Cong thuc toan THPT, trọn bộ công thức toán luyện thi THPT quốc gia

Chương trình học tập trung chủ yếu kiến thức chương trình lớp 12. Phục vụ kì thi đánh giá năng lực Môn Toán dưới hình thức trắc nghiệm. Vted.vn thiết kế bài giảng khoá học và Hệ thống đề thi Online lên đến 20.000 câu hỏi có đáp án chi tiết được cập nhật liên tục để các em thoả sức luyện tính nhanh. Các câu hỏi trắc nghiệm trong khoá học này xây dựng bao gồm 2 dạng chính là Chọn đáp án đúng trong 4 đáp án và Câu trả lời ngắn (điền kết quả vào ô trống). Hệ thống sẽ tính điểm và xếp hạng thí sinh khi làm đề thi Online trong khoá học, giúp các em rèn kỹ năng giải toán trắc nghiệm nhanh và chính xác nhất Cấu trúc bài giảng: Dự kiến 30 bài, tương ứng với các dạng toán trắc nghiệm có trong đề thi minh hoạ trắc nghiệm môn Toán do bộ giáo dục và đào công bố (dự kiến đầu tháng 10);

Nam Potato

CÔNG THỨC CẦN NHỚ

Tam thức bậc hai f x( )ax2bx c

 Nếu 0 thì a f x ( )0với mọi xR

 Nếu  = 0 thì a f x ( )0 với mọi x

0

0 2

0 )

af af

 Dấu của các nghiệm:

- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ 𝑐

- Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔

Dấu “=” xảy ra khi a= b= c

Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số thực):

2 Dãy số tăng, dãy số giảm:

 (u n ) là dãy số tăng  u n+1 > u n với  n  N*  u n+1 – u n > 0 với  n  N*  n 1 1

n

u u

  với n  N* ( u n > 0)

 (u n ) là dãy số giảm  u n+1 < u n với n  N*

 u n+1 – u n < 0 với  n  N*  n 1 1

n

u u

2 Số hạng tổng quát: u n   u1 (n 1)d với n  2

3 Tính chất của các số hạng: 1 1

2

k k k

2 Số hạng tổng quát: u n u q1 n1 với n  2

3 Tính chất các số hạng: u k2 u k1.u k1 với k  2

4 Tổng n số hạng đầu tiên:

1 1

P x y

Q x

  cĩ nghĩa Q x( ) 0 ( )

( )

P x y

Nam Potato

 Lƣợng giác:

Dấu của các giá trị lƣợng giác

Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV

Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau Góc hơn kém 

 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

 tan(a - b) = tana - tanb

1 + tana.tanb

 tan(a + b) = tana + tanb

1 - tana.tanb

2) Công thức nhân đôi :

 sin2x = 2sinxcosx = (sinx+cox)2



 cot2x =

212

cot x cotx



3) Công thức nhân 3:

 cos3x4cos3x3cosx

 sin 3x3sinx4sin3x



3 2



 tanx – tany = ( )

cos

sin x y xcosy



 cotx + coty = ( )

sin

sin x y xsiny



 cotx – coty = ( )

sin

sin y x xsiny

b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiê ̣n



    

2

a cot xbcot x c 0 tcotx x  k , k  

Nếu đặt tsin x2 hoặc t sin x thì điều kiện là 0  t 1

c) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2

phương trình  1 hay không ? Nếu phải thì nhâ ̣n nghiê ̣m này

 1 a.sin x22 b.sin x cos x2 c.cos x22  d2

cos x cos x cos x cos x

a tan x2 b tan x c d 1tan x 2

 Bước 3: Đặt t tan x để đưa về phương trình bậc hai đã biết cách giải

Cách 2: Sư ̉ du ̣ng công thức ha ̣ bâ ̣c và nhân đôi

 Bước 1: Thế 2 1 cos2x 2 1cos2x

2 vào  1 và rút gọn lại, ta đươ ̣c: b sin2x c a cos2x 2d a c  

 Bước 2: Giải phương trình   , tìm nghiệm

e) Phương trình lượng giác đối xứng

Dạng 1 a sin x cos xb sin x cos x c 0

n C

- Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n

- Nếu bài toán cho khai triển :

 P( A ) = 1 – P(A)

 Công thức nhân:

Nếu A và B độc lập thì: P(A.B) = P(A) P(B)

 Với hai tập hợp hữu hạn A và B bất kì, ta có:

n AB n A n B n AB

( x   x ( u)'   u1 u ' (u.v)’ = u’.v + v’.u

(u.v w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

2

1 )'

v

u v v u v

2

1)'

u

2 )'

u

C u

) (

)' (

d cx

bc ad d

cx

b ax

) (

2 ) (

)' (

q px mx

cp bq x cm aq x

bm ap q

px mx

c bx ax

2 )'

(

q px

cp bq aqx apx

q px

c bx ax

cos

1 )'

1 )'

x x

a a

ax)' x ln

(  ( au)'  au ln a u ' (sin ax )'  a cos ax;

ax a

x

a

ln

1 )'

1 )'

a u

ax

a

sin )' (cot  

Nam Potato

Giới hạn của dãy số:

b) Nếu un0,n và lim un=a thì a0 và lim

c) Nếu ,n và lim v n = 0 thì lim u n = 0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định

u v

n n

u v

 0

1lim

x  x  

0

1lim

0

lim ( ) 0 lim ( ) ( ) lim ( ) 0





- Ấn “=” ra kết quả : _

Hiện ra 1 số thì kết quả là chính số đó Hiện ra 10 mũ dương thì kết quả là 

Hiện ra 10 mũ âm thì kết quả là 0

1 Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x 0

 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 ta thực hiện các bước:

B1: Tính f(x 0 )

B3: So sánh với f(x 0 ) và rút ra kết luận

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:

y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và

4  Hàm số đa thức liên tục trên R

 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

5 Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0 Khi đó:

 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x 0

 Hàm số y = liên tục tại x 0 nếu g(x 0 )  0

6 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b)

- Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

- Chứng tỏ f(a).f(b)<0

- Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b)

- Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b Muốn chứng minh f(x)=0

có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có

nghiệm

a,

x x

b ax a dx

x x

x a

x a

dx

arctan12 2

b dx a ax b C

1)

(1

C u

n dx

u dx

11

    

C e

a dx

eax b 1 ax b ;

   axb C

a dx b

sin(

a dx b

ax ) 1sin( )cos(

u

du dx

u

2'

  C

u

dx u

a

dx

ln2

12 2

( )( ) ( ) ( )

( )

v b b

t a

Hàm lẻ với sinx Đặt tcosx

Hàm lẻ với cosx Đặt ts inx

Hàm chẵn với sinx và cosx Đặt t =tanx

Cách đặt u và dv đối với phương pháp từng phần:

( )

b

x a

 Chú ý: đặt u: “NHẤT LOG, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ”, còn lại đặt dv

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay:

-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng

-Chọn công thức tính diện tích:

*Hình phẳng quay quanh trục Ox:

- Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm

- Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm

n m

a a

m n mn

a

aa

k n voi a a

n n

2

1 2 ,

Logarit

1.log 1 0 a  , log a 1 a  6 log ( ) log ( )

x

y y

c

c a

a

ln

ln log  - a log b c  c log b a

1 Phương trình, bất phương trình logarit

*Với a>1: loga f x( )loga g x( ) f x( )g x( )0

* Với 0<a<1: loga f x( )loga g x( ) 0 f x( )g x( )

Nam Potato

Hàm số lũy thừa:

a) Hàm số y  x, với   R được gọi là hàm số lũy thừa

b) Tập xác định của hàm số y  x là:

- R với  nguyên dương

- R\ 0  với  nguyên âm hoặc bằng 0

- 0; với  không nguyên

Hàm số mũ:

a) Hàm số y  a ax(  0; a  1) được gọi là hàm số mũ cơ số a

b) Tình chất:

- TXĐ của hàm số mũ là R

- Khi a>1 hàm số mũ luôn đồng biến

Khi 0<a<1 hàm số mũ luôn nghịch biến

- Đồ thị của hàm số mũ có tiện cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm (0;1), (1;a) và nằm phía trên trục hoành

Hàm số logarit

a) Hàm số y  loga x a (  0; a  1) được gọi là hàm số logarit cơ số a

Hàm số logarit có đạo hàm tại mọi x dương và  a 

1x

- Khi a>1: hàm số logarit luôn đồng biến

Khi 0<a<1 hàm số logarit luôn nghịch biến

- Đồ thị của hàm số logarit có tiện cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm (1;0), (a;1) và nằm phía bên phải trục tung

Nam Potato

Ứng dụng đạo hàm

1) Tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số:

- Tìm tập xác định

- Tính đạo hàm y' f'(x) tìm các điểm

n

x x

x1; 2; ; mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

- Suy ra đồng biến, nghịch biến

Tìm tham số m để hàm số y = f(x;m) đơn điệu trên

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g(x) trên D,

- Dựa vào bảng biến thiên kết luận:

x1; 2; ; mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

3 Hàm số

2' '

ax bx c y

a x b



 có cưc đại và cực tiểu

khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu

4 Hàm số ( )

( )

P x y

P x y

ax b y

Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :

y = y’(x).g(x) + Ax + B, tại các điểm cực trị thì y’(x) = 0 nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y = Ax + B

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn

(là khoảng dạng: ( a ;  ), (  ; b ), (  ;  )) Đường thẳng: y  y0 được gọi là đường tiệm cận

ngang của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các

điều kiện sau được thỏa mãn:

0)(

lim f x y x

đứng của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các

điều kiện sau được thỏa mãn:

lim

0

x f x x

;  





)(

lim

0

x f x x

lim

0

x f x x

;  





)(

lim

0

x f x x

Chú ý: Tiệm cận đứng x  x0 thì tại giá trị đó làm

cho mẫu không xác định và

- Có TCX thì không có TCN

- Số phứ c đối của z kí hiệu là z và    z a bi

- Số phứ c liên hơ ̣p của z kí hiệu là z vàz a bi

 Tính chất 1: Số phức z là số thực  z z

 Tính chất 2: Số phức z là số ảo   z z

 Cho hai số phức

 TH1: a, b, c là các số thực

 Nếu  0 thì phương trình có 2 nghiệm thực

phân biê ̣t

2

b z

- Vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau

gọi là vectơkhơng, kí hiệu 0



- Đường thẳng AB gọi là giá của vectơ  AB

- Hai vectơ cùng phương là hai vectơ cĩ giá song

song hoặc trùng nhau

- a và b cùng phương a  (0)  !k R b ka: 

- Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và

- Độ dài của vectơ: đĩ là khoảng cách giữa điểm đầu

và điểm cuối của vectơ đĩ Độ dài a

- Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1, O

tuỳ ý Ta có: ;

- Tích vơ hướng của hai véctơ 𝒂 và 𝒃 là một số, kí

hiệu là 𝑎 𝑏 , được xác định bởi:

1 1

A B M

A B M

x kx x

k M

y ky y

*Điểm I là trung điểm của AB:

Tọa độ điểm I được xác định bởi:

22

A B I

A B I

x x x

*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:

Tọa độ điểm G được xác định bởi:

3 3

A B C G

A B C G

x x x x

G

y y y y

a) Phương trình đường thẳng :

-Phương trình tổng quát: AxBy C 0Vectơ pháp tuyến 2 2

( ; ); 0

n A B A B 

-Phương trình tham số: 0

0 ,

A A B B Cos

Nam Potato

d) Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi

hai đường thẳng:

e) Xác định phương trình đường phân giác trong

và phân giác ngoài

Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so

MF a ex

MF a ex

 

 -Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0(x0;y0) ( )E

 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD   AB AD, 

 Diện tích tam giác ABC: 1

vô nghiệm hoặc u u  1; 2.M M1 20

e) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

003,

0

aA bB cC d

Ax By Cz D

aA bB cC d

- Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận vectơ

n (A;B;C)làm vectơ pháp tuyến có dạng: A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0

- Mặt phẳng ( ) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các

Vuông góc Ox hay song song (Oyz) Ax + D = 0 n( ;0;0)A

Vuông góc Oy hay song song (Oxz) By + D = 0 n(0; ;0)B

Nam Potato

Khối đa diện

1) Hình đa diện: là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác bất kì hoặc khơng cĩ điểm chung, hoặc cĩ một đỉnh chung, hoặc cĩ 1 cạnh chung b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác

Hình đa diện chia khơng gian thành hai phần (phần bên trong và phần bên ngồi)

Hình đa diện cùng với phần bên trong của nĩ gọi là khối đa diện

 Mỗi khối đa diện cĩ thể phân chia được thành những khối tứ diện

2) Khối đa diện: là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đĩ 3) Khối đa diện đều: là một khối đa diện cĩ tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng nhau

Một khối đa diện lồi là đều nếu và chỉ nếu thỏa mãn 3 tính chất:

- Tất cả các mặt của nĩ là các đa giác đều bằng nhau

- Các mặt khơng cắt nhau ngồi các cạnh

- Mỗi đỉnh là giao của một số mặt như nhau (cũng là giao của số cạnh như nhau)

 Mỗi khối đa diện đều cĩ thể xác định bởi kí hiệu {p;q} trong đĩ:

- p = số cạnh của mỗi mặt (hoặc số các đỉnh của mỗi mặt)

- q = số các mặt gặp nhau ở một đỉnh (hoặc số các cạnh gặp nhau ở một đỉnh)

Trong khơng gian ba chiều, cĩ đúng 5 khối đa diện đều lồi

32) Thể tích chóp cụt:

B,B' là diện tích 2 đáy1

V= ' '

3 h là chiều cao hình chóp

3) Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c

uanh hình trụ: S 25) Diện tích toàn phần hình trụ: S S 2

6) Thể tích hình trụ: V= R

đáy

Rh S h

xq

7) Diện tích xung quanh hình nón: S

1 8) Thể tích hình nón V=

3 9) Diện tích xung quanh hình nón cụt:S '

2 1

10) Thể tích hình nón cụt: V= ' '

3 11) Diện tích xung quanh mặt

cầu: S 4 4

12) Thể tích mặt cầu: V=

3

R R