Bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

BÀI TẬP DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN GV Đỗ Văn Thọ Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Dãy Số Cấp số cộng – Cấp Số Nhân I Phương pháp quy nạp tốn học: Tóm tắt lý thuyết: Để chứng minh mệnh đề P(n) mệnh đề với n  * , ta thực bước sau: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n  - Bước 2: Giả sử mệnh đề với số tự nhiên n  k 1 Chứng minh mệnh đề với n  k  Bài tập: Bài 1.1: Chứng minh n  N * , ta có a )     3n   n  3n  1 1 1 2n  b)     n  n 2 n  n  1 2n  1 2 2 c)     n  d )      2n  1  n Bài 1.2: Chứng minh với n  N * , ta có: a) n3  3n2  5n chia hết cho b) 4n  15n  chia hết cho c) n3  11n chia hết cho Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 1.3: Chứng minh với số ngun dương n  1, ta ln có đẳng thức sau: a 22  42    2n   2n  n  1 2n  1 b   11    4n  1  n  2n  1 1 1 2n  c     n  n 2 2 d 23  43  63    2n   2n  n  1 e 1.4  2.7   n  3n  1  n  n  1 2 f 1 n     1.2 2.3 n  n  1 n  g n 2n      n   3 3 4.3n h n2      1.2.2 2.3.22 n  n  1 2n  n  1 2n II Dãy số: Tóm tắt lý thuyết: a Định nghĩa: - Dãy số vô hạn: Một hàm số u xác định tập hợp N* số nguyên dương gọi dãy số vơ hạn (dãy số) Kí hiệu un  u  n  viết tắt  u n  Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân u1 số hạng đầu tiên, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số  u n  - Dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định tập M  1, 2,3, , m với m  N * gọi dãy số hữu hạn Trong đó, u1 số hạng đầu tiên, um số hạng cuối dãy  um  Cách cho dãy số: a Dãy số cho công thức tổng quát: Người ta cho công thức tổng quát un Khi đó, ta viết dãy số dạng khai triển cách cho giá trị n  1, 2,3, , n,  b Dãy số phương pháp mơ tả, cách viết số hạng liên tiếp dãy c Dãy số cho phương pháp truy hồi - Cho hay vài số hạng đầu - Cho hệ thức truy hồi, tức biểu diễn số hạng thứ n qua hai vài số hạng đứng trước Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn - Dãy số  u n  gọi dãy số tăng ta có un1  un với n  N * Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân - Dãy số  u n  gọi dãy số giảm ta có un1  un với n  N * - Không phải dãy số tăng giảm, có dãy số khơng tăng không giảm - Dãy số  u n  gọi bị chặn tồn số M cho un  M , n  N * - Dãy số  u n  gọi bị chặn tồn số m cho un  m, n  N * - Dãy số  u n  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m  un  M , n  N * II Bài tập: Tìm số hạng thứ k dãy số - Nếu  u n  cho công thức tổng quát un  f  n  ta việc thay n  k vào ta tìm số hạng thứ k dãy số - Nếu  u n  cho công thức truy hồi ta tìm số hạng dãy số hạng thứ k Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 2.1: Tìm số hạng đầu dãy số  u n  cho công thức tổng quát sau: 2n  a un  3n n n 2  sin b un  cos   c un   1 3n2  2n  n d un  4n  2n    e un  cos n  sin   n  2  f un   1  2n  1 n n3  i un  n 1 Bài 2.2: Cho dãy số  u n  với un  2n  Tìm số hạng thứ n2  số hạng thứ dãy số Đs: 13 21 ; 27 83 Bài 2.3: Cho dãy số  u n  xác định u1  un1  2un  Hãy tìm số hạng thứ dãy số (Truy