Bài tập giới hạn hàm số

BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài tập giới hạn dãy số - hàm số Giới hạn dãy số Một vài giới hạn đặc biệt: 1 lim  ; lim k  với k  x x n lim q n  x x q  Nếu un  c (c số) lim un  lim c  c x x với k  lim q n   q  Ta kí hiệu xlim un  lim un  a  lim n   k Định lý giới hạn hữu hạn a Nếu lim un  a lim  b thì: lim  un    a  b lim  un    a  b lim  un   a.b lim un a  ; b  0 b b Nếu un  với n lim un  a a  lim un  a c Nếu lim un  a lim   lim un 0 d Nếu lim un  a  ; lim   với n lim un   e Nếu lim un   lim  a  lim un   Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân vơ hạn  un  có cơng bội q, với q  gọi cấp số nhân lùi vô hạn S I u1 1 q với  q  1 Bài tập Dạng 1: Giới hạn dãy số un  f n g n , f  n  ; g  n  đa thức ẩn số n Cách giải: Chia số hạng tử mẫu cho lũy thừa n có số mũ cao dãy un , sau dùng định lý giới hạn đặc biệt để tính Ví dụ 1: Tính 3n3  7n  L1  lim 4n  3n  Nhận xét: Số mũ cao n n3 Khi n   n  nên chia tử mẫu  3 n n cho n ta L1  lim 4  n n Vì lim  lim  lim  lim  nên n n n n 3  n n  30  L1  lim 4  400 n n 3n5  2n  Ví dụ 2: Tính L2  lim n  4n  Nhận xét: Số mũ cao n n mẫu cho n 3n3  7n  4n3  3n  3 nên ta chia tử Giải:  3n  2n  n n L2  lim  lim n  4n    n3 n n5 4 Vì lim  3     3  lim      n n  n   n n 3   n n   L2  lim   n3 n n5 3  Chú ý sai lầm: nên Bài tập giới hạn dãy số - hàm số  n n  3     L2  lim 000   n n n 3n7  8n6  Ví dụ 3: Tính L3  lim 5n  n  2n 3  (sai) Nhận xét: Số mũ cao n mẫu cho n8 Giải: n8 nên ta chia tử  2 3n  8n  n n n  000  L3  lim  lim 5n  n3  2n 5  500 n n Từ ví dụ ta có nhận xét: f n Với dãy số un  f  n  ; g  n  đa thức ẩn g n số n, ta có: - Nếu bậc f  n   g  n  lim un   - Nếu bậc f  n   g  n  lim un  a b f n ; - Nếu bậc f  n   g  n  lim un  c  Trong a hệ số n có số mũ cao n có số mũ cao g  n  b hệ số Bài tập rèn luyện: Dạng 2: Giới hạn dãy số un  f n g n , f  n  , g  n  biểu thức có chứa thức Cách giải: Ta chia tử mẫu cho n có số mũ cao tử mẫu Ví dụ 4: Tính lim Cả tử mẫu ta n  n  2n  3  2n  chia cho n2  n n  2n  1 n  n  2n  n lim  lim  2n  2n   n n 1 1  n n    lim   2 n n Ví dụ 5: Tính L5  lim Chia tử mẫu cho 2n  n3  3n   n 3n  n3  n n 2n L5  lim 2n  n3  3n   n 3n   lim n  n n3  3n   n3 n 3n  n3 n2 n3  3n  2     3 n n n n n    lim  lim 3n3  4n    n n n3 n3 Ví dụ 6: Tính Chia 3n7  2n  L6  lim n2  3n  tử mẫu cho n Bài tập giới hạn dãy số - hàm số 3n  2n  L6  lim  lim n  3n  3n  2n  n7 n  3n  n7 2 3    7 n n n n  lim  lim 1 n 3 n3 3 3     7 n n4 n7 n7 n n 3  Vì   3  n n 1 lim  3  7  n n n lim 3  Nên 3n7  2n  L6  lim   n2  3n  Dạng 3: Giới hạn dãy un  f  n   g  n  , f  n  , g  n  đa thức ẩn số n Cách giải: Ta nhân chia cho biểu thức liên hợp  Ví dụ 7: Tính L7  lim n2  n   n   L  lim  n  n   n   lim n2  n   n  n  lim  n  3  n  n2  n   n n2  n   n  n3  lim n2  n   n n2  n   n  3 n 1   