CÔNG THỨC TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I Hệ thức giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt Hai cung đối   Hai cung π :  π   sin      sin                 tan      tan  sin       sin              tan       tan       cos     cos                   cot      cot  cos        cos             cot       cot  Hai cung bù  π   sin      sin              tan       tan      cos        cos          cot       cot  Hai cung phụ  và      cos      sin              cot      tan  2  2  II Công thức lượng giác Công thức lượng giác           cos       sin            cot       tan  2  2    tan  cot   1; tan      ;    k , k   cos  2 Công thức cộng cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b       tan   sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b π π :    2     sin      cos               tan       cot  2  2  π        sin      cos              tan      cot  2  2  sin   cos      Hai cung  cot   sin  cos  ; cot     cos  sin  ;   k , k   sin  tan a  tan b  tan a tan b   cot a cot b  cot  a  b   cot a  cot b tan  a  b          Công thức nhân a) Công thức nhân đôi cos 2a  cos a  sin a  cos a    sin a   sin 2a  2sin a cos a   tan 2a  tan a    tan a b) Công thức nhân ba sin 3a  3sin a  4sin a    c) Công thức hạ bậc  cos 2a sin a       sin 3a  3sin a sin a       cos 3a  cos a  3cos a     cos a   cos 2a     cos 3a  3cos a cos3 a      d) Công thức biến đổi theo t  tan Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia    tan a   cos 2a     cos 2a   a 2t 1 t2 ; cos a     1 t2 1 t2 Cơng thức biến đổi tổng thành tích sin a    tan a  tan a tan 3a     tan a       tan a  2t ; 1 t2 cot a  1 t2   2t Trang GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài ab a b cos sin  a  b  sin  a  b  2 tan a  tan b                   tan a  tan b  cos a cos b cos a cos b ab a b cos a  cos b  2sin sin cos  a  b  2                   tan a  cot a            tan a  cot b    ab a b cos a sin b sin 2a sin a  sin b  2sin cos cot a  tan a  cot 2a 2 ab ab sin a  sin b  cos sin 2 cos a  cos b  2cos         sin a  cos a  sin  a    cos  a                  sin a  cos a  sin  a     cos  a   4 4 4 4         cos a  sin a   sin  a    cos  a   4 4     Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b  cos  a  b   cos  a  b          sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b   III Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt 300 450 600 Góc π π π       HSLG 0  sin 0  cos 1  tan 0  cot || sin  a  b   sin  a  b   2   cos a sin b  sin  a  b   sin  a  b   sin a cos b  900 π   1200 2π   1350 3π   1500 5π         2     1            0     1  3  ||  3  1   1    0     1   3            3  1800 π  0  1   0  || IV HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tính tuần hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số  y  f ( x)  xác định trên tập  D  được gọi là hàm số tuần hồn nếu có số  T   sao cho với mọi  x  D  ta có  x  T  D  và  f ( x  T )  f ( x)   Nếu có số  T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hồn với chu kì T   Các hàm số lượng giác a Hàm số y  sin x   Tập xác định:  D  R     Tập giác trị:  [  1;1] , tức là  1  sin x  1  x  R      Hàm  số  đồng  biến  trên  mỗi  khoảng  (   k 2 ;   k 2 ) ,  nghịch  biến  trên  mỗi  khoảng   3 (  k 2 ;  k 2 )   2   Hàm số  y  sin x  là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ  O  làm tâm đối xứng.  Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia    Trang GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài   Hàm số  y  sin x  là hàm số tuần hồn với chu kì  T  2     Đồ thị hàm số  y  sin x   y - -5 - -2 3 -3 -3 O   3 2 5 2 x 2   b Hàm số y  cos x   Tập xác định:  D  R     Tập giác trị:  [  1;1] , tức là  1  cos x  1  x  R      Hàm  số  y  cos x   nghịch  biến  trên  mỗi  khoảng  (k 2 ;   k 2 ) ,  đồng  biến  trên  mỗi  khoảng  (  k 2 ; k 2 )     Hàm số  y  cos x  là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục  Oy  làm trục đối xứng.    