Tuyển tập toán OXY ôn thi THPT quốc gia môn toán

TRẦN VĂN TÀI – HỨA LÂM PHONG ( GV CHUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA) SOI KÍNH LÚP HÌNH HỌC PHẲNG & OXY FULL FREE ẤN PHẨM NĂM 2016 - 30 TÍNH CHẤT HÌNH PHẲNG THƯỜNG GẶP PHÂN DẠNG BÀI TỐN HÌNH PHẲNG TRÍCH ĐỀ THI THỬ MỚI NHẤT 2016 ĐÁP ÁN CHI TIẾT NHÀ XUẤT BẢN VÌ CỘNG ĐỒNG TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE A- CHỨNG MINH MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TAM GIÁC – TỨ GIÁC – ĐƢỜNG TRÒN Để giúp bạn đọc rèn luyện thêm cho kỹ q trình chứng minh số tính chất hình học, tác giả bổ sung thêm vào chuyên đề mục sau Ngồi cách chứng minh nêu có thêm cách chứng minh khác Điều tùy thuộc vào khả tư lĩnh hội sở trường người Tựu trung lại hướng chứng minh xuất phát từ đường chính: Một là, sử dụng “các tính chất hình học túy THCS” Hai là, sử dụng phương pháp “véctơ túy” (lớp 10) Ba là, sử dụng phương pháp tọa độ hóa kết hợp “chuẩn hóa số liệu” Bốn là, sử dụng phương pháp tổng hợp (kết hợp cách trên) Tính chất 1: Cho tam giác ABC vng A , vẽ AH  BC H Đường tròn  C ; AC  cắt đoạn thẳng BH D CMR: AD tia phân giác góc BAH Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Do CA  CD  CAD cân C  CAD  ADC AD phân giác góc BAH dpcm   BAD  DAH Mặt khác, ta lại có:  CAD  BAD  900  gt    ADC  DAH  90  gt   BAD  DAH  AD phân giác góc BAH Tính chất 2: Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  Gọi I trung điểm cạnh AC Qua I kẻ đường thẳng d1 vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng d2 vng góc AC , d1 cắt d2 E CMR: AE  BI Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi M  IE  AB CI  MB  Do   I trực tâm BMC  BI  MC  1   MI  BC Vì IA  IC  A IM  ICE  c  g  c   IM  IE Do AMCE hình bình hành  AE / / MC   Từ  1 ,    BI  AE Tính chất 3: Cho đường tròn  O ; R  AB dây cung đường trịn  AB  R  , M điểm thuộc cung lớn AB  M  A, M  B  Gọi H hình chiếu vng góc M AB CMR: Hình vẽ AMH  OBM Hướng dẫn chứng minh: Vẽ đường kính MC đường trịn  O   MBC  900 Xét AHM MBC có: ● HAM  MCB (hai góc nội tiếp chắn cung BM ) ● MBC  AHM  900  cmt   AHM CMB  g  g  THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  AMH  CMB   BMO  Mà OMB cân O OB  OM  R   BMO  OBM  AMH  OBM  dpcm  Kéo dài MO căt  O  điểm thứ C  AHM đồng dạng CMB dpcm Tính chất 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O  , gọi M giao điểm AB CD Khi CMR: MB.MA  MC.MD Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có ABCD tứ giác nội tiếp  CAB  DBC (hai góc nội tiếp chắn cung BC ) Xét ACM DMB có  CAB  DBC  cmt    AMD : chung Đây địng nghĩa phương tích điểm đường tròn MB.MA  MC.MD O  M  R ACM DBM  g  g  AM CM  DM BM  AM.BM  CM.DM  dpcm   Tính chất 5: Cho tứ giác ABCD , AC  BD  AB2  CD2  BC2  AD2 (định lý điểm) Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Từ kết tính chất trên, ta Dựng hệ trục Hxy hình vẽ sử dụng để chứng minh đường Đặt A a; ,C c; , B ; b       thẳng vng góc Giả sử: D  m; n  Ta có AB2  a2  b2 CD2  c2  2cm  m2  n2 AD2  a2  2am  m2  n2 BC  b2  c2 Từ đẳng thức ta có: AB2  CD2  AD2  BC2  cm  am Vì a  c  m   D  ; n   trục tung  AC  BD THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG FULL & FREE Tính chất 6: Cho tam giác ABC TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  AB  AC  có ba góc nhọn hai đường cao BD,CE Vẽ đường tròn tâm B bán kính BD cắt đoạn thẳng CE K Qua D vẽ đường thẳng BC cắt đường thẳng BA M , cắt EC I CMR: MK  BK Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi H  DI  BC Ta có:  BEC  BHM  900  gt  ●  EBC chung  BEC BHM  g  g   BE.BM  BH.BC  1 BCD vuông D, DH đường cao  BH.BC  BD   Mà BD  BK   R   BE.BM  BK dpcm   BEK đồng dạng BKM  BEK  BKM  900 Do ta cần chứng minh BE.BM  BK2  BE BK    cmt  ●  BK BM  EBK chung   BEK đồng dạng BKM  g  g   BEK  BKM  900  MK  BK Tính chất 7: Cho tam giác ABC vng A Đường phân giác góc ABC cắt đường trung trực đoạn thẳng AC D CMR: DBC vng Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi E trung điểm BC , ABC vuông A  EA  