Bài tập số phức ôn và luyện thi

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ BÀI 1: SỐ PHỨC A/Kiến thức bản: 1/ Định nghĩa số phức : Số phức biểu thức có dạng : z=a+bi Trong : + a b số thực , i số thỏa i2 = -1 + i đơn vị ảo, a phần thực ,b phần ảo * Nhận xét : z = a+bi số thực Û phần ảo z b = z = a+bi số ảo Û phần thực z a = a/ Tìm a b để z số thực b/ Tìm a b để z số ảo c/Tìm a b để z = z' với z' = (-b+2) - (1+b)i Bài3 Tìm số phức z thỏa : Tập hợp C = a + bi / a,b Ỵ R, i = - tập số phức c/ z R Ì C 2/ Hai số phức nhau: Cho hai số phức : z = a + bi z' = a' + b'i d/ { } ìï a = a ' ï z = z ' Û Khi : z = Û í ïï b = b' ỵ ìï a = ï í ïï b = ỵ x +Đặc biệt : Khi : độ dài vec tơ z + z ' = z + z ' z - z ' = z - z ' z +z' £ z + z' Bài tập 4(SGK) Cho hai số phức z = 2+3i , z' = 1+2i z'' = 2-i a/Biểu diễn số phức mặt phẳng b/Viết số phức liên hợp số phức biểu diễn chúng mặt phẳng phức c/Viết số đối số phức biểu diễn chúng mặt phẳng Bài tập 5(SGK) Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức , biết đỉnh biểu diễn số i Bài tập6 Trong mặt phẳng phức , xác định điểm biểu số phức z thỏa mản điều kiện sau: uuur r u hay OM gọi môđun uuur z = OM = a2 + b2 Lưu ý : Nếu M1 điểm biểu diễn số phức z1 M2 điểm biểu diễn số phức z2 uuuuur Thì z2 - z1 = M 1M = M 1M a) 5/ Số phức liên hợp số phức: Cho số phức z = a + bi , số phức liên hợp số phức z a/ áp dụng tính chất : z = z z + z1 = z + z1 Tính chất : Ta có : z =z c/ z số thực Û z = z d/ z số ảo Û z = - z =z b/ Gọi A điểm biểu diễn số phức z=3+4i M điểm biểu diễn số phức z = x+yi uuuu r Khi , z - - 4i = AM z đối xứng Do z = z - - 4i ⇔ OM=AM z tính z với : a/ z = -2+ i , b/z = - 2i z = z - + 4i ⇔ z = z - + 4i ⇔ z = z - - 4i e/ Trên mặt phẳng phức , điểm biểu diễn z qua trục hồnh Bài1 Tìm z = z - + 4i Giải : z = a + bi = a - bi a/ z z = z2 số ảo +Nếu Mỗi số phức z = a + bi hoàn toàn xác định cặp số r (a;b) Điểm M(a;b) u = (a;b) mặt phẳng Oxy gọi điểm vec tơ biểu diễn số phức z = a + bi Ta kí hiệu M(a+bi) hay M(z) + Trục Ox gọi trục thực + Trục Oy gọi trục ảo + Mặt phẳng (Oxy) gọi mặt phẳng phức 4/ Môđun số phức: Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a;b) r u = (a;b) mặt phẳng Oxy = ( + i ) (1 − 2i) r ur u , u ' theo thứ tự biểu diễn hai số phức z z' r ur u + u ' biểu diễn số phức z + z' M(a;b) số phức z z = phần thực z hai lần phần ảo z