tóm tắt kiến thức oxy (ôn thi thpt quốc gia môn toán)

Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu TOẠ ĐỘ PHẲNG CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG Định nghĩa Đoạn thẳng nối đỉnh trung điểm cạnh đối diện gọi đường trung tuyến Trong tam giác vuông, đường trung truyến ứng với cạnh huyền có độ dài nửa cạnh huyền B AM  M BC C A Trong tam giác cân A, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A vừa đường cao, đường trung trực đường phân giác A Các đường tam giác Đường trung tuyến B M C Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh độ dài đường trung tuyến qua đỉnh A AG  I M G B Đường phân giác Định nghĩa Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa N 2 AN ; BG  BI ; CG  CM 3 C Đường thẳng qua đỉnh chia góc đỉnh thành góc đợc gọi tia phân giác Điểm nằm tia phân giác cách hai cạch góc Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu A O MA=MB M B CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG Trong tam giác cân A, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A vừa đường cao, đường trung trực đường trung tuyến A B Đường phân giác C M Ba đường phân giác qua điểm Điểm cách cạnh tam giác Điểm tâm đường tròn nội tiếp tam giác A Các đường tam giác R=OM O B Định nghĩa C M Đường thẳng qua trung điểm cạnh vuông góc với cạnh gọi đường trung trực Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng N Đường trung trực A M B Trong tam giác cân A, đường trung trực cạnh BC đối diện đỉnh A vừa đường cao, đường phân giác Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu đường trung tuyến A B CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ M C PHƢƠNG PHÁP DẠNG Ba đường trung trực qua điểm Điểm cách đỉnh tam giác Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A Đường trung trực O R=OA=OB=OC C B Các đường tam giác Định nghĩa Đoạn thẳng vuông cách hạ từ điểm xuống cạnh đối diện gọi đường cao Ba đường cao qua điểm, điểm gọi trực tâm tam giác A Đường cao H B Đường tròn bàng tiếp tam giác Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa C Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác giao điểm đường phân giác với hai đường phân giác hai đỉnh lại tam giác Thầy Hoàng Hải CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ FB: Hoàng Hải Edu Toạ độ điểm Hệ toạ độ không gian Toạ độ điểm, vectơ yếu tố liên quan Hình chiếu vuông góc điểm M (a,b) trên: - trục Ox điểm M1(a,0) - trục Oy điểm M2(0,b) Khoảng cách từ M(a,b) đến: - trục Ox=b - trục Oy=a Điểm đối xứng với điểm M(a,b) qua - trục Ox M1(a,-b) - trục Oy M2(-a,b) - gốc toạ độ M3(-a,-b) AB  ( xB  xA , yB  y A ) AB  AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2 Liên hệ toạ độ vectơ toạ độ điểm mút Biểu thức toạ độ vectơ ứng dụng PHƢƠNG PHÁP DẠNG Chứng minh điểm thẳng hàng Tích vô hướng Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa Trung điểm I AB: x A  xB   xI  I  y  y A  yB  I Trọng tâm G tam giác ABC xA  xB  xC  x  G  G  y  y A  yB  yC  G Ba điểm A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) thẳng hàng (điều kiện cần đủ) x x y y AB  k AC   x2  x1 y2  y1 Tích vô hướng vectơ v1 ( x1; y1 ) , v2 ( x2 ; y2 ) xác định Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu v1.v2  x1.x2  y1 y2 Góc vectơ Góc hai vectơ cos = v1 ( x1; y1 ) , v2 ( x2 ; y2 ) xác định x1.x2  y1 y2 x12  y12 x2  y2 Diện tích tam giác có đỉnh Diện tích tam giác CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ SABC A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) cho công thức x1 y1 1  x2 y2 x3 y3 PHƢƠNG PHÁP DẠNG PT tổng quát: VTPT: n  (a; b) a  b2  PT: ax  by  c  PT tham số u  (a; b) M(x0; y0)  x  x0  at tR PT:   y  y0  bt VTCP Dạng phương trình Đường thẳng PT tắc x  x0 y  y0  a b Phương trình Với A(x0;0) B(0;y0 PT đoạn chắn Qua A( a; 0) ; B(0; b) PT: x y  1 a b Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm Lập phương trình Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa Đường thẳng (d) qua M1 ( x1; y1 ) , M ( x2 ; y2 ) M1 ( x1; y1 ) , M ( x2 ; y2 ) xác định bởi: qua M1 ( x1; y1 ) x  x1 y  y1 (d ) :   (d ) :  