hồi) Bài 2.4: Tìm số hạng thứ thứ dãy số  u n  xác định bởi: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân u1  0; un  u n 1 1 , n  (Truy hồi) Bài 2.5: Tìm số hạng thứ thứ dãy số  u n  xác định bởi: u1  1; u2  un  un2  un1 với n  Đs: u3  3; u6  13 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức truy hồi Để tìm số hạng tổng quát un theo n ta thường sử dụng hai cách sau: - Ta phân tích un  A  an  an1  với  an  dãy số xác định Từ suy un - Từ vài số hạng đầu tiên, ta dự đốn cơng thức tính un theo n Chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp Bài 3.1: Dãy số  u n  xác định sau u1  ,n N *  un1  3un  2n  Chứng minh un  3n  n Bài 3.2: Cho dãy số  u n  , biết u1  1; un1  un  với n  N * a Viết số hạng đầu dãy số b Chứng minh phương pháp quy nạp un  3n  Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 3.3: Cho dãy số  u n  xác định sau u1  2; u2  ,n  N *  u  u  u n 1 n  n Chứng minh un  2n1  3n1 Bài 3.4: Dãy số  u n  xác định sau u1  1; un1  un  7; n  N * Chứng minh un  7n  Bài 3.5: Dãy số  u n  xác định sau u1  2; un1  5u n với n  N * Chứng minh un  2.5n1 Bài 3.6: Viết số hạng đầu tìm số hạng tổng quát un dãy số  u n  xác định u1  ,n N *  un1  un  (Dùng phương pháp phân tích un  A  an  an1  với  an  dãy số xác định) Bài 3.7: Viết số hạng đầu tìm số hạng tổng quát un dãy số  u n  xác định u1  3; un1  2un , n  N * Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 3.8: Cho  u n  xác định u1  un1  un với n  N * 1 Hãy xác định un Đs: un    2 n 1 Bài 3.9: Cho dãy số  u n  xác định u1  2; un1   un , n  N * Hãy xác định un Đs: un  2cos  2n 1 Bài 3.10: Cho dãy số  u n  xác định u1  5; un1  3un , n  N * Chứng minh un  5.3n1 Bài : Cho dãy số  u n  xác định u1  1, un1  3un  2n , n  N * Chứng minh un    n  3n1 2 Bài 3.11: Cho dãy số  u n  xác định u1  1; un1  3un   2n , n  N * Chứng minh un  n1  n  Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số a Xét tính tăng giảm: * Cách 1: Xét hiệu H  un1  un - Nếu H   un1  un  u n  dãy tăng - Nếu H   un1  un  u n  dãy giảm * Cách 2: Khi un  ta xét thương T  un1 , ta có: un - Nếu T   u n  dãy tăng - Nếu T   u n  dãy giảm * Cách 3: Dự đoán dùng quy nạp để chứng minh b Chứng minh dãy số bị chặn: * Cách 1: Dùng tính chất bất đẳng thức để số m, M thỏa điều kiện tương ứng đề - Nếu tìm M cho un  M , n  N *  u n  dãy bị chặn - Nếu tìm m cho un  m, n  N *  u n  dãy bị chặn - Nếu tìm m, M cho m  un  M , n  N * dãy  u n  bị chặn * Cách 2: Dự đoán dùng phương pháp quy nạp để chứng minh 10 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Vậy  un  dãy tăng n n n   3.3 n  un  3n     3n 3 n 1 3.3 u T  n 1  un  n  1  3n 1 9.3n  n  1  3n n  3.3 n   3.3n.n  1 9n.3n  9.3n  9n.3n   9.3n  9.3n     1  1, n  1; 2;3 n n n 9n.3  9n.3  9n.3  Vậy  un  dãy tăng o un 1  un   n  1   n  1   n  1   n3  3n  5n    n3  3n  3n   3n  6n   5n    n3  3n  5n   1 3   3n  3n     n  n     4  1    n     0, n  N * 2  Vậy  un  dãy tăng p n 1  n n 1  n un  n   n   n 1  n Xét un 1  un 1   Vô lý n   n 1 n 1  n Vì n   n   n   n Vậy  un  dãy giảm   40  n 1  n Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân q Xét  n  1 n  3 n  n    0 2  n  2  n  1 3   n  1  n  3  n  n      n3  3n  3n  1  n  3  n  n3  6n  6n    un 1  un   n  3n3  3n  n  3n3  9n  9n   n  6n3  6n  8n   6n2  2n   0, n  N * Vậy  un  dãy tăng r 4n  4n  un 1  un   0 2n  2n    4n   2n  1   4n  3 2n  3   8n2  18n   8n2  18n    2  Vô lý Vậy  un  dãy giảm Bài 5.1: a un  3n  Ta có cơng sai cấp số cộng d  un 1  un , d số un 1  un   n  1   3n    d  3, d số Do đó, un 1  un  nên  un  cấp số cộng với u1  4, d  3n  b un   n  1  3n  un 1  un    5  d  số 41 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Vậy  un  cấp số cộng với u1  1; d  c un  n un 1  un   n  1  n  2n   d  2n  số Vậy  un  không cấp số cộng d un  3n un 1  un  3n 1  3n  2.3n  d  2.3n số Vậy  un  không cấp số cộng  3n e un    n  1  3n un 1  un    5 2  d  5 số Vậy  un  cấp số cộng với u1  2, d  5 u f un   n 1 n un 1  un  1   2  d  số Vậy  un  cấp số cộng g un  3n  un 1  un   n  1   3n    d  số Vậy  un  cấp số cộng h un  2n  un 1  un  2n 1   2n   2n 42 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân  d  2n số Vậy  un  không cấp số cộng i un   n  1  n un 1  un   n     n  1   n  1  n  2 2  d  số Vậy  un  cấp số cộng u1  j  un 1   un Ta có u1  3; u2   u1  2 u3   u2  Nhưng u3  u2   u2  u1  5 Do  un  khơng phải cấp số cộng k  un  cấp số cộng u1  5; d  5 l  un  cấp số cộng u1  1; d  m  un  không cấp số cộng n  un  không cấp số cộng Bài 5.2: u1  u5  u3  10 a  u1  u6  17 Ta sử dụng công thức un  u1   n  1 d u5  u1    1 d  u1  4d u3  u1    1 d  u1  2d u6  u1    1 d  u1  5d Thay giá trị vào hệ thức ta 43 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân u1  u1  4d  u1  2d  10 u1  2d  10   u1  u1  5d  17 2u1  5d  17 u1  10  2d u  10  2d u  16    d  3 d  3 2 10  2d   5d  17 Vậy u1  16; d  3 u2  u5  u3  10 b  u4  u6  26 u1  d  u1  4d  u1  2d  10 u1  3d  10 d     u1  u1  3d  u1  5d  26 u1  4d  13 Vậy u1  1; d  u3  15 u1  2d  15 d  c    u1  21 u1  13d  18 u14  18 Vậy u1  21; d  d u1  6d  u1  2d  u7  u3    u2 u7  75  u1  d  u1  6d   75 d  d      u1   u1   u1  12   75  u  17  Vậy u1  3; d  u1  17; d  e u1  6d  u1  14d  60 u7  u15  60   2 2 u  u  1170 u  d  u  11 d  1170      12  u1  10d  30  2 u  28 du  130 d  1170  44 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân  u1  30  10d  2 30  10 d  28d  30  10d   130d  1170      21 d     u1  30  10d u1  12     50d  360d  630   d   u1  21 Vậy u1  12; d  u1  0; d  f Tương tự g u1  3; d  14 d  3; u1  51 h u1  2; d  u1  6; d  i d  3; u1  j u1  60; d  3 u1  45; d  3 k u1  0; d  Bài 5.3 a Giả sử ba số hạng liên tiếp uk ; uk 1; uk 2 uk  uk 1  uk 2  27  2 uk  uk 1  uk 2  293 Giải hệ tìm số k b Giả sử số hạng liên tiếp uk ; uk 1; uk 2 ; uk 3 uk  uk 1  uk 2  uk 3  22  2 2 uk  uk 1  uk 2  uk 3  66 Giải hệ tìm số k Bài 5.4 a a  10  x  b  x  c   x  Xét c  b  b  a 45 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân x    x  x   x   10  x  x  x  11   11 x   11 Vậy với x  x   a, b, c lập thành cấp số cộng b a  x   b  x  c  x   Xét c  b  b  a  x   3x   3x   x  x   x2  5x     x  Vậy với x=1 x=4 a, b, c lập thành cấp số cộng Bài 5.5: Ta có u20  52  u1  19d  52 u51  145  u1  50d  145 u  19d  52 u     un    n  1  3n  u  50 d   145 d  3  Vậy un  3n  Bài 5.6: u1  u3   u1  u1  2d  u5  10  u1  4d  10 d  3   un    n  1  3n  u   Vậy un  3n  Bài 5.7 u2  u22  60  u1  d  u1  21d  60  2u1  22d  60  u1  11d  30  u1  30  11d un  u1   n  1 d  30  11d   n  1 d  nd  11d  d  30  u23  u1  22d  30  11d  22d  11d  30 Tổng 23 số hạng 46 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân 23  u1  u23  23  30  11d  11d  30  S23    690 2 Bài 5.8 u1  1; d  3; u10  28 Bài 5.9 9.12  5.1 Ta có u1  S1  2 2  u1  u2  S2   u1  u2  S2  13  u2  13  u1  11 Do cơng sai d  u2  u1  11   Số hạng tổng quát Bài 5.10 un  u1   n  1 d    n  1  9n  u1  u3  30  u3  u5  42  u1  12; d  Bài 5.11: Ta có u2  u22  100  2u1  22d  10  u1  11d  50 23  2u1  22d  Tổng 23 số hạng S23   23  u1  11d   23.50  1150 Bài 5.12: Gọi 2d công sai cấp số cộng cho, ta có cấp số cộng viết thành a  3d ; a  d ; a  d ; a  3d Vì tổng chúng -20 nên  4a  20  a  5 Vì tổng bình phương chúng 280 nên  5  3d    5  d    5  d    5  3d  2  20d  180  d  3  280 Vậy có cấp số cộng thỏa tốn -14; -8; -2; 4; -2; -8; -14 Bài 5.13 Gọi d công sai cấp số cộng cho, ta có cấp số cộng viết thành u3  2d ; u3  d ; u3 ; u  d ; u3  2d 47 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Vì tổng chúng -5 nên  5u3  5  u3  1 Vì tổng bình phương chúng 45 nên  1  2d    1  d    1   1  d    1  2d  2  10d  40  d  2 d  loại dãy số giảm d  2 nhận Vậy cấp số cộng 2  45 3; 1; -1; -3; -5 Bài 5.14: Gọi d>0 công sai cấp số cộng cho, ta có cấp số cộng viết thành u3  2d ; u3  d ; u3 ; u3  d ; u3  2d Vì tổng chúng 15 nên 5u3  15  u3  Vì tổng bình phương chúng 55 nên 2 2   2d     d    3    2d   55  10d  10  d  1 d  1 loại ; d  nhận Vậy cấp số cộng 1; 2; 3; 4; Bài 5.15 a un   3n b d  3 Bài 6.1 a q  3 3    u q   u q   q q   27 u7  5          u  135 u   u q   u q  135 u q  135     10     729  b 8 u10  32 u1q  32 q  16 q  16   14    u  16 u u q  32  15  u1q.16  32 u1q  16u1q q   q8  16 q  2; u1     u1q  2 u1q  2 q   2; u1  2 d 48 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân u1q  u1q  u1q  45q u2  u4  u6  45 u1q  u1q  u1q  45    4 u  u  30 u1q  u1q  30 u1q  u1q  30  45q  30  u   u1q  45q  30 q6 45q  30 30       q6 q2  q4 u1q  u1q  30 u  30  q  q   45q  30   q  q   30q  q  45q  30  1  q   30q  45q  30q  45q  60   q   u1  15 e u1  u1q  u1q  35 u1  u2  u3  35   u  u  u  2240 u1q  u1q  u1q  2240  q  2 u1  u1q  u1q  35 u1  u1q  u1q  35     q  64 q (u1  u1q  u1q )  2240 u1  f u1q  u1q  54 u1q  u1q  54q u1q  u1q  108 u4  u2  54     2 u  u  108 u1q  u1q  108 u1q  u1q  108  q   16u1  4u1  108  u1  g  u1q  64 u5  64 q     u  32 u q  32   u  64.24  1024  h  q  ; u1  32   u1q  16 u2  16 q       u  u q    u1q  162 q   ; u  32   u4  u2  72 q  u1q  u1q  72   i   u q  u q  144  u1  12 u5  u3  144  1 u1  u1q  u1q  65 u1  u3  u5  65 q  2   j   u1  u1q  325 u1  u1  u7  325 49 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân u  12 k   q  23 Bài 6.2 a Ta có T un1 4q 4 un số nên  un  cấp số nhân b Ta có u1  4; u2  13; u3  28  u2 13 u3 28    u1 u2 13   un  khơng cấp số nhân c Ta có 16 un1 u u  n  n1  un1  un1 16 un un un1 Do u1  u3  u5   u2n1  Và u2  u4  u6   u2n  Mà u1  u2  16 16  u1 nên u1  u2  u3   un  Vậy  un  cấp số nhân với công bội q=1 Bài 6.3 a u1  2; u6  486 u6  u1q5  2q5  486  q5  242  q  u 27 b q  ; u4  u4  u1q  u1  43  21  q 21 21 2   3 c u1  3; q  2 uk  u1q k 1   2  k 1  192   2    2   k  k Vậy u5  192 Bài 6.4 50 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân a q  3  u1q  3q u1q   u3  u1q         u  27 u  u q  27 u q  27 q           * Với q3 u1  ; u2  u1q  1; u3  u1q  3; u4  u1q3  9; u5  u1q  27 * Với q  3 u1  ; u2  u1q  1; u3  u1q  3; u4  u1q3  9; u5  u1q  27 b u1q  u1q  25 q  u1q  u1   25 u4  u2  25    u  u  50 u q  u  50   u1q  u1  50 1   q  q    2    u  u  50 u   200  1  200 200 100 200 50 u1   ; u2  u1q    ; u3  u1q    3 3 200 25 200 u4  u1q    ; u5    3 16 12 Bài 6.5: u a Xét u1  2; u3 u  2;  2; u2 u3 số Vậy  un  cấp số nhân b un   n  1 5n1  q  2 Xét n  n  2 un1  n   q   un n 1  n  1 5n1 Công bội q phụ thuộc vào n nên  un  không cấp số nhân c un  10un1 Xét q un1  un 10 số Vậy  un  cấp số nhân d un   32n1 51 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân  3 u q  n1  9 n1 un  3 n 3 số Vậy  un  cấp số nhân Bài 6.6: u1  3; u2  2 u q  u1 b 4 16 16 32   u3  u1q   ; u4  u1q       ; u5  u1q   ; u6   9 81 27 81  27  Bài 6.7 q  2; u1  2; u6  64 Bài 6.8 2 3u3  2u4  1 3u1q  2u1q  1 u1q  3q  2q   1 (1)   (1)  u  u  u q  u q    u1q   q   (2)  3q  2q     q3   q3  2q  3q     q    q  3   q  2 Thay vào (2) ta u1  2  8   u1  4 Vậy  un  xác định un  u1q n1   2n1   1n1 2n3 Bài 6.9 u  q  q    168 q  1 u1  u2  u3  168      u  u  u  21   u1  96 u1q 1  q  q   21  Vậy cấp số nhân cần tìm 96; 48; 24; 12; 6; Bài 6.10:  u1  q  1   15 (1) u1  u2  u3  u4  15 q      2 2 u1  u2  u3  u4  85  u1  q  1  85 (2)  q   52 (2) Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân 15  q  1 Từ (1)  u1  thay vào (2), q 1 ta có 225  q  1  q  1 q8  225  q  1  85   85 q   q  12  q  1  q  1   1 1  14q  17q3  17q  17q  14   14  q    17  q    45  q q    q    q   u1   q    q   u1    q  q    Bài 6.11: u1   3; q  2 3; n  Bài 6.12: u1  ; q  3; n  Bài 6.13 a un  n1 b q  53 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân 54 ... hạng đứng trước Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn - Dãy số  u n  gọi dãy số tăng ta có un1  un với n  N * Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân - Dãy số  u n  gọi dãy số giảm ta có un1... 16 Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 5.10: Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng số hạng đầu số hạng thứ ba 30 tổng số hạng thứ ba số hạng cuối 42 Tìm cấp số cộng Bài 5.11: Cho cấp số cộng... n  un - Nếu T số  un  cấp số nhân có công bội q=T - Nếu T phụ thuộc vào n  un  khơng cấp số nhân Bài 6.2 Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân tìm cơng bội cấp số nhân a Dãy số  un  với