Tính chất: +Tính kết hợp : (z+z')+z'' = z+(z'+z'') +Tính giao hốn : z+z' = z'+z +Cộng với số : z+0 = 0+z = z b a a/ z ± z ' = (a ± a ') + (b ± b')i r u O z = z số ảo 6/ Các phép toán tập số phức: a/Phép cộng, trừ hai số phức : Cho hai số phức : z = a + bi z' = a' + b'i Khi : 3/ Biểu diễn hình học số phức: y a/ , c/z=3 Vậy tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng OA Cách khác : Gọi z = x+yi Þ z = x-yi Ta có d/ z = -3i Bài2 Cho z = (2a-1) + (3b+5)i với a b số thực CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ z = z - - 4i Û x + y = ( x - 3) + ( y - 4) 2 c/ (2 + 3i )(2 - 3i ) , d/ i (2 - i )(3 + i ) c/phép chia hai số phức : *Số phức nghịch đảo : Cho số phức z = a + bi ( z khác 0) Khi , số phức nghịch đảo z : 1 z- = = z z z Û 6x + 8y = 25 Vậy tập hợp điểm M đường thẳng (d) : 6x + 8y = 25 b) z + z + = Vì z + z + = 2x + nên z + z + = ⇔ 2x + =4 ⇔ (2x+3)2=16 é2x + = Û ê ê2x + = - Û ê ë c) é êx = ê ê êx = - ê ë ================================ Nếu z = a + bi z- = z - z + 1- i = Vì z - z + 1- i =1+(2y-1)i nên Bài9 Tìm số phức nghịch đảo số phức sau a/ z = + 2i , b/ z = - 3i , c/ z = - i *Phép chia số phức Cho hai số phức : z' = a' + b'i z = a + bi ( z khác ) Khi , phép chia z' cho z : z - z + 1- i = ⇔1+(2y-1)2=4 é 1+ êy = ê 2 ⇔4y -4y-2=0 ⇔ ê ê 1- êy = ê ë z' z '.z = z '.z- = z z Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng có pt y = ± d/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i Vậy z – (3 – 4i) = ⇔ (x − 3)2 + (y + 4) = ============================== Nếu z' = a' + b'i z = a + bi ( z khác ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = Do đđó tập hợp biểu diễn số phức z mp Oxy đường tròn tâm I (3; -4) bán kính R = e/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : ỉ z' ỉ a'.a+b'.bư a.b'-a'.bữ ữ ỗ ữ ữ =ỗ + i ỗ ç ÷ ÷ ÷ è ç ç a2 + b2 ÷ z è a + b2 ø ø +Đặc biệt : z' ổ z' z 'ử z' ữ ỗ = ữ , = ỗ ữ ỗ ữ z z z èz ø z − i = (1 + i ) z b/phép nhân hai số phức : Cho hai số phức : z = a + bi z' = a' + b'i Khi : Bài10 Cho số phức z = - + z.z ' = (aa '- bb') + (ab'+ ba ')i Tính chất: +Tính kết hợp : (z.z')z'' = z(z'.z'') +Tính giao hốn : z.z' = z'.z +Nhân với số số : z.1 = 1.z = z z.0 = +Tính chất phân phối phép nhân phép cộng z(z'+z'') = z.z' + z.z'' +Đặc biệt : z b/ z , a/ , c/ z2 Hãy tính : i d/ (z )3 e/ + z + z2 Giải ỉ 1÷ ổ ỗ 3ữ ữ a/ Ta cú : z = - + i v z = ỗ +ỗ ç- ÷ ÷ ç ÷ ÷ =1 ç è 2÷ ứ ỗ ỗ 2 ố2 ữ ứ 2 2 z.z ' = z z ' , z.z = z = a + b *Chú ý : 1 z = (a - bi ) a +b a + b2 Do : z2 ¹ z z.z ' = z z ' 1 = z- = z = - z z i 2 2 ỉ1 ỉ3 ỉ 1ư ỉ 1÷ ưỉ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ c/ z = ỗ- + iữ = + i + iữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ø ÷ è 2ø ÷ è ÷ è 2ø è ç ç2 ø ç2 ø è *(a+bi)(a'+b'i) = a.a'+a.b'.i+b.a'.i+b.b'.i2 = a.a'+a.b'.i+b.a'.i+b.b'.(-1) = (a.a'-b.b') + (a.b' + b.a')i ( Phép nhân bình thường lưu ý i2 = -1) = Bài7 (SGK) Tính z+z' ; z-z' z.z' a/ z = + 2i ; z ' = + 3i , b/ z = - 3i ;z ' = + 4i Bài8 (SGK) Xác định phần thực phần ảo số sau : a/ i + (2 - 4i ) - (3 - 2i ) , b/ ( + 3i )2 3 i + i = 4 ổ1 ỗ - d/ (z ) = ỗ ỗ ç ç è 3 é ö ê ÷ êi÷ = ÷ ê ÷ ÷ ø ê ë 3 i=- 3ù ổ ỳ ữ ỗ ỗ ỳ + iữ ữ ỗ ữ ỗ ứ ữỳ ỗ2 ố ú û i CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ ù éỉ ỉ3 ÷ ổ ữữ ửử ữỳ ổử ờỗ 1 ỗ ỗ ỗ ữ ữữ ỗ ỳ= = - ờỗ + 3.ỗ i + .ỗ iữ + i ỗ ữ ữ ữữ ỗ ỗ ỗ ữ ờỗ8 ỳ ữ ỗ ỗ 2ứ 2ỗ ữ ữữ ữ ữữ ố ỗ ỗ ố ứ ố ứ ỗ ữỳ ứ ởố ỷ e/ + z + z = .= Bài11 Thực phép tính sau a/ (1- i )2 b/ (2 + 3i )2 c/ (1 + i )3 + 3i Khi , 1≤ z + 1- i ≤ Û 1≤ AM ≤ Vậy tập hợp điểm M hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm A(-1;1) bán kính thứ tự y Bài12 Thực phép tính sau a/ (1 + i )(4 - 3i ) A -1 O x (1- i ).(4 + 3i ) = (1 + i ).(4 - 3i ) (1 + i ).(1- i ).(4 - 3i ).(4 + 3i ) = (1- i ).(4 + 3i ) (1- i ).(4 + 3i ) = 2 (1- i ).(16 - 9i ) (1 + 1).(16 + 9) = 7- i = i 50 50 50 b/ ( - + 6i ) ( - 3i ) - + 6i 39 = = = + i + 3i 25 25 ( + 3i ) ( - 3i ) c/ - 2i + 2i = ( + 2i ) ( - 3i ) = = + 3i + 3i ( + 3i ) ( - 3i ) 4/ + z = i - z (quỹ tích đường thẳng : 4x+2y+3=0) z - z + 2i ( quỹ tích (P): y = x ) 2 6/ z - (z ) = ( quỹ tích hai Hypebol: y = ± ) x z + 2i 7/ số thực z- i ( tập hợp điểm M trục ảo ( trục Oy) bỏ A(0;1) ) 8/ z + 2i số ảo z- i ỉ 1÷ ö ( tập hợp điểm M đường tròn x2 + ỗ = ) ỗy + ữ ữ ữ ç è ø bỏ A(0;1) ) 9/ Ta có : i = i 6.i = (i 2)3.i = (- 1)3.i = - i 1ỉ 1ư 1 1 ÷ =- + =- - =- ç- i + ÷ Do : A = ç ữ ữ ỗ 2i ố iứ 2i 2 z = số ảo z- i Bài 17 Cho z1 = 3+4i , z2 = 2-3i Hãy biểu diễn : z1 ; z2 ;z1 +z2 25 - 8i + lên mặt phẳng Oyz - z1 33 ổ 1+ i ữ ữ b/B = ỗ + (1- i )10 + (2 - 3i )(2 + 3i ) + ỗ ữ ỗ ữ i ố1- i ø Bài 18 (SGK) Trong mặt phẳng phức, cho điểm phân biệt A,B,C biểu diễn số phức z1 , z2 ,z3 a/ Khi A,B,C không thẳng hàng trọng tâm G V ABC biểu diễn số phức nào? b/Khi z1 = z2 = z3 Chứng minh V ABC c/C = + (1 + i ) + (1 + i )2 + (1 + i )3 + + (1 + i )10 (Dùng tổng số hạng cấp số nhân ) Bài 15 Hỏi số sau số thực hay số ảo ( với z số phức tùy ý cho biểu thức cho xác định ) z- z z2 - (z )2 a/ z2 + (z )2 b/ c/ ( số ảo ) z + (z ) + z.z Bài 16 Tìm tập hợp điểm M(z) trường hợp sau: : z1 + z2 + z3 = Bài 19 Tìm số phức z thỏa hệ thức : ìï z - ìï z ïï ïï =1 ï z- i ï zï a/ í b / ïí ïï z - 3i ïï z =1 ïï ïï ïïỵ z + i ïïỵ z - z - 1+ i = ( quỹ tích điểm M đường tròn tâm I(1;-1) bán kính R = ) 2/1≤ z - 4i + z + 4i =10 5/ 2 + z = Bài13 Thực phép chia z cho z' trường hợp sau: a/ z = - 2i, z ' = + i b/ z = - + 2i, z ' = - i c/ z = 2i, z ' = 1- i d/ z = 1- 3i, z ' = - i B/Những tập bản: Bài 14 Thực phộp tớnh sau ổ7 ữ ỗi - ữ a/A = ỗ ữ ữ 2i ỗ i ø è 1/ 3/ z + 1- i ≤ 12 = 8i =1 c/ z − (2 + i) = 10 z.z = 25 -Xét số phức z = x+yi có điểm biểu diễn M số phức z0 = -1+i có điểm biểu diễn A(-1;1) Bài 20 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ Giải phương trình hệ phương trình sau 1/ (2 + 3i )z = z - Ta có : (2 + 3i )z = z - Û (1 + 3i )z = - ìï x = - 11i ïï ï Đáp số : nghiệm hệ : í y = - - 9i ïï ïï z = 1- 7i ỵ 1- 3i ==+ i + 3i (1 + 3i ).(1- 3i ) 10 10 2/ (2 - i )z - = Û z =- Bài 21 Trong số phức z thỏa mản điều kiện : z - + 3i = 4(2 + i ) Û z= Ta có : (2 - i )z - = Û z = 2- i (2 - i )(2 + i ) Û z= Số phức z có moodun nhỏ ? Bài 22 Cho số phức z = m + (m - 3)i, m Ỵ R a/ Tìm m để điểm biểu diễn số phức M(z) nằm đường thẳng (d): y = - x b/ Tìm m để điểm biểu diễn số phức M(z) nằm 4(2 + i ) 8 = + i Û z= - i 5 5 2+ i - + 3i z= 1- i 2+ i 2+ i - + 3i - 1+ 3i + i z= Û z= : Ta có 1- i 2+ i 2+ i 1- i - + 3i 1- i (- + 3i )(1- i ) Û z= = 2+ i 2+ i (2 + i )2 3/ hypebol y = - ( tự làm) x c/Tìm m để khoảng cách từ điểm biểu diễn z đến gốc tọa độ bé ? Bài23 + 4i (2 + 4i )(3 - 4i ) 22 = = + i + 4i (3 + 4i )(3 - 4i ) 25 25 4/ z + 2z = - 4i Đặt z = x + yi Þ z = x - yi Ta có : z + 2z = - 4i Û (x + yi ) + 2(x - yi ) = - 4i Û 3x - yi = - 4i ìï ìï 3x = ïx = ï Û í Û íï ïï - y = - ïï y = ỵ ïïỵ Û z= Cho số phức z = - m+i 1- m(m - 2i ) a/ Tìm m để z.z = b/ Tìm m để z - i £ c/ Tìm m để z lớn ? Bài24 Trong mặt phẳng phức , xét điểm A,B,C theo thứ tự biểu diễn số phức : Vậy z = + 4i 5/ z + z = 4i + 6i ;(1- i )(1 + 2i ); i- 3- i a/ Chứng minh tam giác ABC vuông cân + Ta có : ìï z = x - yi ï Đặt z = x + yi Þ í ïï z = (x2 - y2) + 2xyi ïỵ Ta có : z2 + z = Û (x2 - y2 + x) + (2xy - y)i = ïì x2 - y2 + x = Û ïí ( tự giải) ïï 2xy - y = ïỵ ổ z +i ữ ỗ ữ = 7/ z3 = i 8/ iz + - i = 6/ ỗ ữ ỗ ốz - i ữ ø 4i 4i(i + 1) - + 4i = = = - 2i i - (i - 1)(i + 1) - suy : A(2;-2) +Ta có: (1- i )(1 + 2i ) = + 2i - i - 2i = + i suy B(3;1) +Ta có: + 6i (2 + 6i )(3 + i ) = = 2i 3- i (3 - i )(3 + i ) suy B(0;2) Ta có : BC2 = 10 , BA2 =10 ; CA2 =20 Suy ra: BA = BC BA2 + BC2 = CA2 tam giác ABC vuông cân B b/ Tìm số phức biểu diễn D cho tứ giác ABCD hình vng Ta có :tứ giác ABCD hình vng 9/ (2 + 3i )z = z - 10/ (2 - 3i )z - = 11/ z2 + = Û (z - 2i )(z + 2i ) = ìï z + z + z = + 2i ïï 12/ ïí 2z1 + z2 - z3 = + 5i ïï ïï z1 + 2z2 + 3z3 = + 2i ỵ 13/ Tìm x y biết: ìï (3 - i )x + (4 + 2i )y = + 6i ï ( Dùng định thức Grame) í ïï (4 + 2i )x - (2 + 3i )y = + 4i ỵ 14/ Tìm x ,y z biết: ìï x + iy - 2z = 10 ïï ï x - y + 2iz = 20 í ïï ïï ix + 3iy - (1 + i )z = 30 ỵ uuu r uuu r ìï x - x = x - x ïì x = - B D C Û BA = CD Û ïí A Û ïí D ïï yA - yB = yD - yC ïï yD = - ỵ î suy D (-1;-1) Vậy số phức cần tìm z = - 1- i Bài25 Trong mặt phẳng phức , xét điểm A,B,C A' ,B' ,C' theo thứ tự biểu diễn số phức z1,z2,z3 z'1,z'2,z'3 ( A,B,C A' ,B' ,C' không thẳng hàng) Chứng minh : VABC VA 'B 'C ' có trọng tâm z1+ z2+ z3 = z'1+ z'2+ z'3 Bài26 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ Trong mặt phẳng phức , xét điểm A,B theo thứ tự biểu z = + 5.i z = - - diễn số phức z z ' = b/ w = - 1- 6.i ( x y hai số thực ) bậc hai - Gọi z = x + yi 1+ i z (z ≠ 0) Chứng minh : VOAB vuông cân O(O gốc tọa độ ) Bài27 số phức w = - 1- 6.i Cho z1 z2 số phức phân (z1 ¹ z2) Chứng minh : z1 = z2 Û z1 + z2 z1 - z2 Khi : z2=w Û (x+y.i)2 = - 1- 6.i Û (x2 -y2)+2xy.i = - 1- 6.i số ảo ìï x2 -y2 = - ï Û Û í ïï 2xy = - ïỵ Bài28 Trong mặt phẳng phức , xét điểm A,B theo thứ tự biểu diễn số phức z0 z1 ( z0 z1 ≠ ) thỏa mản đẳng ìï ïï y = - ïï x í ïï ïï x - = - x ïỵ éx2 = ê x + x = Û - Ta có : êx2 = - ê ë éx = Þ y = - ê + Với x = Û ê êx = - Þ y = ë +Với x = - ( vơ nghiệm x số thực ) z02 + z12 = z0 z1 Chứng minh : VOAB (O gốc tọa độ ) thức sau : Bài29 : - 1+ i z3 = z17 + z27 + z13 z24 + z14 z23 Chứng minh : z3 ∈ R Cho z1 = - + i , 5.i z2 = Vậy có hai bậc hai w : z = - 3.i z = - + 3.i Bài30 Cho A,B,C,D biểu diễn số phức theo thứ tự z1 = + 2i , z2 = + + i , z3 = 1+ - i : c/ w = - i, w = 17 + 20 2.i z4 = 1- 2i d/ w = 4i, w = 46 - Chứng minh : Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Tâm đường tròn biểu diễn số phức nào? (Đi chứng minh B C nhìn AD góc vng Tâm đường tròn biểu diễn số phức z = 1) e/ w = - BÀI 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A/Kiến thức bản: 1/Định nghĩa: Cho số phức w.Số phức z thỏa z2 = w gọi bậc hai w * Số w =0 có bậc hai z = * Số w ¹ có hai bậc hai đối ( khác ) 2/ Nhận xét : - Số thực a > có hai bậc hai a - a D ' = 1- = - = 4i 14 3, w = - + 6.i 4, w = + 3.i Bài32 Giải phương trình sau: a/ z2 + 2z + = Vậy z1 = -1+2i z2 = -1+2i nghiệm phương trình b/ x2-4x+7=0 tập số phức (Tốt Nghiệp 2007) D ' = - = - = 3i Vậy phương trình cho có nghiệm : x1 = + 3.i , x2 = - 3.i c/ 2x2+x+3=0 tập số phức (Tốt Nghiệp 2007) D = 1- 24 = - 23 = 23i - Số thực a < có hai bậc hai i - a - i - a B/Bài tập bản: Bài31 Tìm bậc hai số phức sau: a/ w = + 5.i Vậy phương trình cho có nghiệm : số phức w = + 5.i D ' = (2 + i )2 - (7 + 4i ) = - = 4i x1 = x2 = - 1+ 23.i 23 =- + i , 4 - 1- d/ z2 - ( x y hai số thực ) bậc hai - Gọi z = x + yi 23.i =- 23 i 2(2 + i )z + (7 + 4i ) = Vậy phương trình cho có nghiệm : z1 = (2 + i ) + 2i = + 3i , z2 = (2 + i ) - 2i = - i Khi : z2=w Û (x+y.i)2 = + 5.i Û (x2 -y2)+2xy.i = + 5.i e/ z2 + (1- éìïx = êï ìï êíï ïï y = ìï x2 -y2 = êïy = ï ï x Û ïí Û êïỵ Û í êïì x = - ïï 2xy = ïï 45 êïí ïỵ ïï x - = êïy = - x ïỵ ê ëïïỵ Vậy có hai bậc hai w : 3i )z - 2(1 + i ) = D = (1- 3i )2 + 8(1 + i ) = 1- 6i + 9i + + 8i = 1- 6i - 92 + + 8i = 2i = (1+ i )2 z1 = - (1- 3i ) + (1 + i ) - (1- 3i ) - (1+ i ) = 2i , z2 = = - 1+ i 2 f/ z2 (3 + 4i )z - + 5i = CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ z + 2z + 3z + 2z + = (z + 1)(z2 + az + b) D = (3 + 4i ) - 4(- + 5i ) = - + 4i Ta tìm bậc hai D = - + 4i Gọi a+bi bạc hai D = - + 4i Khi ta có : (a + bi )2 = - + 4i 2 -Làm tương tự 33 ta : z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + = (z2 + 1)(z2 + 2z + 2) z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + = b/ Giải phương trình sau (áp dụng phân tích câu a ) Û (a2 - b2) + 2abi = - + 4i ìï a2 - b2 = - éa = 1,b = Û ïí Û ê êa = - 1,b = - ï 2ab = ê ë ïỵ Vậy D có bậc hai : + 2i - (1 + 2i ) Bài36 Cho phương trình: z3 - 2(1+ i )z2 + 3i z + 1- i = (1) a/Chứng minh z = nghiệm phương trình (1) b/Tìm số a b cho : z3 - 2(1 + i )z2 + 3i.z + 1- i = (z - 1)(z2 + az + b) Do , pt cho có hai nghiệm : c/Giải phương trình sau: (3 + 4i ) + (1 + 2i ) = + 3i (3 + 4i ) - (1+ 2i ) z2 = = 1+ i z1 = g/ i x2 - (áp dụng phân tích câu b ) Bài37 Chứng minh : z0 nghiệm phương trình : Az2 + Bz + C =0 (*) ( với A,B,C số thực ) 2(1- i )x - = z0 nghiệm phương trình (*) D ' = (1- i )2 + 4i = 1+ 2i + i = (1 + i )2 (1- i ) + (1 + i ) 2i = = = - 2i i i i (1- i ) - (1 + i ) x2 = =- i Bài38 Giải hệ phương trinh sau: x1 = h/ x2 - ìï z + z = + i ï ïï z12 + z12 = - 2i ïỵ a/ ïí (5 - i )x + - i = đáp số : hệ cho có hai nghiệm : D = (5 - i )2 - 4(8 - i ) = - - 6i = 1- 2.1.3i + 9i = (1- 3i )2 ìï z = - i ìï z = 1+ 2i ï ï í í ïï z2 = + 2i ïï z2 = - i ỵ ỵ ìï z z = - - 5i ìï z z = - - 5i ï Û ïí b/ í 2 ïï (z1 + z2)2 - 2z1.z2 = - + 2i ïï z1 + z1 = - + 2i ïỵ ỵ ìï z - w = i ï c/ í ( ẩn z w ) ïï iz - w = ỵ ìï z + z = 3(1 + i ) ï d/ í ïï z1 + z13 = 9(- + i ) ỵ (5 - i ) + (1- 3i ) (5 - i ) - (1- 3i ) x1 = = - 2i x2 = = 2+ i 2 k/Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + 10 = tính giá trị biểu thức A = |z1|3 + |z2|3 Bài33 Giải phương trình sau: = Û (z - 1)(z + z + 1) = a/ z3 - Suy pt(*) có hai nghiệm : éz2 = ê b/ z + 3z - = Û ê êz2 = - = ( 2i ) ë c/ z3 + i z2 - i z + = c/ z2 - (cosa + i sin a)z + cosa.i sin a = d/ (z2 + z)2 + 4(z2 + z) - 12 = (1) e/ (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) - 3z2 = Bài39 Chứng minh số phức z1, z2, z3 thỏa mãn : ìï z = z = z = ï í ïï z1 + z2 + z3 = ïỵ Thì ba số phức phải ìï z = z = z = ïï b/ Giải hệ phương trình : ïí z1 + z2 + z3 = ïï ïï z1.z2.z3 = ỵ Û (z + 3z + + 3z)(z + 3z + - z) = z3 + z2 + z + = (1) g/ z - 4z + 7z2 - 16z + 12 = f/ z4 - BÀI 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A/Kiến thức : 1/Số phức dạng lượng giác : a/Acgumen số phức : Cho số phức z khác Gọi M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Số đo ( radian) gốc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM gọi acgumen z Bài34 a/ Tìm số a b để có phân tích z3 + 3z2 + 3z - 63 = (z - 3)(z2 + az + b) b/ Giải phương trình sau z3 - 2(1 + i )z2 + 3i z + 1- i z3 + 3z2 + 3z - 63 = (áp dụng phân tích câu a ) Bài35 a/ Tìm số a b để có phân tích CHUN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ ỉ ỉ ữ p pử ỗ ữ z = + 3.i = 2ỗ i ữ = 2ỗ ỗcos + i sin ữ ữ ỗ + ữ ữ ữ ỗ ç ÷ 3ø è ç è2 ø y M(z) b b/ z O a x -Gọi c/ z = 