EC Suy E thuộc đường trung trực cạnh AC  DE  AC Mà AB  AC  AB / /DE  Ta sử dụng tính chất đường trung tuyến nửa cạnh huyền tam giác vuông BDE  ABD   DBE   DBE cân D  ED  BE  BC  DBC vng D Tính chất 8: Cho điểm A ngồi đường trịn  O  Vẽ cát tuyến ABC, ADE đường tròn  O  Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD CMR: Ax / /DE Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có xAB  ADB (góc tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AB ) Mà ADB  BCE (do tứ giác BCED nội tiếp có góc ngồi góc đối trong) Để chứng minh song song, ta sử dụng tính chất so le góc nhau, đồng thời sử dụng mối liên hệ góc đường trịn, tứ  xAB  BCE (vị trí so le trong)  Ax / /CE THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 giác nội tiếp Tính chất 9: Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  , dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD vuông cân A , tam giác ACE vuông cân A Gọi I giao điểm BE CD Gọi M, N trung điểm BC, DE Chứng minh AI / /MN Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh:  AD  AB  gt  , AE  AC  gt   Ta có    DAC  BAE  ABE  DAC  c  g  c   ABE  ADC Từ suy BE  CD Dễ dàng chứng minh FNKM hình thoi  FK  MN Gọi F,K trung điểm BD, EC  AB  AF  IF  Ta có   AK  IK  EC   FK thuộc trung trực AI  FK  AI Do MN / / AI Tính chất 10: Cho tam giác ABC có H trực tâm, d1 đường phân giác góc HAC Đường phân giác góc HBC cắt cạnh AD,d1 , AC M, N, I CMR: AI  MN Hình vẽ Điều phải chứng minh Hướng dẫn chứng minh: Gọi D  AH  BC E  BH  AC  AMN cân A Ta có   BHD  NCB AMN  ANM Để chứng minh hai góc ta sử dụng kỹ thuật tách góc BDH  BEC  90o  AMN  BHM  HBM  Lại có  HBM  NBC  BM phan giac    NCB  NBC  ANM  ANM  AMN  AMN cân A Mà AI đường phân giác MAN  AI  MN Lưu ý: ACx  1800  ACB  BAC  ABC Tính chất 11: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , vẽ đường trịn tâm H bán kính HA D THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 điểm đường  H  Gọi M, N trung điểm DB, DC CMR: DMHN tứ giác nội tiếp Hình vẽ Cần chứng minh MND  MHD Kéo dài HD cắt  H  để tạo đường kính đồng thời khai thác giả thiết trung điểm Hướng dẫn chứng minh: Gọi E giao điểm DH với đường tròn  H  Ta có BH.BC  AH   DH.HE  (do ABC vuông A )  BH.BC  DH.HE Lại có BHE   BEH   MHD  HDC  c  g  c  DCH BED (do MH / /EB ) Tương tự ta có Do DHC (đối đỉnh)  HBE MND  DCH MND  MHD  tứ giác DMHN nội tiếp Tính chất 12: Cho hình vng ABCD , vẽ đường trịn  O  đường kính AB đường trịn tâm D bán kính DC Gọi E giao điểm hai đường tròn  E  A  Tia BE cắt CD M CMR M trung điểm CD Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có EAB vuông E Do A, E giao điểm hai đường tròn  AE  OD Mà BM  AE  OD / /BM , lại có OB / /DM nên OBMD hình bình hành  DM  OB  CB Cần ý đến tính chất hai đường  M trung điểm CD trịn cắt hai điểm A, E OD  AE Tính chất 13: Cho tam giác ABC , phía ngồi tam giác ABC , vẽ tam giác ABD, ACE F giao điểm đường thẳng qua D song song với AE đường thẳng qua E song song với AD CMR FBC tam giác Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi M  AE  CF  DF / / AE Ta có   AEFD hình bình hành   AD / /EF  ADF  AEF  FDB  FEC Lại có DB  DA  EF, AC  AE  DF  FB  FC  1 FBC    BFC  60 Để chứng minh FB  FC , ta chứng minh DFB  FCE Để chứng minh BFC  600 , ta khai  DBF  FEC  BF  CF BFD  FCE Mặt khác, THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 thác song song AE / / DF , đồng thời phân tích góc AMC, DFC   AMC  DFC  AE / /DF    AMC  MEC  FCE  600  DFC  BFC  BFD  Suy BF  FC  cmt  BFC  600  FBC Tính chất 14: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn  O  M, N trung điểm AB, BC , vẽ BD  OA D , AE  BC F CMR: MN  DE Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Dựng đường kính AF đường trịn  O  Ta có ADBE tứ giác nội tiếp (do  ABC  EDN mà ADB  AEB ) ABC  AFC (do ACFB nội tiếp)  EDN  AFC  DE / / AF   AF  AC Mà   DE  MN   MN / / AC Tính chất 15: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi M trung điểm AH , D giao điểm BM đường trung trực AC CMR: DBC