Tính các giới hạn: a... Tính các giới hạn: a... Tích của một đại lượng bị chặn và vô cùng bé là một vô cùng bé.
Trang 1Bài tập giới hạn hàm số
1 Giới hạn hàm phân thức hữu tỉ
- Nếu tử và mẫu số đều có nghiệm x a thì ta đơn giản tử và mẫu cho x a
- Một số hằng đẳng thức thường dùng:
2
2
2
1
3
1
2
b
5 n n n n n n n
Tính các giới hạn:
2
2
1
lim .lim
.lim .lim
x
e
a
2 1
1 2 1
1
1
k x
m
n
x
Giải:
2
2
7 2 3
a
2 2
2
b
2
c
so hang
so hang
1
1
m
m
n
d
2
e
f Phân tích:
Trang 2
1
Khi thay x1 vào đa thức 1 1
f x a x x b x x thì x1là nghiệm Dùng sơ đồ Hoocne ta phân tích được :
a a
a b b
1
1 2 3 1 1 2 1 lim
2
a b
a b a
b
b
a
g Ta có phân tích:
1
x
2
1
2
1
1
k k
x
x
x
x
Vậy:
2 1
1
1 1
1 1
1
k
Trang 3
1
!
!
!
!
k n
k x
n k
n n
n k k
C
x
n k n
h Đặt x a t x t a; t0,x , ta có: a
1
1
n
n
n n
n
n
n n
t
t
C
Vậy:
2
0 2
2
0
n
n
n
n
n
n
t
x a
C a
2 Giới hạn của các biểu thức vô tỉ
1 Tính các giới hạn:
a
2 0
2
1
x
Q
b
2 2
1 :
lim
x
x
c
3 3
0
5 lim
15 : 2
x
x
d
3 3
2 0
3
x
2
k lim 1 23 123 : 0
Trang 4Giải:
a
2
2
b
2
lim
2
x
c
1/3
3 3
5
x
2/3 21/3 2/3
0
3 3
2/3 1/3 2/3 0
lim
3
x
x
2/3 3
1
2
5 5
1
x x x
x x x
x
2
x
x
x x x
Trang 5k 2 2 1/3 1/3 1/3 1/3
1/3
x
2 Tính các giới hạn:
a
4 5
3 0
1 3 1 2
x
KQ
b
1 1 0
n n
x
c
6 4
0
280
x
KQ
d
1
6 0
2
3
x
a ax x a ax x
KQ a
a x a x
0
x
KQ n x
f
x
x
k
b
n
ax
Giải:
Ta sử dụng các giới hạn :
Với
0
x x u x
0
0
n
u x x
0
0
u x x
Hoặc thay vô cùng bé (VCB) tương đương : (VCB )
n1 1 x, 0; n1 1 u x , 0
1x 1 x,x0 ; 1u x 1 u x ,u x 0
a
x
4 5
3 0
1 1
1
lim
x
Trang 6
2 2
3
3
x
x
x
x x
x
5 2 1 / 3 1 / 2
b
n n
a
x x
a a
0
lim
n
x
c
6 4
0
lim
x
1
3
2 3 5 7
2
4
1
6
x x x x
0
3 / 2 1 / 3 1 / 5 1 / 7 313 lim
1 / 2 1 1 / 6 280
x
x x
d
a
3 6 0
2
li
m
x
a
3
VCB
x
a
Trang 7 2 2
0
im
1 l
1
x
x
1
VCB
n
0
lim
VCB
x
ax bx
a b
3 Giới hạn hàm lượng giác
Các giới hạn lượng giác thường dùng:
Với
0
x x u x
0
0
sin sin
lim 1 li; m 1
u x x
0
0
tan tan
u x x
0
0
arctan arctan
u x x
0
0
arcsin arcsin
u x x
0
0
1 cos
u x x
0
0
1 cos
1 cos
u x x
Tính các giới hạn:
a
sin 2
x
x x
b
arctan
2
x
x x
Trang 8c
2 2
4
arctan 2
x
x
KQ x
0
tan sin