3- i -Gọi a b = ,sin j = = r r ộ ổ p ỗj = - Vy z = ờcosỗ ỗ ë è d/ z = 6- ( ) số e/ z = 1- h/ z = + 2i i/ z = 1+ i 1ư ÷ i÷ ÷ ÷ ø ÷ ỉ pư ÷ ÷ + sinỗ ỗ ữ ỗữ 6ứ ố g/ z = - + 3.i ù pư ÷ ÷ iú ÷ ÷ú 6ø ú û =1 kj/ z =- ù z.z ' = r r ' é êcos(j + j ') + i sin(j + j ')û ú ë z r (r' > 0) = é cos(j - j ') + i.sin(j - j ')ù ê ú ë û z' r ' b/ Nhận xét : Nếu z = r (cosj + i sin j ) khác 1 = (cosj - i sin j ) z r * Cách 1: -Gọi ) f/ z 3.i = + 3.i ( ) ổ3 ỗ - i = 2.ỗ ỗ ỗ ỗ ố2 ộ ổ ỗ= 2 ờcosỗ ỗ ố Khi ú : d/ z = (cosj + i sin j )2 + (cosj + i sin j ) Bài41 Viết số phức sau dạng lượng giác ta chn ổ pữ ửự pữ ỗ ỳ ữ ữ + i sin ỗ ữ ữỳ ỗ 6ữ 6ữ ø è øú û z ' = r '(cosj '+ i sin j ') , với r , r ' ³ p p a/ z = - + 3.i b/ z = cos - i sin 4 ỉ p ÷ c/ z = 1- sin j + i cosj ỗ ỗ0 < j < ữ ữ ữ ỗ 2ứ ố + (- 1)2 = 2/Nhân chia số phức dạng lượng giác : a/ Nhân chia số phức : Cho số phức : z = r (cosj + i sin j ) Bài40 Tìm acgumen số phức : +Ta có : a = 1,b = 3, r = z = 12 + 2.i z = - i = j số thực thỏa ( 3) j acgumen z ta có: cosj = a b cosj = ;sin j = r r a/ z + 12 = +Ta có : a = 3,b = - 1, r = z = r = z = a2 + b2 , r độ dài đoạn thẳng OM +Tìm j ( acgumen) z : j acgumen z ta có: r = z = a2 + b2 Để tìm dạng lượng giác r (cosj + i sin j phức z= a+bi (khác 0) ta làm sau : ( - 3) a b =,sin j = = ta chọn r r ỉ 5p 5p p 5p ữ ỗcos + i.sin ữ Vy z = 2ỗ j = p= ữ ỗ 6ữ ố ø +Nhận xét : - Dạng z = r (cosj + i sin j ) (r>0) gọi dạng lượng giác số phức z khác không - Dạng z = a + bi gọi dạng đại số số phức z +Tìm 3,b = 1, r = z = cosj = j acgumen z : z = r (cosj + i sin j ) Gọi +i +Ta có : a = - +Nhận xét : - Nếu j acgumen z acgumen z có dạng j + k2p, k Ỵ Z -Số thực dương có acgumen -Số thực âm có acgumen p -Hai số phức z l.z ( z khác l số thực dương ) có acgumen sai khác k2p, k Ỵ Z điểm biểu diễn chúng thuộc tia gốc O b/Dạng lượng giác số phức : +Xét số phức z = a + bi, z ¹ Giả sử môđun z =- Bài42 Viết số phức sau dạng lượng giác =2 j acgumen z ta có: a/ z p a b ta chọn j = = ,sin j = = r r ỉ p p ữ cos + i sin ữ ỗ Vy z = 2ỗ ữ ỗ ữ 3ứ ố cosj = ( = 1- ) 3.i ( + i ) z = 2i ( - i ) b/ z d/ z = = 1- ( - 1)i 3/Công thức Moa-vrơ(Moivre) : z = r (cosj + i sin j ) * Cách 2: + 3.i 1+ i c/ CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Þ z = r ( cosnj + i sin nj n n ĐỖ VĂN THỌ ) ỉ p p ÷= + 3.i z1 = 2ỗ cos + sin i ữ ỗ ỗ ÷ ÷ è ø Minh họa : Rút gọn : ỉ p p ