Tổng hợp kiến thức ôn thi THPT quốc gia môn toán 2015

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA - MƠN TỐN NĂM 2014-2015 **************************** A.CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham khảo) Câu I (2 điểm): - Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số - Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số; cực trị; giá trị lớn nhỏ hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số; tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng) Câu II (1 điểm): Biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác Câu III (1 điểm): Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số Câu IV (1 điểm): - Tìm giới hạn - Tìm ngun hàm, tính tích phân - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Câu V (1 điểm): Hình học khơng gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Các tốn khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách gữa đường thẳng chéo Câu VI (1 điểm): Bài toán tổng hợp.(Bất đẳng thức; cực trị biểu thức đại số) Câu VII (1 điểm):Phương pháp tọa độ mặt phẳng - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, đường thẳng, elip Câu VIII (1 điểm):Phương pháp tọa độ không gian: - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu Tìm điểm thoả điều kiện cho trước - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu IX (1 điểm):Số phức - Tổ hợp, xác suất B.CÁCH LÀM BÀI THI: Khi làm thi ý không cần theo thứ tự đề thi mà theo khả giải câu trước làm trước Khi nhận đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu câu hỏi quen thuộc dễ thực ưu tiên giải trước, câu hỏi khó nên giải sau Có thể ta đánh giá câu hỏi dễ làm vào giấy thi làm thấy khó nên dứt khốt chuyển qua câu khác, sau cịn quay trở lại giải tiếp Khi gặp đề thi không khó nên làm cẩn thận, đừng chủ quan để xảy sai sót cẩu thả; cịn với đề thi có câu khó đừng nên nản lịng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ Phải biết tận dụng thời gian buổi thi để kiểm tra sai sót (nếu có) tập trung suy nghĩ để giải câu khó cịn lại (nếu gặp phải) Khi làm thi nhiều cách khác mà đắn đo khơng biết cách sai khơng nên gạch bỏ phần hết để giám khảo tự tìm chỗ điểm C MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ƠN TẬP PHẦN I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ TĨM TẮT LÝ THUYẾT I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1.Toạ độ điểmrtoạ độ véc tơ: r Cho a = (a1;a2 ;a3 ),b = (b1;b2 ;b3 ) r r a ± b = ( a1 ± b1 ,a2 ± b2 ,a3 ± b3 ) r k.a = ( ka1 ,ka2 ,ka3 ) r r a = b ⇔ uuu r 10 AB = (x B − x A ,y B − y A ,z B − z A ) uuu r 2 11 AB = AB = (x B − x A ) + (y B − y A ) + (z B − z A ) r r r rrr 12 a, b,c đồng phẳng ⇔ a ∧ b c = r r r rrr 13 a, b, c không đồng phẳng ⇔ a ∧ b c ≠ (  a1 = b1   a2 = b a = b  3 rr a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r a = a12 + a2 + a3 rr r r a.b r cos(a;b) = ur uu a.b r r r r r r r a a phương b ⇔ a = k.b ⇔ a ∧ b = ⇔ = b r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a b2 + a3 b3 = r r rr a a a a a a  a ∧ b =  a;b  =  , , ÷   b b b b b b ÷  3 1 2 a a 2= b b ) ( )  x A + xB y A + yB z A + z B  , ,  14.M trung điểmcủa AB M  2   15 G trọng tâm tam giác ABC  x + x B + xC y A + y B + y C z A + z B + z C  G A , , , 3   u r ur u ur 16 Véctơ đơn vị: e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) 17 M ( x,0,0) ∈ Ox; N (0, y,0) ∈ Oy; K (0,0, z ) ∈ Oz 18 M ( x, y,0) ∈ Oxy; N (0, y, z ) ∈ Oyz; K ( x,0, z ) ∈ Oxz r r uuu uuu 2 19 S∆ABC = AB ∧ AC = a + a2 + a3 2 r r r uuu uuu uuu 20 VABCD = (AB ∧ AC).AD / 21 V ABCD A/ B / C / D / = ( AB ∧ AD) AA 2/ Mặt cầu : 2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r ( x − a) + ( y −b) + ( z − c ) = r 2 (1) Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = (2) ( với A2 + B2 + C2 − D > ) phương trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) r = A + B2 + C2 − D 2 Vò trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 2 2 Cho (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r vaø mp(α): Ax + By + Cz + D = Gọi d = d(I,(α)) khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α ):  d > r : (S) ∩ (α) = φ  d = r : (α) tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, α: tiếp diện) (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r   d < r : (α) caét (S) theo đường tròn có phương trình   (α ) : Ax + By + Cz + D =  II MẶT PHẲNG r r r Vectơ pháp tuyến mpα : n ≠ véctơ pháp tuyến mp(α) ⇔ Giá n ⊥ mp(α) r 2.P.trình tổng quát mp(α): Ax + By + Cz + D = 0(1) Mp(1) có 1VTPT n = (A; B; C) 3.Một số trường hợp đặcbiệt phương trình mặt phẳng *Phương trình mặt phẳng song song chứa ox: By+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song chứa oz: Ax+By+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) x y z + + =1 a b c *Phương trình mặt phẳng qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c): với a.b.c≠0 *Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Vị trí tương đối hai mp (α):A1x+B1y+C1z+D1 = (β) :A2x+B2y+C2z +D2 = ° (α) caét (β) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A : B2 : C A1 B1 C D = = ≠ ° (α) / /( β) ⇔ A B2 C2 D ° (α) ≡(β) ⇔ A1 B1 C D = = = A B2 C D2 Đặc biệt (α ) ⊥ (β ) ⇔ A1A + B1B2 + C1C2 = 5.KC từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D = d(M,(α)) = Ax o + Byo + Cz o + D A + B2 + C r r n1 n r r 6.Goùc hai mặt phẳng : cos(α,β) = n n r r với n1 ; n VTPT mặt phẳng III ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN r 1.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3) x = x o + a 1t  (d) : y = y o + a t ; t ∈R z = z + a t o  2.Phương trình tắc (d) (d) : x − xo a = y − yo a2 = z-z a3 ( với a1.a2.a3 ≠0) 3.Vị trí tương đối đường thaúng : → → Cho đường thẳng d1 : có véctơ phương a qua M1, d2 : có véctơ phương b qua M2 r r r r r r a ^ b = a ^ b =   r r r r * d1// d2 ⇔  r uuuuu *d1≡ d2 ⇔  r uuuuu a ^ M1M ≠ a ^ M1M =   r r r a ^ b ≠ r r uuuuu r  r * d1 cắt d2 ⇔  r r uuuuu *d1 chéo d2 ⇔ a ^ b M1M ≠  a ^ b M1M =  rr * Đặc biệt d1⊥d2 ⇔ a.b = ( ( ) 4.Góc đường thẳng : ) rr a.b cos(d1; d ) = r r a b Khoảng cách từ M đến đường d1: d ( M ; d1 ) uuuuu r r M 1M ; a    = r a Khoảng cách đường thẳng song song: d(d1 ;d2)=d(M1 ;d2) Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: r r uuuuuu r a; b  M 1M   d d ;d = r r a; b    ( ) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP: I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU: Dạng tốn 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = Phương pháp giải: • Tìm tâm: hồnh độ lấy hệ số x chia (-2), tung độ lấy hệ số y chia (-2), cao độ lấy hệ số z chia (-2)⇒ Tâm mặt cầu I(-A ;-B ;-C) • Tím bán kính r = A +B2 +C2 - D Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a) x + y + z2 − x − y + = Giải: a/Tâm mặt cầu I(4;1;0), bán kính mặt cầu là: r = A +B2 +C2 -D = (−4) +(-1) +0 -1 = b / x + 3y + 3z2 − x + 8y + 15z − = ⇔ x + y + z − x + y + 5z − = 2 19  4  5 r = A +B2 +C -D = (− 1) +  ÷ +  ÷ +1 = Tâm mặt cầu I(1; -4/3; -5/2), bán kính mặt cầu là:  3  2 Dạng tốn 2: Tìm tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến mặt cầu S(I ;R) mp(α): Phương pháp giải: + Tìm tâm H B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc mp(α) B2: Tâm H giao điểm d mp(α) + Bán kính r = R2 − d2 ( I , α ) Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = 100 mặt phẳng (α ) : x − y − z + = Chứng minh (S) (α) cắt theo giao tuyến đường trịn (T) Tìm tâm bán kính đường tròn (T) Giải: 2.3 − 2(−2) − + =6 Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) bán kính R = 10 Ta có : d ( I , (α )) = + +1 0) Phương pháp giải: B1: Do mp (α) //mp( β ): Ax+By+Cz+D=0⇒ phương trình mp (α) có dạng:Ax+By+Cz+m=0 (m≠D) B2: Giải phương trình d(M; (α) )= k tìm m thoả m≠D⇒phương trình mp( α ) Ví dụ: : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp( β ):5x+y-7z+3=0 Viết phương trình mp(α) //mp( β ) cách điểm A(1;2;3) khoảng Giải ur Mp(β) có VTPT n1 = (5;1; −7) , mp (α) //mp( β ) ⇒ phương trình mp(α) có dạng: 5x+y-7z+D = (D≠3) Do mp(α) cách điểm A(1;2;3) khoảng ⇔ d(A;(α))=2 ⇔ 5.1 + - 7.3 + D D-14 =2⇔ = ⇔ D-14 = 10 ⇔ D-14= ± 10 ⇔ D = 14 ± 10 (nhận) 52 + 12 + (− 7)2 ⇒ phương trình mp(α) là: 5x + y − 7z+14 ± 10 = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) r điểm A, B song song với đoạn CD qua uuu uuu r cho trước (với AB không phương với CD ) Phương pháp giải: uuu r uuu r B1: Tìm toạ độ AB CD r uuu uuu r r B2: Tìm n =  AB, CD    r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm A (hoặc B) nhận n làm VTPT Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A, B song song với đường thẳng d cho trước (AB không song song với d) Phương pháp giải: r uuu r B1: Tìm toạ độ AB véctơ phương a d r uuu r r B2: Tìm n =  AB, d    r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm A (hoặc B) nhận n làm VTPT Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1), C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0) Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng CD song song với đường thẳng AB Giải uuu r uuu r Ta có AB = ( 1, −5, −2 ) ; CD = ( 2,1,1) r uuu uuu r r ⇒ n =  AB; CD  = ( −3, − 5,11) VTPT mp (α )   (α ) chứa đường thẳng CD song song với đường thẳng AB qua C có VTPT Mặt phẳng r n = ( −3, − 5,11) ⇒ Phương trình mp (α ) là: -3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = ⇔ -3x – 5y + 11z + 17 = ⇔ 3x+5y-11z -17 = Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A chứa đường thẳng d cho trước ( A ∉ d ) Phương pháp giải: uuuuu r r B1: Tìm toạ độ điểm M0 ∈ d VTCP u d Tìm AM r uuuuu r r B2: Tìm n =  AM , u    r B3: Viết PT mặt phẳng( α )đi qua điểm A nhận n làm VTPT Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua A(-1 ,2 , 3) chứa trục 0x Giải uuu r r Trục 0x qua O(0;0;0) có 1VTCP i = (1;0;0) , OA = (−1; 2;3) r uuu r r r ⇒ n = OA;i  =(0;3;-2) Mặt phẳng ( α ) qua điểm A nhận n =(0;3;-2) làm VTPT,   phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0 ⇔ 3y-2z=0 Cách khác: Phương trình mặt phẳng( α ) chứa trục ox có dạng: By+Cz=0 (1) Do mặt phẳng( α ) qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 ⇒ C= -2 ⇒ phương trình mặt phẳng ( α ) là: 3y-2z=0 Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Phương pháp giải:uuu r B1: Tìm toạ độ AB toạ độ trung điểm I đoạn AB uuu r B2: Mặt phẳng cần tìm qua điểm I nhận AB làm VTPT uuu r B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực qua điểm I nhận AB làm VTPT Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) B(3,-1;2) Giải: uuu r Ta có trung điểm AB I(2;1;1), AB = (2; −4; 2) uuu r Mp(P) qua trung điểm I AB có 1VTPT AB = (2; −4; 2) ⇒ phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ⇔ 2x-4y+2z-2=0 Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với đoạn thẳng AB Phương pháp giải: uuu r B1: Tìm toạ độ AB uuu r B2: Mặt phẳng cần tìm qua điểm M nhận AB làm VTPT uuu r B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M nhận AB làm VTPT Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;3;0) vng góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1) B(3,-1;2) Giải: uuu r Ta có AB = (2; −1;1) uuu r Mp(P) qua M(1;3;0) có 1VTPT AB = (2; −1;1) ⇒ phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x1)-(y-3)+1(z-0)=0 ⇔ 2x-y+z+1=0 Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M0 cho trước vng góc với đường thẳng d cho trước Phương pháp giải: r B1: Tìm VTCP u d r B2: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M0 nhận u làm VTPT Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A, B vng góc với mặt phẳng( β ) cho trước (AB khơng vng góc với ( β ) ) Phương pháp giải: uu r uuu r B1: Tìm toạ độ AB VTPT n β mặt phẳng( β ) r uuu uu r r B2: Tìm n =  AB, n β    r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α )đi qua điểm A (hoặc B) nhận n làm VTPT Ví dụ: Viết phương trình mp ( α ) qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) vng góc với mp(P): 2x-y+3z-1=0 Giải r uuu uu r r uu r uuu r Ta có AB = (−1; −2;5) , mp(P) có VTPT n P = (2; −1;3) ⇒ n =  AB; n P  = (−1;13;5)   r Mp( α ) qua A(3;1;-1), có VTPT n = (−1;13;5) ⇒ phương trình mặt phẳng ( α ) là: -1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0 ⇔ -x+13y+5z-5=0 ⇔ x-13y-5z+5=0 Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α ) // ( β ) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với mặt cầu (S) Phương pháp giải: B1:Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (S) B2:Do mp( α )//mp ( β ) ⇒phương trình mặt phẳng( α ) có dạng Ax+By+Cz+m=0(*) (m≠D) B3: Mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d(I,( α ))=R giải phương trình tìm m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta phương trình mặt phẳng( α ) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1), mặt phẳng (P ) : x + y + z + 10 = mặt cầu (S) : x + y + z − x + y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) HD: Mặt cầu (S) có tâm I(1,-2,3) R = Phương trình mặt phẳng (R) có dạng: x + y + z + m = ( m ≠ 10 ) Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: d ( I , ( R ) ) = R ⇔ 1− + + m 1+1+ =  m = 1(n) Giải phương trình ta được:  Vậy có mặt phẳng (R) thỏa yêu cầu toán phương  m = −11(n) trình là: x + y + z + = x + y + z − 11 = BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ r Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua A(-2;3;1) có VTPT n = (3; −2;1) Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua A(-2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;3;2) song song với mặt phẳng (Q):3x+5y2z+4=0 Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp( β ):2x+y-2z+3=0 Viết phương trình mp(α) //mp( β ) cách điểm A(1;2;3) khoảng Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua A(1, 0, 2) chứa đường thẳng x y −1 z + d: = = Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB, với A(5;3;2) B(3,-1;2) Bài 7: Viết phương trình mp ( α ) qua hai điểm A(2;3;-1), B(3;1;4) vng góc với mp(P): 2x-y+3z-1=0 Bài 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp (α ) : x+3y-4z+3=0 mp( β ): 2x+2y4z+1=0 Viết phương trình mp(P) qua A(2;0;1) vng góc với mặt phẳng (α), (β)  x = − 2t ' x −1 y − z −  = = Bài 9: Cho hai đường thẳng d1 : d :  y = −1 −1 −2  z = − 3t '  a) Chứng minh d1 cắt d b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho hai đường thẳng: x = 1+ t x y −2 z −3  d1 : = = d2 :  y = + t 2  z = + 2t  a) Chứng minh d1 // d b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 d2 x = ⇒ y = Thay (4) vào (1) ta : ( − x ) = ( 5x + ) ( − x ) ⇔  x = ⇒ y = 4 Vậy nghiệm hệ : (0;4) , (4;0) , ( − ;0) Bài tập: 1  y  2 x + y = x x − y = x     2 y + = y − −x = x  y x y   2 2  1) ĐS: (1; 1) , (– 1; – 1) , (  xy + x + y = x − y   x y − y x − = 2x − y  ;– ), (–  x − x = y − y  2 y = x3 +  4) ; 5) ) 2) ĐS: (–2; –2)  xy + y + x = x − y   x y − y x −1 = 2x − y  3/ 6)  x − = ( y + 2011)(5 − y ) + y  x − y − x + y + 15 =   7)    x + y − xy =  y ( y − x + 2) = x +   II.GIẢI HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng phát ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác  x + + y ( y + x ) = 4y ( 1)  Ví dụ Giải hệ phương trình  ( x + 1) ( y + x − ) = y ( )  Giải  x2 +1  y +y+x =  Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT ⇔   x +  ( y + x − ) =  y ÷   x + = y a + b = x +1 ,b = y + x − ⇒  Đặt a = giải hệ ta a=b=1 từ ta có hệ  y ab = x + y = Hệ bạn đọc giải dễ dàng  2 =7  4xy + ( x + y ) + ( x + y)  Ví dụ Giải hệ phương trình   2x + =  x+y  Giải Điều kiện : x +y ≠0 2  =7 3 ( x + y ) + ( x − y ) + ( x + y)  HPT ⇔  x + y + + x − y =  x+y  62 3a + b = 13 ( 1)  a ≥ ) ; b = x − y ta hệ  ( ( 2) a + b =  Giải hệ ta a=2 , b=1 ( |a|≥2 ) từ ta có hệ  =2 x + y = x = x + y + x+y ⇔ ⇔  x − y = y = x − y =  Bài tập : x   2  x + y + y =  x + xy + y = 19( x − y )  x + y =  x + y + x y + xy + xy = −     1)  2)  3)  4)  x + y =  ( x + y ) y =  x − xy + y = 7( x − y )    x + y + xy(1 + x) = −   x  2    x + xy + y = 19( x − y ) x + y = 5/  ( ĐH Hàng Hải–2001) 6/  (ĐH TCKT – 2001)  x − xy + y = 7( x − y ) x + y =    2 (2 x + y ) − 5(4 x − y ) + 6( x − y ) = (1)  x + y + x y + xy + xy = −   7/  / 2 x + y + x − y =  x + y + xy (1 + x) = −    III.GIẢI HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại ta gặp nhiều hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f hàm đơn điệu tập D x,y thuộc D Nhiều ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ , phương trình hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình cịn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để để hàm f đơn điệu   x − 5x = y − 5y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình  ( 2) x + y =  Giải Từ PT (2) ta có x ≤ 1; y ≤ ⇔ x ≤ 1; y ≤ Đặt a = x + y + x+y Xét hàm số f ( t ) = t − 5t; t ∈ [ −1;1] có f ' ( t ) = 3t − < 0; ∀t ∈ [ −1;1] f(t) nghịch biến khoảng (-1;1) hay PT (1) ⇔ x = y thay vào PT (2) ta PT : x + x − = −1 + −1 + ⇒ y = x = ±4 2 *loại thứ hai , dạng hệ đối xứng loại hai mà giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) (2)  x + x − 2x + = 3y −1 +  Ví dụ Giải hệ phương trình  x −1  y + y − 2y + = +  Giải a + a + = 3b ( 1)  a = x − 1; b = y − ta hệ  Đặt  b + b + = 3a ( 2)  Trừ vế với vế PT ta : a + a + + 3a = b + b + + 3b (3) Đặt a=x4 ≥0 giải phương trình ta 63 a= Xét hàm số f ( t ) = t + t + + 3t ;f ' ( t ) = Vì t2 +1 + t t +1 + 3t ln t + > t ≥ − t ⇒ t + + t > ⇒ f ' ( t ) > 0, ∀t hàm số f(t) đồng biến R Nên PT (3) ⇔ a = b thay vào PT (1) ta a + a + = 3a (4) ( ) Theo nhận xét a + a + > nên PT (4) ⇔ ln a + a + − a ln = ( lấy ln hai vế ) ( ) Xét hàm số g ( a ) = ln a + a + − a ln 3; g' ( a ) = − ln < − ln < 0, ∀a ∈ R a2 +1 hay hàm g(a) nghịch biến R PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm a=0 Từ ta nghiệm hệ ban đầu : x=y=1 Giải hệ phương trình sau Bài tập đề nghị: Giải hệ phương trình sau : 3x − y = y − x  a)  2  x + xy + y = 12    3+ x + x =3+ y c)   + y2 + y = + x  y −1   ln(1 + x ) − ln(1 + y ) = x − y  x + x − 2x + = + e/  f ) x − 12 xy + 20 y =   y + y − y + = x −1 +  2 x − y = ( y − x)( xy + 2)  b/ 2 x + y =   log x + = + log y  d/  log2 y + = + log3 x   x − x = y − 5y  g/  x + y =  30 x − x y − 25 y =  h / 30 y − y z − 25z = 30 z − z2 x − 25 x =   x3 − 3x = y − y  j)  6 x + y =   x3 + x = y  K)  y + 2y = x  3   2x + + − y = i)   2y + + − x =  1  x − y = x − y l)   x − xy =  Phần VII: Phương trình, bất phương trình vơ tỉ Dạng : Phương trình Dạng 2: Phương trình  A ≥ 0( B ≥ 0) A= B⇔ A = B B ≥ A=B⇔ Tổng quát: A = B 2k B ≥ A=B⇔ 2k A = B Dạng 3: Phương trình A ≥  +) A + B = C ⇔ B ≥ (chuyển dạng 2)   A + B + AB = C 3 3 +) A + B = C ⇔ A + B + A.B ( ) A + B = C (1) ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C (2) Dạng 4: A = B ⇔ A = B ; k +1 A = B ⇔ A = B k +1 64 Dạng 5: Dạng 7:  g(x) <   f(x) > f ( x ) > g(x) ⇔  g(x) ≥   f(x)>g (x)   g ( x) > f(x) > g(x) ⇔   f ( x) > g ( x)  f(x) =  g(x) f(x) ≥ ⇔   f(x) >  Dạng 9:    g ( x) ≥  Dạng 6: f(x) ≥  f ( x ) < g(x) ⇔ g(x) > f(x) < g (x)   f ( x) > f(x) < g(x) ⇔   g ( x) > f ( x)  f(x) =  g(x) f(x) ≤ ⇔   f(x) >  Dạng 10:    g ( x) ≤  Dạng 8: Phần VIII: Bất đẳng thức giá trị lớn nhỏ Dạng toán 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH DÙNG ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa: A ≥ B ⇔ A − B ≥ Chú ý : Khi chứng minh định nghĩa cố gắng biến đổi hiệu A-B dạng sau: ( A − B) ≥ ; A + B2 + + C ≥ ; A + B2 + + C2 + α > , (α > 0); A B2 ≥ ; Dạng toán 2: CHỨNG MINH BĐT BẰNG CÁCH ÁP DỤNG BĐT CÔSI BĐT CÔSI : cho số khơng âm a1 , a2 Ta có a1 + a2 ≥ a1a2 Dấu xảy a1 = a 2 Hệ quả: +Tổng số không đổi, tích số đạt giá trị lớn số +Tích số khơng đổi, tổng số đạt giá trị nhỏ số BĐT CƠSI : cho n số khơng âm a1 , a2 , , an ( n ≥ 2) Ta có a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an Dấu xảy a1 = a = = a n n Dạng tốn 3: CHỨNG MINH BĐT DỰA VÀO BĐT BUNHIACƠPXKI BĐT Bunhiacopxki (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) a c Dấu xảy = b d Tổng quát: ( a1b1+ a2b2+…+anbn)2 ≤ ( a1+ a2+…+an)2 ( b1+ b2+…+bn)2 a1 a a = = = n Dấu xảy b1 b bn Phần IX: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I/ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Định nghĩa: 65 r r + Vectơ a ≠ gọi vtcp đường thẳng d nằm d nằm đường thẳng song song với d r r + Vectơ n ≠ gọi vtpt đường thẳng d nằm đường thẳng vng góc với d 66 Các dạng pt đường thẳng: r a Đường thẳng d qua điểm M(x0,y0) có vtcp a = (a ; a ) phương trình tham số  x = x + a1t  y = y + a2 t d là:  phương trình tắc d là: x − x0 y − y0 = a1 a2 với a1.a2≠0 r b Đường thẳng d qua điểm M(x0,y0) có pvt n = (a, b) : pttq d: a(x - x0)+ b(y - y0) = ⇔ ax + by + c = c Đường thẳng d qua điểm M(xo,yo) có hsg k phương trình d: y - yo = k (x- xo) 3.Các ý quan trọng r r + n = (a; b) ⇔ a = (− b; a) + cho d: ax + by + c = d’⊥ d d’: -bx + ay + c’ = bx - ay + c’ = + cho d : ax + by + c = d’// d d’: ax + by + c’= (c’≠ c) r a2 + d có vtcp a = (a1 ,a2 ) d có hsg k = (a1≠0) a1 + d tạo với chiều dương trục ox góc α d có hsg k = tgα + đường thẳng d: y = ax + b có hsg k = a + cho d d’ có hsg k k’ : d // d’ ⇔ k = k’ ; d ⊥d’ ⇔ k.k’= -1 Các toán liên quan đên đường thẳng 4.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1: A1x + B1y + C1 = ; d2: A2x + B2y + C2 = + A B1 A B1 C A B1 C ≠ = ≠ = = ⇔ d1 ≡ d2 ⇔ d1 cắt d2 ; + ⇔ d1 // d2 + A B2 A B2 C2 A B2 C2 4.2 Góc hai đ/thẳng: + Cho hai đường thẳng d1: A1x + B1y + C1 = d2: A2x + B2y + C2 = Gọi α góc tạo d1 d2 : cos α = A A + B1 B2 A + B1 A + B2 2 + d1 ⊥ d2 ⇔ A1A2 + B1B2 = 4.3 Khoảng cách từ điểm đến đ/thẳng: Khoảng cách từ điểm M(xo,yo) đến đường thẳng ∆ : Ax + By + C = là: d(M,∆ )= Ax +By +C A +B2 4.4 Xác định tọa điểm dùng phương trình đường thẳng: Ta thường sử dụng kết sau: x = x + a t + M ∈ ∆ :  y = y + a t ⇒ M ( x0 + a1t ; y0 + a2t )  At + C ) B + Cho(∆1 ) : A1x + B1 y + C1 = 0;(∆ ) : A2 x + B2 y + C2 = M = ∆1 ∩ ∆ Thì tọa độ M nghiệm hệ  A1 x + B1 + C1 = phương trình:   A2 x + B2 + C2 = + M ∈ ∆ : Ax + By + C = ⇒ M (t ; − 67 II/ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình 2 (C) : (x - a) + (y - b) = R (1) Tâm Bán kính I(a,b) R Đ/k cần đủ để đ/thẳng ∆ tiếp xúc với (C) là: (C) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (2) ( a2 + b2 - c > ) I(a,b) R = a + b2 − c d (I, ∆ ) = R d (I, ∆ ) = R III/ ELÍP 1.Định nghĩa : Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c số 2a (a> c >0 ) Elip ( E ) = { M F1M + F2 M = 2a} +F1;F2 gọi tiêu điểm +F1F2 =2c gọi tiêu cự (E) x2 y2 Phương trình tắc (E) : + = 1, b = a − c a b +2a gọi độ dài trục lớn +M thuộc (E) MF1 = a + +2b gọi độ dài trục nhỏ +Tâm sai (E) : e = c a c cx x = a + ex, MF2 = a − = a − ex ( gọi bán kính qua tiêu ) a a MỘT SỐ ĐỀ MẪU TỰ GIẢI ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x + 2x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b)Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình: x - 2x + + m = Câu (1,0 điểm) a) Cho sin a +cosa= 1,25 b) Tìm số phức z thỏa mãn: π π < a < Tính sin 2a, cos 2a tan2a z = z − (3 + i ) 1+ i Câu (0,5 điểm) Giải phương trình: x + + 7.2 x −1 − = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x + + x + ≤ x + 2 x + x + − 16 e Câu (1.0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ x(1 − ln x) dx Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, · · · A SB = 900 , BSC = 1200 ,CSA = 900 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mp(SAB) 68 Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường trịn (C): (x - 1) + (y + 1) = 20 Biết AC=2BD điểm B thuộc đường thẳng d: 2x - y - = Viết phương trình cạnh AB hình thoi ABCD biết điểm B có hồnh độ dương Câu (1.0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – 2z – = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ O tiếp xúc với mặt phẳng (P), tìm tọa độ tiếp điểm Câu (0,5 điểm) Có hộp bi, hộp thứ có bi đỏ bi trắng, hộp thứ hai có bi đỏ bi trắng Chọn ngẫu nhiên hộp viên, tính xác suất để bi chọn màu Câu 10 (1.0 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu 2 thức: P = log3 x + + log3 y + + log3 z + ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ 2x + x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục hoành Câu 2.(1,0 điểm) a) Giải phương trình: sin x − sin x = Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = b) Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa ( − 2i ) z = ( − 2i ) Câu 3.(1 điểm) 1+ log x = 30 − 3log x −1 , ( x ∈ ¡ ) a) Giải phương trình: b) Trong hộp kín có 50 thẻ giống đánh số từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất lấy hai thẻ mang số chia hết cho + x ln x dx Câu 4: ( điểm) Tính I = ∫ x2 Câu 5: ( điểm) · Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vng B, AB = a , ACB = 60 , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC, gọi E trung điểm AC biết SE = a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) Câu 6: ( điểm) Trong không gian (Oxyz) cho A ( 1; −3; −2 ) B ( −4;3; −3) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua gốc tọa độ, song song với AB vng góc với (P); tìm điểm N thuộc trục Oz cho N cách A B Câu 7: ( điểm) · Trong mặt phẳng (Oxy) cho hình thang cân ABCD ( cạnh đáy AB), AB = 2CD, ADC = 1350 Gọi I giao hai đường chéo, đường thẳng qua I vng góc với hai cạnh đáy 15 d : x − 3y − = Tìm tọa độ điểm A biết diện tích hình thang ABCD , hồnh độ điểm I trung điểm AB có tung độ không âm Câu 8: ( điểm) ( )( ) xy + + x 4+y − y =8  ( x, y ∈ ¡ Giải hệ phương trình:  −3 x y + x y + 26 x = x −14  69 ) Câu 9: ( điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa: a ∈ [ 0;1] , b ∈ [ 0;2] , c ∈ [ 0;3] Tìm giá trị lớn P = ( 2ab + ac + bc ) 8−b b + + + 2a + b + 3c b + c + b ( a + c) + 12a + 3b2 + 27c2 + ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu ( 2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + 3mx + (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O ( với O gốc tọa độ ) Câu (1,0 điểm) a Giải phương trình sin x − = cos x − cos x b Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x(3 + 5i) + y (1 − 2i )3 = + 14i ( ) Câu (0,5 điểm) Giải phương trình: log x − = log ( x − 1) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 2x ( 3x − + x − 2x + + ) + 15 < 2x + x2 − dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân : I = ∫ ( x − x + 1) ( x + 3x + 1) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, cho khoảng cách từ B đến (P) khoảng cách C đến (P) Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’ ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’= b Gọi góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan thể tích khối chóp A’.BB’C’C Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): thẳng d: đường Tìm m để d có điểm M mà từ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho góc · AMB =120 Câu (0,5 điểm) Một lớp học có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng làm tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Câu 10 (1.0 điểm) Cho số thực x, y, z khác thỏa mãn: x + y + z = x y.z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 1 + + x y z 70 ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu 1.(2,0 điểm): Cho hàm số : y = x − x + (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số (1) b) Dùng đồ thị (C) tìm giá trị m để phương trình x − x + − m = có bốn nghiệm phân biệt Câu 2.(1,0 điểm): Giải phương trình sau: a) cos2x + (1 + 2cosx).(sinx – cosx) = b) log2(3 – x) + log2(1 – x) = Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân I = ∫x 3x + dx Câu 4.(1,0 điểm): ( ) a) Tìm số phức Z thỏa mãn đẳng thức: Z + Z + Z = − 6i b) Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà toán học nam, nhà vật lý nữ nhà hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác , tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba môn Câu 5.(1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(- 4;1;3) đường thẳng d: x +1 y −1 z + = = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng d Tìm −2 tọa độ điểm B thuộc d cho AB = 3 Câu 6.(1,0 điểm):Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 45 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) Câu 7.(1,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD có A(-1;3); Gọi M,N thuộc hai cạnh BC,CD cho BA AM gọi H giao AM BN , H(2;1) Tìm tọa độ điểm B biết B nằm = BC BN đường thẳng 2x-y+1=0 2 y + x − x = − x − y  Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau   y + = x + xy + x  Câu 9.(1,0 điểm): Cho a, b, c không âm a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + 71 ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu 1: (2.0 điểm) 2x +1 Cho hàm số y = x −1 a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b/ Tìm giá trị m để đường thẳng (d): y = −3x + m cắt (C) A B cho trọng tâm tam giác OAB nằm đường thẳng (∆) : x − y − =  3π   3π  + x ÷+ tan  − x ÷+ cot ( 2π − x ) Câu 2a (0.5 điểm) Thu gọn A = cos(π − x ) − sin      b (0.5 điểm) Cho số phức z = −m + i Tìm m để z.z = − m(m − 2i) Câu (0.5 điểm) Giải phương trình: cos x.cos x + sin x = cos x  2 xy x + y + x + y = Câu (1.0 điểm) Giải hệ phương trình:   x + y = x2 − y  e ln x.dx Câu (1.0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x ( + ln x ) Câu (1.0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Góc CA ' mặt ( AA ' B ' B) 30° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách A ' I AC với I trung điểm AB Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm Chân đường cao hạ từ B, C ABC Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết tung độ điểm A dương Câu (1.0 điểm) x −1 y − z = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1;7;5 ) đường thẳng d : −1 Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt M, N cho tam giác IMN có diện tích 6009 Câu (0.5 điểm) Cho hộp đựng 12 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để lấy viên bi màu đỏ Câu 10 (1.0 điểm) Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức P= yz x + yz + zx y + zx + xy z + xy 72 ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + 3x + 3mx − (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; + ∞ ) π  Câu (1,0 điểm) Giải phương trình + tan x = 2 sin  x + ÷ 4   x +1 + x −1 − y4 + = y  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  (x, y ∈ R)  x + x( y − 1) + y − y + =  x2 −1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ln x dx x Câu (0,5 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác xuất để số chọn số chẵn 5( z + i ) Câu (0,5 điểm) Cho số phức z thỏa = − i Tính môđun số phức z z +1 · Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + = A(−4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N (5;-4) x − y +1 z + = = Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : −3 −2 điểm A(1;7;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ cho AM = 30 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 32a 32b3 a + b2 + − (b + 3c)3 (a + 3c)3 c 73 ... tan cot lệch π” D/ Công thức lượng giác Công thức cộng:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb 4.Công thức hạ bậc: + cos... x+y-z+3=0 Tìm toạ độ giao điểm H A mặt phẳng (P) Bài 2: Trong không gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – = Tìm tọa độ hình chiếu A(1, 2, 3) mặt phẳng (P) Bài 3: Trong không gian Oxyz, Cho mp (P):... tuyến đường trịn (C) Tìm tọa độ tâm (C) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) đường thẳng d: PHẦN II: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP A/ TĨM TẮT LÝ THUYẾT: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: