BÀI TẬP DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂNBài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCI. Lý thuyếtBước 1: Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = 1.Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết A(n) là mệnh đề đúng khi n = k, chứng minh A(n) cũng là mệnh đề đúng khi n = k + 1.Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số nguyên dương n>=p thì:+ Ở bước 1 phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p.+ Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n=k>=p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 .
Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDTX và DN Việt Yên Bài tập Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 1 BÀI TẬP DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Bài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I. Lý thuyết Bước 1: Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = 1. Bước 2: Với k là số ngun dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết A(n) là mệnh đề đúng khi n = k, chứng minh A(n) cũng là mệnh đề đúng khi n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số ngun dương n p thì: + Ở bước 1 phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p . + Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương bất kì n k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với 1n k . II. Bài tập Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n ta ln có 1 2 1.2 2.3 1 3 n n n n n Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n ta ln có 2 1 3 5 2 1 n n Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n ta ln có 1 1 2 3 2 n n n Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n ta ln có 3 n n chia hết cho 3 Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n 3 ta ln có 2 2 1 n n Bài 6. Chứng minh rằng với * n , ta có các đẳng thức: 1. 3 1 2 5 8 3 1 2 n n n 2. 1 1 1 1 2 1 2 4 8 2 2 n n n 3. 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 6 n n n n 4. 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 3 n n n n 5. 2 1.2 2.5 3 1 1 n n n n 6. 2 3 3 3 1 1 2 2 n n n 7. 2 1.4 2.7 3 1 1 n n n n Bài 7. Chứng minh rằng với * n , ta có: 1. 3 2 3 5n n n chia hết cho 3; 2. 4 15 1 n n chia hết cho 9; 3. 3 11n n chia hết cho 6; 4. 7 1 n chia hết cho 6; Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDTX và DN Việt Yên Bài tập Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 2 5. 11 6 n chia hết cho 5; 6. 6.7 2.3 n n chia hết cho 4. 7. 2 2 3 1 n n n chia hết cho 6 Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 2n , ta có các bất đẳng thức: 1. 3 3 1 n n ; 2. 1 2 2 3 n n Bài 9. Cho tổng 1 1 1 1.2 2.3 1 n S n n 1. Tính S 1 ; S 2 ; S 3 . 2. Dự đốn cơng thức tính tổng S n và chứng minh bằng quy nạp. Bài 10. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là 3 2 n n Bài 2. DÃY SỐ I. Lý thuyết II. Bài tập Bài 1. Viết 5 số hạng đầu của các dãy số (u n ) cho bởi số hạng tổng qt u n : 1. 2 1 n n n u 2. 2 1 2 1 n n n u 3. 1 1 n n u n 4. 2 1 n n u n 5. 2 2 3 n n u n 6. 2 2 sin cos 4 3 n n n u 7. 1 4 n n n u Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDTX và DN Việt Yên Bài tập Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 3 Bài 2. Cho dãy số (u n ), biết u 1 = - 1, u n+1 = u 1 + 3 với 1n . 1. Viết 5 số hạng đầu của dãy số. 2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp u n = 3n – 4. Bài 3. Cho dãy số (u n ), biết u 1 = 3, u n+1 = 2 1 n u với 1n . 1. Viết 5 số hạng đầu của dãy số. 2. Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt u n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Bài 4. Xét tính tăng giảm của dãy của dãy (u n ), biết: 1. 1 2 n u n 2. 1 1 n n u n 3. 1 2 1 n n n u 4. 2 1 5 2 n n u n 5. 3 2 5 1 n u n n 6. 3 n n u n 7. 2 1 n n u n Bài 5. Xét tính bị chặn của dãy (u n ) cho bởi cơng thức sau: 1. 2 2 1 n u n 2. 1 2 n u n n 3. 2 1 2 1 n u n 4. sin cos n u n n Bài 6. Chứng minh rằng dãy số (u n ) với 2 3 3 2 n n u n là dãy số giảm và bị chặn. Bài 7. Chứng minh rằng dãy số (u n ) với 3 2 2 3 n n u n là dãy số tăng và bị chặn. Bài 3. CẤP SỐ CỘNG I. Lý thuyết II. Bài tập Bài 1. Trong các dãy số (u n ) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và cơng sai của nó. 1. 5 2 n u n 2. 1 2 n n u 3. 3 n n u 4. 7 3 2 n n u Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDTX và DN Việt Yên Bài tập Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 4 Bài 2. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng sau, biết: 1. 1 3 5 1 6 10 17 u u u u u 2. 2 3 5 1 6 7 12 u u u u u 3. 9 5 2 7 8 39 u u u u 4. 7 3 2 7 8 75 u u u u Bài 3. Mặt sàn tầng một của một ngơi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm. 1. Viết cơng thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân. 2. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt đất. Bài 4. Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chng báo giờ và số tiếng chng bằng số giờ? Bài 5. Cho cấp số cộng (u n ) có u 2 + u 22 = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Bài 6. Xác định m để 3 số m 2 , m, -3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Liệt kê và tính cơng sai 3 số đó. Bài 4. CẤP SỐ NHÂN I. Lý thuyết II. Bài tập Bài 1. Chứng minh các dãy số 3 5 1 2 ; ; 5 2 2 n n n là các cấp số nhân. Bài 2. Cho cấp số nhân (u n ) với cơng bội q. 1. Biết u 1 = 2, u 6 = 486. Tìm q 2. Biết 4 2 8 ; 3 21 q u . Tìm u 1 3. Biết u 1 = 3, q = -2. Hỏi số 129 là số hạng thứ mấy? Bài 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân (u n ) có 5 số hạng biết: 1. u 3 = 3 và u 5 = 27. Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDTX và DN Việt Yên Bài tập Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 5 2. u 4 – u 2 = 25 và u 3 – u 1 = 50 Bài 4. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62. Bài 5. Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân, biết: Bài 6. Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1) 2 , ab+5, (a+1) 2 lập thành một cấp số nhân. . Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDTX và DN Việt Yên Bài tập Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 1 BÀI TẬP DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Bài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I. Lý thuyết Bước. GDTX và DN Việt Yên Bài tập Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 3 Bài 2. Cho dãy số (u n ), biết u 1 = - 1, u n+1 = u 1 + 3 với 1n . 1. Viết 5 số hạng đầu của dãy số. 2. Chứng minh bằng. dãy số giảm và bị chặn. Bài 7. Chứng minh rằng dãy số (u n ) với 3 2 2 3 n n u n là dãy số tăng và bị chặn. Bài 3. CẤP SỐ CỘNG I. Lý thuyết II. Bài tập Bài 1. Trong các dãy số