Hàm số  y  cos x  là hàm số tuần hồn với chu kì  T  2     Đồ thị hàm số  y  cos x     Đồ thị hàm số  y  cos x  bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số  y  sin x  theo véc tơ  v  ( ; 0)   y - -5 - -2  -3 -3 3 O 2 3 2  5 2 x   c Hàm số y  tan x     Tập xác định:  D   \   k ,  k      2    Tập giá trị:       Là hàm số lẻ    Là hàm số tuần hồn với chu kì  T           Hàm đồng biến trên mỗi khoảng     k ;  k        Đồ thị nhận mỗi đường thẳng  x    k ,  k    làm một đường tiệm cận.    Đồ thị:  y - -2 -5 -3 2 -  2 5 3  2 x O   d Hàm số y  cot x   Tập xác định:  D   \ k ,  k     Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia    Trang GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài   Tập giá trị:       Là hàm số lẻ    Là hàm số tuần hồn với chu kì  T       Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng   k ;   k      Đồ thị nhận mỗi đường thẳng  x  k ,  k    làm một đường tiệm cận.    Đồ thị:  y - -2 -5 -3 2 -  2 5 3  2 x O   V PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác bản: Phương trình sinx = a  x    k 2π sin x  a  sin    ;k     x  π    k 2π Phương trình cosx = a  x    k 2π cos x  a  cos    ;k    x    k 2π  x  ar sina  k 2π sin x  a   ;k    x  π  ar sin a  k 2π Chú ý: π sin x   x   k 2π; k   sin x   x  kπ; k   π sin x  1  x    k 2π; k   Phương trình tanx = a tan x  a  tan   x    kπ; k     tan x  a  x  arctan a  kπ; k    x  arc cos a  k 2π cos x  a   ;k    x   arccos a  k 2π Chú ý: cos x   x  k 2π; k   π cos x   x   kπ; k   cos x  1  x  π  k 2π; k   Phương trình cotx = a cot x  a  cot   x    kπ; k     cot x  a  x  arc cot a  kπ; k   Phương trình bậc hai, bậc ba hàm số lượng giác: Đặt ẩn phụ:  t  s inx; t = cosx , điều kiện:  1  t  ;   Đặt ẩn phụ:  t  s in x; t = cos x , điều kiện:   t  ;   Phương trình bậc sinx, cosx: acosx + bsinx = c (1) a2 + b2  0: Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:  a  b  c            Cách giải: Chia hai vế phương trình cho  a  b , đưa PT về dạng: sinu = sinv hoặc cosu = cosv   Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx:  asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0: + Xét cosx = 0: Nếu thoả mãn ta lấy nghiệm .    +  Xét  cos x    chia  hai  vế  của  PT  cho  cos2x  rồi  đặt  t  =  tanx,  PT  trở  thành  PT  a.tan x  b.tan x  c     0   Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0: t 1   a) Đặt  t = sinx + cosx = cos  x   , Điều kiện     t   khi đó sinx.cosx =    4  Ta đưa PT đã cho về PT bậc hai hoặc bậc 3  theo t. Giải chọn t, suy ra nghiệm x.  Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia    Trang GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài b) Phương trình có dạng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 .   1 t   Đặt t = sinx – cosx = sin  x     , Điều kiện     t   khi đó sinx.cosx =   Ta giải  4  tương tự  phần a).             HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP I HOÁN VỊ Định nghĩa: Cho tập  A  gồm  n  phần tử   n  1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự  n  phần tử của  tập hợp  A  được gọi là một hốn vị của  n  phần tử đó Định lí: Số các hốn vị của  n  phần tử, kí hiệu là  Pn  n !  n  n  1  n   3.2.1 II CHỈNH HỢP Định nghĩa: Cho tập hợp  A  gồm  n   phần tử   n  1 Kết quả của việc lấy  k   1  k  n   phần tử  khác nhau từ  n  phần tử của tập hợp  A  và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh  hợp chập  k  của  n  phần tử đã cho Định lí: Số các chỉnh hợp chập  k  của một tập hợp có  n  phần tử là  Ank  n!  n  k ! Một số qui ước: 0!  1,    An0  1,    Ann  n !  Pn III TỔ HỢP Định nghĩa: Giả sử tập  A  có  n   phần tử   n  1  Mỗi tập con gồm  k   1  k  n   phần tử của  A   được gọi là một tổ hợp chập  k  của  n  phần tử đã cho.  Định lí: Số các tổ hợp chập  k  của một tập hợp có  n  phần tử là  Cnk  Một số quy ước: Cn0  1,    Cnn  với  qui  ước  này  ta  có  Cnk  dương  k  thỏa   k  n Tính chất: Tính chất 1: Cnk  Cnn  k       k  n    n! k !  n  k ! n!   đúng  với  số  nguyên  k !  n  k  ! Tính chất 2: Cnk11  Cnk1 =Cnk     1  k  n        XÁC SUẤT Khái niệm:   – Khơng gian mẫu Ω: là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.    – Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A là tập con của Ω.    – Biến cố khơng là tập rỗng    – Biến cố chắc chắn là tập Ω    – Biến cố đối của A là biến cố A không xảy ra    – Hợp của hai biến cố là biến cố hoặc A xảy ra hoặc B xảy ra    – Giao của hai biến cố là biến cố A và B đồng thời xảy ra, ký hiệu A ∩ B    – Hai biến cố xung khắc nếu giao của chúng là rỗng    – Hai biến cố là độc lập nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.  n( A) – Xác suất biến cố A P( A)  n(  )   Trong đó n(A) là số phần tử tập A, n(Ω) là số phần tử tập Ω.  Tính chất: Tài liệu ơn thi THPT Quốc gia    Trang GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài   – 0 ≤ P(A) ≤ 1    – P(A ∩ B) = P(A).P(B) nếu 2 biến cố độc lập nhau.    – Xác suất của biến cố hợp bằng tổng xác suất của mỗi biến cố nếu chúng xung khác nhau.    – Nếu hai biến cố khơng xung khắc thì xác suất biến cố hợp tổng xác suất của mỗi biến cố trừ  đi xác suất của biến cố giao.    – Tổng xác suất hai biến cố bù nhau thì bằng 1    DÃY SỐ Định nghĩa: Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số  u : *  ,  n  u (n)   Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên  n :  u (1), u (2), u (3), , u (n),       Ta kí hiệu  u (n)  bởi  un  và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số,  u1  được gọi  là số hạng đầu của dãy số.    Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển  u1 , u2 , , un ,  hoặc dạng rút gọn  (un )     Cách cho dãy số:   Cho số hạng tổng qt, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó      Cho bằng cơng thức truy hồi, tức là:      * Cho một vài số hạng đầu của dãy       * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng qt qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.  Dãy số tăng, dãy số giảm   Dãy số  (un )  gọi là dãy tăng nếu  un  un 1   n   *     Dãy số  (un )  gọi là dãy giảm nếu  un  un 1   n   *   Dãy số bị chặn:   Dãy số  (un )  gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực  M  sao cho  un  M  n   *     Dãy số  (un )  gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực  m  sao cho  un  m  n   *     Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương   M   sao cho  un  M  n   *   CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I CẤP SỐ CỘNG  u1  a ,  n  N *   gọi là cấp số cộng;  d  gọi là công sai.  Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi   un 1  un  d Các tính chất:    Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d     Ba số hạng  uk , uk 1 , uk   là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi  uk 1    Tổng  n  số hạng đầu tiên  Sn : S n  u1  u2   un   uk  uk     n n  u1  un   2u1   n  1 d    2 II CẤP SỐ NHÂN  u1  a ,  n  N *   gọi là cấp số cộng;  q  gọi là công bội.  1.Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi   u  u q n  n 1 Các tính chất:    Số hạng tổng quát:  un  u1q n 1   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia    Trang GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài   Ba số hạng  uk , uk 1 , uk   là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi  uk21  uk uk    qn 1   Tổng  n  số hạng đầu tiên  Sn : Sn  u1  u2   un  u1   q 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa: Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là  0 khi n dần tới vơ cực, nếu  un  có thể  nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.   