Bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Dãy số cho bằng công thức tổng quát: Người ta đã cho một công thức tổng quát u.. Dãy số bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy c.. Dãy số cho bằn

BÀI TẬP

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

GV Đỗ Văn Thọ

  , ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1

- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ

6) 1 3 5 2 1

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 1.3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 1, ta

- Dãy số vô hạn: Một hàm số u xác định trên tập hợp N* các số

nguyên dương được gọi là dãy số vô hạn (dãy số)

Kí hiệu u  u n  hoặc viết tắt là  u

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

1

u là số hạng đầu tiên, u là số hạng thứ n và là số hạng tổng n

quát của dãy số  u n

- Dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập

1, 2,3, , 

M  m với m N * được gọi là một dãy số hữu hạn

Trong đó, u là số hạng đầu tiên, 1 u là số hạng cuối cùng của m

dãy  u m

2 Cách cho một dãy số:

a Dãy số cho bằng công thức tổng quát: Người ta đã cho một

công thức tổng quát u Khi đó, ta viết được dãy số dưới n

dạng khai triển bằng cách cho các giá trị của

1, 2,3, , , 

b Dãy số bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết

các số hạng liên tiếp của dãy

c Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

- Cho một hay vài số hạng đầu

- Cho hệ thức truy hồi, tức là biểu diễn số hạng thứ n qua một

hai vài số hạng đứng trước nó

3 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

- Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n1  u n với

mọi 

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

- Dãy số  u n được gọi là dãy số giảm nếu ta có u n1  u n với

mọi n N *

- Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm, có những dãy số

không tăng và cũng không giảm

- Dãy số  u n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao

cho u n  M, n N *

- Dãy số  u n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao

cho u n  m, n N*

- Dãy số  u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị

chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho

- Nếu  u n được cho bởi công thức tổng quát u n  f n  thì ta

chỉ việc thay n  k vào ta tìm được số hạng thứ k của dãy số

- Nếu  u n được cho bởi công thức truy hồi thì ta tìm lần lượt

các số hạng của dãy cho đến số hạng thứ k

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 2.1: Tìm 5 số hạng đầu của dãy số  u n được cho bởi công

Bài 2.3: Cho dãy số  u n xác định bởi u1  2 và u n1  2u n 3

Hãy tìm số hạng thứ 6 của dãy số (Truy hồi)

Bài 2.4: Tìm số hạng thứ 3 và thứ 5 của dãy số  u xác định bởi:

Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi

Để tìm số hạng tổng quát u theo n ta thường sử dụng một trong n

hai cách sau:

- Ta phân tích u n  A a n  a n1 với  a n là dãy số xác định Từ

đó suy ra được u n

- Từ một vài số hạng đầu tiên, ta dự đoán công thức tính u theo n

n Chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp

Bài 3.1: Dãy số  u n xác định như sau

Bài 3.2: Cho dãy số  u n , biết u1  1;u n1  u n 3 với n N *

a Viết 5 số hạng đầu của dãy số

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 3.3: Cho dãy số  u n xác định như sau

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 3.8: Cho  u n xác định bởi u1 3 và 1 1

2

u   u với n N * Hãy xác định u Đs: n

1

132

n n

n n

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số

a Xét tính tăng giảm:

* Cách 1: Xét hiệu H  u n1 u n

- Nếu H  0 u n1  u n thì  u n là dãy tăng

- Nếu H  0 u n1  u n thì  u n là dãy giảm

* Cách 2: Khi u n  0 ta có thể xét thương n 1

n

u T

u



 , ta có:

- Nếu T 1 thì  u n là dãy tăng

- Nếu T 1 thì  u n là dãy giảm

* Cách 3: Dự đoán và dùng quy nạp để chứng minh

b Chứng minh dãy số bị chặn:

* Cách 1: Dùng các tính chất của bất đẳng thức để chỉ ra số m, M

thỏa điều kiện tương ứng của đề bài

- Nếu tìm được M sao cho u n  M, n N* thì  u n là dãy bị

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 4.1: Chứng minh rằng dãy số  u n với 7 5

n

n u

15

n n

3

n n

- Định nghĩa: Dãy số  u n được gọi là cấp số cộng nếu có một

số thực d sao cho với mọi số nguyên n  2 ta có:

1

u   u d

u q

- Nếu H phụ thuộc vào n thì dãy không phải là cấp số cộng

Xác định công sai và số hạng thứ k của một cấp số cộng

- Ta sử dụng công thức u k  u1 k 1d

Thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn là u và d Tìm 1 u và 1

d

Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng   a c 2b

Bài 5.1: Trong các dãy số  u n dưới đây, dãy số nào là CSC,

khi đó viết số hạng đầu và công sai của nó n 3 7

u u

9452

S S

Cho cấp số cộng  u n có u1 u3  6 và u5  10 Hãy tìm công

sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó

Bài 5.7:

Cho cấp số cộng  u n có u2 u22  60 Hãy tính tổng 23 số hạng

đầu tiên của cấp số cộng đó

Bài 5.8: Tìm số hạng đầu tiên, công sai và số hạng thứ 10 của cấp

số cộng, biết rằng

2 3 5

4 6

1026

Bài 5.9: Tìm số hạng đầu tiên, công sai và số hạng tổng quát của

cấp số cộng biết tổng n số hạng đầu tiên của cấp số công đó là

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 5.10: Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng

đầu và số hạng thứ ba bằng 30 và tổng số hạng thứ ba và số hạng

cuối bằng 42 Tìm cấp số cộng đó

Bài 5.11: Cho cấp số cộng  u n Hãy tính tổng 23 số hạng đầu

tiên của cấp số cộng đó, biết rằng u2 u22 100

Bài 5.12: Định 4 số biết chúng lập thành cấp số cộng có tổng là

- 20 và tổng bình phương của 4 số ấy là 280

Bài 5.13: Một cấp số cộng  u n giảm có 5 số hạng, biết tổng 5 số

hạng bằng -5 và tổng bình phương của 5 số hạng đó bằng 45 Tìm

các số hạng của cấp số cộng đó

Bài 5.14: Biết cấp số cộng  u n là một dãy số tăng gồm 5 số

hạng thỏa tổng các số hạng đó bằng 15 và tổng bình phương của

u u S

6432

u u

161

u u

Chứng minh một dãy là cấp số nhân

Để chứng minh dãy số  u n là một cấp số nhân ta xét thương

- Nếu T là hằng số thì  u n là cấp số nhân có công bội là q=T

- Nếu T phụ thuộc vào n thì  u n không là cấp số nhân

Bài 6.2 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân và tìm

công bội của cấp số nhân đó

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 6.4: Tìm các số hạng của cấp số nhân  u n có năm số hạng,

biết

a u3  3 và u5  27

b u4 u2  25 và u3  u1 50

Bài 6.5: Trong các dãy số  u n sau, dãy nào là một cấp số nhân?

Tìm công bội của cấp số nhân đó

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 6.9:

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng sao cho

1 2 3

4 5 6

16821

A  k  k  k chia hết cho 3 hay A k 3

Ta chứng minh với n=k+1 thì A k1 cũng chia hết cho 3

b  n (1) chia hết cho 9

Đặt A n  4n 15n 1

- Bước 1: Với n=1, A1  41 15.1 1 18  chia hết cho 9

- Bước 2: Giả sử với n=k thì A k  4k 15k 1 chia hết cho 9

Ta chứng minh với n=k+1 thì (1) cũng chia hết cho 9, nghĩa là ta

Số hạng 4k 15k 1 chia hết cho 9 (theo bước 2)

Số hạng 9 4 k 10k 1 luôn chia hết cho 9

Rõ ràng với n=k+1 thì A k1 chia hết cho 9

Theo nguyên lý quy nạp thì A n  4n 15n1 chia hết cho 9

- Bước 1: Với n=1, A1  13 11.1 12 chia hết cho 6

- Bước 2: Giả sử (1) chia hết cho 6 với n=k, nghĩa là

- Số hạng k3 11k chia hết cho 6 (theo bước 2)

- Một số chia hết cho 6 thì số đó phải chia hết cho 2 và 3 Rõ

3 k  k 4 vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho

2 nên chia hết cho 6

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

0 1

2

n n

* Giả sử với n  k thì 1 1 

32

k k

u    k đúng Thật vậy, từ

n n

1, 1, 2, 3

4

n n

n

n n

n n

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

Suy ra dãy  u n là dãy giảm

Do đó  u n là dãy không tăng cũng không giảm

Tuy nhiên ta có thể kết luận dãy  u n giảm với n  3; 4;5;

n

n

n n

21 5

30 10

12

50 360 630 0

3 0

Gọi 2d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có cấp số cộng

trên được viết thành a 3 ;d ad a; d a;  3d

q u

u u

21 2

2 2

200 1

50

3 4

q u q u

q q

1

n n

n n

u q

u q

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

 

 

2 3 1

2 1

3

9 3

n n

n n

Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân