Bài giảng bài tập dùng cho giáo viên, học sinh ôn thi học kì và đại học. Bài giảng và bài tập dùng cho giáo viên, học sinh ôn thi học kì và đại học. Bài giảng và bài tập dùng cho giáo viên, học sinh ôn thi học kì và đại học.
BÀI GIẢNG KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỖ VĂN THỌ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Tính đơn điệu hàm số: Định nghĩa: - Hàm số f ( x ) đồng biến K ⇔ ∀x1 ; x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) - Hàm số f ( x ) nghịch biến K ⇔ ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Điều kiện cần: Giả sử f ( x ) có đạo hàm khoảng I - Nếu f ( x ) đồng biến khoảng I f ' ( x ) ≥ , ∀x ∈ I - Nếu f ( x ) nghịch biến khoảng I f ' ( x ) < , ∀x ∈ I Điều kiện đủ: Giả sử f ( x ) có đạo hàm khoảng I - Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f ' ( x ) = số hữu hạn điểm) f ( x ) đồng biến I - Nếu f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f ' ( x ) = số hữu hạn điểm ) f ( x ) nghịch biến I - Nếu f ' ( x ) = , ∀x ∈ I f ( x ) không đổi I (Lưu ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa đoạn f ( x ) phải liên tục đoạn đó) * Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên hàm số: - Tìm tập xác định hàm số - Tính y ' Tìm điểm mà y ' = y ' không tồn (gọi điểm tới hạn) - Lập bảng xét dấu y ' Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài 1: Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 1) y = −2 x + x + 2) y = +x− 4 4) y = x3 − x + x − 5) y = ( − x ) ( x − 1) 7) y = x − x − 8) y = − x − x + 2x −1 x −1 10) y = 11) y = x+5 2− x 3) y = x − x + 6) y = x3 − 3x + x − 1 9) y = x + x − 10 10 12) y = − 1− x x + x + 26 13) y = 14) x+2 2x −1 16) y = 17) x +1 x2 − 4x + 19) y = 20) 2x − 2x − ĐS: 1) ĐB ( −∞,1) , NB ( 1, +∞ ) x − 15 x + y = −x + − 15) y = 1− x 3x 3x x + 4x + y= 18) y = x +1 x+2 x +1 x + 2x + y= 21) y = x 2x + x + 2) NB ( −∞, −2 ) ĐB ( −2, +∞ ) 1 1 3) NB ( −∞, ) ĐB ( 2, +∞ ) 4) ĐB −∞, ÷; ( 1; +∞ ) NB ,1 ÷ 3 3 5) NB ( −∞,1) ; ( 3, +∞ ) ĐB ( 1,3) 6) ĐB ( −∞, +∞ ) 7) NB ( −∞, −2 ) ; ( 0, ) ĐB ( −2, ) ; ( 2, +∞ ) 8) ĐB ( −∞, ) NB ( 0, +∞ ) 9) NB ( −∞, ) ĐB ( 0, +∞ ) 10) ĐB ( −∞, −5 ) ; ( −5, +∞ ) 11) ĐB ( −∞, ) ; ( 2, +∞ ) 12) NB ( −∞,1) ; ( 1, +∞ ) 13) ĐB ( −∞, −6 ) ; ( 2, +∞ ) NB ( −6, −2 ) ; ( −2, ) 14) NB ( −∞,1) ; ( 1, +∞ ) 3 3 3 15) ĐB −∞, − ÷; , +∞ ÷ NB − ;0 ÷; 0; ÷ 16) ĐB ( −∞, −1) ; ( −1, +∞ ) 2 2 2 17) ĐB ( −1,1) NB ( −∞, −1) ; ( 1, +∞ ) 18) ĐB ( −∞, −2 ) ; ( −2; +∞ ) 19) ĐB ( −∞, −1) ; ( −1, ) ; ( 2, +∞ ) 20) NB ( 0,1) ĐB ( 1, +∞ ) 21) NB ( −∞, −2 ) ; ( 0, +∞ ) ĐB ( −2, ) Bài 2: Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 − x2 − x + 1) y = −6 x + x − x − 2) y = 3) y = x −4 x + x +1 2x −1 x y = 4) y = 5) 6) y = x + + 2 − x x2 x − 3x + 7) y = x − − − x 8) y = x − x 9) y = x − x π π π π 10) y = sin x với − < x < ÷ 11) y = sin x − x với − < x < ÷ 2 2 ĐS: 1) ĐB ( −∞, ) NB ( 0, +∞ ) 2) ĐB ( −∞, −2 ) ; ( −2, ) NB ( 0, ) ; ( 2, +∞ ) 3) ĐB ( −∞, −1) ;(1; +∞) NB ( −1,1) 4) NB ( −∞, ) ; ( 1, +∞ ) ĐB ( 0,1) ( )( 5) NB −∞, − ; ) ( )( 2, ; ( 2, +∞ ) ĐB − 2,1 ; 