  a đặt x   Hàm có chứa 2 Cho phương trình bậc hai az2  bz  c  ( a, b, c   a  ) a sin t  b x1  b Tích phân phần:  u.dv  uv a   v.du a a sin x    Thứ thự ưu tiên: ln x  P( x )   cos x  e x     Phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ: P( x )  Q( x ) dx Bậc P ( x )  Bậc Q( x ) : Chia đa thức tử cho mẫu  Bậc P ( x )  Bậc Q( x ) :  Phân tích mẫu thành tích   : Phương trình có nghiệm thực phân biệt:  Tính diện tích hình phẳng  Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục b Công thức: S   f ( x ) dx a Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn hai đồ thị đồ thị hàm số y  f ( x ), y  g( x ) , hai đường thẳng x  a, x  b b Công thức: S   f ( x )  g( x ) dx a Tính thể tích vật thể trịn xoay: Cho hình (H) giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục hồnh tạo thành vật thể trịn xoay tích là: b V    [ f ( x )]2 dx a XIV.Số Phức 1.Định nghĩa số phức: Số phức biểu thức có dạng z  a  bi , a, b số thực, i  1 a: gọi phần thực b: gọi phần ảo  Tập hợp số phức ký hiệu   Số phức có phần thực gọi số ảo  Hai số phức nhau: có phần thực a  a ' phần ảo a  bi  a ' b ' i   “Thực b  b ' thực, ảo ảo” Môđun số phức z  a  bi : z  a2  b   Số phức liên hợp: số phức z  a  bi z  a  bi Phép cộng hai số phức: (a  bi)  (a ' b ' i)  (a  a ')  (b  b ')i   Phép trừ hai số phức: (a  bi)  (a ' b ' i)  (a  a ')  (b  b ')i Phép nhân hai số phức: (a  bi).(a ' b ' i)  (aa ' bb ')  (ab ' ba ')i  Phép chia hai số phức: b   b   ; x2  2a 2a Khi giải phương trình trùng phương az4  bz2  c  tập số z2   a(a  0)  z   TỔ HỢP – XÁC SUẤT I Quy tắc đếm Quy tắc cộng: Một cơng việc hồn thành hai phương án A B Nếu có m cách thực phương án A, n cách thực phương án B có m+n cách hồn thành cơng việc Quy tắc nhân: Một cơng việc thực qua hai hành động liên tiếp A B Nếu có m cách thực hành động A, n cách thực hành động B có m  n cách hồn thành cơng việc Lưu ý: Đối với toán thành lập số ta phải xét hai trường hợp thỏa mãn điều kiện sau:  Đề cho có chữ số  Số cần tìm có chữ số khác  Số cần tìm số chia hết cho (số chẵn) số chia hết cho II.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Hoán vị: Từ n phần tử  thứ tự  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  ) Mỗi cách thứ tự n phần tử tập A gọi hoán vị n phần tử  Số hốn vị n phần tử: Pn  n!  n(n  1) 2.1 n!: đọc “n giai thừa” Chỉnh hợp: Từ n  lấy k  thứ tự  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  ) Lấy k phần tử xếp chúng theo thứ tự đó, kết thu được gọi chỉnh hợp chập k n phần tử  Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank   n(n  1) (n  k  1) (0  k  n) (n  k )! 1  1      ( x  a)( x  b) a  b  x  a x  b   b 2a phức  , ta đặt t  z2 (không cần điều kiện cho t ) hoành, hai đường thẳng x  a, x  b    Đặ t P( x ) P( x ) A B C     Q( x ) ( x  a) ( x  b) ( x  a)2 x  a x  b    : Phương trình có nghiệm kép thực : x1  x2   Chú ý: biến đổi theo cách sau:  b  i b  i ; x2  2a 2a  x1   Đặc biệt:   b2  4ac   : Phương trình có nghiệm phức phân biệt: a  x hay a  x đặt x  a tan t b  z  z z.z 2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức: Số phưc nghịch đảo z là:  Tổ hợp: Từ n  lấy k  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  ) Lấy k phần tử, kết thu được gọi chỉnh hợp chập k n phần tử  Số tổ hợp chập k n phần tử: n! Cnk  (0  k  n) k !(n  k )! III.Nhị thức Niu-tơn  Công thức nhị thức Niu – tơn: a  b n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n  b2    Cnk a n  k b k   Cnn 1ab n 1  Cnn b n n  n    Cnk a n  k b k    Cnk a k b n  k  k 0  k0   Số hạng tổng quát: Cnk a n  k b k Cnk a k b n  k IV.Xác suất  Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm, z1 z1.z2  (nhân tử mẫu cho z2 ) z2 z2 z2    phép đo hay quan sát tương mà: Kết khơng đốn trước Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Không gian mẫu: Tập hợp tất kết xảy phép thử Kí hiệu  (ô-mê-ga) Biến cố: Là tập không gian mẫu Biến cố không  biến cố không xảy Biến cố chắn  biến cố ln xảy Phép tốn biến cố: A  B : Hợp biến cố A B ( A  B xảy  A xảy B xảy ra) A  B (hay A.B ): Giao biến cố A B ( A  B xảy  A B đồng thời xảy ra) A  B   ta nói A B biến cố xung khắc (không đồng thời xảy ra) -   1   AH AB AC Tỉ số lượng giác góc nhọn:  C tan  cot  Lưu ý:  n( ) : Số phần tử khơng gian mẫu Tính chất xác suất: P()  0, P()   P ( A)  , với biến cố A - Nếu A B xung khắc thì: P( A  B)  P ( A)  P (B ) (công thức cộng xác suất) - P A   P( A) , với biến cố A   S  a b c    2R sin A sin B sin C  2 b  2c  a ma    2 a  2c  b  Cơng thức tính độ dài trung tuyến: mb    2a  2b  c2 mc   Hệ thức lượng tam giác vuông: 2 p( p  a)( p  b)( p  c) (Cơng thức Hê-rơng) x tích cạnh góc vng Tam giác vuông: S   Tam giác đều: S   Hình vng: S  Cạ nh2  Hình chữ nhật: S  dà i  rộng  Hình bình hành: S  đáy  cao S  AB.AD.sin A  Hình thoi: S  đáy  cao S  AB.AD.sin A  caïnh2 x tích đường chéo Hình thang: S  (đá y lớ n  đá y bé)  cao  Hình trịn: S   R II.Các đường tam giác: 1.Đường trung tuyến_Trọng tâm  Xuất phát từ đỉnh  Qua trung điểm cạnh đối diện C H caï nh  S A B Đường cao tam giác có độ dài 5.Các cơng thức tính diện tích:  Tam giác thường: 1  S  aha  bhb  chc ( , hb , hc : độ dài đường cao) 2 1  S  ab sin C  ac sin B  bc sin A 2 abc S  4R abc  S  pr (r: bán kính đường trịn nội tiếp, p  : nửa chu vi) a  b  c2  2bc cos A  Định lí cơsin: b  a  c2  2ac cos B c2  a2  b2  2ab cos C  Định lí sin: Hình vng có độ dài đường chéo cạnh x Cạnh huyển tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vng x  b2  c  a2 cos A  2bc   a2  c  b2 Hệ quả: cos B  2ac   a2  b  c cos C  2ab   Đố i (Đi học) Huyề n Kề  (Khó c hoài) Huyề n Đố i  (Đừ ng khóc) Kề Kề  (Kẹ o ) Đố i  Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng có độ dài ½ cạnh huyền   HÌNH HỌC PHẲNG I Một số cơng thức thường dùng hình học phẳng: Hệ thức lượng tam giác: Cho ABC , ký hiệu a, b, c: độ dài cạnh R: bán kính đường trịn ngoại tiếp   cos (A A xung khắc A  A   ) n( A) Xác suất biến cố: P( A)  n() Trong đó: n( A) : Số kết thuận lợi cho biến cố A - A AC BC AB  BC AC  AB AB  AC sin  A   \ A gọi biến cố đối biến cố A - α B A  BC  AB  AC (địnhlí Pitago)  AB2  BH BC G AC  CH BC  AH  BH CH  AH BC  AB AC B M C AG  AM ; GM  AM 3 * Tính chất:  Cạnh – Cạnh – Cạnh Nếu tam giác vuông:  Ba đường trung tuyến tam giác cắt điểm điểm gọi trọng tâm tam giác  Cạnh huyền – Góc nhọn  Cạnh huyền – Cạnh góc vng  Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh độ dài đường IV.Các trường hợp đồng dạng hai tam giác  góc trung tuyến  góc xen hai cạnh tỉ lệ 2.Đường cao_Trực tâm  cạnh tỉ lệ  Xuất phát từ đỉnh Nếu tam giác vng:  Vng góc cạnh đối diện  góc nhọn A  cạnh tỉ lệ J HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Quan hệ song song: H 1) Hai đường thẳng song song với chúng đồng phẳng khơng có điểm chung C B I 2) Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) d khơng nằm * Tính chất: ( ) d song song với đường thẳng d ' nằm  Ba đường cao tam giác cắt điểm điểm ( ) gọi trực tâm tam giác 3.Đường trung trực_Tâm đường tròn ngoại tiếp d  Qua trung điểm cạnh  Vng góc với cạnh d' A  I B d  ( )   d  d '   d  ( ) d '  ( ) C 3) * Tính chất:  Ba đường trung trực tam giác cắt điểm, điểm cách đỉnh tam giác tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác 4.Đường phân giác_Tâm đường tròn nội tiếp  Xuất phát từ đỉnh  Chia góc ứng với đỉnh thành góc * Tính chất:  Ba đường phân giác tam giác cắt điểm, điểm cách cạnh tam giác tâm đường trịn nội tiếp tam giác Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng a   a, b  ( )   a  b  M   ( )  ( ) a, b  ( )  A II Quan hệ vng góc: 1) Hai đường thẳng d d ' vng góc với góc J B  chúng 900 C 2) Đường phân giác tam chia cạnh đối diện thành đoạn tỉ lệ với cạnh kề đoạn Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng ( ) A E d D B DB AB  ; DC AC C I b da   db    d  ( ) ab I  a, b  ( ) A B α a EB AB  EC AC 5.Đường trung bình  Qua trung điểm hai cạnh M M b N C  MN / / BC    MN  BC  Tính chất:  Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) d vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng ( )  (Định lý đường vng góc) Cho đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng ( ) đường thẳng a nằm mặt phẳng ( ) Khi đó, điều kiện cần đủ để a vng góc với d a vng góc với hình chiếu d ' d ( ) * Tính chất:  Song song với cạnh đáy  Có độ dài cạnh đáy III.Các trường hợp hai tam giác  Cạnh – Góc – Cạnh  Góc – Cạnh – Góc d d A α d' α 3) O a a  d  a  d' Hai mặt phẳng vng góc với mặt chứa đường thẳng vng góc với mặt d' H (d ,( ))  (d , d ')   Cách tìm góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) : Tìm hình chiếu d’ d ( ) Khi góc d ( ) góc d d’: Ta trình bày sau: - Vì O  ( ) nên hình chiếu O ( ) O  d - Vì AH  ( ) nên hình chiếu A ( ) H  Hình chiếu AO HO     ( AO ,( ))  ( AO , HO )  AOH  3) d  ( )    ( )  (  ) d  (  ) Góc hai mặt phẳng: Là góc hai đường thẳng nằm mặt phẳng, vuông góc với giao tuyến  Tính chất:  Hai mặt phẳng vng góc với nhau, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng b d  I β ( )  ( )  d   a  ( ), a  d   (( ),( ))  (a, b) b  (  ), b  d  a d α   ( )  (  )  ( )  ( )  d   a  ( ) a  ( ), a  d  Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba  Cách tìm góc hai mặt phẳng ( ) ( ) : Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng ( ) (  )  Tìm đường thẳng a b nằm hai mặt phẳng ( ) (  ) mà vng góc với giao tuyến d  Khi góc hai mặt phẳng ( ) (  ) góc hai đường thẳng a b IV Khoảng cách: 1) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: d α a A β H α Từ A kẻ AH  ( )  d ( A,( ))  AH γ - ( )  ( )   (  )  ( )   d  ( ) ( )  ( )  d  Phương pháp tìm đoạn AH: Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ ( ) chứa A vng góc với mặt phẳng ( ) theo giao tuyến