Tổng hợp kiến thức về số phức và các ví dụ ôn thi THPT quốc gia môn toán

SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC I Khái niệm số phức Một số phức biểu thức dạng a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn i2 = -1 Kí hiệu số phức z viết z = a + bi • i: đơn vị ảo • a: phần thực • b: phần ảo  Chú ý: • z = a + 0i (b = 0) = a gọi số thực (a ∈ ¡ ⊂ £ ) • z = + bi = bi (a = 0) gọi số ảo(số ảo) i = + 1i gọi đơn vị ảo • = + 0i vừa số thực vừa số ảo Ví dụ: Tìm phần thực phần ảo số phức sau 1) z = + 3i , z = -i 2) z = -3 + 2i , z = -i3 a = a ' Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z’ = a’ + b’i ( ( a ', b ' ∈ ¡ ) ) gọi  Khi ta viết z b = b ' = z’ Ví dụ: Tìm số thực x y, biết: (2x +1) + (3y - 2)i = (x + 2) + (y + 4)i II Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) biểu diễn điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) (hình vẽ) y • Gốc tọa độ O biểu diễn số • Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn số thực • Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn số ảo b M Ví dụ: Biểu diễn hình học số phức r z A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(-3 – 3i), D(3i) u (a; b) E(-2i), F(4) a x III Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z’ = a’ + b’i ( ( a ', b ' ∈ ¡ ) ) Ta có: 1) Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i 2) Trừ hai số phức: z – z’ = z + (-z’) = (a – a’) + (b – b’)i  Chú ý: • Phép cộng, trừ số phức có tính chất tương tự phép cộng, trừ số thực (kết hợp, giao hoán) • Số đối z = a + bi – z = - a – bi 3) hình học phép cộng phép uuuu rÝ nghĩa r uuutrừ uu r sốr phức: OM = u (a; b) biểu diễn số phức z = a + bi, OM ' = u '(a; b) biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i r ur • u + u ' biểu diễn số phức z + z’ r ur • u − u ' biểu diễn số phức z - z’ Ví dụ: Tính tổng hiệu hai số phức: (3 + i) (2 – 3i), (1 – 2i) (2 + 2i), (2 – 2i) (-2 + 3i) IV Phép nhân số phức Tích hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z’ = a’ + b’i ( ( a ', b ' ∈ ¡ ) ) số phức zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i  Chú ý: Phép nhân số phức có tính chất tương tự phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán phân phối) Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i), V Số phức liên hợp môđun số phức: 1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) z = a − bi Như vậy: z = a + bi = a − bi Ví dụ: Tìm số phức liên hợp số phức sau + 3i, - Chú ý:  • 2i , i, -i Hai số phức liên hợp ⇔ điểm biểu diễn chúng đối xứng qua trục thực Ox • • • z = z z + z ' = z + z ' z.z ' = z.z ' 2) Môđun số phức: Môđun số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) số thực không âm hiệu |z| (không phải trị tuyệt đối) Như vậy: a + b kí z = a + b2 Chú ý:  • uuuu r z = z.z = a + b = OM • z ≥ 0∀z ∈ £ |z| = ⇔ z = • z.z ' = z z ' , z + z ' ≤ z + z ' ∀z , z ' ∈ £ Ví dụ: Tính môđun số phức sau + 3i, -4 - 2i , i, -i VI Phép chia cho số phức khác −1 Số nghịch đảo số phức z khác số z =   z z z' phép chia số phức z’ cho số phức z khác tích z’ z z ' z '.z z' = = z '.z −1 Như vậy: Nếu z ≠ với số nghịch đảo z z z z Thương Chú ý:  • Với z ≠ , ta có • Để tính • = 1.z −1 = z −1 z z' ta việc nhân tử số mẫu số với z (nhân lượng liên hợp) z z' z'  z' z' z' = Với z ≠ , = ω ⇔ z ' = ω.z  ÷ = , z z z z z − i + 2i 1 ; ; ; Ví dụ: Tính + i − 2i − 3i − i 2 Bài tập: 1) a) b) c) d) e) f) g) h) Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức sau: (4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i) (1 + i)2 – (1 - i)2 (2 + i)3 – (3 - i)3 (i + 1)2(2 – i)z = + i + (1 + 2i)z (CĐ – 2009 ) −i +i − 1+ i i 1 1  i − ÷ 2i  i  − i + 2i 1 ; ; ; + i − 2i − 3i − i 2 33 1+ i  10  ÷ + (1 − i ) + (2 + 3i )(2 − 3i) + i  1− i  i) + ( + i ) + (1 + i ) + (1 + i)3 + + (1 + i ) 2010 j) 2) a) b) 3) a) b) c) d) e) f) 4) a) b) c) d) e) + i + i + + i 2010 i + 2i + 3i + + 2010i Cho số phức z = x + iy ( x, y ∈ ¡ ) Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức sau: z2 – 2z + 4i z+i iz − Cho số phức z1 = + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = – i Hãy tính sau tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức đối số phức liên hợp số phức sau: z1 + z2 + z3 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 z1 z2 z3 z12 + z22 + z32 z1 z2 z3 + + z2 z3 z1 z12 + z2 z2 + z32 Tìm nghiệm phức phương trình sau: 2+i −1 + 3i z= 1− i 2+i ( + i ) z + + i   iz + ÷ =   2i  z + z = − 4i z2 + z = z2 + z = f) z2 + z = 5) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: z −1 z − 3i = = z −i z +i  z+i  6) Tìm số phức z thỏa mãn:  ÷ =  z −i  7) Tìm số phức z thỏa mãn: z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 (ĐHKB – 2009) 8) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z + z + = b) z − z + − i = c) z − (3 − 4i ) = (ĐHKD – 2009) d) ( − z ) (i + z ) số thực tùy ý, ( − z ) (i + z ) số ảo tùy ý e) z − i = z − z + 2i f) z − ( z )2 = BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I Căn bậc hai số phức Định nghĩa: Cho số phức ω Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = ω gọi bậc hai ω Trường hợp ω số thực: ω = a = Có bậc hai ω = a khác • a > 0: ω có hai bậc hai ± a • a < 0: ω có hai bậc hai ± −a i 2) Trường hợp ω = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , b khác z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) bậc hai ω  1) a) b)  x2 − y2 = a Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai z số   xy = b phức ω Ví dụ: Tìm bậc hai số phức sau: 1) -1, -i2, - + 12i, i 2) −1 + 3i , + 5i , −1 − 6i II Phương trình bậc hai Mọi phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (1) (A, B, C số phức cho trước, A khác 0) có hai nghiệm phức ( trùng nhau) Việc giải phương trình tiến hành tương tự trường hợp A, B, C số thực cụ thể: Xét biệt thức ∆ = B − AC • Nếu ∆ ≠ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = δ bậc hai ∆ • Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép z1 = z2 = − −B + δ −B − δ , z2 = , 2A 2A B 2A Ví dụ: Giải phương trình sau: 1) z2 – z + = 2) z2 + (-2 + i)z – 2i = 3) z2 = z + 4) z2 + 2z + = 5) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 6) (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 7) 8z2 – 4z + = 0, 2z2 – iz + = ( TNPT – 2009 ) z − − 7i = z − 2i (CĐ – 2009) 8) z −i 2 9) z2 + 2z + 10 = (z1 z2 nghiệm) Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 (ĐHKA – 2009) 10) z − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = Bài tập: 1) 2) 3) 4) Giải phương trình sau: z2 + z +1 = ( z − i )( z + 1)( z + i ) = (2 + 3i)z = z – (1 + i ) z = −1 + 7i 5) (z 6) ( z + − i) + z ) + ( z + z ) − 12 = 2 − ( z + − i ) + 13 = iz +  iz +  7)  −4 = ÷ − z − 2i  z − 2i  8) (z 9) z − z = − 4i + 1) + ( z + 3) = 2 10) z + z = + 4i 11) z = + 11i, z = x + yi ( x, y ∈ ¢ ) 12) iz + (1 + 2i ) z + = 13) z + 6(1 + i ) z + + 6i = 14) (1 + i ) z + + 11i = Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = có tổng bình phương hai nghiệm Tìm số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm Tìm số thực a, b, c để phương trình z3 + az2 + bz + c = nhận z = + i z = làm nghiệm Giải phương trình z − 2(i + 1) z + 3iz + − i = Giải phương trình z − z + 14 z − = z − z − 16 z − 16 = (có nghiệm z2 – 2z – = 0) z + z − z + z + = z2 z − z + + z + = 10 ( z + z + ) + z ( z + z + ) − 3z =  z1 + z2 = + i  z1 z2 = −5 − 5i 11 Giải hệ  , 2  z1 + z2 = − 2i  z1 + z2 = −5 + 2i ... tự phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán phân phối) Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i), V Số phức liên hợp môđun số phức: 1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp z = a +... ' ∀z , z ' ∈ £ Ví dụ: Tính môđun số phức sau + 3i, -4 - 2i , i, -i VI Phép chia cho số phức khác −1 Số nghịch đảo số phức z khác số z =   z z z' phép chia số phức z’ cho số phức z khác tích... )2 = BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I Căn bậc hai số phức Định nghĩa: Cho số phức ω Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = ω gọi bậc hai ω Trường hợp ω số thực: ω = a = Có bậc