Tổng hợp lý thuyết ôn thi THPT quốc gia môn toán (blogtoan)

Mời các bạn xem và tải tài liệu Tổng hợp lý thuyết ôn thi THPT quốc gia môn toán đây là tài liệu hay tổng hợp các công thức theo cấu trúc đề thi môn toán THPT quốc gia của BGD và đào tạo. Chúc các em thí sinh ôn thi tốt và thi đạt hiệu quả cao

ÔN TẬP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC

I, Khảo sát hàm số và các vấn đề liên

quan

1.Bảng các đạo hàm

 xn  n.xn 1 

  un  n.u un 1  



2 x



2 u







2



 



 

 



 

 

 x  1, c 0,

k.uk.u

u v uv

uvu v uv  

2

 



 

 

sinx cos x sin uu cos u

cos x  sinx cos uu sin u

tan x 12

cos x

cos u



 

cot x 12

sin x

sin u



 

2 Xét dấu biểu thức.

 Định lý về dấu của nhị thức

bậc nhất y f x =ax b a 0      

x

  b

a

 

y af x 0 0 af x  0

 Định lý về dấu của tam thức bậc

hai y ax 2bx c a 0   

 2



+) Nếu  0  0 phương trình

y 0 vô nghiệm

x   

y af x 0

+) Nếu  0  0phương trình y=0

có nghiệm kép 1,2

b x

2a



x

  b

2a

 

y af x 0 0 af x 0 +) Nếu  0  0 phương trình

y 0 có hai nghiệm phân biệt

x

nghiệm x1x2

x   x 1 x 2 

y af x 0 0 af x 0 0 af x  0

 Định lý vi-et: Khi phương trình bậc hai

2

ax bx c 0 a 0   có hai nghiệm

x ; x ta có 1 2

1 2

b

a c

x x

a









3 Phương trình tiếp tuyến ( 3

PT )

 PT3 với đồ thị hàm số y f x   tại điểm M x ; y có hệ số góc là 0 0

 0

f x

 PT3 với đồ thị hàm số y f x   tại điểm M x ; y có dạng : 0 0

 0  0 0

y f x  x x y , y0 f x 0

M được gọi là tiếp điểm

0

x được gọi là hoành độ của tiếp điểm

0

y được gọi là tung độ của tiếp điểm

 0

f ' x được gọi là hệ số góc của tiếp

tuyến

 Nếu PT3 song song với đường

thẳng y ax b  thì f x 0 a

 Nếu PT3 vuông góc với đường

thẳng y ax b  thì  0

1

f x

a

 Nếu PT3 tạo với trục 0x một góc

 thì f x 0 tan

 Nếu PT3 cắt hai trục tọa độ tạo

thành một tam giác vuông cân thì

 0

f x 1

4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính đạo hàn f x , tìm các

điểm x i 1, 2 ni   mà tại đó đạo hàm

bằng không hoặc không xác định

 Sắp xếp x theo thứ tự tăng dần i

và lập bảng biến thiên

 Nêu các kết luận về sự đồng biến

nghịch biến của hàm số

5 Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính f x  , tìm các

điểm x i 1, 2 ni   mà tại đó đạo hàm

bằng không hoặc không xác định

 Sắp xếp x theo thứ tự tăng dần i

và lập bảng biến thiên

 Từ bảng biến thiên suy ra các

điểm cực trị của hàm số

6 Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

 Tìm tập xác định

 Tính f x , giải phương trình

 

f x 0và kí hiệu x i 1, 2 ni   là các

nghiệm của nó

 Tính f x và f xi

 Nếu fx0 0 thì x là điểm 0

cực tiểu

 Nếu fx0 0 thì x là điểm 0

cực đại

Chú ý nếu f x0 0 thì ta không kết

luận được về tính cực trị hàm số tại x0

7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm

số liên tục trên một đoạn.

 Tìm các điểm x ; x ; ; x trên 1 2 n

a; b mà tại đó  f x 0 hoặc không xác định

 Tính

   1  2  n  

f a ; f x ; f x ; ;f x ;f b

 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Khi đó:

a;b  

a;b

M max f x , m min f x 

Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết luận Không phải hàm số nào cũng có GTLN, GTNN.

8 Đường tiệm cận

 Đường tiệm cân ngang: y y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

y f x nếu: xlim f x  y0

 Đường tiệm cận đứng: x x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

y f x nếu

0

xlimx







9 Sơ đồ khảo sát hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số.

 Xét chiều biến thiên của hàm số +Tìm y’

+Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số (đồng biến,ngịch biến).

 Tìm cực trị

 Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có).

 Lập bảng biến thiên

 Vẽ đồ thị.

10 Tương giao của hai đồ thị.

 Xét hai hàm số y f x   và

 

y g x tọa độ giao điểm của đồ thị hai

hàm số là nghiệm của hệ phương trình.

 

 

y f x

y g x











 Đường thẳng y ax b  là PT3

của đồ thị hàm số y f x  , khi và chỉ khi

phương trình  

 







có nghiệm.

II, Lượng giác

1.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ

bản

sin x cos x 1

t anx , cot x , tan x cot x 1

2.Công thức cộng lượng giác

sin a b sin a cos b cos a sin b

cos a b cos a cos b sin a sin b

t ana tan b tan a b

1 tan a tan b







3.Công thức cung nhân đôi

sin 2a 2sin a cos a

cos2a cos a sin a 2cos a 1



 1 2sin a2

2

2 tan a

tan 2a

1 tan a





Chú ý: Nếu đặt tanx t

2  thì ta có:

2

2 2

sinx ; cos x

t anx ; cot x







4.Công thức hạ bậc

5 Công thức cung nhân ba

3 3

sin 3a 3sin a 4sin a;

cos3a 4cos a 3cos a

6.Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a cos b 2cos cos

sin a sin b 2sin cos

sin a sin b 2cos sin

7.Công thức biến đổi tích thành tổng.

1 cos a cos b cos a b cos a b

2

1 sin a sin b cos a b cos a b

2 1 sin a cos b sin a b sin a b

2

8.Giá trị lượng giác của các góc liên quan

Góc

GTLG

    

2



    

sin  sin sin  cos  sin cos cos cos sin  cos tan  tan  tan cot  tan  cot  cot  cot tan  cot 

9.Phương trình sinx=a

 a 1 phương trình vô nghiệm

 a 1 có góc

:

 





   

 Được gọi là arcsin a

sin f x sin g x

, k





   





 Các trường hợp đặc biệt

sinx 1 x k2 , k

2 sinx 0 x k , k

2











 Bảng sin các góc đặc biệt

Góc

2





3





4





6





0

90

 600 450 300

sin

-1 3

2

 2

2

 1

2



Góc

0

6



4



3



2



0

0 30 0 45 0 60 0 900

sin

0 1

2

2

2

3

2 1

10.Phương trình cosx=a

 a 1 phương trình vô nghiệm

 a 1 có góc : cos a

0

 



 

 

 Được gọi là arc cosa

 cosf x cosg x 

   

, k







 Các trường hợp đặc biệt

cosx 1 x k2 , k

2



     







 Bảng cos các góc đặc biệt

Góc

0

6



4



3



2



0

0 0

30 0

45 0

60 0

90 cos

1 3

2

2

2

1

2 0 Góc

2

3



3

4



5 6





120 0 135 0 150 0 1800

2

 2

2

2

 1

11.Phương trình tanx=a

 Đk: x k , k

2



    

 Luôn có góc

:

 





   

   

 được gọi là arctana

tan f x tan g x

f x g x k , k



 Bảng tan các góc đặc biệt

Góc 3





4





6



 0 600 450 300 00

tan  3 1 3

3

 0

Góc 6



4



3



30 0 45 0 60 0

tan 3

3 1 3

12.Phương trình cotx=a

 Đk: x k , k   

 Luôn có góc : cot a

0

 



 

   

 được gọi là arccota

 cot f x cot g x   f x  g x  k , k 

 Bảng cot các góc đặc biệt

6



4



3



2



30 0 45 0 60 0 900

cot

3 1 3

3 0 Góc

3





4





6



 600 450 300

cot

3

3

 1 - 3

III, Số phức

 Số phức Z a bi  , a là phần

thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số

2

i 1

 Mô đun của số phức Z a bi 

được tính bởi công thức

Z  a b

 Cho số phức Z a bi  thì số

phức Z a bi  được gọi là số phức liên

hợp của Z a bi 

 Cho Z1  a bi, Z2  c di

Z Z  a c  b d i

1 2

Z Z  ac bd  ad bc i

2

1

Z

i

  Z10

 Nếu a là một số thực âm thì căn

bậc hai của a là: i a

 Các nghiệm của phương trình

2

ax bx c 0 a 0   khi  0

là:

1,2

b i x

2a

IV, Mũ, Lô-ga

1 Bảng các đạo hàm

 x ' x 1

  u ' u u ' 1



 x  1 c 0

2

'

 



 

'

 



 

 

 x ' 1

2 x

2 u



u v ' u ' v '    uv ' u ' v v 'u  

2

u u ' v v 'u '



 



 

 

ku ' k u '   

s inx cos x sin ucos u u 

cos x sinx cos usin u u 

t anx 12

cos x

  tan u 12  u

cos u

cot x 12

sin x

  cot u ' 12  u

sin u 



 e ' ex  x  e ' e u 'u  u

 a ' a ln ax  x  a ' a ln a.u 'u  u

ln x ' 1

x

 ln u ' u '

u



1 log x '

x ln a

u ' log u '

u ln a



2 Các công thức lũy thừa



n n

a a.a a, a0 1 n 1n

a a





m

m n n

 a

a a



 



 ab  a b 



 



 

 

3 Các công thức Loogarít

a

log 1 0a 

a log b

 

a

log a



e

10

ln a log a;

lg b log b log b



 

log b b log b log b

1

2

b

b

log b log b



n

1

n



c

c

log b

log b ;log b.log c log c

log a

a

b

1

log b

log a



a a

1

log b  log b

4 Phương trình- Bất phương trình

mũ.

a)Phương trình mũ

 Dạng cơ bản:

x

a  b a 0,a 1  

nếu b0 phương trình vô nghiệm, nếu

b>0 phương trình có nghiệm duy nhất

a

x log b

 Đưa về cùng cơ số

f (x) g(x)

a a  f (x) g(x)

 Đặt ẩn phụ

Dạng 1: A.a2xB.axC 0 đặt

x

t a t 0  phương trình trở thành

2

A.t Bt C 0 

Dạng 2:

 x

A.a B ab C.b 0

Đặt

x

a

t

b

 

 

  t 0 

Dạng 3:

A.a B.b C 0 với ab 1

hoặc a bx x  ta đặt 1 t a x t 0  Khi

đó x 1

b

t



 Loogarít hóa

Với M, N 0 và a 0, a 1 

 

 

f x

a

 Dùng tính đơn điệu:

Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó

là duy nhất

b)Bất phương trình mũ

 a 1: a f (x)ag(x)  f (x) g(x)

 0 a 1 

f (x) g(x)

a a  f (x) g(x)

 Chú ý b a log b a

5 Phương trình- Bất phương trình lôgarít

a)Phương trình lôgarit

 Dạng cơ bản

b a

log x b  x a a 0, a 1   Chú ý: điều kiện log f (x) làa

f (x) 0

a 0; a 1









 Đưa về cùng cơ số

 

 

f (x) g(x) log f (x) log g(x)

f (x) g(x)













 





 Đặt ẩn phụ Dạng 1:

2

A(log x) B log x C 0 đặt t log x a  At2Bt C 0  , chú ý  2 2

log b log b

Dạng 2:

A log x Blog a C 0   đặt

1

t log x log a

t

 Mũ hóa

c a

log b c  b a

 Dùng tính đơn điệu

Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng

tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó

là duy nhất

b)Bất phương trình lôgarit

 a>1

f (x) g(x) log f (x) log g(x)

f (x) 0









 0 a 1 

f (x) g(x) log f (x) log g(x)

g(x) 0









V, Phương trình, bất phương trình đại

số

1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ



2 Phương trình ax b 0 

 

ax b 0 1 

a 0

(1) có nghiệm duy nhất x b

a



a 0  b 0 (1) vô nghiệm

b 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

3 Phương trình bậc hai

ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2)

 = b 2 – 4ac

' b ' ac, b '

2

Kết luận

 > 0

 ' 0

(2) có hai nghiệm phân biệt

x 1,2 =

     



 = 0

 ' 0

(2) có nghiệm kép

x

 < 0

 ' 0 (2) vô nghiệm

4 Định lý Vi-ét

 Nếu phương trình bậc hai

2

ax bx c 0 a 0 2   có hai nghiệm

x ; x thì 1 2 1 2

 Nếu hai số u, v có tổng S=u+v và tích P=uv thì u và v là các nghiệm của phương trình 2

x  Sx P 0 

 (2) có hai nghiệm phân biệt

a 0





 

   



 (2) có hai nghiệm trái dấu  ac 0

 (2) có hai nghiệm cùng âm

1 2

a 0









 







 (2) có hai nghiệm cùng dương

1 2

a 0









 







3 Phương trình bậc cao Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình

Phương trình:

a x a x  a x a 0



hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ p

q thì p

là ước của a và q là ước của 0 a n

Dạng 2: Phương trình trùng phương

ax bx   đặt c 0 x2 t t 0   chuyển về phương trình bậc hai

Dạng 3: Phương trình hồi quy:

4 3 2

ax bx cx dx e 0  với a 0 và

2

, e 0

 

 

Nhận xét x 0 không là nghiệm của

phương trình, chia hai vế cho x2 ta có:

2

2

Đặt t x b 1

d x

   phương trình trở thành

phương trình bậc hai

Dạng 4: Phương trình:

x a x b x c x d           m, với

a b c d   Biến đổi phương trình về

dạng:

Đặt t x 2a b x ab   biến đổi về

phương trình bậc hai

Dạng 5: Phương trình:

x a x b x c x d    mx với

a.b c.d Biến đổi phương trình về:

x a b x ab x c d x cd mx

          

xét x 0 ; x 0 chia hai vế cho x2 ta

có :

Đặt t x ab

x

  biến đổi phương trình về

phương trình bậc hai

4 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt

đối:

Để giải các phương trình có chứa dấu giá

trị tuyệt đối ta tìm cách phá dấu giá trị

tuyệt đối của phương trình, có hai cách

phá dấu giá trị tuyệt đối của phương

trình là xét dấu biểu thức trong dấu giá

trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế của

phương trình, khi bình phương hai vế

của phương trình ta cần phải chú ý điều

kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0

A, A 0

A

A, A 0







 ; A2 A2

 

 2    2















 





2 2

g(x) 0 f(x) g(x)

f(x) g(x) g(x) 0

5 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thông thường ta bình phương hai vế của phương trình, khi bình phương hai

vế của phương trình ta cần chú ý điều kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0

 











 





2

g(x) 0 f(x) g(x)

f(x) g x f(x) 0

f(x) g(x) g(x) 0

f(x) g(x)

6 Hệ phương trình đối xứng loại 1:

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn

x, y là hệ phương trình gồm các phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y

và y bởi x Đối với hệ phương trình dạng này ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ

S x y

P xy

 







 , điều kiện: S2 4P 0

7 Hệ phương trình đối xứng loại 2:

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình nếu thay đổi x cho y và y cho x thì phương trình này chuyển về phương trình kia của hệ

Đối với hệ phương trình này ta thường trừ từng vế của phương trình cho nhau, bao giờ cũng phân tích được thành nhân

tử x y 

8 Hệ phương trình đẳng cấp:

Phương trình đẳng cấp bậc hai cĩ dạng:

a x b xy c y d







Cách giải:

 Cách 1: Đặt x ty tìm t và giải

phương trình

 Cách 2: Chuyển phương trình về

dạng

Ax Bxy Cy 0

Xét y 0 thay vào phương trình

Xét y 0 chia 2 vế của phương trình ta

được phương trình bậc hai với x

y

9 Định lý về dấu của nhị thức bậc

nhất:

y f x =ax b a 0  

x

  b

a

 

y af x 0 0 af x 0

10 Định lý về dấu của tam thức bậc

hai: y ax 2bx c a 0   

 2



+) Nếu +) Nếu  0  0 phương

trình y 0 vơ nghiệm

x   

y af x 0

+) Nếu  0  0phương trình y=0

cĩ nghiệm kép 1,2

b x

2a



x

  b

2a

 

y af x 0 0 af x 0

+) Nếu  0  0 phương trình

y 0 cĩ hai nghiệm phân biệt

x

nghiệm x1x2

x   x 1 x 2 

y af x 0 0 af x 0 0 af x 0

11 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối



g(x) 0 f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)











   

  



g(x) 0 f(x) có nghĩa

f(x) g(x) f(x) g(x)

 Với B > 0 ta cĩ :

  

  A B

 Ta thường dùng cách bình phương hai vế của phương trình để phá dấu giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu

12 Bất phương trình chứa ẩn trong căn





   



2

f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0

f(x) g(x)



















2

g(x) 0 f(x) 0

f(x) g(x)

 Ta thường dùng cách bình phương

hai vế của phương trình để phá dấu

giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần

chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu

VI, Tích Phân và ứng dụng

1 Bảng các nguyên hàm- tích phân

 Các nguyên hàm cơ bản

1

x

1











1

dx ln x C

2



cos xdx  sin x  C



sin xdx  cos x  C



2

1

dx tan x C

cos x  



2

1

dx co t x C

sin x  



tan xdx  ln cos x  C



co t xdx  ln sin x  C



e dx  e  C



x

x

ln







 ,  > 0,  1

 Các nguyên hàm thường dùng

1





 









ln ax b

1







sin(ax b)

a





cos(ax b)

a





2

dx tan(ax b) C a

cos (ax  b)   



2

dx co t(ax b) C a

sin (ax  b)   



1 tan(ax b)dx ln cos(ax b) C

a



1

co t(ax b)dx ln sin(ax b) C

a



ax b 1 ax b

a









ax b

ax b

a ln





 ,  > 0,  1 dx

2 x C

x  



2 2

arctan C



2 2

2a x a

x a









2 2

2a a x

a x









2 2

dx

ln x x p C

x p





2 2

arcsin C a

a x





b) Nếu F(x) là một nguyên hàm f(x) thì

b

a

b

f x dx F x F(b) F(a)

a



c) Tính tích phân.

 Phương pháp đổi biến số dạng 1

 

b

b

If  x  x dx Đặt t x Khi đó