Kí hiệu:  lim  un   0 hay u n  0 khi n  +   n Định nghĩa 2: Ta  nói  dãy  số  (un)  có  giới  hạn  là  a    hay  (un)  dần  tới  a  khi  n  dần  tới  vô  cực  ( n   ), nếu  lim  un  a   0.    n  Kí hiệu:  lim  un   a  hay u n  a  khi n  +   n   Chú ý:  lim  un   lim  un    n  Một vài giới hạn đặc biệt: 1 lim  0 ,  lim k  0 , n  *     lim  q n   0   với  q    n n lim(un) = c (c là hằng số) => Lim(un) = limc = c.  Một số định lý giới hạn dãy số: Định lý 1: Cho dãy số (un), (vn) và (wn) có :  v n  un  wn  n  *  và  lim    lim  wn   a    lim  u n   a   Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:  lim  un    lim  un   lim    a  b     lim un lim  un  a    ,  v n  0 n  * ; b     lim   b   lim  un   lim un lim  a.b     lim un  lim  un   a  ,  un  0 ,a     Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q ,với q  1: lim Sn  lim u1 1 q Dãy số dần tới vô cực: Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) dần tới vơ cực   un     khi n dần tới vơ cực   n      nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)=   hay  un      khi  n     Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là    khi  n    nếu lim  un    Ký hiệu:  lim(un)=   hay un    khi  n     Định lý: Nếu:  lim  un   0   u n  0 ,n  *   thì  lim Nếu:  lim  un       thì  lim    un 0  un PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  P  n Giới hạn dãy số (un) với un  với P,Q đa thức: Q n Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia    Trang GV: Vũ Viết Tiệp  Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số  và mẫu  a số cho nk để đi đến kết quả :  lim  un     b0 Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả: lim(un)=0.  Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả: lim(un)=    f n Giới hạn dãy số dạng: un  , f g biển thức chứa g n     Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.  Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.    GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ   Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x  dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn   K và xn   a , n  *  mà lim(xn) = a đều có lim[f(xn)]=L.   Kí hiệu: lim  f  x    L   x a Một số định lý giới hạn hàm số: Định lý 1: Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.  Định lý 2: Nếu các giới hạn: lim  f  x    L  ,   lim  g  x    M  thì:  x a x a lim  f  x   g  x    lim  f  x    lim  g  x    L  M     x a xa x a lim  f  x  g  x    lim  f  x   lim  g  x    L.M   x a xa xa lim x a lim x a  f  x   L f  x  lim  xa   , M    g  x  lim  g  x   M xa     f  x   lim  f  x    L  ; f  x   0, L    xa Cho  ba  hàm  số  f(x),  h(x)  và  g(x)  xác  định  trên  khoảng  K  chứa  điểm  a  (có  thể  trừ  điểm  a),  g(x)  f(x)  h(x)  x  K , x  a  và  lim  g  x    lim  h  x    L  lim  f  x    L   x a xa xa PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau: f  x        Giới hạn hàm số dạng: lim x a g  x  0 Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số, mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.  Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.  f  x         Giới hạn hàm số dạng: lim x  g  x   Chia  tử  và  mẫu  cho  xk  với  k  chọn  thích  hợp.  Chú  ý  rằng  nếu  x     thì  coi  như  x>0,  nếu  x    thì coi như x 0 là phương trình mặt cầu  tâm I(a; b; c), bán kính  R  a  b2  c  d   II Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) : (x – a)2   + (y – b)2 + (z – c)2 = R2   tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng (P):  Ax+By+Cz+D=0.  - Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) khơng có điểm chung.  - Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.  - Nếu d(I,(P))