Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
1,64 MB
Nội dung
BÀITẬPNGUYÊN HÀM – TÍCHPHÂNBàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ NGUYÊN HÀM Định nghĩa: Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x khoảng a; b x � a; b ta có F ' x f x Nếu thay cho khoảng a; b đoạn a; b phải có thêm: F ' a f a F ' b f b Các tính chất nguyên hàm f x dx ' f x � af x dx a � f x dx, a �0 � � f x dx � g x dx �f x g x � �dx � � f t dt F t C � � f� u x � u ' x dx F � u x � � � � � C F u C , u u x � Sự tồn nguyên hàm: Mọi hàm số f x liên tục đoạn a; b có nguyên hàm đoạn BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp u u x dx x C � du u C � u 1 u du C , �1 � 1 du ln u C , u u x �0 � u eu du eu C � x 1 x dx C , �1 � 1 dx ln x C , x �0 � x e x dx e x C � ax a dx C , a �1 � ln a cos xdx sin x C � au a du C , a �1 � ln a cos udu sin u C � x u sin xdx cos x C sin udu cos u C � � 1 dx tan x dx tan x C du � tan u du tan u C � � � cos u cos x 2 2 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ 1 dx cot x dx cot x C du � cot u du cot u C 2 � � � sin x sin u 1 dx x C , x du u C , u � � x u cos ax b dx sin ax b C , a �0 � a sin ax b dx cos ax b C , a �0 � a 1 dx ln ax b C , a �0 � ax b a axb ax b e dx e C , a �0 � a �ax b a ax b C , a �0 Bài toán 1: Chứng minh F x nguyên hàm hàm số f x a; b Phương pháp: - Bước 1: Xác định F ' x a; b - Bước 2: Chứng tỏ F ' x f x với x � a; b Chú ý: Nếu thay a; b a; b phải thực chi tiết hơn, sau: - Bước 1: Xác định F ' x a; b Xác định F ' a , F ' b �F ' x f x , x � a; b � � - Bước 2: Chứng tỏ �F ' a f a � � �F ' b f b f� x � ' x dx * Phương pháp đổi biến số cho nguyên hàm I � � � Phương pháp: Đặt u x � du ' x dx f� x � ' x dx � f u du Khi đó, I � � � * Các dấu hiệu đặt ẩn phụ: Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ Hàm số có mẫu � đặt u mẫu số Hàm số f x, x � đặt u x Hàm số f x x a x b - Với x a x b , đặt u x a x b - Với x a x b , đặt u x a x b � x a sin t , � t � 2 Hàm số a x � đặt � � x a cos t , �t � � � a � � x , t � ; �/ 0 � � sin t 2� � Hàm số x a � đặt � � a � � x , t � 0; / � � � �2 � cos t � � � a tan t , t � � ; � � 2 � 2� Hàm số a x � đặt � � x a cot gt , t � 0; � Hàm ax ax ax � đặt x a cos 2t ax Bài tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất �1 3 � f x x – 3x ĐS � x x ln x � x �3 x 1 �2 3 � 2x4 x ln x C f x ĐS: ĐS: � � x x x2 �3 x2 �1 � ( x 1) x x C f x ĐS � � x �3 � x2 f x x x x ĐS x 3/ x 4/3 x 5/ C 2/3 3 f x ĐS x x C x x Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ x 1 ( x 1) ĐS x x ln x C f x ĐS x x �3 2/3 � � x 5 x � 10 � x f x 2sin ĐS x sin x C 10 f x tan x ĐS tan x x C 1 11 f x cos x ĐS x sin x C 12 f x tan x cot x ĐS tan x cot x x C 13 f x ĐS tan x cot x C sin x.cos x cos x 14 f x ĐS cot x tan x C sin x.cos x 15 f x sin 3x ĐS cos x C 16 f x 2sin 3x cos x ĐS: cos x cos x C x x 17 f x e e 1 ĐS e x e x C x � e x� x 2 18 f x e � �ĐS 2e tan x C � cos x � 2a x x x x x 1 19 f x 2a ĐS 20 f x e ĐS e3 x1 C C ln a ln Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx dx (5 x 1)dx 2xdx � � �2 x � (3 x)5 x (2 x 1)7 xdx � ( x3 5) x dx dx � �x 1.xdx �2 x 5 dx 3x ln x x 1 dx 10 � x e dx � 11 12 dx � � x (1 x ) x 2x sin x tgxdx sin x cos xdx 14 � dx 15 � cot gxdx 13 � 16 � cos x cos x f x Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân dx 17 � sin x e x dx 21 � x e 3 dx 18 � cos x 25 x x dx � 29 cos3 x sin xdx � Đỗ Văn Thọ 19 etgx 22 � dx cos x dx 26 � 1 x 30 tgxdx � 20 23 �1 x dx 27 x x 1.dx � �1 x 31 ĐS: 28 dx � ex 32 x �x dx dx �4 x 24 x dx e dx � x2 x x � x 1.dx � � 3/ � � � �1 �5 � x x x � � � � � �4 x �2 �8 2x � � � � 16 x 32 x14 56 x12 56 x10 35 x8 14 x x x � � 2 � � 3/ � �1 15 12 50 250 625 � �1 �1 � x x x �7 � x 1 �8 � ln x � � x x 15 3 3 � �3 �2 � x 1 � � � � �1 3� 5� �1 e � �1 2x 10 � �11 � ln x �12 � �13 � sin x � �3 � 1 x �2 ln e � �5 � � �1 cos x � � � �1 � ln sin x tan x 14 � 15 16 , 17 � � � ln � � � �2 cos x �4 cos x � x x � �2e � � � �2 e � � 20 � �21 � �22 23 ln e ln e � � � � 3/ 2 3/ � 2 3/2 3/ � �2 �1 30 � x 1 x x 1 �, 32 � x 1 x x 1 � 15 15 �5 �5 * Xác định nguyên hàm phương pháp tíchphânphần f x dx � f1 x f x dx - Bước 1: Biến đổi tíchphân ban đầu dạng I � � u f1 x du � � �� - Bước 2: Đặt � v dv f x dx � � Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ vdu - Bước 3: Khi đó: I uv � Chú ý: Ta đặt u f1 x thứ tự ưu tiên theo nguyên tắc: “nhất lốc log;ln , nhị đa (đa thức), tam lượng (lượng giác), tứ mũ (hàm mũ)” Bài 3: x.sin xdx x cos xdx � ( x 5) sin xdx � ( x x 3) cos xdx � � x sin xdx � ln xdx 10 � sin x dx 15 � x x cos xdx x e ln xdx � x ln xdx � dx � ln xdx x xtg xdx e x dx 11 � 12 � 13 � dx 14 � x cos x x x2 ln( x 1) dx e cos xdx x 16 � 17 � 18 �e dx x ln(1 x )dx x xdx x lg xdx 19 � 20 � 21 � ln(1 x) x cos xdx 23 � dx 24 � x Bài 4: Sử dụng phương pháp đồng hệ số: x 12 x 11 x2 5x dx � �3 dx x 1 x x x 2x2 4x 1 dx dx � � 2 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x ln(1 x)dx 22 � x2 2x � dx x 1 dx � x 1 � � ln x ln x ĐS: ln x ln x ln x � � x2 � �1 � 1 � � � x x 1 � ln ln x ln x � � � � � � x 1 � x x � � � � �1 � 1 � � ln x ln x � � � x 3� � �4 � x �1 � 1 � � ln x ln x � � � � x2� �4 � x TÍCHPHÂN I TÍNH TÍCHPHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân e (x � ( x x 1) dx � (2sin x 3cosx x)dx � 1 x )dx x x �x 1dx 1 (e x)dx � ( x x x )dx � x 0 2 ( x 1)( x � Đỗ Văn Thọ (3sin x 2cosx )dx � x x 1)dx 1 (e x � x 1)dx ( x x x x )dx 10 � 13 x.dx 14 � x -1 7x - x - dx 15 � x dx 16 � x x 2 x x tgx dx 19 e e dx 20 x x � � e e cos x �e 16 (x 1).dx � x x ln x e x dx x e x 21 e2 x 7x x dx dx 32 � � x 1 e II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: x2 2x dx � x � 33 � �4 x 3 x 1� dx �4x (2 x x 1) dx (2 x x )dx 25 � � 1 �1 � x( x 3)dx 27 � ( x 4)dx 28 � dx 29 26 � �2 � x x � 3 2 1� dx 30 � 31 x 1).dx 2 e 2 (x � 1 dx dx 24 22 �x 22 x � e e sin x 12 ln 3 ( x 1)( x x 1)dx 11 � e2 cos x.dx 17 �3 18 sin x � dx � � 8x Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân sin � sin x dx � 3cosx xcos xdx � sin xcos xdx �1 4sin xcosxdx x x � 1 dx 14 � x x 1 �x dx 1 cot gxdx � x � x 1dx 1 � x x tgxdx � 1 dx 12 dx � x 1 2 dx 10 � x x dx 11 1 x 1 x � 1dx 1 x2 �x 13 1 Đỗ Văn Thọ dx 16 � esin x cosxdx 2 � (1 x ) dx 15 2 e sin xdx 18 � e x 2 xdx 19 17 � cosx sin � xcos xdx 20 cosx e � sin x cot gxdx 28 dx 26 � tgxdx 27 � � 3cosx 29 sin x cosxdx e sin xdx 22 � e x 2 xdx 23 � sin xcos xdx 24 � sin xcos xdx � 21 25 x x � 1dx 30 x 1 x � �1 4sin xcosxdx 1 dx 31 x � x 1dx 32 x2 �x dx 1 sin(ln x) ln x x x dx 34 � dx 35 � dx dx 36 � 33 � x x 1 x x 1 e e e e2 e 2ln x1 3ln x ln x ln x dx 39 � dx 38 � dx 40 � dx 37 � x x x ln x cos (1 ln x ) 1 e e 0 2 41 � 1 e e x x 1 dx 42 x x x 1dx �2 x dx 43 � 44 Bài tậpnguyên hàm – Tíchphân 1 �x x dx 45 ln x dx 47 � x e 2ln x1 dx 50 � x e � 48 51 dx � cos (1 ln x ) e x 1 cos xdx 54 � x 3 1 3ln x ln x dx 49 � x sin � � x dx 60 dx 58 e dx 59 � (2 x 1) 0 4x 11 x xdx 62 �2 dx 63 61 � 0 x 5x � x dx � 4 x dx 55 x 46 e2 ln x dx � x ln x e � x 1 dx � x e e2 e x sin(ln x) dx � x x x 5dx 53 dx 56 57 x �x dx 46 e 1 e 52 Đỗ Văn Thọ 1 2x dx 64 � x 4x x dx � 2x x3 dx � x 2x 65 (sin6 x cos6 x)dx 66 4sin x dx 67 1 sin2xdx 68 cos4 2xdx � � � � 0 1 cosx cos x 1 sin2x cos2x dx 70 �x dx 71 69 � sinx cosx e 1 cos x 72 dx 73 � 2sin x sin x dx 74 � cos x dx 76 � 77 cos3 xsin2 xdx 78 � x 2x 1 10 4 (cos x sin x)dx � cos x dx 75 � 2sin x cos � xdx 79 2x dx � x x 2 sin4x dx � 1 cos x Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ 1 x 1 x dx 81 sin2x(1 sin2 x)3dx 82 80 � dx 83 � � 0 cos x e 1 ln2 x dx 86 � x5(1 x3)6dx 87 84 85 � dx � x 0 cosx tg4x dx 89 88 � cos2x cos x sin x �3 sin2x dx 92 x x � e e ln 95 98 sin x cos x �1 sin x sin x dx 93 � (2 sin x ) dx 96 sin x sin x �1 3cos x (e � cos x) cos xdx 99 � 1 cosx dx � 5sinx sin x x 4sin x 2 x 1 dx 108 �1 x 112 sin x cos x dx � cos x 100 3ln x ln x dx � x x x dx 110 dx 109 � dx 113 �x �x x2 dx 114 11 �4 x dx dx � 1 cos x sin x dx x 1 cos x 3x2 101 � dx x �7 cos2x dx 2 1 x �(1 x) 107 x 2 e x (1 tg x)dx � 101 2sin x dx 102 �1 x dx 103 � dx 104 � 1 x 0 sin x 2 ln(tgx) dx 94 � sin x 1 x dx 106 �4 dx 105 �2 x x x x 0 dx dx 97 1 lnx dx � x sin x sin x �cos 0 ln 91 dx 90 e 1 x4 115 � dx 1 x Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân 116 cos x �1 cos x dx 117 dx 121 120 � x x 1 124 x1 �3x Đỗ Văn Thọ dx 118 � x x 1 x3 �1 x 3x dx 122 x 1 x dx 123 � x x 1dx 126 dx 125 � 12 119 x x 1 dx � x ln2 2 � 1 dx 2 �x dx x2 �e x dx 2 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ ỨNG DỤNG CỦA TÍCHPHÂN * Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành �y f x ; C b � �S� f x dx �y �x a; x b a � * Chú ý: Để tính S ta cần xét dấu f x để bỏ dấu trị tuyệt đối rơi vào trường hợp Đơi lúc ta vẽ hình để nhìn thấy lập bảng biến thiên để xét dấu f x b b a a f x dx � f x dx - Nếu f x �0 a; b S � b b a a f x dx � f x dx - Nếu f x �0 a; b S � - Nếu f x �0 a; c ; d ; b f x �0 c; d 13 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân b �f x a Đỗ Văn Thọ c d b a c d dx � f x dx � f x dx � f x dx �y = x � Ví dụ: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: �y = �x = -1; x = � 17 (dvdt) 1 * Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong �y f1 x � �y f x � S �f x f x dx �x a; x b � 2 S �x dx � x dx � x dx 3 b a xc � � a; b - Bước 1: giải phương trình f1 x f x � � x d � - Tách tíchphân thành: 14 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ b S �f1 x f x dx a c d b a c d �f1 x f x dx �f1 x f x dx �f1 x f x dx Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng: �y f1 x x x � �y f x x 3x �x 0; x � � x 1� 0;3 f x f x x x � Ta có � x � 0;3 � 3 0 � S �x x dx � x x dx � x x dx * Bài tốn 3: Tính diện tích hình tròn elip: 15 31 dvdt Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ R 2 Ta có S S1 �R x dx Đặt x R sin t sin 2t � � S 4R � cos2 tdt R � t R2 cos 2t dt R � � � 0 �0 � � S R * Với Elip tương tự ta có: S ab THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY Bài tốn 1: Vật thể tròn xoay sinh cho y f x liên tục a; b ; x a; x b quay quanh Ox tích: b V � y dx a Ví dụ: Tính thể tích y x x quay quanh Ox với �x �4 16 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ 619 dvtt 15 Bài tốn 2: Vật thể tròn xoay sinh cho x g y liên tục a; b , y a; y b quay quanh Oy tích: V � x x dx b V � x dy a Bài tập: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x x y x Giải x0 � 2 Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x � x x � � x3 � x � � + 0 + x 3x Dựa vào bảng xét dấu ta có: S � 0 x 3x dx dvdt 17 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y y Giải x 1 x x0 � 0�� Phương trình hồnh độ giao điểm: x 1 x 1 � x � + x 1 x x2 x 1 x + - | + + | x 1 x x2 � + - x2 x 1 x Dựa vào bảng xét dấu ta được: S � dx ln x 1 2 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y x y x Giải: * y x � y x � x y phương trình đường tròn tâm O bán kính R Do y �0 nên y x nửa đường tròn phía trục Ox * y x parabol hướng quay lên nhận trục Ox làm trục đối xứng Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 � y � x2 x2 � x4 x2 � x2 � � x 1� y 1 � 1 S � x x dx (đvdt) Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x; y x cos x; x 0; x Giải 18 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ Phương trình hồnh độ giao điểm x cos x x � cos x � cos x � x x � 0; � k � x 0 k S �x cos x x dx � cos x dx � cos xdx (phá dấu trị tuyêt đối cos x �0 ) Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn P : y x x đường thẳng d : y x Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x0 � x x x � x x 3 � � x3 � x � � + x 3x 3 S � x 3x dx � x 3x dx 0 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường a y x 1 ; y e x ; x 0; x b y x x 3; y 2 x 6; x 0; x Giải: a Phương trình hồnh độ giao điểm x 1 e x Dễ thấy phương trình có nghiệm x 19 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ 23 e 0 x3 � b Phương trình hồnh độ giao điểm: x x 2 x � � x 1 � 1 � Dựa vào đồ thị ta được: S � x 1 e x dx � �x 1 e x � �dx Bảng xét dấu: � x x2 2x -1 + | 3 0 � - + S �x x dx � x x 3 dx Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 a y ; x 0; y 2; y 2 b y x; y x; y 0; y Giải a Phương trình tung độ giao điểm x y x với y � 0; 4 2y � y 4 16 S � y dy �2 ydy 2 3 y2 b Phương trình tung độ giao điểm x x y với y � 0;3 y0 � y2 �y � y � y � 1� � � y2 �2 � � Bảng xét dấu: Y y y 2 � + 0 - + 2 y2 2 �y � �y � S � y dy � y� dy � y� dy � � 0 �2 3 � �2 � Bài 8: Tính diệ tích hình phẳng giới hạn đường a y x x; y x b y x x , y c y x x 2; y x d y x ; y x 20 | � + Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ Giải x0 � 2 x x x � x x � a Phương trình hồnh độ giao điểm: � x3 � Bảng xét dấu: x x 3x � 0 � + + 3 S �x 3x dx � x x dx 0 2 b Phương trình hồnh độ giao điểm y x x y 30 � x2 x x0 � � � � � x x �� � � x4 x2 x � � �� x x 3 �� 4 0 S �x x dx S � x x 3 dx � x x dx 32 x 1 � 2 c Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x � x x � � x2 � Bảng xét dấu: x � � -1 2 + 0 + x x2 2 S �x x dx � x x dx 1 1 21 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ x 1 � 2 d Phương trình hồnh độ giao điểm: x x � x x � � x2 � Bảng xét dấu: � � -1 + 2 S � x x dx � x x dx 1 1 Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường x2 ;y a y x2 2 b x x y 0; x y ; x2 y c y x 4 d x y 0; y x Bài 10: Tình diện tích hình phẳng giới hạn đường: a y x 0; x y b y x 1; y x Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 a y x ; y ; y x 2 b y x x 2; y x x 5; y Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y x x , tiếp tuyến với điểm M 5;3 trục tung Bài 13: Cho miền D giới hạn hai đường x y 0; x y Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Giải: x 1 � 2 Phương trình hồnh độ giao điểm x x � x x � � x2 � x x x2 2 V � x x dx � x 10 x 25 x x2 dx 2 1 � x 11x x 16 dx 1 1 153 153 5 22 Bàitậpnguyên hàm – Tíchphân Đỗ Văn Thọ Bài 14: Cho miền D giới hạn đường y x ; y x; y Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Giải: * y x � x y với y �0 y 2(loai ) � Phương trình tung độ giao điểm: y y � � y 1 nhan � V � x 1 0 x dx � x x x dx � x 5x dx 11 11 6 Bài 15: Cho miền D giới hạn hai đường y x y Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a Trục Ox b Trục Oy Giải a Trục Ox x0 � 2 x � x x � Phương trình hồnh độ giao điểm: � x4 � 4 176 176 2 V � x dx � x2 x 12 dx 0 3 b Trục Oy Phương trình tung độ giao điểm: 23 ... ln x ln x � � � � x2� �4 � x TÍCH PHÂN I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: Bài tập nguyên hàm – Tích phân e (x � ( x x 1) dx � (2sin x ... x 1 dx � x ln2 2 � 1 dx 2 �x dx x2 �e x dx 2 Bài tập nguyên hàm – Tích phân Đỗ Văn Thọ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN * Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành �y .. .Bài tập nguyên hàm – Tích phân Đỗ Văn Thọ NGUYÊN HÀM Định nghĩa: Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x khoảng a; b x � a; b