x2  x1 y2  y1 qua M ( x2 ; y2 ) Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm a.Phương trình vectơ đường thẳng: M ( x0 ; y0 ) có vtcp a(a1; a2 ) M  (d )  t  R : M M  t.a b.Phương trình tham số đường thẳng:  x  x0  a1t (d ) :  , tR y  y  a t  c.Phương trình tắc đường thẳng: (d ) : x  x0 y  y0  a1 a2 d.Phương trình tổng quát đường thẳng: (d ) : a2 x  a1 y  a2 x0  a1 y0  CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm a.Phương trình vectơ đường thẳng: M ( x0 ; y0 ) có vtpt n(n1; n2 ) M  (d )  t  R : M M  t.a b.Phương trình tổng quát đường thẳng: (d ) : n1 ( x  x0 )  n2 ( y  y0 )  c.Phương trình tham số đường thẳng  x  x0  n2t (d ) :  , tR  y  y0  n1t Đường thẳng Phương trình Lập phương trình d.Phương trình tắc đường thẳng: (d ) : x  x0 y  y0  n2 n1 Chú ý: Đường thẳng (d) có vtpt n(n1; n2 ) có dạng: (d ) : n1 x  n2 y  m  Để xác định (d) ta xác định m Phương trình đường thẳng (d) vuông góc (d’):Ax+By+C=0 có dạng: (d): By-Ax+m=0 Để xác định (d) ta cần xác định m Viết phương trình đường thẳng (d) qua M0(x0;y0) có hệ số góc k qua M ( x0 ; y0 ) (d ) :   (d ) : y  k ( x  x0 )  y0 : hsg k Chuyển dạng Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa a.Cho đường thẳng (d) có dạng tham số: Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu phương trình  x  x0  a1t (d ) :  , tR  y  y0  a2t (I) Khử t từ phương trình (I) ta được:  x  x0 t  a x  x0 y  y0  (I )     a1 a2 t  y  y0  a2 (1) Phương trình (1) phương trình tắc đường thẳng (d) Khử t từ phương trình (I) ta được: a2 x  a2 x0  a2 a1t (I )    a2 x  a1 y  a2 x0  a1 y0  a y  a y  a a t 1  Phương trình (2) phương trình tổng quát đường thẳng (d) CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG b.Cho phương trình (d) có dạng tổng quát: Ax+By+C=0 Để chuyển (d) dạng tham số, tắc ta thực sau: a vtcp, ta có a( B; A) Bước 2: Tìm điểm M ( x0 ; y0 )  (d ) Bước 1: gọi Phương trình Chuyển dạng phương trình Đường thẳng Bước 3: Vậy  qua M ( x0 ; y0 ) (d ) :   vtcp a( B; A) Từ ta có được:  x  x0  Bt , tR  y  y  At  x  x0 y  y0 -Phương trình tắc (d) là:  B A 1.Cho hai đường thẳng (d1 ), (d ) có phương trình tham số -Phương trình tham số (d) là: Vị trí tương đối hai đường thẳng Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa  x  x1  a1t  x  x2  b1u (d1 ) :  ,  t  R  ; (d ) :  , (u  R)  y  y1  a2t  y  y2  b2u Lập hệ phương trình tạo (d1 ), (d ) theo hai ẩn t, u ta (2) Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu  x1  a1t  x2  b1u a1t  b1u  x2  x1    y1  a2t  y2  b2u a2t  b2u  y2  y1 (I) Giải hệ phương trình (I) a1 b1 x2  x1    (d1 ) / /(d ) a2 b2 y2  y1 a b Nếu hệ có nghiệm    (d1 )  (d )   A Toạ độ điểm A nhận cách thay a2 b2 giá trị t vào phương trình (d1 ) u vào phương trình (d ) a b x  x1 Nếu hệ có vô số nghiệm     (d1 )  d ) a2 b2 y2  y1 2.Cho hai đường thẳng (d1 ), (d ) có phương trình Nếu hệ vô nghiệm   x  x1  a1t (d1 ) :  ,  t  R  ; (d ) : Ax  By  C   y  y1  a2t CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG Thay x, y từ phương trình tham số đường thẳng (d1 ) vào phương trình tổng quát đường thẳng (d ) A( x1  a1t )  B( x2  a2t )  C   ( Aa1  Ba2 )t  Ax1  By1  C  Nếu phương trình (1) vô nghiệm (d1 ) / /(d2 ) Nếu phương trình (1) có nghiệm Đường thẳng Vị trí tương đối hai đường thẳng (d1 ) cắt (d ) Toạ độ giao điểm nhận cách thay giá trị t vào phương trình tham số đường thẳng Nếu hệ có vô số nghiệm Cho hai đường thẳng (d1 ) (d1 )  d2 ) (d1 ), (d2 ) có phương trình tổng quát: (d1 ) : A1 x  B1 y  C1  ; (d2 ) : A2 x  B2 y  C2  Lập hệ phương trình tạo (d1 ), (d ) theo hai ẩn x y ta  A1 x  B1 y  C1   A1 x  B1 y  C1    A2 x  B2 y  C2   A2 x  B2 y  C2 Giải hệ phương trình cách tính định thức Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa (1) Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu D A1 B1 Dx  -C1 B1 A2 B2  A1B2  A2 B1 -C2 B2  C1B2  C2 B1 ; Dy  Nếu hệ vô nghiệm Nếu hệ có nghiệm CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ A2 -C2   AC  A2C1 D  A B C     Dx      (d1 ) / /(d ) A2 B2 C2  D  y   khoảng cách h Nếu hệ vô nghiệm A1 -C1 (d1 ), (d2 ) cho bởi: h  C1  C2 A12  B12  D   (d1 )  (d2 )  I  có toạ độ: x   D  Dx  Dy   A1 B1 C1    (d1 )  (d2 ) A2 B2 C2 PHƢƠNG PHÁP DẠNG 4.Cho hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) có phương trình hệ số góc (d1 ) : y  k1 x  m1 , (d2 ) : y  k2 x  m2 Đường thẳng Vị trí tương đối hai đường thẳng k1  k2 m1  m2 a (d1 ) / /(d )   k  k2 (d1 )  (d )   m1  m2 c (d1 )  (d2 )  k1  k2 b d Chùm đường thẳng Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa (d1 )  (d2 )  k1.k2  1 Cho hai đường thẳng căt nhau: (d1 ) : A1 x  B1 y  C1  ; (d2 ) : A2 x  B2 y  C2  Mọi đường thẳng qua giao điểm (d1 ), (d2 ) có phương trình dạng: Dy Dx , y D D Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu  ( A1 x  B1 y  C1 )   ( A2 x  B2 y  C2 )  , ,   R ,     (1) Không tính tổng quát, ta giả sử   Khi phương trình (1) viết dạng:  A1 x  B1 y  C1  ( A2 x  B2 y  C2 )    đặt m  , ta được: A1 x  B1 y  C1  m( A2 x  B2 y  C2 )   hay ( A1  mA2 ) x  ( B1  mB2 ) y  C1  mC2  có vtcp a( B1  mB2 ; A1  mA2 ) Đường thẳng chum song song với đường thẳng () cho trước Bước 1: xác định vtcp b( B, A) () Bước 2: đường thẳng chùm song song với đường thẳng ()  B1  mB2 A1  mA2  m B A Đường thẳng chùm vuông góc với đường thẳng () cho trước Bước 1: xác định vtcp b( B, A) () Bước 2: đường thẳng chùm vuông góc với đường thẳng ()  a.b   ( B1  mB2 ) B  ( A1  mA2 ) A   m CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG Đường thẳng chùm tạo với đường thằng () cho trước góc Bước 1: xác định vtcp Chùm đường thẳng Bước 2: đường thẳng chùm tạo với đường thẳng () góc  cos  Đường thẳng A( A1  mA2 )  B( B1  mB2 ) A2  B ( A1  mA2 )2  ( B1  mB2 )2 Cho hai đường thẳng Góc khoảng cách b( B, A) () Góc Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa Cách 1: Gọi Khi đó, gọi   m (d1 ), (d2 ) cắt Xác định góc tạo (d1 ), (d2 ) a, b theo thứ tự vtcp (d1 ), (d2 ) suy a(a1; a2 ), b(b1; b2 )   g  (d1 );(d )   cos  a1b1  a2b2 a12  a2 b12  b2 Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu -Nếu I1I  R1  R2  (C1 ), (C2 ) tiếp xúc -Nếu R1  R2  I1I  R1  R2  (C1 ), (C2 ) cắt điểm phân biệt Phương pháp sử dụng để xác định số nghiệm toán tiếp tuyến chung hai đường tròn Phƣơng pháp 2: xét hệ phương trình tạo (C1 ), (C2 ) 2   x  y  2a1 x  2b1 y  c1   x  y  2a1 x  2b1 y  c1     (*)   Ax  By  C   x  y  2a2 x  2b2 y  c2  (I) A  2(a1  a2 ), B  2(b1  b2 ), C  c1  c2 phương trình (*) trục đẳng phương (d) (C1 ), (C2 ) Để xét vị trí tương đối (C1 ), (C2 ) ta xét vị trí tương đối (C1 ) với trục đẳng phương (d) (C1 ), (C2 ) Ta lựa chọn hai hướng sau: Vị trí tương đối Đường tròn đường tròn Hướng 1: Gọi h  d  I1 , (d )   Aa1  Bb1  C A2  B -Nếu h  R1  (d )  (C1 )    (C1 )  (C2 )   h  R1  (d ) tiếp xúc (C1 )  (C1 ) tiếp xúc (C2 ) -Nếu h  R1  (d ) cắt (C1 )  (C1 ) cắt (C2 ) hai điểm phân biệt A, B -Nếu Đường tròn Hướng 2: xét hệ phương trình (I)  f ( x)    g ( y)  (1) -Nếu phương trình (1) vô nghiệm  (C1 )  (C2 )   -Nếu phương trình (1) có nghiệm kép  (C1 ) tiếp xúc với (C2 ) tiếp điểm H có toạ độ nghiệm kép phương trình (1) -Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  (C1 ) cắt (C2 ) hai điểm phân biết A, B có toạ độ nghiệm phương trình (1) Cho đường tròn (C) có phương trình: x2  y  2ax  2by  c  (a  b2  c  0) (hoặc ( x  a)2  ( y  b)2  R2 ) có tâm I (a, b) bán kính R  a  b  c Để xác định phương trình tiếp tuyến (C) ta xét hai khả năng: Khả 1: biết tiếp điểm Nếu biết tiếp điểm M ( x0 , y0 ) ta sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ phương trình tiếp tuyến: Tiếp tuyến Tiếp tuyến đường tròn x.x0  y y0  a( x  x0 )  b( y  y0 )  c  ( x  a)( x0  a)  ( y  b)( y0  b)  R Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa Thầy Hoàng Hải CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ FB: Hoàng Hải Edu PHƢƠNG PHÁP DẠNG Khả 2: tiếp điểm Ta lựa chọn hai cách sau Cách 1: tìm tiếp điểm sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải Giả sử tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) phương trình tiếp tuyến có dạng: x.x0  y y0  a( x  x0 )  b( y  y0 )  c  ( x  a)( x0  a)  ( y  b)( y0  b)  R (1) Điểm M  (C )  x02  y02  2ax0  2by0  c  ( x0  a)2  ( y0  b)2  R2 (2) Sử dụng điều kiện giả thiết thiết lập phương trình theo x0 , y0 (3) Giải hệ phương trình tạo (2), (3) ta toạ độ tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) , từ thay vào (1) ta Tiếp tuyến đường tròn Đường tròn phương trình tiếp tuyến cần xác định Cách 2: ta xét hai trường hợp: a.Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng: x  a  R Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đề b.Xét tiếp tuyến không vuông góc với Ox, có dạng: y  kx  m Muốn tìm tiếp tuyến dạng ta cần lập hệ theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ suy từ điều kiện tiếp xúc (d) (C) -Phương trình thứ hai suyu từ điều kiện cho thêm đầu Ví dụ như: (d) qua A( xA , y A )  y A  kxA  m (d) có phương cho trước  hệ số góc k Tiếp tuyến (d) hợp với () (có hsg k1 ) góc   tan   k1  k Cho hai đường tròn  kk1 (C1 ), (C2 ) có phương trình (C1 ) : x2  y  2a1 x  2b1 y  c1  (a12  b12  c1  0) có tâm I1 (a1 , b1 ) bán kính R  a12  b12  c1 (C2 ) : x2  y  2a2 x  2b2 y  c2  (a22  b22  c2  0) có tâm I (a2 , b2 ) bán kính R  a2  b2  c2 Để tìm tiếp tuyến chung (nếu có) Tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1 ), (C2 ) ta xét hai trường hợp: a.Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng x  a1  R1 Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu b.Xét tiếp tuyến không vuông góc vơi Ox có dạng y  kx  m Để tìm tiếp tuyến dạng ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ suy từ điều kiện tiếp xúc (d) (C1 ) -Phương trình thứ hai suy từ điều kiện tiếp xúc (d) Chú ý: Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa (C2 ) Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu a.Để kiểm tra lại kết quả, ta nhớ rắng: -Nếu (C1 ), (C2 ) nhau: có tiếp tuyến chung CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG (C2 ) tiếp xúc ngoài: có tiếp tuyến chung (C2 ) cắt nhau: có tiếp tuyến chung (C2 ) tiếp xúc trong: có tiếp tuyến chung (C2 ) nằm nhau: tiếp tuyến chung b.Trong trường hợp (C1 ), (C2 ) ta sử dụng tính chất sau để xác định phương trình tiếp (C1 ), -Nếu (C1 ), -Nếu (C1 ), -Nếu (C1 ), -Nếu Tiếp tuyến chung hai đường tròn tuyến chung: -Tiếp tuyến chung hai đường tròn qua điểm I chia đoạn nối tâm - Tiếp tuyến chung hai đường tròn qua điểm J chia đoạn nối tâm I1 I theo tỷ số R1 I1 I theo tỷ số R2  R1 Vậy toán trường hợp thực theo hai bước: Bước 1: tìm I, J theo thứ tự chia đoạn Đường tròn I1 I theo tỉ số  R1 Bước 2: lập phương trình tiếp tuyến qua I, J tiếp xúc với Tiếp tuyến R2 (C1 ) (hoặc (C2 ) ) (C ) : ( x  a)2  ( y  b)2  R2 Tiếp tuyến với (C) M ( x0 ; y0 )  (C ) có dạng: Cho đường tròn  x a  y0  b  ( x  a)( x0  a)  ( y  b)( y0  b)  R  ( x  a)    ( y  b)  R  R   R  Ta có: M ( x0 ; y0 )  (C )  ( x0  a)  ( y0  b)  R   x0  a    y0  b    R   R  Họ tiếp tuyến với đường tròn đặt x0  a y b  cos ,  sin  , R R   [0; 2 ) (d ) (C) có dạng: ( x  a)cos  ( y  b)sin   R Ta gọi tiếp tuyến (d ) với tham số  họ tiếp tuyến (C) Toạ độ tiếp điểm (C) với (d ) là:  x  a  Rcos   y  b  R sin  Khi tiếp tuyến Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa R2 Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu Elip (E) tập hợp điểm cho tổng khoảng cách tới hai điểm cố định phân biệt Elip Định nghĩa CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ khoảng không đổi 2a, lớn khoảng cách F1 , F2 F1 F2 Hai điểm cố định F1 , F2 gọi hai tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 =2c gọi tiêu cự Đường thẳng F1 F2 : tiêu trục; trung điểm I F1 F2 tâm (E) PHƢƠNG PHÁP DẠNG Trong mp Oxy, (E) có tiêu điểm điểm tuỳ ý F1 (c;0), F2 (c,0) có tổng hai bán kính qua tiêu điểm ứng với M ( x, y)  ( E) 2a (a>c) elip (E) có phương trình: x y   (a  b); c2  a  b2 a b a.Nếu điểm M ( x, y)  ( E )  M1 ( x, y), M ( x,  y), M ( x,  y) thuộc (E) Vậy (E) nhận trục toạ độ trục đối xứng, góc toạ độ O làm tâm đối xứng b.