đường thẳng a Trong mặt phẳng ( ) , kẻ AH  a  AH  ( )  d ( A,( ))  AH III Góc: 1) Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng cắt a’ b’ song song (hoặc trùng) với a b β A b a a' a b' H α  (a, b)  (a ', b ') 2) Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) góc d hình chiếu d’ d ( ) 10 Lưu ý: Nếu AO  ( )  O d ( A,( )) AO  d ( I ,( )) IO S A I α O K D C H O 2) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:  Cách 1: Bằng độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng A B Tính chất hình chóp đều:  Đường cao qua tâm đáy  Các mặt bên tam giác cân hợp với đáy góc  Các cạnh bên hợp với đáy góc Chú ý:  Tứ giác hình vng, ta thường vẽ hình bình hành có tâm giao điểm đường chéo  Đối với tam giác ta vẽ tam giác thường có tâm giao điểm hai đường trung tuyến  Tứ diện tứ diện có tất cạnh 2) Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy: a M N b MN gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng a S  M  a  b  N  b  MN  a, MN  b  Cách 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng với mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại D A b M B α A a B d (a, b)  d (b,( ))  d ( M ,( ))  d ( M ,( ABC ))  C Chú ý: Giả thiết tốn cho hai dạng sau:  SA  ( ABCD )  (SAB ) (SAD ) vng góc với ( ABCD ) C 3VM ABC SABC Trong ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b M điểm tùy ý đường thẳng b V Hình chóp – khối chóp: Thể tích khối chóp phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao V  Sđáy  cao Một số lưu ý tính diện tích đa giác:  Trong tam giác ABC, M điểm tùy ý cạnh BC ta có: SABM BM  SABC BC 3) (SAB )  ( ABCD )  (SAD )  ( ABCD )  SA  ( ABCD ) Ta có:  (SAB )  (SAD )  SA  Cơ sở định lý: “Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó” Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy: đường cao mặt bên đường cao hình chóp S A A D H B B   C M Đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành phần có diện tích A D O B C VI Các khối hình chóp thường gặp: 1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy đa giác tất cạnh bên C Chú ý:  Cơ sở định lý: “Hai mặt phẳng vng góc với nhau, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng kia”  Đường cao SH SAB đường cao hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng  Thường toán cho “ SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy” ta trình bày sau: - Gọi H trung điểm AB - Vì SAB  SH đường cao SAB  SH  AB (SAB )  ( ABCD )  Ta có: (SAB )  ( ABCD )  AB  SH  ( ABCD )  SH  (SAB), SH  AB  VII Tỉ số thể tích khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác với S 11 V  Sđáy  cao S C' A' B' A C B Ta có: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  (Công thức dùng cho VS ABC SA SB SC khối chóp tam giác) Các trường hợp đặc biệt:  C  C' S A' B' A C B VS A ' B ' C VS ABC   SA ' SB ' SA SB C  C '; B  B ' Tính chất hình lăng trụ:  Các cạnh bên song song  Các mặt bên mặt chéo hình bình hành  Hai đáy nằm hai mặt phẳng song song, hai đa giác nhau, có cạnh tương ứng song song 1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Đối với hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên đường cao  Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy 2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy đa giác Đối với lăng trụ đều, mặt bên hình chữ nhật 3) Hình hộp:  Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với đáy  Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Thể tích hình hộp chữ nhật V  abc (a, b, c: kích thước)  Hình lập phương hình hộp chữ nhật có tất cạnh Thể tích hình lập phương V  a3 (a: độ dài cạnh) X Mặt cầu – Khối cầu: 1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R ký hiệu S(I;R) tập hợp tất điểm không gian cách điểm I cố định khoảng R không đổi Mặt cầu với phần khơng gian bên gọi khối cầu S A' A C B VS A ' BC VS ABC 2) SA '  SA Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu:  Diện tích mặt cầu: S  4 R Thể tích khối cầu: V   R3 VIII Ứng dụng cơng thức thể tích để tìm khoảng cách từ điểm đến XI Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ: mặt phẳng: 1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB 1 cạnh CD vạch thành mặt tròn xoay gọi mặt trụ Ta có: VS ABC  SABC cao  SABC d (S ,( ABC )) 3   d (S,( ABC ))  3VS ABC SABC Tương tự: d ( A,(SBC ))  3VA.SBC SSBC d (B,(SAC ))  3VB SAC SSAC d (C ,(SAB ))  3VC SAB  SSAB Trong đó: VA.SBC  VB SAC  VC SAB  VS ABC IX Hình lăng trụ - khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao A' C' 2) B' Hai cạnh AD BC vạch hai hình trịn nhau, hình tạo thành mặt trụ hai hình trịn gọi hình trụ Hai hình trịn gọi hai đáy hình trụ  Cạnh CD gọi đường sinh hình trụ  Cạnh AB gọi trục hình trụ  Khoảng cách hai đáy gọi chiều cao hình trụ  Hình trụ với phần khơng gian bên gọi khối trụ Diện tích mặt trụ thể tích khối trụ:  Diện tích xung quanh mặt trụ: Sxq  2 rl ( l : độ dài đường sinh, r : bán kính đáy ) A H C B 12 S Δ M d I C A O B  Diện tích tồn phần hình trụ: Stp  Sxq  2Sđáy  2 rl  2 r  Thể tích khối trụ: V  Sđáy cao   r h ( h : chiều cao) Gọi O trung điểm BC  O tâm đường trịn ngoại tiếp XII Mặt nón – Hình nón - Khối nón: 1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông I quay quanh cạnh IO cạnh OM vạch thành mặt trịn xoay gọi mặt nón ABC Qua O dựng đường thẳng  vng góc với mp(ABC)   trục đường tròn ngoại tiếp ABC Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi I  d   I  d  IA  IS Ta có:  I    IA  IB  IC  IA  IB  IC  IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 1  Bán kính: R  IA  AO  OI   BC   AM 2   Hình 3: Hình chóp S.ABC có ABC tam giác đều, SA  ( ABC ) S  2) Cạnh IM vạch hình trịn, hình tạo thành mặt nón hình trịn gọi hình nón Hình trịn gọi mặt đáy hình nón  Cạnh OM gọi đường sinh hình nón  Cạnh OI gọi trục hình nón Độ dài đoạn OI gọi chiều cao hình nón  Điểm O gọi đỉnh hình nón Diện tích mặt nón thể tích khối nón:  Δ M d I C A O Diện tích xung quanh mặt nón: Sxq   rl ( l : độ dài đường J sinh, r : bán kính đáy )  B Diện tích tồn phần hình nón: Stp  Sxq  Sđáy   rl   r Gọi J trung điểm BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 1  Thể tích khối nón: V  Sđáy cao   r h ( h : chiều cao) 3 XIII Cách xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp số hình chóp thường gặp Hình 1: Hình chóp S.ABC có ABC vng B, SA  ( ABC ) Qua O dựng đường thẳng  vng góc với mp(ABC)   trục đường tròn ngoại tiếp ABC Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi I  d   Cách đặc biệt I  d  IA  IS Ta có:  I    IA  IB  IC  IA  IB  IC  IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S I 2  Bán kính: R  IA  AO  OI   AJ   AM 3  C A Hình 4: Hình chóp S.ABC S B Gọi I trung điểm SC SAC vuông A  IA  IS  IC (1) M BC  AB    BC  (SAB)  BC  SB BC  SA  d  SBC vuông B  IB  IS  IC (2) Từ (1) (2)  IA  IB  IC  IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R  IS  I C A O B SC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  SO trục đường tròn ngoại tiếp ABC Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Hình 2: Hình chóp S.ABC có ABC vng A, SA  ( ABC ) 13 Gọi I  d  SO  I  d  IA  IS Ta có:   I  SO  IA  IB  IC  IA  IB  IC  IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R  IS Cách tính bán kính: SMI # SOA (Vì tam giác vng có chung góc S)      II.Tọa độ vectơ: u   x; y; z   u  xi  y j  zk IS SM SA.SM   IS      SA SO SO Đặc biệt:  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)  Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng (hoặc III.Tọa độ điểm: M ( x; y; z)  OM  ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung hình chữ nhật), SA  ( ABCD ) độ, z : cao độ) Cách đặc biệt Đặc biệt: S  M  (Oxy)  zM   I D A B C  M  (Oyz)  x M   M  (Oxz)  y M   M  Ox  yM  zM   M  Oy  x M  zM   M  Oz  x M  y M  Gọi I trung điểm SC SAC vuông A  IA  IS  IC (1) Hình chiếu vng góc điểm M ( x M ; y M ; zM ) lên: BC  AB    BC  (SAB)  BC  SB BC  SA   Trục Ox là: M1 ( x M ;0;0)  Trục Oy là: M2 (0; yM ;0)  Trục Oz là: M3 (0;0; zM )  mp(Oxy) là: M12 ( x M ; yM ;0)  mp(Oxz) là: M13 ( x M ;0; zM )  SBC vuông B  IB  IS  IC (2) CD  AD    CD  (SAD)  CD  SD CD  SA  mp(Oyz) là: M23 (0; yM ; zM )   IV.Các công thức tọa độ: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) thì:    a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )   ka  (ka1; ka2 ; ka3 ), k     SCD vuông D  ID  IS  IC (3) Từ (1), (2) (3)  IA  IB  IC  ID  IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SC Hình 6: Hình chóp S.ABCD Bán kính: R  IS  S M  d I  A D  a1  kb1    a2  kb2  a  kb  O B C Gọi O giao điểm đường chéo  SO trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi I  d  SO I  d  IA  IS Ta có:  I  SO  IA  IB  IC  ID  IA  IB  IC  ID  IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R  IS Cách tính bán kính: SMI # SOA (Vì tam giác vng có chung góc S)   a1  b1    a  b   a2  b2 “Hoành hoành, tung tung, cao a  b  cao”       a phương b (b  0)  tồn số k cho: a  kb IS SM SA.SM   IS  SA SO SO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN OXYZ I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm trục Ox,Oy,Oz đơi vng góc có véctơ   đơn vị là: i, j, k  a1 a2 a3   , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3   Tọa độ vectơ AB  ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA )   x A  xB  xI   y A  yB  Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB:  yI    zA  zB  zI    x A  xB  xC  xG   yA  yB  yC   Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:  yG    zA  zB  zC zG   V.Tích vơ hướng hai vectơ: 14    Biểu thức tọa độ tích vô hướng: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ),   b  (b1; b2 ; b3 ) thì: a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3 “Hoành nhân hoành+  tung nhân tung + cao nhân