vng Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Khi đó, từ tính chất đường trung bình  M, N, P thẳng hàng BH  PM , HC  MN Từ đó, áp dụng định lý Thales với AB / /DN (do vng góc AC ) Suy Gọi P, N trung điểm AB, AC BH PM BM    MH / /CD HC MN MD Lại có HM  BC  CD  BC  DBC vng C Tính chất 16: Cho hình vuông ABCD Trên tia đối BA , lấy điểm E; tia đối CB , lấy điểm F cho EA  FC CMR: FED vng cân Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh:  AB  CD  gt    Xét CF  EA  gt     EAD  FCD  90  EAD  CFD  c  g  c    ED  DF    DEF  EFD  EDF vuông cân THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Tính chất 17: Cho hình thang ABCD vuông A D  CD  AB  Gọi H hình chiếu vng góc D đường chéo AC, M trung điểm HC Chứng minh BM  MD Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi K trung điểm DH suy KM đường trung bình HCD Suy KM  AB,KM / /AB (do AB / /CD,DC  AB ) Nên ABMK hình bình hành  BM / / AK Lại có KM  AD,DH  AM nên K trực tâm ADM  AK  DM  DM  BM  AK / /BM  Tính chất 18: Cho hình thoi ABCD có BAC  60o E giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi E hình chiếu vng góc A lên BC Chứng minh AEF tam giác Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có FBA  1800  ABC  600 Và đồng thời ABE  600 Suy AB tia phân giác góc FBE Do FA  BF, AE  BE nên theo tính chất phân giác ta có cân Lại có góc AF  AE  AEF A FAE  BAE  FAB  60  AEF tam giác Tính chất 19: Cho hình bình hành ABCD Gọi E,F điểm nằm cạnh AB BC cho FA  EC Gọi I giao điểm FA EC Chứng minh ID tia phân giác góc AIC Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi H,K hình chiếu vng góc D lên cạnh AF,CE Dễ dàng chứng minh 1 SAFD  AF.DH ,SAFD  CE DK, SAFD  SCED  SABCD 2 CE  AF  gt  Suy DH  DK  DI phân giác góc AIC Tính chất 20: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I , gọi E thuộc cạnh AC kẻ đường thẳng qua E song song BD cắt AD,CD F,H Dựng hình chữ nhật FDHK Chứng minh KD / / AC E trung điểm BK Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi O tâm hình chữ nhật FDHK suy OHD  ODH Mặt khác OHD  IDC  ICD  ODH  ICD  DK / / AC Do đo EI / /DK , I trung điểm BD  E trung điểm BK (đpcm) Tính chất 21: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm đối xứng B qua C N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Chứng minh AN  CN THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có BCND tứ giác nội tiếp (do  BNC  BDC  BCD  BND  900 ) CAB  ANCB tứ giác nội tiếp (do  AN  NC ANC  1800  ABC  900 Tính chất 22: Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  Đường phân giác ngồi góc BAC cắt đường trịn  O  điểm E M, N trung điểm cạnh BC, AC F hình chiếu vng góc E AB , K giao điểm MN AE Chứng minh KF / /BC Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: BEFM tứ giác nội tiếp  FME  FBE  ABE  ADE  1  MF / / AD    MF  AE    1 ,    MF  AE ( 3) Lại có MN / / AB, EF  AB  EF / /MN     ,    F trực tâm EKM  KF  EM mà EM  BC  FK / /BC Gọi D điểm cung BC không chứa điểm A  AD  AE (1) Ta có ED đường kính  O   ED  BC M Tính chất 23: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I  , điểm D chân đường phân giác góc BAC Đường thẳng AD cắt I điểm M   A  Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ACD CMR: CM  CJ Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh:   AJD  ACD   BAD     BAD  BCM  CJD  BCM Lại có CJD  JCD  180  BCM  JCD  180  BCM  JCD  900  CM  CJ THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 10 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Tính chất 24: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn  O ; R  vẽ hai tiếp tuyến PA PB tới đường tròn  O  ( A, B hai tiếp điểm) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến đường kính BC đường trịn CMR: PC cắt AH I trung điểm AH Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi D  BP  AC Ta có PA  PB  PAB cân P BAC  900  PD  PB   PA  (1) BPC có IH / /PB  IH CI  (2) PB CP CPD có AI / /PD  IA CI  (3) PD CP  IH  IA  I trung điểm AH Tính chất 25: Cho tam giác ABC vuông C , kẻ đường cao CK , kẻ phân giác CE góc ACK K, E  AB D trung điểm AC , F  DE  CK CMR: BF song song CE Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có AE phân giác ACK  Dựng hệ trục Kxy hình vẽ Đặt CK  a,KE  1, EC  b Khi đó, ta có:  b1 a  K  ;  ,E 1;  ,C  ; a  ,D  ;   2  1 ab   BC    2 AC BC  CK a2   b1  2  AK  CK  AC  a  b   CK KE a     CA  ab CA EA CA b qua E  1;   ED :   ED   b  1; a  lam vtcp   ax   b  1 y  a  a  Và F  Oy  ED  F  ;   b 1 BK  CK  BC  KB   a   B ;0   b2   b 1  a CE   1;  a   Do  a  1;  a   BF  b    CE / /BF  dpcm  Tính chất 26: Cho tam giác ABC Một đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Đường tròn tâm I đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với BC F Vẽ đường kính DE đường tròn C  CMR: A, E, F thẳng hàng Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có A,O, I thẳng hàng (do nằm đường phân giác góc BAC ) Gọi M, N tiếp điểm  O  ,  I  với AB THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 11 TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE +) Đối chiếu A, Q phía với đường thẳng BC ta nhận điểm  Vậy A  1 ; 2  Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  T  :x  y  4x  2y  đường phân giác góc A có phương trình x  y  Biết diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC ( với I tâm đường trịn  T  ) điểm A có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng BC Trƣờng THPT Hoàng Hoa Thám Lời giải tham khảo:  Gọi d đường phân giác góc A +) Đường trịn  T  có tâm I  2;1 , bán kính R  A +) Khi đường thẳng d cắt đường tròn  T  A A' có tọa  x  y2  4x  2y  x  độ nghiệm hệ:   y  x  y    +) Điểm A có tung độ dương suy A  3;3 A'  0;0  x   y  I B +) Đường thẳng BC nhận IA '   2; 1 làm vtpt nên có dạng: BC : 2x  y  m  C A' +) Mặt khác ta có: 1 SABC  3SIBC  d  A, BC  BC  d  I, BC  BC 2  d  A, BC   3.d  I, BC   m9  m5  m  3  m   m     m  6 +) Với m  3 BC : 2x  y     21  21    21  21  Tọa độ điểm B, C là:  ; ; ,   , suy B, C nằm khác 5 5     phía đường thẳng d ( Thỏa ) +) Với m  6 BC : 2x  y       Tọa độ điểm B, C là:  12  ;   ,  12  ;   , suy B, C nằm khác  5   5  phía đường thẳng d ( Thỏa )  Do phương trình đường thẳng BC : 2x  y   2x  y   Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình d1 : x  y   0, d : 3x  y   tam giác ABC có diện tích trực tâm I thuộc d1 Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ giao điểm d1 đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hồnh độ dương Lần 2–Trƣờng THPT Đồng Dậu – Vĩnh Phúc Lời giải tham khảo: THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 84 TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE  Gọi M  AI  BC Giả sử AB  x( x  0), R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC +) Do tam giác ABC nên S ABC  x2 x2  3 x2 4 +) Do tam giác ABC nên trực tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác ABC 1 AM  3 3 +) Giả sử I (2a  2; a)  d1 (a  1)  r  IM  +) Do d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên: d (I ; d2 )  r  3(2a  2)  3a  99  62 a  1(l )   3a        a  +) Suy I (2;2)  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R  AM  3  phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC : ( x  2)2  ( y  2)  +) Giao điểm đường thẳng ( d1 ) (C ) nghiệm hệ phương trình: x  y     2 ( x  2)  ( y  2)   Vậy giao điểm ( d1 ) (d ) E (2  4 ;2  ), F (2  ;2  ) 15 15 15 15 Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) đường thẳng  định bởi: (C ) : x  y  x  y  0;  : x  y  12  Tìm điểm M  cho từ M vẽ tới (C) hai tiếp tuyến lập với góc 600 Lần –Trƣờng GDTX Cam Lâm Lời giải tham khảo:  Đường tròn (C) có tâm I(2;1) bán kính R  +) Gọi A, B hai tiếp điểm (C) với hai tiếp (C) kẻ từ M Nếu hai tiếp tuyến lập với góc 60 tam giác IAM nửa tam giác suy IM  2R=2 +) Như điểm M nằm đường trịn (T) có phương 2 trình:  x     y  1  20 +) Mặt khác, điểm M nằm đường thẳng  , nên tọa THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 85 TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE  x  2   y  12  20 (1) độ M nghiệm hệ phương trình:   x  y  12  (2) Khử x (1) (2) ta được: x  2  2 y  10    y  1  20  y  42 y  81    27 x   27 33   9  Vậy có hai điểm thỏa mãn đề là: M  3;  M  ;   10   2 Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  :  x  3   y  1  đường 2 thẳng  d  : x  y  10  Từ điểm M  d  kẻ hai tiếp tuyến đến  C  , gọi A, B hai tiếp điểm Tìm tọa độ điểm M cho độ dài đoạn AB  Đề –Trƣờng GDTX Nha Trang Lời giải tham khảo:  Đường trịn (C) có tâm I  3;1 , bk R  OA  +) Gọi H  AB  IM , H trung điểm AB nên AH  +) Suy ra: IH  IA2  AH   IM   2 IA2  3 IH +) Gọi M  m;10  m    d  ta có IM  18   m  3    m   18 2 2m  24m  90  18  m  12m  36   m   Vậy M  6;4  Bài 16: Cho ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm ABM , điểm D  7; 2  điểm nằm đoạn MC cho GA  GD Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hồnh độ A nhỏ AG có phương trình 3x  y 13   Ta có d  D; AG   3.7   2   13 32   1 Lần 1–Trƣờng THPT- Hậu Lộc 2- Thanh Hoá Lời giải tham khảo:  10 +) ABM vuông cân  GA  GB  GA  GB  GD +) Vậy G tâm đường tròn ngoại tiếp ABD  AGD  ABD  900  GAD vuông cân G Do GA  GD  d  D; AG   10  AD2  20;  Gọi A  a;3a  13 ; a  THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 86 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  a  5(loai) 2 AD2  20   a     3a  11  20   a  +) Vậy A  3; 4  +) Gọi VTPT AB n AB  a; b  cos NAG  cos  nAB , nAG   3a  b 1 a  b 10 NA NM 3NG    +) Mặt khác cos NAG   2 AG 10 NA2  NG 9.NG  NG 3a  b b  +) Từ (1) (2)    ab  b   3a  4b 10 a  b 10  Với b  chọn a  ta có AB : x   0; Với 3a  4b chọn a  4; b  3 ta có AB : 4x  y  24  4.7   2   24 +) Nhận thấy với AB : 4x  y  24  d  D; AB     d  D; AG   10 16  (loại)  Vậy AB : x   Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn có phương trình : ( x  1)2  ( y  2)2  ( C ) đường thẳng : d : x  y  m  Tìm m để đường thẳng (d) có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( C ) ( B, C hai tiếp điểm ) cho tam giác ABC vuông Lần –Trƣờng THPT Kẻ Sặt Hải Dƣơng Lời giải tham khảo:  Tâm đt (C) là: I 1; 2  , bk R  , từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC  AB=AC , AB  AC  ABIC hình vng cạnh  IA=  A  a; a  m   d ; AI = (1  a)2  (a  m  2)2   (1  a)2  (a  m  2)2  18  a  2(m  3)a  m  4m  13  (1) +) Để có điểm A tức phương trình (1) có nghiệm     m2  2m  35   m  5; m  Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có I 1; 2  tâm đường tròn ngoại tiếp AIC  900 Hình chiếu vng góc A BC D  1; 1 Điểm K( 4; - ) thuộc đường thẳng AB Tìm tọa độ đỉnh A, C biết điểm A có tung độ dương Lần –Trƣờng THPT Khoái Châu – Hƣng Yên Lời giải tham khảo: THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 87 TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE  Tính chất hình học: ID  AB +) Do AIC  90  ABC  450 ABC  1350  ABD  450 nên ADB vuông cân D Do DA = DB Lại có: IA = IB  DI  AB  Nên đường thẳng AB qua ( 4; - ) vng góc với DI có phương trình x  y   +) Gọi A  a;2a    AB ,  a  1   2a  8 A 1; 7   loaïi  a 1  a5 A  5;1  t / m  DA  2d  D; AB   10   a2  6a    2  10 +) Phương trình DB qua D có VTPT AD  AD : 3x  y   ; C  DB  C  c; 3c    Do IAC vuông cân I nên IA.IC    c  1   3c     c  2  C  2;2  Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm I; có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + y - = 0, D(2; -1) chân đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A Gọi điểm E(3; 1) chân đường vng góc hạ từ B xuống AI; điểm P(2;1) thuộc đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Trƣờng THPT Lê Quý Đôn – Khánh Hồ Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: DE  AC +) Gọi M điểm đối xứng A qua I +) Ta có BCM  BAM  EDC (Do tứ giác ABDE nội tiếp) Từ suy DE / /MC mà MC  AC  DE  AC Ta có DE  1;2  +) AC :1 x     y  1   x  2y    Ta có A  d  AC Tọa độ A thỏa hệ phương  x  2y   x   A  0;   x  y   y  trình  +) Ta có AD   2; 3 , AE   3; 1 Phương trình BE :  x  3   y  1   3x  y   Phương trình BD :  x     y  1   2x  3y   B  BE  BD 17  x  3x  y     17    B ;    Tọa độ B thỏa hệ phương trình  7  2x  3y   y     Ta có C  AC  BD , nên Tọa độ C thỏa hệ phương trình THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 88 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 26  x   x  2y     26    C ;    7 2x  3y   y    17   26   Kết luận : A  0;  , B  ;   , C  ;  7 7  7 Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) đường thẳng d có phương trình: d : x  2y   Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho: MA  MB2  36 Lần –Trƣờng THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh Lời giải tham khảo:  Giả sử M  2m  2; m   d +) MA2  MB  36   2m  3   m     2m  1   m    36 2 2  M  4;1 m       3 m   M ;   5   Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  2;6  , chân đường 3  phân giác góc A D  2;   , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2   1  I  ; 1 Tìm tọa độ điểm B C   Trƣờng THPT Khánh Hoà Lời giải tham khảo:  Phương trình đường thẳng AD : x   +) Phương trình đường trịn (C) ngoại tiếp tam giác ABC : 125  C  :  x     y  1  2  +) Gọi E giao điểm AD (C)  E  2; 4  +) E điểm cung BC không chứa điểm A IE  BC +) Phương trình đường thẳng BC : x  y   +) B, C giao điểm đường thẳng BC đường tròn (C)  B  5;0  ; C  3; 4  B  3; 4  ; C  5;0  Bài 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhận trục hoành làm đường THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 89 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 phân giác góc A, điểm E  3; 1 thuộc đường thẳng BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x  y  x  10 y  24  Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết điểm A có hồnh độ âm Lần –Trƣờng THPT Nhƣ Xuân – Thanh Hoá Lời giải tham khảo: +) Đường trịn ngoại tiếp có tâm I(1;5) K  Tọa độ điểm A nghiệm hệ B x  y2  2x  10y  24  x  x  4    y  y  y  +) Do A có hồnh độ âm suy A(-4;0) +) Và gọi K giao điểm phân giác góc A với (C), nên suy K(6;0) Vì AK phân giác góc A nên KB=KC, KI  BC +) IK  5;5 vtpt đường thẳng BC E I C A  BC : 5  x  3   y  1    x  y    Suy tọa độ B, C nghiệm hệ  x  y  2x  10y  24  x  x     y   x  y     y  2   Vây A(-4;0), B(8;4), C(2;-2) A(-4;0), C(8;4), B(2;-2) Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AC Biết M  3; 1 trung điểm cạnh BD, điểm C  4; 2  Điểm N  1; 3 nằm đường thẳng qua B vng góc với AD Đường thẳng AD qua P 1;3 Tìm tọa độ đỉnh A, B, D Lần 2–Trƣờng THPT Phan Bội Châu Lời giải tham khảo:  Giả sử D  a; b  Vì M trung điểm BC nên B   a;2  b  +) AD  DC  BN / /CD  BN,CD phương  Ta có: +) BN   a  7; b  1 , CD   a  4; b     a   b     a   b  1  b  a  1 +) PD   a  1; b   , CD   a  4; b   PD  CD   a  1 a     b   b      a  Thế (1) vào (2) ta 2a2  18a  40    a  THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 90 TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE a   b  2  D  4; 2  loại D trùng C C a   b  1  D  5; 1 B 1; 1 +) AD qua P 1;3  ,D  5; 1  AD : x  y   (?) +) AB  BC qua B 1; 1  AB : 3x  y   M  A  AB  AD  A  2;2  d: 2x + 3y - 13 = G A F B(?) I(1;6) D Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A Gọi G trọng tâm tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối tia AC cho GD  GC Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x  3y  13  tam giác BDG nội tiếp đường tròn C  : x  y  2x  12y  27  Tìm toạ độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm B có hồnh độ âm toạ độ điểm G số nguyên Lần 1–Trƣờng THPT Phù Cừ Hƣng Yên Lời giải tham khảo:  Tam giác ABC vng cân A có G trọng tâm nên GB = GC Mà GD = GC nên tam giác BCD nội tiếp đường tròn tâm G +) Suy ra: BGD  2BCD  2BCA  900  BG  GD Hay tam giác BDG vuông cân G  Đường trịn (C) tâm I(1;6) bán kính R  10 ngoại tiếp tam giác BDG nên I trung điểm BD Do IG  10 IG  BD  13  2m  =) Vì G  d : 2x  3y  13   G  m;    G 2;  Từ IG  10    28 75  , toạ độ điểm G số nguyên nên G(2;3) G  ;   13 13     BD qua I(1;6) IG  BD nên phương trình BD : x  3y  17        B 2; (do hoành độ điểm B âm) B, D  BD  C   D 4;    Vậy B  2;  +) Gọi M trung điểm BC ta có AM = MB = MC (do ABC