phuong phap lam bai tap gioi han ham so toan lop 11 gioi han ham so

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn GIỚIHẠNHÀMSỐ Mục lục Giới hạn hàm số dạng vô định 0 1.1 Dạng 1: Dạng vô định hàm phân thức đại số 0 1.2 Dạng 2: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc hai 0 1.3 Dạng vô dịnh hàm phân thức chứa thức bậc 0 1.4 Dạng 4: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc cao 0 1.5 Dạng 5: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức không bậc 1.6 Dạng 6: Dạng vô định hàm hàm số lượng giác 0 1.7 Dạng 7: Dạng vô định hàm số mũ hàm số logarit 1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm Giới hạn hàm số dạng ∞ 2.1 Dạng vô dịnh ∞ 2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ 2.3 Dạng vô định1 ∞ 2.4 Dạng vô định0 ∞ ∞ , ∞ − ∞, 1∞ , 0.∞ ∞ vô định 2 3 4 6 7 Một số dạng toán liên quan 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm 3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm hàm số điểm 7 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Giới hạn hàm số dạng vô định 1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0 hàm phân thức đại số f (x) f (x), g(x) hàm đa thức khác nhận x= x nghiệm g(x) f (x) (x − x0 )f1 (x) f1 (x) fk (x) fk (x0 ) Cách giải: Ta cólim =lim =lim = = lim = Với x→x0 g(x) x→x0 (x − x0 )g1 (x) x→x0 g1 (x) x→x0 gk (x) gk (x0 ) điều kiện fk2 (x0 )+ gk2 (x0 ) x3 + x2 − Thí dụ 1: Tínhlim x→1 x − x3 + x2 + x − Bài tập tự luyện Tìm giới hạn sau: 8x3 − 2x4 − 5x3 +3x + x − a.lim b.lim x→1 3x4 − 8x3 +6x − x→ 6x − 5x+1 √ √ 2x3 − (4 2+1)x +(4+2 2)x − √ √ c lim√ +(2+2 x→ x3 − (2 2+1)x 2)x − Tìmlim x→x0 1.2 Dạng 2: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc hai Tìmlim x→x0 f (x) − a g(x) f (x0 )= a g (x0 )=0 f (x) − a = x→x0 g(x) f (x) − a2 (x − x0 )f1 (x) f1 (x) f1 (x0 ) lim =lim =lim = x→x0 g(x)( 2a.g1 (x0 ) f (x)+ a) x→x0 ( f (x)+ a)(x − x0 )g1 (x) x→x0 ( f (x)+ a)g1 (x) f (x) − a f1 (x) − f2 (x) f1 (x) − f2 (x) Chú ý: Việc tìm giới hạn lim ,lim ,lim x→x0 x→x0 g(x) g(x) − b x→x0 g1 (x) − g2 (x) hoàn toàn tương tự √ x+8 − Thí dụ 2: Tínhlim x→1 x +2x√− √ x+ x−1−1 √ Thí dụ 3: Tínhlim x→1 x2 − Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa bậc dạng ta tách thành tổng phân thức dạng nhân lượng liên hợp Bài tập tự luyện Tính các√giới hạn √ sau: x+2 − 2x x−1 √ a.lim √ b.lim √ x→2 x→1 x +3+ x3 − 3x √ x − − 43 − x x − 1+ x − 3x + x +3 √ c.lim x→2 2x − Cách giải: Khi thực phép nhân biểu thức liên hợp f (x) + a ta đượclim Gia sư Thành Được 1.3 Dạng vô dịnh www.daythem.edu.vn hàm phân thức chứa thức bậc f (x) − a f (x0 )= a g (x0 )=0 x→x0 g(x) Cách giải: Thực phép nhân biểu thức liên hợp f (x)+ a f (x)+ a2 3 f (x)+ a f (x) ± a Chú ý: Việc tìm giới hạn dạnglim ;lim ; x→x0 x→x0 g(x) g(x) ± b 3 f (x) ± a f1 (x) ± f2 (x) lim ;lim ; x→x0 g(x) − b x→x0 g1 (x) − g2 (x) f1 (x) ± f2 (x) lim hoàn toàn tương tự x→x0 g1 (x) ± g2 (x) √ 4x − Thí dụ 4: Tínhlim ĐS: x→2 √ x−2 3 x+ x2 + x+1 Thí dụ 5: Tính lim x→−1 x+1 Bài tập tự luyện: Tính giới√ hạn sau: √ √ 2x − − x 2x − 1+ x2 − 3x+1 √ a.lim b.lim √ x→1 x→1 x−1 x − 1+ x2 − x+1 Tìmlim 1.4 Dạng 4: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc cao √ n 1+ ax − Dạng thường gặp: Tìmlim x→0 x √ tn − n n Cách giải: Đặt t= 1+ ax → t =1+ ax → x= x → t → a √ n 1+ ax − a(t − 1) a Khi đólim =lim = n x→0 t→1 t − x √ n 1+5x − Thí dụ 6: Tínhlim x→0 x Bài tập tự luyện: Tính giới hạn sau: √ √ √ 4 2x+1 − 4x − − 2−x−1 a.lim b.lim c.lim x→0 x→1 x→1 x x−1 x−1 1.5 Dạng 5: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức không bậc Cách giải: Thêm bớt số hạng thích hợp, tách thành hai giới hạn dạng vô định 0 √ √ 1+ x − − x Thí dụ 7: Tínhlim (Hướng dẫn: thêm bớt tử số) x→0 √ x √ 1+2x − 1+3x Thí dụ 8: Tínhlim (Hướng dẫn: thêm bớt 1+x tử số) x→0 x2 Bài tập tự luyện:√Tính giới hạn √ sau: √ √ 3 8x+11 − x+7 1+ x2 − − 2x b.lim a.lim x→0 x→2 √ x2 − 3x+ x+ x√2 √ √ 1+4x − 1+6x 2x − 1+ x − c.lim d.lim x→0 x→1 x2 x−1 Gia sư Thành Được e.lim (x2 +2004) x→0 1.6 www.daythem.edu.vn √ − 2x − 2004 x Dạng 6: Dạng vô định f.lim (x2 +2001) x→0 √ − 5x − 2001 x hàm hàm số lượng giác sin x =1 x sin u(x) x tan x Hệ quả:lim =1 (nếulim =0); lim =1;lim =1 x→a u(x) x→a x→0 sin x x→0 x Thí dụ 9: Tìmlim π ( − tan x) Làm theo cách x→ cos x √ sin x − cos x Thí dụ 10:Tìmlim π x→ sin 3x Bài tập tự luyện: Tính giới hạn sau: √ √ sin x − − cos x cos 2x a)lim ; b)lim π x→0 x→ tan x − x √ cos4 x − sin4 x − 1 − cos x √ c)lim d)lim x→0 x→0 tan2 x x2 +1 − π √ cos ( cos x) − 2x+1+sin x e)lim g)lim √ x x→0 x→0 3x+4 − − x sin2 − |1+sin 3x | − cos 3x cos 5x cos 7x √ h)lim i)lim x→0 x→0 sin2 7x − cos x √ tan x − 1 − cos x cos 2x k)lim π m)lim x→0 x→ sin x − x2 Định lí:lim x→0 1.7 Dạng 7: Dạng vô định Định lý:lim x→∞ 1+ x x = e; hàm số mũ hàm số logarit lim (1+ x) x = e; x→∞ eax − ebx x→0 x π ln tan + ax Thí dụ 12: Tínhlim x→0 sin bx ln (sin x+cos x) Thí dụ 13:Tínhlim x→0 x Bài tập luyện tập : Tính giới hạn sau: esin 2x − esin x e2x − √ a.lim ; lim √ x→0 x→0 sin x 1+ x − − x 2 e3x cos2 x − 3x − cos x c.lim ; d.lim x→0 x→0 x x2 √ −2x2 cos x−cos 3x − 1+ x − cos 2x e e e.lim ; g.lim x→0 x→0 ln (1+ x2 ) x2 Thí dụ 11 : Tínhlim ln 1+ x =1; x→0 x lim ex − = x→0 x lim Gia sư Thành Được 1.8 www.daythem.edu.vn Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 √ (x2 +2010) − 9x − 2010 Thí dụ 14 :Tìm A=lim x→0 x √ − 2x+1+sin x √ Thí dụ 15 :Tìm B=lim x→0 3x+4 − Bài tập tự luyện: Tính giới hạn √ sau: √ √ 2x − 1+ x − − 2x+1+sin √ a.lim ; b.lim x→1 x→0 x−1 3x+4 − √ esin 2x − esin x tan x − c.lim ; d.lim π x→0 x→ sin x − sin x √ e−2x − 1+ x2 e.lim x→0 ln (1+ x2 ) Một số √ √ đề thi 2x − − x Bài 1:lim (HVNH-98) x→1 x√− x3 − 3x − Bài 2:lim (ĐHQG-98) x→1 √ x − √ 1+ x − − x Bài 3:lim (ĐHQG KA-97) x→0 √ x √ 2x − 1+ x − Bài 4:lim (ĐHSP II KA-99) x→1 x−1 − cos2 2x Bài 5:lim (ĐH ĐN KD-97) x→0 x sin x − |1+sin 3x | √ Bài 6:lim (ĐHQG KB 97) x→0 − cos x Bài 7:lim − cot x (ĐHL-98) x→0 sin 2x tan x − sin x Bài 8:lim (HVKTQS-97) x→0 x3 π cos cos x Bài 9:lim (ĐHTN-KA-97) x x→0 sin2 − sin 2x − cos 2x Bài 10:lim x→0 1+sin 2x − cos 2x tan(a+ x) tan(a − x) − tan2 a Bài 11:lim (ĐHTN-98) x→0 x2 98 − cos 3x cos 5x cos 7x Bài 12:lim (ĐHAN KA00) x→0 83 sin2 7x √ − 2x+1+sin x Bài 13:lim √ (ĐHGTVT 98) x→0 √ 3x+4 − − x 1+ x2 − cos x Bài 14:lim (ĐHTM-99) x→0 √ x2 − cos x √ (ĐHHH-97) Bài 15:lim x→0 − cos x √ √ 1+tan x − 1+sin x Bài 16:lim (ĐHHH 00) x→0 x3 sin 2x sin x −e e Bài 17:lim (ĐHHH 99) x→0 sin x Ta có f (x0 )=lim x Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x3 + x2 − 18:lim (ĐHQG KD-99) x→1 sin(x − 1) √ e−2x − 1+ x2 19:lim (GTVT 01) 2) x→0 ln(1 + x √ √ 2x+1 − x2 +1 20:lim (ĐHQG-00) x→0 √ sin√ x − x − x2 +7 21:lim (TCKT-01) x→1 √ x2 − 1√ 1+2x − 1+3x 22:lim (ĐH Thủy Lợi -01) x→0 x2 23: lim tan 2x tan π4 − x (ĐHSP II-00) π x→ 3x − cos x 24:lim (ĐHSP II-00) x→0 x2 cos x − sin4 x − √ 25:lim (ĐHHH-01) +1 − x→0 x √ √ x+1+ x−1 26:lim (TK-02) x→0 x x6 − 6x+5 27:lim (TK-02) x→1 (x√ − 1)2 − 2x2 +1 28:lim (ĐHBK-01) x→0 − cos x Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Giới hạn hàm số dạng vô định 2.1 Dạng vô dịnh ∞ , ∞ − ∞, 1∞, 0.∞ ∞ ∞ ∞ Cách giải : Để khử dạng vô định ∞ ta thường chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao ∞ biến √ x+ x √ Thí dụ : Tính lim x→+∞ x+1 x2 +2x+1 √ Thí dụ : Tính lim x→+∞ x x+1 Bài tập tự luyện : Tính giới hạn: √ √ √ x+1 x+ x+ x √ √ ; b lim √ a lim x→+∞ x x+ x→+∞ x 2x+1 2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ Cách giải: Thực phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞ Đôi phải thêm bớt số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, thực phép nhân liên hợp √ Thí dụ 3: Tìm lim ( x2 − − x) x→+∞ √ √ Thí dụ : Tìm lim ( x3 +3x − x2 − x+1) x→+∞ Bài tập tự luyện: Tìm giới hạn sau: Gia sư Thành Được a lim x→+∞ 2.3 √ ( x2 + x+1 f (x) g(x) x→+∞ Cách giải: Biến đổi lim √ 1+ t b lim x→+∞ √ √ ( 4x2 +3x − − 8x3 − 5x2 +3) ∞ x , lim x→+∞ f (x) =1+ g(x) f (x) =1 g(x) , x → +∞ ⇔ t → +∞ Đưa giới hạn t t =e Thí dụ : Tìm lim x→+∞ Bài tập tự luyện: Tìm giới hạn: x 2x+3 a lim x→+∞ 2x − 2.4 x2 − x+1) Dạng vô định1 Tìm lim t→+∞ − www.daythem.edu.vn x x+3 x+1 b lim x→+∞ x x+3 x−1 Dạng vô định0 ∞ Cách giải: Biến đổi đưa dạng ∞ ∞ x ) Tìm lim + (x3 +1) x→−1 x −1 ∞ x+1 Thí dụ 7: (Đưa dạng Tìm lim (x − 2) x→+∞ ∞ x3 − x Bài tập tự luyện: Tìm giới hạn: x x−1 √ a lim + (x2 − 16) b lim x+2 x→+∞ x3 +5 x→4 x − 64 Thí dụ 6: (Đưa dạng Một số dạng toán liên quan 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm Cách giải (Sử dụng định nghĩa) • Hàm số y= f (x) liên tục điểm x= x khilim f (x)= f (x0 ) x→x0 • Đôi ta phải sử dụng đến tính liên tục phía điểm x= x Hàm số y= f (x) liên tục điểm x= x lim + f (x)= lim − f (x)= f (x0 ) x→x0 x→x0 Thí dụ8: √ Tìm a để √ hàm số sau liên tục điểm x=1:  x − 2+ 2x − x =1 f (x)= x −  a x=1 x e x