bang tom tat cong thuc toan 12

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 12 CÔNG THỨC LŨY THỪA Cho số dương a, b m, n    a0  Ta coù: a.a a với n  an * n thừa số  (a )  a m n mn  (a n ) m  a a  a m n m n an  an   am  a mn n a  a b  (ab) n n a a   bn  b  n n  n  m an  a  a  a2 n m  a  a3 CÔNG THỨC LOGARIT Cho số a, b  0, a  Ta coù:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  log e b  log a   log a a   log a a  b  log a b  n log a b  log am b n   log a (bc)  log a b  log a c b  log a    log a b  log a c c  log a b.logb c  log a c  a loga b  b   log c log a a b  c b  log a b  logb a   log am b  log a b m b n log a c  logb c log a b n log a b m HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT HÀM LŨY THỪA  Dạng: y  x yu  với u đa ax y a u với a a Nếu ĐK u Nếu ĐK u ÑK u ax y a x ln a y au y a x ln a u Đặc biệt: Nếu a y  x   y   x 1  1 (e x ) ex (eu ) eu u  Sự biến thiên: y  Đạo hàm: y  u   y   u y treân u ax hàm đồng biến Nếu a hàm nghịch biến  Dạng: y log a x y log a u  Đặc biệt: a a  Đạo hàm:  Tập xác định:   Dạng: y HÀM SỐ LOGARIT  Tập xác định: D thức đại số Nếu HÀM SỐ MŨ 10 y e với y log x a a ln x ; lg x  Điều kiện xác định: u  Đạo hàm: y log a x y x ln a u y log a u y u ln a (ln x) x Đặc biệt: u (ln u) u  Sự biến thiên: y log a x Nếu a (0; : hàm đồng biến ) Nếu a hàm nghịch biến (0; 1: ) ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ  Ta thấy: a x  Ta thaáy: cx c a 1; bx 1; dx ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT b d 1  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a b  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c d  Vaäy b a d c  Ta thaáy: log a x a 1; logb x  Ta thaáy: log c x c 1; log d x d b 1  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: b a  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c  Vậy a b c d PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Phương trình mũ  Dạng baûn: a f ( x)  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  Dạng logarit hóa: Phương trình Logarit  Dạng bản: log a f ( x)  log ag( x)  f ( x)  g ( x)   Dạng mũ hóa: log a f ( x)  b  f ( x)  a a f ( x )  b  f ( x)  log a b b (không cần điều kiện) a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit  Dạng bản: a 1  Dạng baûn:  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0 a 1  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) 0 a 1  log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  g ( x) CÔNG THỨC ĐẠO HÀM  k  Với k số  e   e    e   e u  x x u u  ( x )   x   1  (u )   u 1 u  a   a ln a    a   a ln a u  x x u u         u   2uu u        u u       x  x  x  sin x   cos x    sin u   u cos u  x2  cos x    sin x    cos u    u sin u   1  cot x  sin x u    cot u      u  cot u sin u  tan x     tan x cos x u    tan u    u  tan u cos u      cot x      COÂNG THỨC NGUYÊN HÀM    k f ( x)dx  k  f ( x)dx 1)  kdx  kx  C  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)   f ( x)  g ( x)dx     x 1 x dx  C  1 f ( x)dx   g ( x)dx 2dx  x  C     kdx  kx  C (3)dx  3x  C x4 x dx   C x2   2)  C  x C   xdx   x dx  3/ (ax  b) 1 MR (1  x)11 (1  x)11 10    (ax  b) dx  C C  C   (1  x) dx  a  1 2 11 22 1 1 MR 3)  dx  ln x  C     dx  ln ax  b  C dx  ln  3x  C x ax  b a  3x 3 1 1 1 1 1 MR  dx  C dx  C   C 4)  dx    C    2 x x (ax  b) a ax  b (2 x  3) 2x  4x   x3  1  x    10 dx   ln x   10 x  C   x x2  x MR 5)  e x dx  e x  C    eax b dx  eax b  C a  ax C 6)  a dx  ln a abx c MR bx  c  a dx  C  b ln a x  7)       32 x 5 32 x 5 32 x 5 dx  C  C ln 2ln cos xdx  sin x  C    sin(ax  b)  C a  3sin x  2cos x  dx  3cos x  2sin x  C      dx   dx   9x dx  C ln x 1 6x x dx   dx  C 3 3ln x x     sin  x   dx   cos  x    C 2 2          cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C 1  3   3  a 1; b    2x x 1 x a  4; b   dx   1  tan x  dx  tan x  C cos x 1 MR   dx  tan  ax  b   C cos  ax  b  a 9)   sin xdx   cos x  C MR    cos(ax  b)dx   5x dx  C ln MR    sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 8)  x5  1 x5  dx    x   dx   ln x  C x x  e x dx  e x  C  e x  C 1 x  ex1  2 ex dx    e2 x1  2ex  dx  12 e2 x1  2e x  C    sin xdx   1 1  cos x  dx   x  sin x   C 2  (hạ bậc)      2cos x   dx      dx  tan x  x  C 2 cos x  cos x  1 dx  tan 3x  C cos 3x MR    1  tan  ax  b   dx  tan  ax  b   C a     1  tan   x   dx  tan   x   C   2 a 2; b    x sin x  1  x2  dx  x  dx   cot x  C  sin x   sin x  1   dx   cot x  C sin x 1 MR 2   1  cot  ax  b  dx   a cot  ax  b   C   1  cot 3x  dx   cot 3x  C sin x  cos x     dx   dx      dx  tan x  cot x  C 2 2 sin x cos x sin x cos x  cos x sin x   sin x dx   1  cot x  dx   cot x  C 1 MR   dx   cot  ax  b   C sin  ax  b  a 10)  DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH  Hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) ,  Hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , truïc Ox , x  a, x  b có diện tích: y  g ( x) , x  a, x  b có diện tích: b b S   f ( x) dx S   f ( x)  g ( x) dx a a  y  f ( x)  Khi xoay hình phẳng  quanh Ox ,  x  a, x  b ta khối trụ tròn tích  y  f ( x)   Khi xoay hình phẳng  y  g ( x) quanh Ox ,  x  a, x  b  ta khối trụ tròn tích b V    f ( x)dx b V    f ( x)  g ( x) dx a a  Xét hình khối giới hạn hai mặt phẳng x  a, x  b Khi cắt khối ta thiết diện có diện tích S ( x) (là hàm liên tục [a;b]) Thể tích khối  a; b laø: V   b a S ( x)dx CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG Xét hàm quảng đường S (t ), hàm vận tốc v(t ) hàm gia tốc a(t ) Ba hàm biến thiên theo t  S (t )   v(t )dt  v(t )  S (t )  v(t )   a(t )dt  a(t )  v(t ) CÔNG THỨC LƯNG GIÁC Hệ thức bản:  sin 2  cos2    tan   cos   tan   sin  cos    cot   cos  sin  sin(  k 2 )  sin    cos(  k 2 )  cos   cot   sin   tan cot   tan(  k )  tan    cot(  k )  cot  Cung liên kết: Đối:   Bù:     Phụ:    Khác pi:  ;    Khaùc Pi  : ;  2   sin      cos  2  sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  Sin Buø Phụ Chéo Cos Đối sin(   )   sin    cos      sin  2    tan      cot  2    sin      cos  2    cos       sin  2    tan       cot  2  cos(   )   cos  tan(   )  tan    cot       tan  2  cot(   )  cot  Khaùc pi Tang, Cotang Khác pi chia Sin bạn cos Công thức cộng:  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan(a  b)   cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a.tan b tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b Công thức nhân đôi, nhân ba: cos 2  cos   sin  sin 2  2sin  cos  tan 2   2cos     2sin  2 cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  tan 3  tan   tan  3tan   tan   3tan  Công thức hạ baäc  cos 2 sin   cos    cos 2 tan    cos 2  cos 2 Công thức biến đổi tổng thành tích: ab a b cos 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   cos a  cos b  2cos ab a b sin 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b cos a  cos b   2sin     sin   cos   sin       cos      4  4 Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) Cos.Cos Cos cộng cộng Cos trừ  sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b) Sin.Sin Cos trừ trừ Cos cộng sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) Sin.Cos Sin cộng cộng Sin trừ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC u  v  k 2 u  v  k 2 sin u  sin v   (k  )  cos u  cos v   k  u    v  k 2 u  v  k 2  sin u   u  Đặc biệt:   k 2 sin u  1  u   sin u   u  k   cos u   u  k 2 k    k 2 cos u  1  u    k 2 Đặc biệt: cos u   u  tan u  tan v  u  v  k k     k    k k   cot u  cot v  u  v  k TỔ HP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta cộng kết lại HOÁN VỊ  Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn  n ! với n  CHỈNH HP  Chọn k phần tử từ n phần tử (không xếp thứ tự), ta có TỔ HP  Chọn k phần tử từ n phần tử (có xếp thứ tự), ta số số cách chọn Cnk  Cách tính: Cnk   Cách tính: n!  1.2  n  1 n với  Quy ước sốc: 0!   Công thức: P( X )  XÁC SUẤT Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta nhân kết giai đoạn n, k k n cách chọn Ank n!  n  k  !k !  Cách tính: Ank  với n( X ) n ( ) n, k k n n!  n  k !  Tính chất:  P( X )  Trong đó: n( X ) : số phần tử P()  0; P()  tập biến cố X ; n() : số phần tử không gian mẫu P( X ) xác suất P( X )   P( X ) với X biến cố đối X để biến cố X xảy với X   KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN  Khai triển dạng liệt kê: Trong công thức bên, ta có n  , n   a  b n  Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b2   Cnn1abn1  Cnnbn  Đặc biệt: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cnn1 x n1  Cnn x n (*) n  Hệ 1: Cn0  Cn1  Cn2  Cnn1  Cnn  2n (tức thay x  vào (*))  Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn   Cn0  Cn2  Cn4  Cnn  Cn1  Cn3  Cnn1 Khai triển tổng quát: Trong công thức bên, ta có n  , n   Khai trieån: n  a  b    Cnk a nk bk Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk n k 0  Phân biệt hệ số số hạng: Cnk ( 1)k a n kbk x HEÄ SỐ SỐ HẠNG Nhớ số hạng không chứa x ứng với CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Định nghóa: Định nghóa:  Dãy số  un  gọi cấp số cộng  Dãy số  un  gọi cấp số nhân un1  un  d với n  * un 1  un q với n   Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , *  Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q công sai d Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d với n  Số hạng tổng quát: *  un  u1.q n 1 với n  Tính chất số hạng:  uk 1  uk 1  2uk với k  k  * Tính chất số hạng:  uk 1.uk 1  uk2 với k  Tổng n số hạng đầu tiên: k  Tổng n số hạng đầu tiên: (u  un )n  Sn  u1  u2   un   Sn  u1  u2   un  u1 (1  q n ) với q  1 q KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÀM BẬC BA XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bước 1: Tìm tập xác định D  Bước 2: Tính y  f ( x) ; cho y  Tìm nghiệm x1 , x2  Bước 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trị x đại diện cho khoảng thay vào y  để tìm dấu y  khoảng đó)  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ  Hàm số có điểm cực trị  y( x0 )  ( x0 ; y0 )    y ( x0 )  y0  Neáu f ( x0 ) hàm số f ( x) đạt cực đại x  Nếu f ( x0 ) f ( x0 ) x0 hàm số f ( x) đạt cực tiểu x  Đạo hàm y  3ax  2bx  c x0 y ax  b (ad  bc  0) cx  d  Hàm số đồng biến tập xác định  y  0, x  a      Đạo hàm y  ad  bc (cx  d )2  Hàm số đồng biến khoảng xác định  Hàm số nghịch biến tập xác định  y  0, x  a      ad  bc   Haøm số nghịch biến khoảng xác định  ad  bc  CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y  ax  bx  cx  d (a  0) y  ax4  bx2  c (a  0)  Đạo haøm y  3ax  2bx  c  Hàm số có hai cực trị (giả thiết hàm số liên tục x0 ) f ( x0 ) y  ax3  bx2  cx  d (a  0) HÀM NHẤT BIẾN a   (*)  y  f ( x) TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN Tìm Max-Min f ( x) đoạn  a; b  Điều kiện cực trị Ba cực trị Một cực trị  Để tìm điều kiện cho hàm số cực trị: Bước 1: làm theo công thức (*) Bước 2: phủ định kết  Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: y  Đạo hàm y  4ax  2bx f ( x) f ( x) 18a ab  ab   2 a  b  a  b2  Coù cực trị  Cho A, B, C ba điểm cực trị, ta có: cos BAC  SABC  b3  8a b3  8a b5 32a TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a; b)  Bước 1: Tính y  Bước 1: Tính y f ( x) Tìm nghiệm xi (a;b) cho f ( x) Tìm nghiệm xi x (nếu có)  Bước 3: So sanh tất giá trị bước để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ  Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b] a f (a) f ( x) f (a) f ( x) f (b) x [a;b] x [a;b] TIỆM CẬN ĐỨNG x x0 TIỆM CẬN NGANG (x hữu hạn, y vô hạn), y ta có tiệm cận đứng x x0 Lưu ý: điều kiện x0 thay x hạn bên trái) x ax cx x0 nghiệm b với (c d 0, ad x y bc (x vô hạn, y hữu hạn), y0 ta có tiệm cận ngang y Bước 2: CALC CALC mẫu số mà nghiệm tử số x x0 TCĐ đồ thị  Đồ thị hàm số y  Định nghóa: y0  Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy x0 (giới x0 (giới hạn bên phải)  Cách tìm TCĐ: Nếu x b  Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ khoảng  Nếu hàm f ( x) nghịch biến [a; b] max f ( x)  Định nghóa: x x  f (b) x [a;b] baèng (; ) ta tính thêm lim y ) max f ( x) x [a;b] x (a;b) cho f ( x)  Bước 2: Cần tính lim y, lim y (Nếu thay (a; b)  Bước 2: Tính giá trị f (a), f (b) f ( xi ), ĐẶC BIỆT f ( x) NEXT X 10 ^ 10 10 ^ 10 NEXT NEXT X NEXT Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y y0 0) có TCĐ: x d , TCN: y c a c  Nên nhớ, đồ thị có nhiều tiệm cận đứng, có tối đa tiệm cận ngang TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ f (x ) vaø (C ) : y g(x ) Xét hai đồ thị (C1 ) : y  Bước : Lập phương trình hoành độ giao điểm cuûa (C1 ) & (C2 ) : f ( x) g( x) (*)  Bước : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , (nếu có), suy y1 , y2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) tuyến có hệ số góc k tuyến qua A( xA ; y A )  Bước 1: Tính đạo hàm y , từ  Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp  Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) với có hệ số góc k y ( x0 )  Bước : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị dạng y k( x x0 ) y0 điểm tính đạo hàm y  Bước 2: Cho y ( x0 ) k , từ tìm tiếp điểm ( x0 ; y0 )  Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến : y0  f ( x0 )  Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0  Bước 3: Thay x0 tìm vào y k( x (*) để viết phương trình tiếp tuyến y0 x0 ) SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN Số phức có dạng: z a a, b bi với i2 Thành phần (i: đơn vị ảo) Ký hiệu tập số phức: Hình học  Phần thực: a Nếu a z bi gọi số ảo  Phần ảo: b Nếu b z a số thực  Khi a b z vừa số ảo vừa số thực Số phức liên hợp – Số phức nghịch đảo Cho z a bi Khi đó:  Số phức liên hợp z a bi  Số phức nghịch đảo 1 z z a bi a b i 2 a b a b2 Minh họa  Điểm M (a;b) biểu diễn cho z hệ trục Oxy  Mô-đun: z OM b2 a2 Căn bậc hai  Căn bậc hai a  Căn bậc hai a Phương trình bậc hai  Phương trình z2 a là w x x y xy b yi với có hai nghiệm phức z  Phương trình z a a a i a  Căn bậc hai số phức z a bi hai số phức dạng a hai nghiệm phức z có i a  Phương trình az bz c 0 có hai nghiệm với phức là: z1,2 b i 2a KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG I MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN: Tam giác vuoâng: A AC ▪ AC2 CH.BC ▪ B C H AC (đối/huyền) ▪ cos B BC ▪ sin B AH A BC2 AB2 AB (keà/huyeàn) BC AC2 ▪ tan B ▪ Đường cao: AH a a K ▪ AG G H ▪ AB2 BH.BC ▪ AH BH.CH AB.AC AH AB AC AC (đối/kề) AB ▪ cot B AB (kề/đối) AC Giả sử tam giác ABC có cạnh a; trọng tâm G; đường cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK Tam giác đều: B Pitago ▪ AB2 C a Tam giác thường: AH BK a (caïnh) a ; GH (cạnh)2 ABC Giả sử tam giác ABC có a ▪ Diện tích: S a AH a a2 BC, b AC, c a AB ; đường cao , hb , hc ứng với cạnh a, b, c Ký hiệu R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ a sin A ▪ Định lí Cô-sin: a2 b c 2R sin B sin C b2 c2 2bc.cos A ; ▪ Định lí Sin: b2 ▪ Diện tích: S S ABC ABC a2 c2 2ac.cos B; c2 a2 b2 2ab.cosC 1 1 1 a hb b hc c ; S ABC ab.sin C ac.sin B bc.sin A ; 2 2 2 abc a b c (nửa chu vi) pr ; S ABC p( p a)( p b)( p b) với p 4R Công thức Hê Rông Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N Hình vuông: trung điểm CD, AD; I tâm hình vuông ▪ Đường chéo: IA IB AC BD AC BD IC (caïnh) ABN a2 ; chu vi: p 4a ADM , ta chứng minh được: AM Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB Hình chữ nhật: a nên I tâm đường tròn qua ID bốn đỉnh hình vuông ▪ Diện tích: SABCD (cạnh)2 ▪ Vì a 2 BN a, AD b ▪ Đường chéo: AC BD a2 b2 IA IB IC ID a b2 nên I tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D ▪ Diện tích: SABCD a.b ; chu vi: p 2(a b) Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh a Hình thoi: ▪ Đường chéo: AC ▪ Diện tích: SABCD BD; AC AI AC.BD ; SABCD 2 AB.sin ABI 2S ABC 2S 2a.sin ABI ACD 2S ABD Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D 600 ( A C 1200 ) ACD ta chia hình thoi làm hai tam giác đều: ABC AC a S ABC S ACD a2 ; SABCD 2S a2 ABC II THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: Hình chóp: 7.1 Hình chóp tam giác S h ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy tam giác cạnh a ▪ SH ( ABC) với H trọng tâm ∆ ABC D ▪ A H Sñ SH Sđ a2 h Thể tích V a2 h C B V h.Sđ Góc cạnh bên mặt Góc mặt bên mặt đáy: 7.2 Tứ diện đều: ▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V a3 12 đáy: SA,( ABC) SAH (SAB),( ABC) SCH SC,( ABC) (SBC),( ABC) ▪ Góc cạnh bên mặt 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy a2 SO h h SA Sđ S Thể tích SBO SA.S V ABC SBA SC,( ABC) SCA ABC ▪ Đường cao h SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SAH SC,( ABC) SCH SMO SNO Đáy tứ giác đặc biệt Đáy tam giaùc SA,( ABC) h.a2 V (SBC),( ABCD) ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABC) Thể tích (SAB),( ABCD) Đáy tam giác ▪ 7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Sđ Góc mặt bên mặt đáy: SAO SB,( ABCD) SNH ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy hình vuông cạnh a ▪ SO ( ABCD) với O tâm hình vuông ABCD 7.3 Hình chóp tứ giác đều: đáy: SA,( ABCD) SMH ▪ h Sđ SA SABCD Thể tích SA.SABCD V ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABCD) SBA SC,( ABCD) SCA Đáy tứ giác đặc biệt ▪ Đường cao h SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABCD) SAH SC,( ABCD) SCH III THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thường:  Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song  Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành  Thể tích: V Đáy tam giác Đáy tứ giác h.Sđ V Hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác AH.S ABC h  Thể tích: V AA h.Sđ với BB CC AH.SABCD AH.SA B C D Đáy tứ giác Thể tích: V h AA h.Sđ với BB CC DD 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật 3.2 Hình lập phương:  Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh  V  V abc với a,b, c ba kích thước khác hình hộp chữ nhật h.Sđ V ABC Đáy tam giác  Thể tích: V Hình hộp:  Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành AH.S a3 với a cạnh hình lập phương MẶT TRỤ – MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón:  Đường cao: h S l h l SO ( SO gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: l r OA OB OM Một số công thức:  Chu vi đáy: p  Diện tích đáy: Sđ  Thể tích: V  Đường sinh: A r O B M Hình thành: Quay vuông l SA SB r h.S đ r2 h r (liên tưởng khối chóp) SM  Góc đỉnh: ASB  Diện tích xung quanh: Sxq rl SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h SO r OM  Thiết diện qua trục: SAB cân S  Góc đường sinh mặt đáy: SAO MẶT TRỤ SBO  Diện tích toàn phần: Stp  Đường cao: h OO  Đường sinh: l AD OA BC h OB OC O D  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD Một số công thức: IA IB Sxq Stp Là đường tròn tâm I , bán R3 Sxq 2Sđ r.h r2  Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện kính R  Thể tích khối cầu: V r.h  Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện  Thiết diện qua tâm mặt cầu: R2 h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện 2R  Diện tích mặt cầu: S h.Sđ  Diện tích toàn phần: IM  Đường kính AB Hình thành: Quay đường tròn tâm I , bán kính AB quanh trục AB , ta có R mặt cầu hình vẽ r2  Diện tích xung quanh:  Tâm I , bán kính R r  Diện tích đáy: S đ V hai điểm O, O MẶT CẦU r2  Thể tích khối trụ:  Trục (∆) đường thẳng qua Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên rl Một số công thức:  Chu vi đáy: p  Bán kính đáy: r Sđ SMO Các yếu tố mặt trụ: Ta có: l Sxq CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh góc vuông  Xét hình chóp có SA ( ABC)  Xét hình chóp có SA ( ABCD) ABCD hình chữ Hình chóp  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO h ABC  Ta có nhật hình vuông 900  Ta có: SAC SAC SBC 90 nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính R SC SBC SDC 900 Suy maët cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC ,  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SH h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b2 2h R b2 2h R SC bán kính R Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán h kính R Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy rđ  Nếu đáy tam giác cạnh a  Xét hình chóp có (đáy) SA SA h ; bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy rđ a  Nếu đáy hình vuông rđ a  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b cạnh a rđ a2 rđ b2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp SAB rb , d AB (SAB) (đáy)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R rđ rb2 d2 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc  Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (1;0;0) (0;1;0) (0;0;1)  Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u Cho a  a  ka  a  a.b b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 (a1 ; a2 ; a3 ), b b3 ) b b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 yj zk  a a12 a22 a22 ( x; y; z) u (b1 ;b2 ;b3 ) Ta có:  a phương b (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 xi a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a1 b1  a2 a kb (k a2 a3 b2 b3 a R) , (b1 , b2 , b3 a12 a22 0) a32  a b a.b a1b1 a2b2 Tọa độ điểm: M ( x; y; z)  AB ( xB xA ; yB a3b3 zA )  AB xA xB yA ; yB zA ; zB a a1b1 a2b2 a a b 2 a3b3 b22 b32 ( xB x A )2 ( yB yA )2 ( zB zA )  Toaï độ trọng tâm G tam giác ABC: x xB xC yA yB yC zA zB zC G A ; ; 3  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M a.b ( x; y; z) Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta coù: OM yA ; zB a.b  cos(a, b) Tích có hướng hai vectơ:  Định nghóa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a2 b2 a, b [a, b]  Tính chất: a3 a3 ; b3 b3 [a, b] a  Điều kiện phương hai vectơ a & b a, b với a1 a1 ; b1 b1 a2 b2 a2b1 a b sin a, b  Diện tích tam giác ABC:  Diện tích hình bình hành ABCD:  Thể tích khối hộp: VABCD A'B'C'D' a1b3 ; a1b2 [a, b] b laø [a, b].c ABCD a3b2 ; a3b1  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c (0;0;0) S a2b3 S AB, AD [ AB, AD] AA' ABC  Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC AB, AC AD Phương trình mặt cầu: Dạng 1: (S) : ( x Mặt cầu ( S) có a) (y b) (z c)2 R2 Daïng 2: (S) : x2 I (a; b; c) R Mặt cầu ( S) có R2  Phương trình x2 z2 2ax 2by 2cz d Bài toán 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm I qua điểm M  Bước 1: Tính bán kính R  IM 2ax b2 c2 2by 2cz d a2 d phương trình mặt cầu  a  b2  c  d  Bài toán 5.2 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB  Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính R  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng z2 I (a; b; c) R y2 y2 AB  IA  IB  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phương trình mặt phẳng:  Mặt phẳng ( P) trình ( P) : a( x  Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng vectơ khác nằm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài toán 6.1 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n x0 ) b( y (a; b; c) y0 ) phương c( z z0 )  Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng ax by cz d , mặt phẳng có VTPT n (a;b; c) Bài toán 6.2 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C  Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính  AB, AC    tọa độ AB  Bước 2: Phương trình mp( P)  Bước 1: Tính tọa độ AB, AC suy qua I VTPT n  AB Bài toán 6.3 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M d  Bước 2: Phương trình mp( P)    Bước 2: Phương trình mp( P) ax0  by0  cz0  d a  b2  c  Cho hai maët phẳng (), () có phương trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1   (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d   Góc ( P) & (Q) tính: nP nQ  Khoảng cách hai mặt phẳng song song  Cho hai mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  z c ( P) : ax  by  cz  d1  (Q) : ax  by  cz  d   M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P) : ax  by  cz  d  nP nQ y b VTPT n   AM , ud   Cho  cos  ( P), (Q)   x a qua M Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khi đó: d  M , ( P)    Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn ( P) : Tính  AM , ud  VTPT n   AB, AC  Bài toán 6.4 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c  Bước 1: Chọn điểm A  d moät VTCP ud qua A a1a2  b1b2  c1c2 a  b12  c12 a22  b22  c22  0  Chú ý:  ( P), (Q)  90  Khi ñoù: d  ( P), (Q)   d1  d a  b2  c2 với d1  d Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  Ta coù:  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d  a b c d  ( P) (Q)     a2 b2 c2 d2 a b c d  ( P)  (Q)     a2 b2 c2 d  ( P) & (Q) caét  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2  ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2   Lưu ý: Các tỉ số có nghóa mẫu khác Ví trị tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R  Trường hợp 1: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) điểm chung  Trường hợp 2: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) có  Trường hợp 3: d  I , ( P)   R  ( P) cắt ( S ) điểm chung Khi ta nói ( P) tiếp xúc theo giao tuyến đường tròn ( S ) ( P) tiếp diện ( S ) Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r  R  IH với IH  d  I ,( P)  Ta có: IM  ( P) với M tiếp điểm Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u  (u1; u2 ; u3 )  x  x A  u1t   Phương trình tham soá d :  y  y A  u2t với z  z  u t A  có: t tham số  Phương trình tắc d:  Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác , có giá nằm d song song với d x  xA y  y A z  z A   u1 u2 u3 a  d  Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác không phương cho  b  d với u1.u2 u3  d có VTCP là: ud   a, b    7.1 Ví trị tương đối hai đường thẳng: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I  u1 , u2 Hai đường thẳng d1 , d2 song song trùng  u1 , u2 Hai đường thẳng d1 , d2 cắt chéo qua M VTCP u1 Bước II  u1 ; MN  u1 ; MN qua N , d1 VTCP u2 Kết luận d1 d2 (Hai đường thẳng trùng nhau) d1 d2  u1 ,u2 MN d1 caét d2  u1 ,u2 MN d1 & d2 cheùo 7.2 Ví trị tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 u1t Xét vị trí tương đối đường thẳng d : y y0 u2 t mặt phẳng (P) : ax z z0 u3 t Bước I:  Thay phương trình tham số d vào Bước II:Giải PT (*), ta gặp trường hợp sau  PT (*) vô nghiệm by cz d Kết luận d ( P) phương trình ( P) , ta PT (*): a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t) d  x  x0  PT (*) có nghiệm   y  y0 z  z  d cắt ( P) điểm có tọa độ ( x0 ; y0 ; z0 ) d  PT (*) có vô số nghiệm (P) 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Bước 1: Chọn điểm A  d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc)  Bước 2: d  M , d   ud , AM    ud 7.4 Góc hai đường thẳng:  Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP u1 , u2     Ta coù: cos d1 , d  u1.u2 u1 u2 7.5 Góc đường thẳng mặt phẳng:  Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P) có VTPT n     Ta coù: sin d , ( P)  u.n u.n Hình chiếu điểm đối xứng: Bài toán  Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P ) Phương pháp  Gọi d đường thẳng qua A ( P) Viết pt tham số d với VTCP d cũøng VTPT (P)  Gọi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  Tìm điểm A đối xứng với A qua (P )  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A Caùch I  Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d)  Tìm t  AH  d  AH ud    Goïi ( P) Cách II qua A ( P) d Viết pt mp( P)  Goïi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A   Tọa độ H