vuông cân A) THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 91 TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE 3 Suy AM  BC  GM  MB GM  AM  MB MG   cosGBM  MB 10 +) Gọi n  a, b với a  b  VTPT BC Nên tan GBM          Ta có VTCP BG BG  4; 2  nBG  1;2 VTPT BG       +) Có cos BG, BC  cos nBG , n  cos GBM  cos nBG , n   10  a  2b  a  b2  10  nBG n nBG n a  b   35a  40ab  5b    7a  b  Trƣờng hợp 1: Với a  b   n  1;1 nên phương trình BC : x  y   Trƣờng hợp 2: Với 7a  b   n  1;7  nên phương trình BC : x  7y  33  Do hai điểm D G mằn phía đường thẳng BC nên phương trình BC thoả mãn x  y    Vậy BC : x  y   B  2;  Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-2; -1) trực tâm H(2; 1) Cạnh BC = 20 Gọi I, J chân đường cao hạ từ B, C Trung điểm BC điểm M thuộc đường thẳng d: x – 2y – = M có tung độ dương Đường thẳng IJ qua điểm E(3; - 4) Viết phương trình đường thẳng BC Lần 1–Trƣờng THPT Phú Xuyên B Lời giải tham khảo:  Tứ giác AIHJ nội tiếp đường trịn đường kính AH, có phương trình:  C : x  y2  Vì M thuộc d nên tọa độ M(2b + ; b) +) Đường tròn tâm M, đường kính BC có pt :  C' :  x  2b  1   y  b  2 5 +) Dễ thấy I, J thuộc đường tròn (C’) Vậy I, J giao điểm đường trịn (C), (C’) nên pt IJ có dạng : x  y   x  y   2b  1 x  2by   2b  1  b    2b  1 x  2by   2b  1  b  +) Vì IJ qua E nên ta có b2   b  1 Mà b > nên b = suy M(3; 1)  Đường thẳng BC qua M, có véc-tơ pháp tuyến AH  Vậy phương trình BC: 2x + y – = THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 92 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;2  ; B  3;4  đường thẳng d : y   ,Viết phương trình đường trịn  C  qua hai điểm A, B cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt M , N cho MAN  600 Lần 1–Trƣờng THPT Nguyễn Văn Trỗi Lời giải tham khảo: +) Gọi  C  : x  y  2ax  2by  c  (đk a  b  c  0)  A 1;    C  5  2a  4b  c  b   a    25  6a  8b  c  c  15  2a  B  3;    C  I  a;  a   Vậy A +) Bán kính R  a    a   15  2a    a  4a   60° +) MAN  600 Suy MIN  1200  I MN  I NM  300 B I hạ IH   d   IH  d  I , d   R  a  4a  5  a  4a    a   a  Khi a  ta có đường trịn  C  : x  y  x  y  13  ( loại  2a  M H N I , A khác phía đường thẳng d ) Khi a    C  : x  y  x  y     C  :  x  3   y   2  (t/ mãn) THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 93 TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE PHẦN PHỤ TRỢ THAM KHẢO BÀI 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC; D điểm đối xứng B qua H; K hình chiếu vng góc C đường thẳng AD Giả sử H (5; 5), K (9; 3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x  y 10  Tìm tọa độ điểm A (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 – ĐỀ CHÍNH THỨC) ☺Nhận xét ý tƣởng: _ Có thể thấy “hình vẽ” điểm tựa để ta giải tốn này, việc vẽ “chính xác” hình vẽ có ý nghĩa quan trọng hình vẽ giúp ta “phát tính chất hình học quan trọng” Cụ thể này, AHCK tứ giác nội tiếp, IH  AK Và toán từ mà phân tích theo hướng sau: + Hƣớng thứ 1: Chứng minh AHCK tứ giác nội tiếp  IH = IK I  d  tìm tọa độ I Để chứng minh IH  AK  ta chứng minh IH // CK (do CK // AD) (phần chứng minh xin dành cho bạn đọc)  Khi A thỏa mãn A thuộc đường trịn đường kính AC đường thẳng AK + Hƣớng thứ 2: Tương tự hướng thứ 1, ta tìm tọa độ điểm I, để chứng minh IH  AK  ta gắn hệ trục tọa độ Axy chứng minh AD.IH   Khi A thỏa mãn A thuộc đường trịn đường kính AC đường thẳng AK + Hƣớng thứ 3: Tương tự hướng thứ 1, ta tìm tọa độ điểm I, đến ta đặt A(x; y)  ẩn nên cần phương trình  pt (1) IA = IH, pt (2) AH = HK (ta phải chứng minh AHK cân H) ► Hƣớng dẫn giải cách 1: * Ta có AHC  CKA  90  AHC  CKA  180  tứ giác AHCK nội tiếp Gọi I trung điểm AC  I tâm đường tròn nội tiếp tứ giác AHCK  IK = IH (*) Mặt khác I  d: x – y + 10 =  I (t; t  10) Do (*)  HI  KI  (t  5)2  (t  15)2  (t  9)2  (t  13)2  t   I(0;10) * ABD cân A (do AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến)  ABD  BDA THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 94 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  ABD  BCA  90 Mặt khác   DBA  DCK  90  BCA  DCK Mà CHI  HCI (do IHC cân I) Suy CHI  KCD  KC // IH (đồng vị) mà CK  AD  IH  AD * Đường AD qua K(9; – 3) nhận IH  (5; 15)  5(1;3) làm vecto pháp tuyến có dạng là: 1( x  9)  3( y  3)   AD : x  y  * A giao điểm AD đường trịn đường kính AC nên tọa độ A thỏa mãn hê: x  3y    2  x  ( y  10)  250  y   x  15   y  3  x  Suy A(–15;5) hay A(9;–3) (loại trùng K) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(15;5) ► Hƣớng dẫn giải cách 2: * Ta có AHC  CKA  90  AHC  CKA  180  tứ giác AHCK nội tiếp Gọi I trung điểm AC  I tâm đường tròn nội tiếp tứ giác AHCK  IK = IH (*) Mặt khác I  d: x – y + 10 =  I (t; t  10) Do (*)  HI  KI  (t  5)2  (t  15)2  (t  9)  (t  13)2  t   I(0;10) * Đặt AB = a, AC = Dựng hệ trục Axy hình vẽ Ta có A(0;0), B(0; a), C(1;0) Ta có  a2 BH AB a2 a2 a  BH BC  AB     BH  BC  H  ;  BC BC a  a 1  a 1 a 1  Ta có H trung điểm BD  2a  a  a  1   D ;  I  ;0  tung điểm AC 2   a 1 a 1  THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 95 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016   a2 1 a  ;   IH     2(a  1) a   Nên    a  a  a  AD   ;    a 1 a 1   Xét IH AD  a (a  1)  a (a  a )   IH  AD (a  1) * Đường AD qua K(9; – 3) nhận IH  (5; 15)  5(1;3) làm vecto pháp tuyến có dạng là: 1( x  9)  3( y  3)   AD : x  y  * A giao điểm AD đường trịn đường kính AC nên tọa độ A thỏa mãn hê: x  3y    y   x  15 suy A(–15;5) hay A(9;–3) (loại trùng K)   2  x  ( y  10)  250  y  3  x  Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(15;5) ► Hƣớng dẫn giải cách 3: * Ta có AHC  CKA  90  AHC  CKA  180  tứ giác AHCK nội tiếp Gọi I trung điểm AC  I tâm đường tròn nội tiếp tứ giác AHCK  IK = IH (*) Mặt khác I  d: x – y + 10 =  I (t; t  10) Do (*)  HI  KI  (t  5)2  (t  15)2  (t  9)2  (t  13)2  t   I(0;10) * Xét đường tròn nội tiếp tứ giác AHKC ta có AKH  ACH  HAB  HAD  AHK cân H Suy AH = HK Đặt A(x; y) ta có A thỏa mãn  x  ( y  10)2  250  y   x  15    y  3  x  2  ( x  5)  ( y  5)  250 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(15;5) ► Hƣớng dẫn giải cách 4: (theo đáp án Bộ GD&ĐT) * Gọi I trung điểm AC ta có IH  IK  AC nên I thuộc đường trung trực HK THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 96 TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 FULL & FREE Đường trung trực HK có phương trình x  y 10  nên toa độ I thỏa mãn hệ  x  y  10   7 x  y  10  x    I (0;10)  y  10 * Ta có HKA  HCA  HAB  HAD nên AHK cân H, suy HA = HK mà MA = MK nên A đối xứng với K qua MH Ta có MH  (5;15)  5(1;3) Đường thẳng MH có phương trình: 3x  y  10  * Trung điểm AK thuộc MH AK  MH nên A thỏa mãn hệ: ( x  9)  3( y  3)   x  15    A(15;5)   x 9  y 3   10  y             Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(15;5) BÀI 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn tâm I Gọi H hình chiếu vng góc A BC, K hình chiếu vng góc B AI Giả sử A(2;5), I (1;2), điểm B thuộc đường thẳng 3x  y   , đường thẳng HK có phương trình x  y  Tìm tọa độ điểm B, C \ (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 – ĐỀ DỰ BỊ) ► Hƣớng dẫn giải : * Ta có B thuộc đường trịn tâm I bán kính IA đường thẳng d: 3x + y + = nên thỏa ( x  1)2  ( y  2)2  10 hệ:   3x  y    x  2   B(2;1)  y 1 * Ta có H  HK  H (2h; h) AH  (2h  2; h  5), BH  (2h  2; h 1) Lại có AH  BH THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 97 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  h 1  AH BH   (2h  2)(2h  2)  (h  5)(h  1)    h    1   Do ta có : H (2;1) hay H  ;  5 2 1  8 24  * Với H  ;  ta có AI  (1; 3), AH   ;   (1; 3) nên ba điểm A, H, I thẳng  5  5 5 2 1 hàng hay tam giác cân tai A (không thỏa mãn) nên ta loại H  ;  nhận H (2;1) 5 5 * Phương trình đường BC y – = C giao điểm đường trịn tâm I bán kính IA BC nên tọa độ C thỏa hệ: ( x  1)2  ( y  2)2  10  x  2, y  Do B(–2;1) nên ta nhận C (4;1)   x  4, y  y     Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán B(2;1), C (4;1) THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 98