(E) cắt trục toạ độ điểm - ( E )  Ox   A1 , A2  có toạ độ A1 (a,0), A2 (a,0), Phương trình - ( E )  Oy  B1 , B2  có toạ độ -Bốn điểm Elip A1 A2  2a gọi trục lớn B1 (0, b), B2 (0, b), B1B2  2b gọi trục nhỏ A1 , A2 , B1 , B2 gọi bốn đỉnh elip (E) c.Hình chữ nhật sở có đỉnh giao điểm đường thẳng x  a đường thẳng Vậy elip (E) nằm hình chữ nhật có tâm đối xứng O, kích thước 2a, 2b d.Từ M ( x, y)  ( E ) Cơ  x2 1   a  x  a  a2 x a    b  y  b   y 1  y b  b Dạng1: Cho elip (E) có phương trình Elip có trục đối xứng trùng với trục toạ độ Xét hai trường hợp: a.Nếu a>b (E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài 2a chứa hai tiêu điểm (E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài 2b Tâm sai: Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa x2 y  1 a b2 e c (0  e  1) a F1 (c,0), F2 (c,0), c  a  b2 y  b Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu b.Nếu ab (E) : (1) (x  ) ( y   )  1 a2 b2 Elip có trục đối xứng phương với trục toạ độ C2  I ( ,  ) , hai trục đối xứng phương với hai trục toạ độ (E) có trục lớn // Ox có độ dài 2a, chứa hai tiêu điểm F1 (c   ,  ), F2 (c   ,  ), c2  a  b2 (E) có trục nhỏ // Oy có độ dài 2b Tâm sai e c (0  e  1) a b.Nếu ac) hypebol (H) có phương trình: x2 y   (a  b); b2  c2  a 2 a b a.Nếu điểm M ( x, y)  ( E )  M1 ( x, y), M ( x,  y), M ( x,  y) thuộc (H) Vậy (H) nhận trục Cơ Phương trình toạ độ trục đối xứng, góc toạ độ O làm tâm đối xứng b.(H) cắt trục toạ độ điểm - ( H )  Ox   A1 , A2  có toạ độ -(H) không cắt Oy Đặc biệt A1 (a,0), A2 (a,0), A1 A2  2a gọi trục thực B1 (0, b), B2 (0, b), B1B2  2b gọi trục ảo -Vậy trục thực Hypebol trục đối xứng cắt Hypebol, trục ảo trục đối xứng không cắt Hypebol c.Từ M ( x, y)  ( H )  x  a x2 1 x  a   a  x  a Như Hypebol (H) tập hợp hai tập không giao -Tập (H) chứa điểm M(x,y) thoả mãn x  a gọi nhánh bên trái Hypebol CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG -Tập (H) chứa điểm M(x,y) thoả mãn x  a gọi nhánh bên phải Hypebol -Hai nhánh đối qua trục ảo hai nhận trục thực làm trục đối xứng d.Từ Cơ Phương trình b x  a2 a b x a b -Khi x   :(H) có đường tiệm cận y   x a 2 x y e.Cách dựng Hypebol (H):   a b -Xác định điểm A1 (a,0), A2 (a,0), B1 (0, b), B2 (0, b) hệ toạ độ -Khi Hypebol M ( x, y)  ( H )  y   x   : (H) có đường tiệm cận y  -Dựng đường thẳng x  a, y  b cắt P, Q, R, S -Hình chữ nhật PQRS có kích thước 2a, 2b gọi hình chữ nhật sở Hypebol (H) -Kẻ hai đường tiệm cận hai đường chéo hình chữ nhật sở -Dựa hai đỉnh Hypebol liên Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa A1 , A2 hai tiệm cận để vẽ Hypebol Hai Hypebol có phương trình: Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu hợp x2 y x2 y ( H1 ) :   1, (H ) :   1 a b a b gọi hai Hypebol liên hợp Chú ý: Hai Hypebol liên hợp: -Có chung đường tiệm cận hình chữ nhật sở -Có tiêu điểm cà đỉnh khác -Trục thực Hypebol trục ảo Hypebol ngược lại x2 y Dạng1: Cho Hypebol (H) có phương trình   a b Hypebol có trục đối xứng trùng với trục toạ độ (H) có trục thực thuộc Ox, độ dài 2a chứa hai tiêu điểm (H) có trục ảo thuộc Oy với độ dài 2b Tâm sai: e c (e  1) a (H) nhận hai đường tiệm cận có phương trình: CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ b y x a PHƢƠNG PHÁP DẠNG Dạng 2: Cho Hypebol (H) có phương trình x2 y   1 a b2 (H) có trục thực thuộc Oy, độ dài 2b chứa hai tiêu điểm Hypebol Cơ Hypebol có trục đối xứng trùng với trục toạ độ F1 (c,0), F2 (c,0), c  a  b2 F1 (0, c), F2 (0, c), c  a  b2 (H) có trục ảo thuộc Ox với độ dài 2a Tâm sai: e c (e  1) b b y x a 2 2 Dạng 3: Cho Hypebol (H) có phương trình A x  B y  C (H) nhận hai đường tiệm cận có phương trình: C2  Hypebol có trục Cho Hypebol (H) có phương trình: Ax2  By  Cx  Dy  E  Để chuyển (H) dạng tắc ta chia hai vế cho đối xứng phương với trục toạ độ Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa Biến đổi phương trình (1) dạng: (H ) : (1) (x  ) ( y   ) ( x   )2 ( y   )2   ( H ) :   1 a2 b2 a2 b2 2 Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu Dạng 1: Hypebol (H) có phương trình: ( H ) : ( x   )2 ( y   )2  1 a2 b2 I ( ,  ) , hai trục đối xứng phương với hai trục toạ độ 2 (H) có trục thực // Ox có độ dài 2a, chứa hai tiêu điểm F1 (c   ,  ), F2 (c   ,  ), c  a  b Hypebol (H) có tâm đối xứng (E) có trục ảo // Oy có độ dài 2b