x
KQ x
e
0
1
5
f
1
2
2
x
x
g
2 1
sin
x
x
KQ x
h
2
x
x KQ x
2 0
2
x
x
j
2 0
x
x
0
1 cos
x
x
m lim sin 2 1 sin 21 : 0
n
2 0
4
x
x
KQ x
o
2
x
KQ x
p
3
sin
x
x
KQ x
q
4
4
1 tan
x
x
KQ x
r
0
sin
x
KQ x
Trang 9s
2 0
cos cos
2
x
KQ
m x
t
2 0
3 sin
x
KQ x
u
2 0
2 tan
x
KQ x
v
sin 2
x
KQ x
Giải:
a Ta có
sin 2
x
là đại lượng bị chặn, 1
x là một vô cùng bé khi x Tích của một đại
lượng bị chặn và vô cùng bé là một vô cùng bé
sin 2
x
x x
b Chứng minh:
lim arctan
2
Ta có
2
l mi tan
t
t đặt x tant nên arctan
2
Vậy:
arctan
x
c
2
x
1
cos
cos
x x
e
f Đặt t 1 x x 1 t x 1 t 0
Ta có: tan cot
t t
Trang 10Vậy:
1
2
tan 2
t
t
g Ta có sinsin sin x sin xsin1x
2
1
x
sin
2
x x
x
1 cos 1 cos cos cos
0
x
j Đổi biến: 1
0
Ta có: cos cos 2 sin sin
cos cos cost cos 3t 2 sin 2t sint
0
1 3 cos cos 3 2 sin 2 sin
x
0
sin 2 sin
2
t
k Ta có: sin sin 2 sin cos
sin a x sin a x 2 sin cosa x
sin sin 2 sin 2 sin cos 2 sin
2 0
2 sin 1 cos 1
2
x
x
l Ta có: cos cos 2 cos cos
cos a x cos a x 2 cos cosa x
Trang 11Vậy:
cos cos 2 cos 2 cos cos 2 cos
a
m Ta có: sin sin 2 cos sin
Khi x thì
1
tức là một vô cùng bé
cos
2
là một đại lượng bị chặn, do đó tích của một vô cùng bé và đại lượng bị chặn là một vô cùng
bé
Vậy: lim sin 2 1 sin 2 1 0
1 cos 1 1
x
x
o Đổi biến:
2
t x x t x t
Ta có:
sin sin cos sin cos
Vậy:
2
2
cos
2 2
x
t
t
3
t x x t x t
Ta có: cosabcos cosa bsin sina b
2 cos 2 cos cos 3 sin
3
x t t t
Trang 12Vậy:
3
sin
x
x
4
t x x t x t
Ta có: 2 cos 2 cos cos sin
4
x t t t
Và :
2
2
2 cos 2
2
1 tan
cos
1 cos 2
2
t
x
x
t
4
2 cos 1 cos sin 1
2 sin 2
1 tan t x
t t
x
1 0 1.1
r
0
1 tan 1 tan 1
x
0
1 cos 1 1 cos 1 1 1 cos 1 cos 1
cos 1 cos 1
x
bx
b a
3
0
cos 1 lim
x
x x
Trang 13
3
0
cos 1
1
1 / 2 1 1 / 3 1 / 2 1
3
x
x
x
1 cos cos cos 1 cos 2 1
1 cos cos 2
0
1 cos
x
x x
x
0
1 1 cos 2 1
.1 1 .4
x
x
x
v
0
2 0
lim
x
x
4 Giới hạn hàm lũy thừa
Khử dạng vô định mũ:
Vô định 1:
0
lim x
0
Vô định 0 ,0 0:
0
lim x
0
lim ln
Các giới hạn có thể tính bằng các phương pháp tính giới hạn trên
Tính giới hạn:
a
1
x x
x
Trang 14b
2 2
1
x x
x
KQ x
0
0
e
2
1
3 0
cos
cos2
x x
x
f cot1
2
x