cao” Ứng dụng:   2  Độ dài vectơ: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ) a  a1  a2  a2    AB  ( xB  x A )  (yB  yA )  (zB  zA )  Góc hai vectơ:  a.b   cos(a, b )     a.b   a1b1  a2 b2  a3b3 Điều kiện hai vectơ vuông góc:    a  b  a.b   a1b1  a2 b2  a3b3   a  (a , a , a ) Định nghĩa: Cho hai vectơ   Tích có hướng hai b  (b1 , b2 , b3 )   vectơ a b vectơ xác định sau:   [ a, b ]   a2  b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2  ;    a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1  b1 b1 b2   Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D  () có VTPT  n  ( A; B; C )  Hai mặt phẳng song song với VTPT mặt VTPT mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc VTPT mặt VTCP mặt  Khoảng    cách từ M0  x0 ; y0 ; z0  đến điểm mặt phẳng Ax0  By0  Cz0  D ( ) : Ax  By  Cz  D  : d  M0 ,( )  A2  B2  C mp(Oxy ) : z   Đặc biệt: mp(Oxz) : y  mp(Oyz) : x   Các dạng tốn viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng () ta cần xác định điểm thuộc () VTPT  Thể tích tứ diện ABCD: VABCD  A( x  x )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  a12  a22  a32 b12  b22  b32 VI.Tích có hướng hai vectơ:  Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:    VABCD A ' B ' C ' D '  [ AB, AD].AA '    [ AB, AC ] AD VII.Phương trình tổng quát mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng  qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n  ( A; B; C ) là: Độ dài đoạn thẳng AB:   Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD    Diện tích tam giác ABC: SABC   AB , AC  Quy tắc: 23-31-12 Cách tính tích có hướng hai vectơ máy tính 1.Máy 570VN PLUS  ON  MODE    1: Nhập tọa độ Vectơ  a  AC  MODE    1: Nhập tọa độ Vectơ  b  AC  SHIFT    X  SHIFT    = 2.Máy 570ES PLUS  ON  MODE    1: Nhập tọa độ Vectơ  a  AC  SHIFT     1: Nhập tọa độ  Vectơ b  AC  SHIFT    X  SHIFT    = 3.Máy 570MS  ON  SHIFT     3: Nhập tọa độ  Vectơ a  AC  SHIFT     3: Nhập tọa độ  Vectơ b  AC  SHIFT     X  SHIFT   32  = Tính chất tích có hướng:         Nếu n   a, b  n  a n  b         Hai vectơ a b phương với  [a, b]         Ba vectơ a , b c đồng phẳng với  [a, b].c     ( [a, b].c gọi tích hỗn tạp ba vectơ)      (): A  x  x   B  y  y   C  z  z     Dạng 2: () qua điểm M  x ; y ; z  có cặp VTCP a , b : Dạng 1: () qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có VTPT n  A; B;C : 0 0 0     Khi VTPT () n  [ a, b ]  Dạng 3: () qua điểm M x0 ; y0 ; z0  song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0:    Khi VTPT n  VTPT n   ( A; B; C ) Dạng 4: () qua điểm không thẳng hàng A, B, C: n B A C α     Khi VTPT () n   AB, AC  Dạng 5: () mặt phẳng trung trực MN: α Ứng dụng tích có hướng:     A, B, C thẳng hàng   AB, AC         A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  AD    Suy A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng)      AB, AC  AD    M 15 I N để ủ ⃗ = ⃗ Dạng 6: () qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt (), (): d1 (): d2 M α γ β nγ nβ Qua M    ( ) :    VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2  Dạng 12: () chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): α     Khi VTPT () n( )  VTPTn ,VTPTn  d2 Dạng 7: () tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H (() tiếp diện mặt cầu (S) H): d1 M α Qua M1  d1     ( ) :    VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2  – Tìm tâm I mặt cầu (S) Dạng 13: () chứa đường thẳng d điểm M không nằm d: Qua H   – ( ) :  VTPT n( )  IH ud d A Dạng 8: () song song với mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  tiếp xúc với mặt cầu (S): M α - Trên d lấy điểm A Qua M    - ( ) :    VTPT n   AM ,VTCPu d  Dạng 14: () chứa đường thẳng cắt d1, d2: d2 – Vì () song song với ( ) nên phương trình mp() có dạng α Ax  By  Cz  m  0(m  D ) – Vì () tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d ( I ,( ))  R – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M  ()  Giải Qua M    – ( ) :    VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2  phương trình ta tìm m  Dạng 9: () qua điểm M x0 ; y0 ; z0  d1 M vuông góc với đường thẳng Dạng 15: () chứa đường thẳng song song d1, d2: AB: M1 α d1 d2 M2 – Lấy M1 thuộc d1 M2 thuộc d2 Qua M1     – ( ) :  VTPT n   M1M2 ,VTCPu d        Khi VTPT () n  AB  Dạng 10: () qua điểm M x0 ; y0 ; z0  vng góc với đường thẳng Dạng 16: () chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ():  x  x0  at  d :  y  y0  bt :  y  z  ct  β d ud ud M α α – Lấy điểm M thuộc d  M  ()    Khi VTPT () n  VTCP u d  (a; b; c) Dạng 11: () qua điểm M song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo (hoặc cắt nhau): Qua M    – ( ) :  VTPT n  VTCPu d ,VTPT n      VIII.Phương trình mặt cầu:  Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R  16 Dạng 2: Phương trình x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  với điều kiện