Tâm sai e c (e  1) a b  y   x     a  2 (x  ) ( y   )   1 Dạng 2: Hypebol (H) có phương trình: ( H ) : a2 b2 Hypebol (H) có tâm đối xứng I ( ,  ) , hai trục đối xứng phương với hai trục toạ độ Hypebol (H) nhận đường tiện cận có phương trình: (H) có trục thực // Oy có độ dài 2b, chứa hai tiêu điểm F1 ( , c   ), F2 ( , c   ), c  a  b2 (E) có trục ảo // Ox có độ dài 2a Tâm sai e c (e  1) b Hypebol (H) nhận đường tiện cận có phương trình: CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ b  y   x     a  PHƢƠNG PHÁP DẠNG Bước 1: xác định hình dạng Hypebol (H) -Nếu (H) có trục đối xứng trùng với trục toạ độ, thực bước -Nếu (H) có trục đối xứng phương với trục toạ độ, thực bước -Nếu (H) có trục đối xứng nghiêng với trục toạ độ, thực bước a, b (a , b2 ) Vậy cần hệ hai phương trình với ẩn a, b (a , b2 ) Bước 3: ta cần tìm a, b,  ,  Vậy cần hệ phương trình với ẩn a, b,  ,  Bước 2: ta cần tìm Elip Lập phương trình tắc Bước 4: thực sau: -Lấy điểm M ( x, y)  ( H ) có tiêu điểm F1 ( x1 , y1 ), F2 ( x2 , y2 ) độ dài trục lớn 2a -Chuyển MF1  MF2  2a thành biểu thức giải tích nhờ: Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa (1) MF12  ( x  x1 )2  ( y  y1 )2 (2) MF22  ( x  x2 )2  ( y  y2 )2 (3) Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu  MF1  MF2  2a  MF  MF  2a  -Với MF1  MF2  2a (4) -Từ (1) ta được:  MF1  MF2  -Từ (4) (5) -Với MF1  MF1  MF2  2a  MF1  MF2  -Từ (7) (8) Vậy MF12  MF2 ( x12  x2 )  ( y12  y2 )  x( x1  x2 )  y ( y1  y2 )  MF1  MF2 2a ( x12  x2 )  ( y12  y2 )  x( x1  x2 )  y ( y1  y2 )  1  a    2 2a  (6) (7) MF12  MF2 ( x12  x2 )  ( y12  y2 )  x( x1  x2 )  y ( y1  y2 )  MF1  MF2 2a MF1  (5) ( x12  x2 )  ( y12  y2 )  x( x1  x2 )  y ( y1  y2 )  1  a    2 2a  M ( x, y)  ( H )  MF1  ( x  x2 )  ( y12  y2 )  x( x1  x2 )  y ( y1  y2 ) 2a  2a (8) (9) (10) -Thay (10) vào (2) thu gọn ta thu phương trình Hypebol (H) Chú ý: đặc biệt ta giả sử (H) có dạng: CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ x2 y   1 a b2 PHƢƠNG PHÁP DẠNG Cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y  1 a b2 Khả 1: biết tiếp điểm Nếu biết tiếp điểm M ( x0 , y0 ) ta sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ, phương trình tiếp tuyến: Elip Tiếp tuyến Của hypebol x.x0 y y0  1 a2 b Khả 2: tiếp điểm Cách 1: tìm tiếp điểm sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải: Giả sử tiếp điểm Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa M ( x0 , y0 ) , phương trình tiếp tuyến có dạng: x.x0 y y0  1 a2 b (1) Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu Ta có: M ( x0 , y0 )  ( H )  x0 y0  1 a b2 (2) Sử dụng điều kiện giả thiết lập thêm phương trình theo x0 , y0 (3) Giải hệ phương trình tạo (2), (3) ta toạ độ tiếp điểm M ( x0 , y0 ) , từ thay vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần xác định Cách 2: ta xét trường hợp a.tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng x  a b.xét tiếp tuyến không vuông góc, có dạng y  kx  m Muốn phương trình tiếp tuyến dạng ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ suy từ điều kiện tiếp xúc (d) (H) -Phương trình thứ hai suyu từ điều kiện cho thêm đầu Ví dụ như: (d) qua A( xA , y A )  y A  kxA  m (d) có phương cho trước  hệ số góc k (d) hợp với Cho hai Hypebol () (có hsg k1 ) góc   tan   k1  k  kk1 ( H1 ), ( H ) có phương trình x2 y x2 y   ; ( H ) :  1 a b2 c2 d a.Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox ( H1 ), ( H ) b.Xét tiếp tuyến không vuông góc có dạng y  kx  m , ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ suy từ điều kiện tiếp xúc (d) ( H1 ) ( H1 ) : Của hai hypebol -Phương trình thứ hai suy từ điều kiện tiếp của (d) (H2 ) -Giải hệ phương trình ta tìm k, m CHUYÊN ĐỀ Parabol CHỦ ĐỀ DẠNG Định nghĩa Cơ Phương trình Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa PHƢƠNG PHÁP Parabol (P) tập hợp điểm mặt phẳng cách đường thẳng (d) cố định điểm F cố định thuộc (d) -Điểm F gọi tiêu điểm -Đường thẳng (d) gọi đường chuẩn -FL=p>0 tham số tiêu (P) -S (trung điểm FL) đỉnh (P) -Đường thẳng LF trục đối xứng (P) Chọn hệ trục xOy, với: Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu - S  O trung điểm LF -Trục Ox chứa FL, chiều dương từ L đến F -Trục Oy vuông góc FL ) Trong hệ trục đó: p  F  ;0  , đường thẳng (d ) : x   p 2  phương trình tắc (P): Dạng 1: Parabol (P): Đỉnh S(0,0) Tiêu điểm F ( y  px y  px (p  0) p , 0) Đường chuẩn: (d ) : x   p Parabol nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên phải Oy Dạng 2: Parabol (P): Đỉnh S(0,0) Parabol có đỉnh trùng gốc toạ độ Tiêu điểm F ( y  2 px (p  0)  p , 0) Đường chuẩn: (d ) : x  p Parabol nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên trái Oy Dạng 3: Parabol (P): Đỉnh S(0,0) Tiêu điểm F (0, Đường chuẩn: x2  py (p  0) p ) (d ) : x   p Parabol nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị hướng lên CHUYÊN ĐỀ Parabol CHỦ ĐỀ DẠNG Cơ Parabol có đỉnh trùng gốc toạ độ Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa PHƢƠNG PHÁP Dạng 4: Parabol (P): Đỉnh S(0,0) Tiêu điểm F (0, x2  2 py (p  0) p ) Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu Đường chuẩn: (d ) : x  p Parabol nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị hướng xuống Dạng 1: Parabol (P): Đỉnh ( y   )2  p( x   ), ( p  0) S ( ,  ) Tiêu điểm F (  Đường chuẩn: p ,) (d ) : x    p Parabol có trục đối xứng song song Ox Dạng 2: Parabol (P): Đỉnh S ( ,  ) Tiêu điểm F (  Parabol có trục đối xứng phương với trục toạ độ ( y   )2  2 p( x   ), ( p  0) p ,) Đường chuẩn: (d ) : x    p Parabol có trục đối xứng song song Ox Dạng 3: Parabol (P): Đỉnh ( x   )2  p( y   ), ( p  0) S ( ,  ) Tiêu điểm F ( ,   p ) Đường chuẩn: (d ) : x    p Parabol có trục đối xứng song song Oy Dạng 3: Parabol (P): Đỉnh ( x   )2  2 p( y   ), ( p  0) S ( ,  ) Tiêu điểm F ( ,   p ) Đường chuẩn: (d ) : x    p Parabol có trục đối xứng song song Oy CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ Elip Lập phương DẠNG Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa PHƢƠNG PHÁP Bước 1: xác định hình dạng Parabol (P) -Nếu (P) có trục đối xứng trùng với trục toạ độ, thực bước Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu trình tắc -Nếu (P) có trục đối xứng phương với trục toạ độ, thực bước -Nếu (P) có trục đối xứng nghiêng với trục toạ độ, thực bước Bước 2: ta cần tìm p Vậy cần phương trình với ẩn p Bước 3: ta cần tìm p,  ,  Vậy cần hệ phương trình với ẩn p,  , Bước 4: thực sau: -Lấy điểm M ( x, y)  ( P) có tiêu điểm F đường chuẩn (d) -Chuyển MF=MH thành biểu thức giải tích nhờ: MF  ( x  xF )2  ( y  yF )2 , MH  d  M , (d )   Cho Parabol (P) có phương trình: y  px Khả 1: biết tiếp điểm Nếu biết tiếp điểm M ( x0 , y0 ) ta sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ, phương trình tiếp tuyến: y y0  p( x  x0 ) Khả 2: tiếp điểm Cách 1: tìm tiếp điểm sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải: Giả sử tiếp điểm M ( x0 , y0 ) , phương trình tiếp tuyến có dạng: y y0 Ta có: Của parabol M ( x0 , y0 )  ( P)  y0  px0  p( x  x0 ) (1) (2) Sử dụng điều kiện giả thiết lập thêm phương trình theo x0 , y0 (3) Giải hệ phương trình tạo (2), (3) ta toạ độ tiếp điểm M ( x0 , y0 ) , từ thay vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần xác định Cách 2: ta xét trường hợp a.tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng x  b.xét tiếp tuyến không vuông góc, có dạng y  kx  m Muốn phương trình tiếp tuyến dạng ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ suy từ điều kiện tiếp xúc (d) (P) -Phương trình thứ hai suyu từ điều kiện cho thêm đầu Ví dụ như: (d) qua A( xA , y A )  y A  kxA  m Tiếp tuyến (d) có phương cho trước  hệ số góc k Cho hai Parabol a.Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox ( P1 ), ( P2 ) Của hai parabol y  kx  m , ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ suy từ điều kiện tiếp xúc (d) ( P1 ) b.Xét tiếp tuyến không vuông góc có dạng -Phương trình thứ hai suy từ điều kiện tiếp của (d) -Giải hệ phương trình ta tìm k, m Lớp học Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa ( P2 ) [...]... y)  0  '  f m ( x, y, m)  0 Bước 3: ta chứng minh họ (d m ) tiếp xúc (C) có phương trình p(x,y)=0 Chú ý: a.Để chứng minh đường thẳng (d) tiếp xúc với đường cong bậc hai (C) ta thi t lập phương trình hoành độ (tung độ) giao điểm của (d) và (C) Từ đó nhận xét rằng phương trình có nghiệm kép b.Đặc biệt nếu (C) là đường tròn tâm I bán kính R, ta đi chứng minh khoảng cách từ tâm I đến (d) bằng R Phương... a( x  x0 )  b( y  y0 )  c  0 hoặc ( x  a)( x0  a)  ( y  b)( y0  b)  R 2 (1) Điểm M  (C )  x02  y02  2ax0  2by0  c  0 hoặc ( x0  a)2  ( y0  b)2  R2 (2) Sử dụng điều kiện của giả thi t thi t lập phương trình theo x0 , y0 (3) Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được toạ độ tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) , từ đó thay vào (1) ta được Tiếp tuyến của đường tròn Đường tròn phương trình tiếp... k1k2 (d1 )  (d2 )  k1.k2  1 Cho 2 đường thẳng (d1 ), (d 2 ) cắt nhau Xác định hệ số góc có hướng từ (d1 ) đến (d 2 ) Nhận xét rằng Gọi 12 là góc có hướng từ (d1 ) đến (d 2 ) được xác định bởi công thức: (d1 ) , (d 2 ) theo thứ tự n1 ( A1 , B1 ), n2 ( A2 , B2 ) thì: A B  A2 B1 tan 12  1 2 A1 A2  B1B2 2.Nếu biết hsg của (d1 ) , (d 2 ) theo thứ tự là k1 , k2 thì: k k tan 12  2 1 1  k1k2 Cho... AxM  ByM  C A2  B 2 (1) PHƢƠNG PHÁP DẠNG Trong các trường hợp còn lại ((d) có phương trình tham số hoặc chính tắc) chúng ta thực hiện như sau: -Chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát -Áp dụng công thức (1) Cũng có thể sử dụng phương pháp sau khi (d) được viết dưới dạng tham số: Đường thẳng Góc và khoảng cách Khoảng cách  x  x0  a1t (d ) :  , tR  y  y0  a2t -Điểm H  (d )  H ( x0  a1t;... bằng một F1 F2 Hai điểm cố định F1 , F2 gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 =2c được gọi là tiêu cự Đường thẳng F1 F2 : tiêu trục; trung điểm I của F1 F2 là tâm của (E) PHƢƠNG PHÁP DẠNG Trong mp Oxy, nếu (E) có các tiêu điểm điểm tuỳ ý 2 F1 (c;0), F2 (c,0) và có tổng hai bán kính qua tiêu điểm ứng với M ( x, y)  ( E) là 2a (a>c) thì elip (E) có phương trình: 2 x y  2  1 (a  b); c2  a 2 ... B2  có toạ độ -Bốn điểm Elip A1 A2  2a được gọi là trục lớn B1 (0, b), B2 (0, b), B1B2  2b được gọi là trục nhỏ A1 , A2 , B1 , B2 gọi là bốn đỉnh của elip (E) c.Hình chữ nhật cơ sở có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x  a và các đường thẳng Vậy elip (E) nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, các kích thước là 2a, 2b d.Từ M ( x, y)  ( E ) Cơ bản  x2 1   a  x  a  a2 x a... ( x, y)  ( E ) có tiêu điểm Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa F1 ( x1 , y1 ), F2 ( x2 , y2 ) và độ dài trục lớn bằng 2a Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu -Chuyển MF1  MF2  2a (1) thành biểu thức giải tích nhờ: MF  ( x  x1 )  ( y  y1 ) 2 1 2 2 MF2  ( x  x2 )  ( y  y2 ) 2 2 (2) 2 (3) MF12  MF2 2 ( x12  x2 2 )  ( y12  y2 2 )  2 x( x1  x2 )  2 y ( y1  y2 )  MF1  MF2 2a -Lấy... tiếp điểm Elip Tiếp tuyến Của một elip Ta có: M ( x0 , y0 ) , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: M ( x0 , y0 )  ( E )  x0 2 y0 2  1 a 2 b2 x.x0 y y0  2 1 a2 b (1) (2) Sử dụng điều kiện của giả thi t lập thêm phương trình theo x0 , y0 (3) Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được toạ độ tiếp điểm M ( x0 , y0 ) , từ đó thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định Cách 2: ta xét... Hai điểm cố định F1 , F2 gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 =2c được gọi là tiêu cự Đường thẳng F1 F2 : tiêu trục; trung điểm I của F1 F2 là tâm của (H) Thầy Hoàng Hải FB: Hoàng Hải Edu Trong mp Oxy, nếu (H) có các tiêu điểm ứng với điểm tuỳ ý F1 (c;0), F2 (c,0) và có trị tuyệt đối hiệu hai bán kính qua tiêu điểm M ( x, y)  ( H ) là 2a (a>c) thì hypebol (H) có phương trình: x2 y 2  2  1 (a... của Hypebol là trục đối xứng cắt Hypebol, trục ảo là trục đối xứng không cắt Hypebol c.Từ M ( x, y)  ( H )  x  a x2 1 x  a   2 a  x  a Như vậy Hypebol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau -Tập con của (H) chứa những điểm M(x,y) thoả mãn x  a gọi là nhánh bên trái của Hypebol CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP DẠNG -Tập con của (H) chứa những điểm M(x,y) thoả mãn x  a gọi là nhánh