1, ) ( )( ) 1 6) ĐB ( −∞,1) NB ( 1, ) 7) ĐB ,3 ÷ 8) NB − 2, −1 ; 1, ĐB ( −1,1) 2 9) ĐB ( 0,1) NB ( 1, ) * Vấn đề 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số ln đồng biến, nghịch biến với x ∈ ¡ Tìm miền xác định D hàm số f ( x ) Tính đạo hàm f ' ( x ) Nếu f ' ( x ) = ax + bx + c a > f x ⇔ f ' x > ⇔ ∀ x ∈ ¡ ( ) ( ) - Hàm số đồng biến ∆ ≤ a < f x ⇔ f ' x < ⇔ ∀ x ∈ ¡ ( ) ( ) - Hàm số nghịch biến ∆ ≤ (Chú ý: Nếu hệ số a f ' ( x ) có tham số phải xét a = ) * Nhận xét: - Nếu hệ số a f ' ( x ) có chứa tham số m thơng thường hàm số f ( x ) đồng biến ⇔ f ' ( x ) ≥ nghịch biến ⇔ f ' ( x ) ≤ - Nếu ∆ có chứa tham số m ta cần lập bảng xét dấu ∆ biện luận ∆ theo m Ví dụ:1 Cho hàm số: y = f ( x ) = số: a Luôn đồng biến 1− m x − ( − m ) x + ( − m ) x + Tìm m để hàm b Luôn nghịch biến Giải: Miền xác định D = ¡ y ' = ( − m ) x2 − ( − m ) x + ( − m ) Hàm số đồng biến ∀x ∈ ¡ ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ 1 − m > a > m < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ { ∅} ∆ ' ≤ ≤ m ≤ m − m + ≤ Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn làm cho hàm số đồng biến a < b Hàm số nghịch biến ∀x ∈ ¡ ⇔ y ' ≤ ⇔ ∆ ' ≤ 1 − m < m > ⇔ ⇔ ⇔ ≤ m ≤ (giao) ≤ m ≤ m − m + ≤ Vậy với ≤ m ≤ hàm số ln nghịch biến Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = x + mx + x + Định m để hàm số đồng biến với x∈¡ Giải: Tập xác định D = ¡ y ' = x + 2mx + Cho y ' = ⇔ x + 2mx + = ⇔ ∆ ' = m − Bảng xét dấu ∆ ' −∞ +∞ m -2 ∆' + 0 + + Nếu −2 < m < y ' > , ∀x ∈ ¡ Hàm số y = f ( x ) đồng biến ¡ + Nếu m = y ' = ( x + ) , ta có y ' = ⇔ x = −2; y ' > 0, x ≠ Hàm số y đồng biến nửa khoảng ( −∞; −2] [ −2; +∞ ) nên hàm số y đồng biến R + Tương tự nế m = −2 Hàm số y đồng biến R + Nếu m < −2 m > y ' = có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt Giả sử x1 < x2 Khi hàm số nghịch biến khoảng ( x1 ; x2 ) , đồng biến khoảng ( −∞, x1 ) ( x2 ; +∞ ) Do m < −2 m > khơng thỏa mãn u cầu tốn Vậy hàm số đồng biến R −2 ≤ m ≤ Ví dụ 3: Tìm m để hàm số sau nghịch biến khoảng xác định: mx + − 2m −2 x + ( m + ) x − 3m + a y = b y = x+m x −1 Giải: mx + − 2m a y = x+m Tập xác định D = ¡ \ { −m} y'= m + 2m − ( x + m) ; x ≠ −m Hàm số nghịch biến với x ≠ −m ⇔ y ' < ⇔ m + 2m − < ⇔ −3 < m < −2 x + ( m + ) x − 3m + b y = x −1 Tập xác định: D = ¡ \ { 1} 2m − y ' = −2 + ;x ≠1 ( x − 1) + Nếu m ≤ ⇒ y ' < 0; x ≠ Do hàm số nghịch biến D + Nếu m > , phương trình y’ có hai nghiệm x1 < < x2 ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( x1 ;1) ( 1; x2 ) , trường hợp không thỏa Vậy m ≤ thỏa mãn yêu cầu tốn Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm m để hàm số sau nghịch biến khoảng xác định m − 1) x + x + x − m + 7m − 11 ( 1) y = 2) y = x −1 x +1 2 x − ( m + 2) x + m −1 ( m − 1) x + m + 2m − 3) y = 4) y = x + 3m x −3 Bài 2: Tìm m để hàm số sau ln nghịch biến ¡ 1) y = − x3 + x + ( 2m + 1) x − 3m + x3 2) y = ( m + ) − ( m + ) x + ( m − ) x + m − * Vấn đề 3: Định tham số m để hàm số f ( x ) đồng biến nghịch biến khoảng ( α , β ) cho trước Nếu f ' ( x ) có dạng ax + bx + c Trường hợp ∆ f '( x ) ≤ ⇔ f ' ( x ) vô nghiệm a > f x α , β ⇔ ) + ( ) đồng biến ( ∆ ≤ a < + f ( x ) nghịch biến ( α , β ) ⇔ ∆ ≤ Trường hợp ∆ f '( x ) > ⇔ f ' ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; ( x1 < x2 ) + Với a > : a > ∆ > α < β ≤ x1 < x2 ⇔ af ' ( β ) ≥ S > β • f ( x ) đồng biến ( α , β ) ⇔ a > ∆ > x1 < x2 ≤ α < β ⇔ af ' ( α ) ≥ S < α a > • f ( x ) nghịch biến ( α , β ) ⇔ x1 ≤ α < β ≤ x2 ⇔ af ' ( α ) ≤ af ' ( β ) ≤ + Với a < a < • f ( x ) đồng biến ( α , β ) ⇔ x1 ≤ α < β ≤ x ≤ x2 ⇔ af ' ( α ) ≤ af ' ( β ) ≤ a < ∆ > α < β ≤ x1 < x2 ⇔ af ' ( β ) ≥ S > β • f ( x ) nghịch biến ( α , β ) ⇔ a < ∆ > x1 < x2 ≤ α < β ⇔ af ' ( α ) ≥ S < α • x1 < < x2 ⇔ P < • x1 ≤ ≤ x2 ⇔ P ≤ ∆ > • ≤ x1 < x2 ⇔ P ≥ S > ∆ > • x1 < x2 ≤ ⇔ P ≥ S < 0 < x1 < x2 ∆ > ⇔ • P > x1 < x2 < b c (trong S = x1 + x2 = − ; P = x1.x2 = ) a a Nếu hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ tập D ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ ⇔ Min f ( x ) ≥ x∈D Nếu hàm số f ( x ) có giá trị lớn tập D ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ ⇔ Max f ( x ) ≤ x∈D Ví dụ 1: Cho hàm số y = x + ( m + 3) x + mx Tìm m để: a Hàm số đồng biến ¡ b Hàm số đồng biến khoảng [ 0; +∞ ) Giải: Hàm số xác định D = ¡ y ' = 12 x + ( m + 3) x + m Cho y ' = ⇔ 12 x + ( m + 3) x + m = có ∆ ' = ( m + 3) − 12m = ( m − 3) có hệ số a = 12 > a Hàm số đồng biến ∀x ∈ ¡ ⇔ y ' > ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ ( m − 3) ≤ ⇔ m − = ⇔ m = Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán b Hàm số đồng biến khoảng [ 0; +∞ ) f '( x) vô nghiệm hoặ c có nghiệm kép y' > 0,∀x∈ [ 0;+∞ ) ⇔ f '( x) cã nghiÖm x1 < x2 ≤ ( m− 3) ≤ ∆ ' ≤ m= ( m− 3) > ∆ ' > m≠ ⇔ ⇔ m+ ⇔ ⇔ m≥ − S < m > − 0, ∀x ∈ ( 1, ) x −∞ +∞ x1 x2 y' + - af ' ( 1) ≤ m ≥ ⇒ ( 1, ) ⊂ ( x1 , x2 ) ⇔ x1 ≤ < ≤ x2 ⇔ ⇔ ⇔m≥3 af ' ≤ ( ) m ≥ Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + 3x + ( m + 1) x + 4m Với giá trị m hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) Giải Tập xác định D = ¡ y ' = x + x + m + có hệ số a = > ∆ ' = −3m + - Trường hợp 1: Nếu m ≥ ⇒ ∆ ' ≤ Ta có f ' ( x ) > không thỏa mãn - Trường hợp 2: m < ⇒ ∆ ' > Suy f ' ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; ( x1 < x2 ) x −∞ +∞ x1 x2 y' + 0 + Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) ⇔ f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −1;1) af ' ( −1) ≤ ⇒ ( −1;1) ⊂ ( x1 ; x2 ) ⇔ x1 ≤ −1 < ≤ x2 ⇔ af ' ( 1) ≤ 3 ( m − ) ≤ m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ −10 m ≤ − 10 m + 10 ≤ ) ( Kết hợp với điều kiện m < ⇒ m ≤ −10 Vậy m ≤ −10 thỏa mãn điều kiện tốn mx + Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = nghịch biến khoảng ( −∞,1) x+m Giải: Tập xác định D = ¡ \ { −m} m2 − ; x ≠ −m Ta có y ' = ( x + m) Hàm số nghịch biến ( −∞,1) y ' < −0; ∀x ∈ ( −∞,1) −2 < m < ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m ≤ − − m ≥ x = − m ∈ −∞ ,1 ( ) Bài tập tự luyện: 10 e x + ( m − 1) x + ( m − ) x + − m = f x − 3mx + 2m = Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 a x − ( m + 1) x − 2m − 3m + x + 2m ( 2m − 1) = ( ) b x − 3mx + 2m = c x − ( 2m + 1) x + ( 3m + 1) x − ( m + 1) = d x − x + ( − m ) x + + 3m = Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt 2 a x − 3mx + m − x − m − = ( ) ( ) b x − x − ( m − ) x + 4m − = c x + ( m − 1) x + ( m − ) x + − m = d x −x+m = Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương phân biệt: 2 a x − 3mx + m − x − m − = ( ) ( ) b x − x − ( m − ) x + 4m − = x − x + 4x + m + = d x − mx + ( 2m + 1) x − m − = c Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm phân biệt a x + ( m − 1) x + ( m − ) x + − m = ( ) ( ) 2 b x − 3mx + m − x − m − = c x + x − x + m = d x − x + 18mx − 2m = SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) ( C ') : y = g ( x ) tiếp xúc với f ( x ) = g ( x ) hệ phương trình sau có nghiệm f ' x = g ' x ( ) ( ) Bài 1: Tìm m để hai đường ( C1 ) ; ( C2 ) tiếp xúc 45 a ( C1 ) : y = x + ( + m ) x + mx + 2; ( C2 ) trục hoành b ( C1 ) : y = x − x − ( m − 1) x + m; ( C2 ) trục hoành c ( C1 ) : y = x + m ( x + 1) + 1; ( C2 ) : y = x + d ( C1 ) : y = x + x + x − 1; ( C2 ) : y = x + m Bài 2: Tìm m để ( C1 ) ; ( C2 ) tiếp xúc 2 a ( C1 ) : y = x + x + 1; ( C2 ) : y = 2mx + m 2 b ( C1 ) : y = − x + x − 1; ( C2 ) : y = − x + m x + x + ; ( C2 ) : y = − x + m 4 2 d ( C1 ) : y = ( x + 1) ( x − 1) ; ( C2 ) : y = x + m c ( C1 ) : y = − e ( C1 ) 2m − 1) x − m ( :y= ; ( C2 ) : y = x x −1 x2 − x + f ( C1 ) : y = ; ( C2 ) : y = x + m x −1 Bài 3: Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = m ( x − 3) tiếp xúc với đồ thị ( C ) : y = − x3 + 3x m = −6 HD: m = 2x Bài 4: Cho hàm số y = (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M x +1 cắt hai trục tọa độ hai điểm A, B phân biệt cho diện tích tam giác ∆OAB HD: M − ; −2 ÷; M ( 1;1) * Vấn đề 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f ( x ) Bài toán 1: Viết PTTT (d) (C) điểm M ( x0 ; y0 ) - Nếu đề cho x0 thay x0 vào phương trình y0 = f ( x0 ) tìm y0 46 - Nếu đề cho y0 thì x0 nghiệm phương trình y0 = f ( x0 ) - Tính k = y ' = f ' ( x0 ) - Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước - Gọi M ( x0 y0 ) tọa độ tiếp điểm Tính k = f ' ( x0 ) - (d) có hệ số góc k ⇒ f ' ( x0 ) = k Giải phương trình tìm x0 thay vào y0 = f ( x0 ) tìm y0 ⇒ M ( x0 ; y0 ) - Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 * Chú ý: - (d) tạo với chiều dương trục hồnh góc α k = tan α - (d) song song với đường thẳng (a): y = ax + b k = a - (d) vng góc với đường thẳng (a): y = ax + b, ( a ≠ ) k = − a k −a = tan α + ka Bài toán 3: Viết PTTT (C): y = f ( x ) biết ( d ) qua điểm A ( x A ; y A ) - (d) tạo với đường thẳng (a): y = ax + b góc α Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm - Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) tọa độ tiếp điểm Tính k = f ' ( x0 ) - Phương trình tiếp tuyến (d) M có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) - (d) qua A ( x A ; y A ) nên y A = f ' ( x0 ) ( x A − x0 ) + f ( x0 ) (1) - Giải phương trình (1) tìm x0 ⇒ y0 Từ viết phương trình tiếp tuyến (d) Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc - phương trình đường