a2  b2  c2  d  phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R = a2  b2  c  d  Điều kiện mặt cầu S ( I , R ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: d ( I ,( P ))  R Các dạng tốn viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c )2  R Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm M:  x  xo  at  d :  y  yo  bt ( t  )  z  z  ct o  Dạng 2: d qua hai điểm A, B: Qua A   d : VTCP u d  AB Dạng 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng  cho trước: – Bán kính R = IM Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB: Qua M0   d : VTCP ud  VTCPu Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với mặt phẳng (P) cho trước:  x A  xB  xI   y A  yB  – Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB:  yI    zA  zB  zI   Qua M0   d : VTCP ud  VTPT nP Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q): AB Dạng 4: Mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  (S) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (S), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  : – Bán kính R = IA = Q nP nQ ud d P – ( P ) Tìm toạ độ điểm M  d: cách giải hệ phương trình  (Q) (với việc chọn giá trị cho ẩn, thường cho x  ) – Qua M    d: VTCP ud  VTPT nP ,VTPT nQ  Dạng 6: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với hai đường thẳng d1, d2: – Bán kính: R  d (I ,(P ))  d Aa  Bb  Cc  D A2  B  C d1 ud ud1 IX.Phương trình đường thẳng: Cho đường thẳng d qua điểm  M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u  (a; b; c ) d có   x  xo  at  Phương trình tham số là:  y  yo  bt   z  zo  ct  Phương trình là: ud d2 Qua M0    d :   VTCP u d  VTCP u d1 ,VTCP u d2  ( t  ) x  x y  y0 z  z0   (nếu a, b, c a b c khác 0) Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP  Dạng 1: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u  (a; b; c) : Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm mp(P)) vng góc với đường thằng : Δ nP uΔ d P Qua M    d : VTCP u d  VTPT n P ,VTCPu   17 Dạng 8: d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2: I d1 d2 d1 J B d A d2 P – – – Tìm giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P) Khi d đường thẳng AB Giả sử d cắt d1 I, d cắt d2 J  I  d1  I ( x1  a1t1; y1  a1t1; z1  c1t1 ) Vì  ,  J  d2  I ( x2  a2t2 ; y2  a2t2 ; z2  c2t2 )    IJ u d1  – Giải hệ phương trình:    ta tìm t1 , t2 từ suy tọa  IJ u d2  độ I, J – d đường thẳng qua điểm I, J Dạng 13: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng (P): – Dạng 9: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc cắt đường thẳng : P M0 d Δ H Q d qua M hình chiếu H M0 đường thẳng  Δ uΔ Dạng 10: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1, d2: nP Q d P d2 – d P M0 Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  vng góc với mặt phẳng (P) cách: Qua M      (Q) :    VTPT nQ   n P , u   d1 – Gọi (P) = ( M , d1 ) , (Q) = ( M , d ) – Khi d = (P)  (Q) Do đó, VTCP d ud  nP , nQ     – Khi d = (P)  (Q) Dạng 14: d qua điểm M, vng góc với d1 cắt d2: Dạng 11: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2: Q d1 d2 Δ d2 N d P d1 – Gọi (P) mặt phẳng d P chứa d1 song song – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d1 – Tìm giao điểm N (P) d2 – Khi d đường thằng qua điểm MN X.Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng :  Tìm hình chiếu H điểm M mặt phẳng (P): Qua M1  d1     (P) :    VTPT n p  u  , u d1  – Gọi (Q) mặt M M phẳng chứa d2 song song : H Qua M2  d2     (Q) :    VTPT nQ  u  , u d2  P M' – Khi d = (P)  (Q) Dạng 12: d đường vng góc chung hai đường thẳng  x  x1  a1t  x  x2  a2 t   d1 :  y  y1  b1t d2 :  y  y2  b2 t chéo nhau: z  z  c t z  z  c t 1 2   – Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với Qua M   mp(P) cách: d :  VTCP u d  VTPT n p – Khi đó: H  d  (P ) Nếu tốn u cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H trung điểm MM’ nên:  xM '  xH  x M   yM '  yH  yM   zM '  zH  zM  18 Tìm hình chiếu H điểm M đường thẳng d: P M  H Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d Qua M   cách: (P ) :  VTPT n p  VTCP u d – cắt Khi đó: H  d  ( P ) Nếu toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H trung điểm MM’ nên:  x M '  x H  xM   y M '  yH  y M z  2z  z H M  M' hệ phương trình  x1  a1t1  x2  a2t2   y1  b1t1  y2  b2 t2 có nghiệm   z1  c1t1  z2  c2t2     u1 , u2      d1 // d2    A  d2     u1 , u      d1  d2    A  d2   Đặc biệt: d1  d2  u d1 u d2   a1a2  b1b2  c1c2  M' – d1 d     u1 , u2     d2       u1 , u2  AB    XIV.Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Cho mặt phẳng () mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R  d (I ,( ))  R () (S) khơng có điểm chung XI.Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P ) : A1 x  B1y  C1z  D1  (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2   (P), (Q) cắt  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2  (P) // (Q)  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2     Đặc biệt: (P)  (Q)  n P  nQ  n P nQ   A1 A2  B1B2  C1C2  XII.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  đường thẳng d:   (P)  (Q)  ta nói () tiếp xúc với (S) H H gọi tiếp điểm, (P) gọi tiếp diện (S) H  x  x0  ta   y  y0  tb   z  z0  tc Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta phương trình bậc ẩn t:  mp(), bán kính (C) r  R  d với d  d (I ,( ))  x  x1  a1t  x  x2  a2 t   Cho hai đường thẳng d1 :  y  y1  b1t d2 :  y  y2  b2 t z  z  c t z  z  c t 1 2    d1 qua A( x1; y1; z1 ) có VTCP u1  (a1; b1; c1 )  d2 qua B( x2 ; y2 ; z2 ) có VTCP u  (a2 ; b2 ; c2 ) A thuộc d2 u1 phương u2 Xét A d2 Tính [u1,u2] [u1,u2]AB = [u1,u2] ≠ Tính [ u1,u2]AB u1 không phương u2  A không thuộc d2 [u1,u2]AB ≠  Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu I mp() d ( I ,( ))  R () (S) cắt theo giao tuyến đường tròn (C) Tâm H đường trịn (C) hình chiếu I A( x0  at )  B( y0  bt )  C ( z0  ct )  D  (*)  TH1: (*) có nghiệm d cắt (P)  TH2: (*) vơ nghiệm d // (P)  TH3: (*) có vơ số nghiệm d  (P)      Đặc biệt: d  ( P )  n p phương u d   n P , u d     XIII.Vị trí tương đối hai đường thẳng: [u1,u2] = d (I ,( ))  R () (S) có điểm chung H Khi XV.Khoảng cách:  Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = M d  M0 ,( )  d1 ≡ d2 d1 // d2 Ax0  By0  Cz0  D α A2  B  C  Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng  Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng d1 cắt d2 d1 chéo d2    d1 chéo d2   u1 , u2  AB    19 d M  P H   Khoảng cách từ điểm M đến đường thằng  :   Cách 1: Giả sử đường thẳng  qua M0 có vectơ  phương u Ta có:    M M ,u   d  M,   u   Cách 2: P  M Δ H    a  b Hai vectơ nhau: a  b   1 “hoành hoành, a2  b2 tung tung”    Tọa độ a  b, ka :   a  b  (a1  b1; a2  b2 )  ka  (ka1; ka2 )  Cơng thức tính tọa độ vectơ: AB  ( xB  x A ; yB  yA )  x A  xB  x I  I trung điểm AB    y  y A  yB  I  x A  x B  xC  xG  G trọng tâm ABC    y  y A  yB  yC  G Tích vơ hướng hai vectơ:      a.b  a b cos a, b   a.b  a1.b1  a2 b2 “hoành x hoành + tung x tung”    – Tìm tọa độ hình chiếu H M đường thẳng  – Khi d ( M ,  )  MH   Khoảng cách hai đường thẳng song song 1  : Bằng khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng 1 đến  đường thẳng  P M1 Δ1 H  Δ2 M2  d (1 ,  )  d ( M1 ,  )  MH  Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1  : Điều kiện vng góc hai vectơ:    a  b  a.b   a1 b1  a2 b2  Độ dài vectơ - khoảng cách hai điểm:   a  (a1; a2 )  a  a12  a22   AB  AB  ( xB  x A )2  (yB  y A )2     a1.b1  a2 b2 a.b Góc hai vectơ: cos a, b     a.b a1  a22 b12  b22   Cơng thức tính diện tích tam giác:   AB  ( x; y)   AC  ( x '; y ') SABC  x y  xy ' x ' y x' y'  Cách 1: Giả sử đường thẳng 1 qua điểm M1 có vectơ II.Phương trình đường thẳng mặt phẳng  phương u1 , đường thẳng  qua điểm M2 có 1.Phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng:   Đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) , nhận u  (a; b) làm vectơ vectơ phương u2 Ta có:    phương có:  u , u  M M  2  x  x0  at d (1 ,  )     Phương trình tham số là:  u , u  t      y  y0  bt  Cách 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1  khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng M2 H Δ2 Δ1 α  Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 song  song với  cách: – Qua M1   ( ) :   VTPT n( )  VTCP Khi đó: d (1 ,  )  d ( M2 ,( ))  u 1 ,VTCP Phương trình tắc: A( x  x0 )  B( y  y0 )  M1 – x  x0 y  y0   a  0, b  0 a b 2.Phương trình tổng quát đường thẳng:  Phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm  M0 ( x0 ; y0 ) , nhận n  ( A; B) làm vectơ pháp tuyến là:   u 2     HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY I.Các công thức tọa độ:   Cho hai vectơ a  (a1; a2 ); b  (b1; b2 ) 20 Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát  Ax  By  C  , vectơ pháp tuyến (d) n  ( A; B)  Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  ( A; B) d có   vectơ phương u  ( B; A) hay u  (B;  A)  Nếu đường thẳng d có vectơ phương u  (a; b) d có   vectơ pháp tuyến n  (b; a) hay n  (b; a) Cho đường thẳng d có phương trình tổng qt Ax  By  C  :  Nếu d’ song song với d d’ có phương trình Ax  By  m  (m  D )  Nếu d’ vng góc với d d’ có phương trình  Bx  Ay  m  3.Phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc cho trước: Cho đường thẳng Ax  By  C  : hai điểm M ( x M ; y M ), N ( x N ; yN )    Phương trình đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) , có hệ số góc k là: M, N nằm phía đối ( Ax M  ByM  C )( Ax N  ByN  C )  với    y  y0  k ( x  x0 ) M, N nằm khác phía   ( Ax M  ByM  C )( Ax N  ByN  C )  4.Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng: VII.Góc hai đường thẳng:  Để lập phương trình tham số phương trình tắc Cho hai đường thằng đường thẳng  ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 )   1 : A1 x  B1y  C1   VTCP u  (a; b)   : A2 x  B2 y  C2   x  x0  at PTTS :  A1 A2  B1B2  y  y0  bt cos  1 ,    A1  A22 B12  B22 x  x y  y0 PTCT :  (a, b  0) VII.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: a b Cho M0 ( x0 ; y0 )  : Ax  By  C   Để lập phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác  định điểm M0 ( x0 ; y0 )   VTPT n  ( A; B) Ax0  By0  C d ( M , )   A2  B PTTQ : A( x  x0 )  B( y  y0 )  IX.Tìm hình chiếu điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Dạng 1: Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B: A B M Qua A    AB :  VTCP u  AB  VTPT n d H Dạng 2: Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC A Qua A   AH :  VTPT n  BC B C H Dạng 3: Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC  x  xC yB  yC  ; Vì M trung điểm BC nên M  B    A Qua A    AM :  VTCP u  AM  VTPT n B M C M' Để tìm điểm H hình chiếu điểm M đường thẳng d, ta thực sau:  Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với d, cách: Qua M   : VTCP u  VTPT nd  Khi H = d   Nếu tốn u cầu tìm M đối xứng với M qua d, ta có H trung điểm MM nên:  xM '  xH  xM   xM '  yH  yM X.Phương trình đường trịn mặt phẳng  Dạng 1: Đường trịn tâm I(a;b) bán kính R: ( x  a)2  ( y  b)2  R (C) Dạng 4: Viết phương trình đường trung trực AB  x  x B y A  yB  ; Gọi M trung điểm AB  M  A    d A B M Qua M   d : VTPT n  AB   2 Dạng 2: Cho phương trình x  y  2ax  2by  c  * 2  Nếu a  b  c  * phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính R  a2  b2  c XI.Các dạng tốn viết phương trình đường trịn Để lập phương trình đường trịn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường tròn (C) là: ( x  a)2  ( y  b)2  R V.Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng 1 : A1 x  B1y  C1   : A2 x  B2 y  C2  Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình:  A1 x  B1y  C1  (1)   A2 x  B2 y  C2  I A A B  1 cắt 2  hệ (1) có nghiệm  (nếu A2 , B2 , C2  ) A2 B2  1 // 2  hệ (1) vơ nghiệm – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có đường kính AB A1 B1 C1   (nếu A2 , B2 ,C2  ) A2 B2 C2  1  2  hệ (1) có vô số nghiệm B A1 B1 C1   (nếu A2 , B2 ,C2  ) A2 B2 C2 I A    Đặc biệt: 1    n1  n2  A1 A2  B1B2  VI.Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng 21   x  x B y A  yB  ; – Tâm I trung điểm AB  I  A    Dạng 3: Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : Ax  By  C  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2 AB  2 Dạng 3: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng  – Bán kính R = I  – Bán kính R = d ( I ,  ) - Giả sử  tiếp tuyến đường trịn d Vì nên phương trình  :  Bx  Ay  m  -  tiếp tuyến với (C)  d I ,   R  Tìm m   Dạng 4: Tiếp tuyến qua điểm M ( x0 ; y0 ) Dạng 4: (C) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) – Phương trình (C) có dạng: x  y  2ax  2by  c  (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c  phương trình (C) Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng  – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d  – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 có tâm nằm đường thẳng d d (I , 1 )  d (I , 2 ) – Tâm I (C) thoả mãn:  I  d – Bán kính R = d ( I , 1 ) Dạng 7: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng  – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB I  d – Tâm I (C) thoả mãn:  d ( I , )  IA – Bán kính R = IA Dạng 8: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng  điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng  qua B vng góc với  – Xác định tâm I giao điểm d  – Bán kính R = IA XII.Các dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến đường trịn  Dạng 1: Tiếp tuyến đường tròn điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đường tròn Qua M   : Vtpt n   IM  Dạng 2: Tiếp tuyến d : Ax  By  C  song song với đường thẳng - Giả sử  tiếp tuyến đường tròn  / /d Vì nên phương trình  : Ax  By  m  0(m  C ) -  tiếp tuyến với (C)  d I ,   R  Tìm m   22 - Giả sử  tiếp tuyến qua M có hệ số góc k  : y  k ( x  x )  y0 -  tiếp xúc với (C) nên d I ,   R  Tìm k   Lưu ý: Nếu khơng tìm tiếp tuyến ta phải xét đường thẳng  : x  x (là đường thẳng qua M khơng có hệ số góc)   Kiểm tra điều kiện tiếp xúc d I ,   R ... KHƠNG GIAN I Quan hệ song song: H 1) Hai đường thẳng song song với chúng đồng phẳng khơng có điểm chung C B I 2) Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) d khơng nằm * Tính chất: ( ) d song song... hình lăng trụ:  Các cạnh bên song song  Các mặt bên mặt chéo hình bình hành  Hai đáy nằm hai mặt phẳng song song, hai đa giác nhau, có cạnh tương ứng song song 1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ... Dạng 11: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2: Q d1 d2 Δ d2 N d P d1 – Gọi (P) mặt phẳng d P chứa d1 song song – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d1 – Tìm giao điểm N