1  n n  lim  lim    3 1  1 n     1 n n n n     3n  2n   n  3n  2n   n   lim  3n  2n   n  Ví dụ 8: Tính L8  lim 3n2  2n   n 2  lim 3n  2n   3n 2n   lim 3n  2n   n 3n  2n   n 2n  1 2 n n  lim  lim 2 3n  2n   n 3n  2n   n n2 2 n  lim 3   n n   Vì lim      lim       n n n    n lim   3   n n 2   Vậy L8  lim 3n2  2n   n   nên  Bài tập giới hạn dãy số - hàm số * Dạng 4: Giới hạn dãy có chứa số mũ n Thông thường ta chia tử mẫu cho lũy thừa có số lớn Sau ta sử dụng có phép biến đổi sau để tính an  a    bn  b  n ; a n bn   a.b n ; lim q n  q 1 2n  4.3n Ví dụ 9: Tính L9  lim  7.3n Chi tử mẫu cho 3n n 2 2n    4 n n n  4.3 3 L9  lim  lim  lim n 5  7.3n   7 5   3n 3 2n  4.3n Vì nên L9  lim    7.3n 3.2n  5.7n Ví dụ 10: Tính L10  lim n  3.5n Chia tử mẫu cho n n n 2 1 lim    lim    3  3 n 2   5 3.2n  5.7 n 7 L10  lim n  lim n n  3.5n 4 5      7 7 n   n   n  5  Vì lim       5  lim         7   7    3.2n  5.7 n L10  lim n    3.5n Bài tập tự luyện: Bài 1.1: Tính giới hạn sau a b 4n8  12n  lim (Đs: )  n  5n6  6n8 3n  2n  lim (Đs: 0) 6n  n  2n  nên c  n  3n12 lim  n3  8n9 (Đs:  ) Bài 1.2: a c n n2  n  1 (Đs: ) lim 3n  2n  12 3n  n3  (Đs: 0) lim 2n  3n  b  n4  lim 2n  (Đs:  ) Bài 1.3: Tính giới hạn sau: a lim 4n2  n   2n (Đs: )   b lim  n  n  n   (Đs:  ) c lim  2n  n  n   (Đs:  ) d lim  n  2n   n  (Đs: 0) 2 3 Bài 1.4: a c 3.2n   5n (Đs:  )b lim n lim n 4.3  5.4n  6.5n  5.7 n (Đs:  ) lim n 4.5  5.6n (Đs: 0) Bài 1.5 2n3  4n  3n  6n  2n  1  n  2n 1) lim 2) lim 3) lim n3  5n  5n  n n  2n n5  n  n  2n  n  n  4n  4) lim 5) lim 6) lim ;    3n  n  4n  6n  3n  7n  3n  7) lim ;7 n 5  2n3  5n    3n  2n  8) lim    9) lim    ;   10) n  n  2n  n   5 3n5  7n3  11 2n  lim ;  3 11) lim ; 0 n  n  3n n  5n5 3 2n  n n n 12) lim ; 13) ; 1 lim    3n n2 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số 14) 16) 18) n  7n3  5n  2n  3n  ; 15) lim lim 2n  n  n  12 n2   n    ;   17) lim  3n3  7n  11 ;    lim 3n    lim 2n4  n2  n  ;    19) lim  2n  n3 ;    n    2n    n lim 21) 3n  n  n2 n     2n  1 13  23   n3 lim 23) lim 2n  n  n  n3  3n  2 n  n  1 13  23   n3 3    n  lim 11n  n  n 2 2         4n 3 3  lim 26) lim n n ; 1 n 2.3  1 1         5 5 3n  2.5n   3n  lim n ;    28) lim ;    3.5n   1 n 3  5n  n  5n   1  ; 30) ; lim n lim     n1  3.5n    3  5n1   20) lim 22) 24) 25) 27) 29) 31) lim  3n   2n   ;     1   2 35) lim  n   n   ;   36) lim n2  n   n ;  1    2 32) lim  n 1  n  1 n ;  2    33) lim n2  n   n ; 34) lim n2  n   n  ;       37) lim n2 n  n2  ;    38) n  2n    ;   40) 3n2  n     n  1 2n     lim ;   3n  1 n     39) 41) lim  lim n   n 1  n  1 n   lim ; 0 n3  3n  42) lim 10 ;    n n  n 1 ; 0 n 3 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số 3x  2x    9) lim ;  x  3x     36  x  5x    x  lim ;    11) lim ;  x  x  5x    6x  3x    3 x 3 x 3 x lim ;  1 13) lim ; 1 14) lim ;   x 3  x x 3  x x 3  x x2 x  x2 lim ;  2  16) lim ;  0 x 0  x  x x 2 2x x  2  3  x  27x lim ; ;9  18) lim 2 x  x  x 2   2x  3x  2x  3x  8) lim ; 2 x  x  2x 10) 12) 15) 17) x  16 19) lim ;  16  x 2 x  6x  20) lim x  2x  x   2x  1 x  x  x  x  2x   21) lim ;  x  2x  2 x 22) lim  x  1 ;   23) x  2x  x  lim  2x  5x  3x  1 ;    x  24) lim 2x  5x  1;    25) lim x  x 2 2x  ;    x2 2x  ;    27) lim 2x  5x  3x  ;    x  x 2 x  x3  x3  ;    29) lim ;  3 28) lim x  x  x 2 x  2x  5x  x3  1 ;    31) lim 30) lim  ;0 2 x  x  3 x x  x  3  26) lim 24  2x  x  10 32) lim ;0 x   3x x 2   ;  x  x  4x  16  34) lim x3  3  3  ;  33) lim  x  x    35) lim x 1 x 1 ;    x x x2  x  1   3 x 36) lim ;   37) lim ;  0 x 0 x  3x 6 27  x x  3x  10 x3  38) lim ; 1 ;    39) lim x  x 2 x  2x 3x  5x  x  4x  x2  ;   40) lim 41) lim ; 4 x 1 x 2 x   x  1 42) 44) 46) 48) 50) 52) 54) 56) x  2x  15 x 1 lim ;  2  43) lim ; 8 x 1  x x 3 x 3 x3 1 x  2x  15 ;0 lim ;  8  45) lim x  x 5 x  x  5  x 5 x  3x    x  5x    47) lim lim ;  ;  x 4 x  12x  20 x 4 x  4x   2 x4 1 x  3x  2x   49) lim ; 1 lim ;   x  x 2 x  2x  x x 6  5 x  4x  4x x2     lim ;   51) lim ;  x 2 x  x x 6 x2 3 x    16  5x lim ; lim ; 53)  x 7 x  x 7 5 x  64  3x     x lim ;  ; 2 55) lim x 2 x  x2 1 x 1 2  x  x2 1   x 1 ;  lim ; 1 57) lim x 0 x 1 x 2 6x   3x  25  Bài tập giới hạn dãy số - hàm số 58) 60) 62) 64) 66) 68) 69) 71) 73)  2x  x  1  x  x  3   lim ;   59) lim ;  2  x 5 x  25 x  x  60  x2 2 1 x 3 ;  lim ; 4 61) lim x  x 3 x6 2x  10  4 2x  3x    x 1   lim lim ;  ; 63)   2 x 1 x  x  2x    x 1 8 1 x  1 x 5 x  5x   lim ; 1 lim ; 65)  x  x 0 x x   2x   x   1 x  x2  x 1 lim ;   67) lim ; 0 x 1 x  x 1 x 2 3x   4x  x  lim ; 2 x 1 x  3x  3 5 x  1  3x  x   x ;   lim ;  2  70) lim x  x 0 x 1  x   x x2 9 x2  x lim ;  ;  3 72) lim x 2 x  4x     x 1  x2    x 1 ;  lim ;    74) lim 2 x 0 x 1 9 x 3  2 x 3 2  2x    x  3x  10   ;   76) lim 75) lim ;  x 9 x  3x  5x  x 3   3 x  4x  x2  ; 1 ;   78) lim 77) lim x  x  x   x  1 79) lim x  x  2x  15 x2 1 ;  1 80) lim x  x 5 x  x  5  26 81) lim x  3x  x  5x  82) lim ; 1 x  x  12x  20 x 1 84) lim 0 x  x  2x   2x  ; 1 86) lim x 2 x2 ; 1 x  4x x  3x  2x 83) lim ;0 x  x x 6 x  4x  85) lim ; 1 x  x x 6 x  3x   ;   88) lim x 87) lim x  x 0 x  2x   x    x   x2   x2  ;0   5 90) lim  x  4x   x  9x  ;   2 91) lim  x  2x   x  6x   ;    1 92) lim  x   x  7x   ;     2 89) lim  x  7x   x  3x  ;  2  2 2 x  x  x  93) Cho hàm số: mx ;x  Tìm lim f  x  f x   x 2 ;x  3 94) Cho hàm số:  ;x   x  5x  Tìm m để hàm số có giới hạn f x   ;x   mx  III Hàm số liên tục: Kiến thức cần nhớ: - Định nghĩa: Cho hàm sô y  f  x  xác định khoảng K x  K Hàm số y  f  x  gọi liên tục x 27 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số lim f  x   f  x  Ngược lại hàm số y  f  x  không liên tục x  x0 x gọi gián đoạn điểm Ví dụ 8: Xét tính liên tục hàm số f  x   Giải: x x  x2 x xác định \ 2 , xác định x2 khoảng  2;   chứa x  x lim f  x   lim   f  3 x 3 x 3 x  x Vậy hàm số f  x   liên tục x  x2 Ngồi ta nói hàm số gián đoạn x  Hàm số f  x   Ví dụ 9: Xét tính liên tục hàm số f  x   x  x  1 Giải: Hàm số f  x   x  có tập xác định 1;   Ta có x  1 không thuộc vào 1;   nên f  x   x  không liên tục x  1 Vậy hàm số gián đoạn tại x  1 Ví dụ 10  2x  2x ;x   Cho hàm số h  x    x  5 ;x   Giải: 28 2x  2x  Nếu x  h  x   có tập xác định R \ 1 x 1 2x  2x hay  ;1  1;   dó h  x   liên tục x 1 khoảng  ;1  1;    Nếu x  1, rõ ràng x    ;1  1;   nên h  x  không liên tục x  Thật vậy, ta có h 1  2x  2x lim h  x   lim x 1 x 1 x 1 2x  x  1  lim  lim 2x   x 1 x 1 x 1 Vì lim h  x   h 1 nên hàm số không liên tục x  x 1 Vậy hàm số cho liên tục khoảng  ;1  1;   gián đoạn x  - Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  f  b   tồn điểm c   a; b  cho f c  - Hàm số y  f  x  gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng - Hàm số y  f  x  gọi liên tục đoạn  a; b  liên tục khoảng  a; b  lim f  x   f  a  lim f  x   f  b  x a x b - Giả sử y  f  x  y  g  x  hai hàm số liên tục điểm x Khi đó: + Các hàm số y  f  x   g  x  ; y  f  x   g  x  29 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số y  f  x  g  x  liên tục x + Hàm số y  f x gx liên tục x g  x   Bài tập: Bài 3.1: xét tính liên tục hàm số   4x  ;x   f  x    x2  x  6 ;x    x2  x  ;x   Bài 3.2: Cho hàm số f  x    x  Định m để m ;x   hàm số f(x) liên tục x   x 5 ;x   Bài 3.3: Cho hàm số f  x    2x   Chứng 3 ;x=5  minh hàm số f(x) liên tục x   x2 ;x   Bài 3.4: Cho hàm số y  f  x    Xác x m  ;x   định m để hàm số liên tục x=0  x  x  10 ;x   Bài 3.5: Cho hàm số y  f  x    Tìm a x2 4  a x2  để hàm số liên tục x=2 30  x2  x  ;x  1  Bài 3.6: Cho hàm số y  f  x    x   2a  ;x  1  Tìm a để hàm số liên tục tập xác định Bài 3.7: Xét tính liên tục hàm số  x3  ;x   y  f  x   x  x=2 8 ;x    x4  8x ;x   Bài 3.8: Cho hàm số y  f  x    x  a  R  ax  ;x   Xác định giá trị a để hàm số cho liên tục tập xác định  6x 1  ;x   Bài 3.9: Cho hàm số y  f  x    x  m ;x   Xác định m để hàm số liên tục x=3 Bài 3.10: Xét tính liên tục hàm số điểm ra: x3 ;x 1  1) f  x    x  x  1 ;x   x3 2 ;x 1  2) f  x    x  x  1 ;x 1    x  x  x3 ;x   3) f  x    x=2 x 1 1 ;x 2  31 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số  x5 ;x   2x 1  4) f  x    x=5  x  2  ;x   1  cos x ; x  5) f  x    x=0 ;x   x 1  x 1 ;x 1  6) f  x     x  x=1 2 x ;x 1  Bài 3.11: Tìm m, n để hàm số liên tục điểm  x2 ;x 1 1) f  x    x=1 2mx  ; x   x3  x  x  ;x 1  2) f  x    x=1 x 1 3 x  m ;x 1  m ;x   x  x6 3) f  x    ; x  0, x  x=0 x=3  x  x  3 n x3   x2  x  ;x   4) f  x    x  x=2 m ;x   Bài 3.12: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng 32  x3  x  ;x 1  1) f  x    x  4 ; x  1   x  3x  ; x   ;x  2) f  x   5 2 x  ;x    x2  ; x  2  3) f  x    x  4 ; x  2   x2  ;x   4) f  x    x  2 ;x   Bài 3.13: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng  x2  x  ;x   1) f  x    x  m ;x    x2  x ; x   ;x 1 2) f  x   2 mx  ; x    x3  x  x   3) f  x    x 1 3x  m   x2 ;x 1 4) f  x    2mx  ; x  ;x 1 ;x 1 33 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số Bài 3.14: Xét tính liên tục hàm số: ;x  1  x  1) f  x    x  x  R ;x   x   1  cosx ;x   sin x 2) f  x    x=0 1 ;x    12  x ;x   3) f  x    x  x  10 R 2 ;x   x ;x  4) f  x    x=0 ;x  1  x Bài 3.15: Tìm a để hàm số liên tục R  x2  ;x 1  1) f  x    x  x  a ;x 1   x2  x  ; x  2  2) f  x    x  a ; x  2   x2  4x  ;x 1  3) f  x    x  ax  ;x 1  34 Bài 3.16: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt 1) x3  3x   2) x3  x  x   3) x   x  Bài 3.17: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm 1) x5  3x   2) x5  x   3) x  x3  3x  x   Bài 3.18: Chứng minh phương trình x5  5x3  x   có nghiệm  2;  Bài 3.19: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số m 1) m  x  1  x    x   2) x  mx  2mx   3)  m2  x  1  x  x     Bài 3.20: Chứng minh phương trình: 1) x3  x  x   có nghiệm phân biệt 2) m  x  1 x   x   ln có nghiệm với   giá trị m 3)  m  1 x  x3   ln có nghiệm nằm   khoảng 1; với m 4) x3  mx   ln có nghiệm dương 5) x  3x  x   có nghiệm khoảng 1;  Bài 3.21: Xét liên tục hàm số sau  x  3x  ; x  1) f  x    x0  ; x 1 2 x  35 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số   x2 ;x   2) f  x    x  x=2 1  x ; x    x3  x  ;x   x  x  3) f  x    11 ;x    x  3x  ;x 1  4) f  x    x  x=1  x ;x 1  Bài 3.22: Tìm a để hàm số sau liên tục x0 3x 2 x  ; x  1) f  x    x0  ;x 1 2 x  a  x3  x  ;x 1  2) f  x    x  x0  a ;x 1   1 x  1 x ;x   x 3) f  x    a   x ;x   x2 Bài 3.23: Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra:   x 1 ;x  3  a) f  x     x  x=0 3 ;x   36   x2 ;x   b) f  x    x  x=3 1  x ;x    x2  2x ;x   8 x c) f  x    x=2  x  16 ; x   x   x  3x  ;x 1  d) f  x    x  x=1  x ;x 1  Bài 3.24: Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm  x3  ;x 1  1) f  x    x  x=1 mx  ; x     ;x 1  2) f  x    x  x3  x=1 m x  3mx  ; x   ;x  x  m  3) f  x    x  100 x  x=0 ;x   x3  ; x  1  x  3m 4) f  x    x=-1  x  x  m  ; x  1 37 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số 38 .. .Bài tập giới hạn dãy số - hàm số Giới hạn dãy số Một vài giới hạn đặc biệt: 1 lim  ; lim k  với k  x x n lim q n  x x q  Nếu un  c (c số) lim un  lim c ...  g  x  hai hàm số liên tục điểm x Khi đó: + Các hàm số y  f  x   g  x  ; y  f  x   g  x  29 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số y  f  x  g  x  liên tục x + Hàm số y  f x gx... nhớ: - Định nghĩa: Cho hàm sô y  f  x  xác định khoảng K x  K Hàm số y  f  x  gọi liên tục x 27 Bài tập giới hạn dãy số - hàm số lim f  x   f  x  Ngược lại hàm số y  f  x  không