thẳng (d) qua A ( x A ; y A ) có hệ số góc k có dạng y = k ( x − xA ) + yA - (d) tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x ) = k ( x − x A ) + y A f ' ( x ) = k - Giải hệ (*) tìm x ⇒ k Từ viết PTTT (d) Bài 1: Viết PTTT (C) điểm a ( C ) : y = 3x − x − x + A ( 0;1) 47 (*) b ( C ) : y = x − x + B ( 1;0 ) 3x + C ( 1; −7 ) 2x − d ( C ) : y = x + − D ( 0;3) 2x −1 c ( C ) : y = Bài 2: Viết PTTT (C) điểm x − 3x + a ( C ) : y = điểm A có x A = x−2 3( x − 2) b ( C ) : y = điểm B có yB = x −1 x +1 c ( C ) : y = giao điểm (C) với trục hoành, trục tung x−2 d ( C ) : y = x − x + giao điểm (C) với trục hoành, trục tung e ( C ) : y = x − 3x + điểm uốn (C) f ( C ) : y = x − x − giao điểm (C) với trục hoành 4 Bài 3: Viết PTTT (C) giao điểm (C) với đường a ( C ) : y = x − 3x + x − ( d ) : y = x + 2 b ( C ) : y = x − 3x + x − ( P ) : y = − x + x − c ( C ) : y = x − 3x + x − ( C ') : y = x − x + x − Bài 4: Tính diện tích tam giác chắn hai trục tọa độ tiếp tuyến đồ thị (C) điểm 3 x + 11 điểm A có x A = 2x − b ( C ) : y = x − x + 26 điểm B có xB = a ( C ) : y = Bài 5: Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) điểm chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích S cho trước 2x + m điểm A có x A = S = x −1 2 − 3m b ( C ) : y = điểm B có xB = −1 S = x+2 a ( C ) : y = 48 c ( C ) : y = x + − m ( x + 1) điểm C có xC = S = Bài 6: Viết PTTT (d) (C), biết hệ số góc k cho trước a ( C ) : y = x − x + 5; k = 12 2x −1 ; k = −3 x−2 x − 3x + c ( C ) : y = ; k = −1 x −1 d ( C ) : y = x − x + 3; k = b ( C ) : y = Bài 7: Viết PTTT (d) (C), biết (d) song song với đường thẳng (a) cho trước a ( C ) : y = b ( C ) : y = c ( C ) : y = d ( C ) : y = x3 − x + 3x + 1; ( a ) : y = 3x + 2x −1 ;( a) : y = − x + x−2 x − 2x − ;( a ) : 2x + y − = 4x + x − 3x + ; ( a ) : y = −4 x + 2 Bài 8: Viết PTTT (d) (C), biết (d) vuông góc với đường thẳng (a) cho trước x3 x a ( C ) : y = − x + 3x + 1; ( a ) : y = − + 2x −1 ;( a) : y = x b ( C ) : y = x−2 x2 + c ( C ) : y = ; ( a ) : y = −3x x +1 x2 + x −1 d ( C ) : y = ;( a) y = x − x+2 Bài 9: Viết PTTT (d) (C), biết (d) tạo với chiều dương trục Ox góc α x3 a ( C ) : y = − x + x − 4;α = 600 3x − ;α = 450 b ( C ) : y = x −1 Bài 10: Viết PTTT (d) (C), biết (d) tạo với đường thẳng (a) góc α 49 x3 a ( C ) : y = − x + x − 4; ( a ) : y = 3x + 7; α = 450 x3 b ( C ) : y = − x + x − 4; ( a ) : y = − x + 3;α = 300 4x − ; ( a ) : y = 3x;α = 450 c ( C ) : y = x −1 3x − ; ( a ) : y = − x; α = 600 d ( C ) : y = −2 x + x2 − x + e ( C ) : y = ; ( a ) : y = − x + 1;α = 600 x−2 Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến (d) (C) điểm vng góc với đường thẳng (a) cho trước a ( C ) : y = x + ( 2m + 1) x − + m x +1 (C) điểm A có x A = ( a ) tiệm cận xiên x + mx − b ( C ) : y = điểm B có xB = ( a ) : x − 12 y + = x −3 Bài 12: Viết PTTT (d) (C), biết (d) qua điểm a ( C ) : y = − x + x − 2; A ( 2; −4 ) b ( C ) : y = x − 3x + 1; B ( 1; −6 ) ( c ( C ) : y = − x ) ; ( C ( 0; ) ) 3 x − 3x + ; D 0; ÷ 2 2 x+2 ; E ( −6;5 ) e ( C ) : y = x−2 3x + ; F ( 2;3) f ( C ) : y = x −1 x − 3x + g ( C ) : y = ; G ( 1;0 ) x−2 x −x+2 h ( C ) : y = ; H ( 2; ) x −1 d ( C ) : y = 50 Bài tốn 4: Tìm điểm đường thẳng (d) mà từ vẽ 1,2,3, … tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = f ( x ) Giả sử ( d ) : ax + by + c = , M ( xM ; yM ) ∈ ( d ) - Phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua M có hệ số góc k: y = k ( x − xM ) + yM - ( ∆) tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm f ( x ) = k ( x − xM ) + yM f ' ( x ) = k - Thay k từ phương trình lên ta được: f ( x ) = f ' ( x ) ( x − xM ) + yM (*) - Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M số nghiệm phương trình (3) Bài 1: Tìm đồ thị (C) mà từ vẽ tiếp tuyến với (C) a ( C ) : y = − x + x − b ( C ) : y = x − 3x + Bài 2: Tìm đường thẳng (d) mà từ vẽ tiếp tuyến với (C) x +1 ; ( d ) : Oy x −1 x2 + x + b ( C ) : y = ; ( d ) : Ox x −1 2x2 + x c ( C ) : y = ;( d ) : y = x +1 x + 3x + d ( C ) : y = ;( d ) : x = x+2 x+3 ; ( d ) : y = 2x + e ( C ) : y = x −1 a ( C ) : y = Bài 3: Tìm đường thẳng (d) mà từ vẽ tiếp tuyến với (C) x2 − 6x + a ( C ) : y = ; ( d ) : Oy −x + 2 x + 3x + b ( C ) : y = ; ( d ) : Oy x +1 2x +1 ;( d ) : x = c ( C ) : y = x−2 51 d ( C ) : y = 3x + ;( d ) : y = 4x − Bài 4: Tìm điểm đường thẳng (d) mà từ vẽ hai tiếp tuyến với (C) x2 + x − a ( C ) : y = ; ( d ) : Ox x+2 x2 − x −1 b ( C ) : y = ; ( d ) : Oy x +1 x + 3x + c ( C ) : y = ; ( d ) : y = −5 x+2 Bài 5: Tìm điểm đường thẳng (d) mà từ vẽ ba tiếp tuyến với (C) 3 a ( C ) : y = − x + x − 2; ( d ) : y = b ( C ) : y = x − 3x; ( d ) : x = 3 c ( C ) : y = − x + x + 2; ( d ) : Ox d ( C ) : y = x − 12 x + 12; ( d ) : y = −4 e ( C ) : y = x − x − 2; ( d ) : Oy f ( C ) : y = − x + x − 1; ( d ) : Oy Bài 6: Từ điểm A kẻ tiếp tuyến với (C) a ( C ) : y = x − x + 17 x + 2; A ( −2;5 ) b ( C ) : y = 4 x − x + 3x + 4; A ; ÷ 9 3 c ( C ) : y = x + x − 5; A ( 1; −4 ) Bài 7: Từ điểm đường thẳng (d) kẻ tiếp tuyến với (C) a ( C ) : y = x − x + x − 1; ( d ) x = b ( C ) : y = x − 3x; ( d ) : x = Bài tốn 5: Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C) hai tiếp tuyến vng góc với Gọi M ( xM ; yM ) - Phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua M có hệ số góc k: y = k ( x − xM ) + yM ( ∆ ) tiếp xúc với ( C ) hệ sau có nghiệm: f ( x ) = k ( x − xM ) + yM ( 1) f ' ( x ) = k ( ) - 52 - Thay k từ (2) vào (1) ta f ( x ) = f ' ( x ) ( x − xM ) + yM ( 3) - Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) ⇔ ( 3) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 - Hai tiếp tuyến vng góc với ⇔ f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) = −1 - Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp tuyến nằm hai phía với ( 3) co nghiem phan biet trục hồnh f ( x1 ) f ( x2 ) < Bài 1: Chứng minh từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến với (C) vng góc với Viết PTTT 1 a ( C ) : y = x − x + 1; A 0; − ÷ 4 x2 + 2x + c ( C ) : y = ; A ( 1;0 ) x +1 x2 + x + b ( C ) : y = ; A ( 1; −1) x +1 2x2 + x + c ( C ) : y = ; ( d ) : Oy x +1 x − 3x + e ( C ) : y = ;( d ) : x = x x2 − 2x + d ( C ) : y = ; ( d ) : Oy x −1 Bài 2: Tìm điểm đường thẳng (d) mà từ vẽ hai tiếp tuyến với (C) vng góc với nhau: 3 a ( C ) : y = x − 3x + 2; ( d ) : y = −2 b ( C ) : y = x + 3x ; ( d ) : Ox Bài 3: Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến với (C) vng góc với − x2 + x − m x + mx − a ( C ) : y = ; ( d ) : y = −1 b ( C ) : y = ; ( d ) : Ox 2x + m x−m x − 2mx + m c ( C ) : y = ; ( d ) : Ox x+m Bài 4: Tìm m để từ A kẻ tiếp tuyến với (C) cho tiếp tuyến nằm hai phía với trục hồnh ( C) : y = x+2 ; A ( 0; m ) x −1 TÌM CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ ( Cm ) : y = f ( x, m ) * Cách 1: 53 - Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định (nếu có) họ ( Cm ) M ( x0 ; y0 ) ∈ ( Cm ) , ∀m ⇔ y0 = f ( x0 , m ) ; ∀m (1) - Biến đổi (1) dạng sau: A = B = Dạng 1: ( 1) ⇔ Am + B = 0, ∀m ⇔ A = Dạng 2: ( 1) ⇔ Am + Bm + C = 0, ∀m ⇔ B = C = - Giải hệ ta tìm tọa độ ( x0 ; y0 ) điểm cố định * Cách 2: - Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định (nếu có) họ ( Cm ) M ( x0 ; y0 ) ∈ ( Cm ) , ∀m ⇔ y0 f ( x0 , m ) , ∀m (1) - Đặt F ( m ) = f ( x0 , m ) F ( m ) = y0 không đổi ⇒ F '( m) = (3) - Giải (3) tìm x0 Thay x0 vào (1) tìm y0 Từ suy điểm cố định Tìm điểm cố định họ ( Cm ) có phương trình sau: a y = ( m − 1) x − 2m + b y = mx + ( m − ) x − 3m + c y = ( m + 1) x − 2mx − ( m − ) x + 2m + d y = ( − 2m ) x − ( 3m − 1) x + 5m − e y = ( m − ) x − mx + f y = 2mx − x − 4m + g y = x + mx − m − h y = ( m − 1) x − ; ( m ≠ −1; m ≠ −2 ) x−m x + 3m − y = i ( m + ) x + 4m 54 x − 5mx + ; m ≠ ± j y = ÷ mx − 3 −2 x + ( m + ) x + m k y = ; ( m ≠ 0) 2x − m x + ( m − 1) x + m l y = x + 2mx + 2m + x + x + 4m m y = 2 x + ( 5m + ) x + TÌM ĐIỂM MÀ KHƠNG CĨ ĐỒ THỊ NÀO CỦA HỌ ĐỒ THỊ ( Cm ) : y = f ( x, m ) ĐI QUA - Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm mà khơng có đồ thị họ ( Cm ) qua M ( x0 ; y0 ) ∉ ( Cm ) ; ∀m ⇔ y0 = f ( x0 ; m ) vô nghiệm ∀m - Biến đổi (1) dạng sau: (1) A = B ≠ Dạng 1: ( 1) ⇔ Am + B = vô nghiệm ⇔ A = B = C ≠ Dạng 2: ( 1) ⇔ Am + Bm + C = vô nghiệm m ⇔ A ≠ B − AC < Chú ý: - Kết tập hợp điểm - Những điểm nằm tiệm cận đứng cố định hàm hữu tỷ điểm đồ thị khơng qua Bài 1: Tìm điểm mặt phẳng mà khơng có đồ thị họ ( Cm ) qua a c e g m +1 m2 y = ( m + ) x + m + 2m b y = x+ m + m +1 m + m +1 y = mx + ( − m ) x + + m, ( m ≠ ) d y = x − m3 x + m − y = x3 + 3mx − m3 − 5m − f y = mx − m x − 4mx + 4m − m − ) x − m + 2m − 3m + 1) x − m + m ( ( h y = y= x−m x+m 55 x + mx + − m i y = x −1 x + mx − 2m + k y = x2 + x + x − 2mx + m + j y = x−m x + ( 3m − 1) x − 10 l y = x − 3x + Bài 2: Tìm điểm thuộc (L) mà khơng có đồ thị họ ( Cm ) qua 2 a ( Cm ) : y = mx − m x − 4mx + 4m − ; ( L ) : Ox 2 b ( Cm ) : y = x − ( m + 3) x + 18mx + 6; ( L ) : y = x + 14 x − mx + m − m + c ( Cm ) : y = ; ( L ) : Oy mx + m + m + m + 1) x + m x + ( d ( Cm ) : y = ;( L) : x = x+m 2 m x +1 e ( Cm ) : y = ;( L) : y = x TÌM CẶP ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG ( d ) : y = ax + b A, B đối xứng qua ( d ) ⇔ ( d ) trung trực đoan AB - Phương trình đường thẳng ( ∆ ) vng góc với ( d ) : y = ax + b có dạng - ( ∆) : y = − x + m a Phương trình hồnh độ giao điểm ( ∆ ) ( C ) f ( x ) = − x + m ( 1) a - Tìm điều kiện m để ( ∆ ) cắt ( C ) điểm phân biệt A, B Khi x A ; xB nghiệm (1) - Tìm tọa độ trung điểm I AB - Từ điều kiện: A, B đối xứng qua ( d ) ⇔ I ∈ ( d ) ta tìm m ⇒ x A , xB ⇒ y A ; yB ⇒ A, B 56 Chú ý: - x A = xB A, B đối xứng qua trục hoành ⇔ y A = − yB x A = − xB ⇔ A, B đối xứng qua trục tung y A = yB x A = xB A, B đối xứng qua đường thẳng y = b ⇔ y A + yB = 2b x A + xB = a A, B đối xứng qua đường thẳng ⇔ x = a ⇔ y A = yB Bài 1: Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng (d) x+4 ;( d ) : x − y − = x−2 x + x −1 d ( C ) : y = ;( d ) : y = x −1 x −1 a ( C ) : y = x + x ; ( d ) : x + y = x2 c ( C ) : y = ;( d ) : y = x −1 x −1 b ( C ) : y = Bài 2: Cho đồ thị (C) đường thẳng (d) Viết phương trình đồ thị (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng (d) x − 3x + a ( C ) : y = 3x − x + 10 x − 2; ( d ) : x = −2 b ( C ) : y = ;( d ) : x = x −1 x2 + x − 2x2 + 5x − c ( C ) : y = d ( C ) : y = ;( d ) : y = ; ( d ) : y = −1 x−2 x −1 TÌM CẶP ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ( C ) : y = f ( x ) ĐỐI XỨNG QUA ĐIỂM I ( a; b ) 57 A, B đối xứng qua I ⇔ I trung điểm AB - Phương trình đường thẳng (d) qua I ( a, b ) có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − a) + b - Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): f ( x ) = k ( x − a ) + b ( 1) - Tìm điều kiện để (d) cắt (C) điểm phân biệt A, B Khi x A , xB hai nghiệm (1) - Từ điều kiện A, B đối xứng qua I ⇔ I trung điểm AB, ta tìm k ⇒ x A ; xB x A = − xB y A = − yB Chú ý: A, B đối xứng qua gốc tọa độ O ⇔ Bài 1: Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua điểm I x2 + x + ; I 0; ÷ a ( C ) : y = x − x + x + 2; I ( 2;4 ) b ( C ) : y = x −1 2 x+4 ; I ≡ O ( 0;0 ) c ( C ) : y = x − 3x − x + 1; I ≡ O ( 0;0 ) d ( C ) : y = x +1 3x + 2x2 − 5x + ; I ( 1;1) e ( C ) : y = f ( C ) : y = ; I ( −2; −5 ) 2x −1 x +1 Bài 2: Cho đồ thị (C) điểm I Viết phương trình đồ thị (C’) đối xứng với (C) qua điểm I: a ( C ) : y = x + x + x + 1; I ( 1; ) x2 − x + c ( C ) : y = ; I ( 2;1) x −1 b ( C ) x − 1) ( :y= ; I ( 1;1) x−2 x3 − x − x + d ( C ) : y = ; I ( 2;1) 2x − Bài 3: Tìm m đồ thị (C) có cặp điểm đối xứng qua điểm: 2 a ( C ) : y = x − 3mx + m − x + − m ; I ≡ O ( 0;0 ) ( ) b ( C ) : y = x + mx + x + 3; I ≡ O ( 0;0 ) 58 c ( C ) : y = x + mx + x + 4; I ≡ O ( 0;0 ) x + 2m x + m d ( C ) : y = ; I ≡ O ( 0;0 ) x +1 59 ... 0; +∞ ) Giải: Hàm số xác định D = ¡ y ' = 12 x + ( m + 3) x + m Cho y ' = ⇔ 12 x + ( m + 3) x + m = có ∆ ' = ( m + 3) − 12m = ( m − 3) có hệ số a = 12 > a Hàm số đồng biến ∀x ∈ ¡ ⇔ y ' > ⇔ ∆... ( x ) có tham số phải xét a = ) * Nhận xét: - Nếu hệ số a f ' ( x ) có chứa tham số m thơng thường hàm số f ( x ) đồng biến ⇔ f ' ( x ) ≥ nghịch biến ⇔ f ' ( x ) ≤ - Nếu ∆ có chứa tham số m ta... + ) x − m ( m − 1) x + mx − m + y = x − m +1 Bài 12: Tìm m để hàm số y = x + ( m − 1) x + ( m − ) x − có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = −4 x + 2 y = x + ( m − 1)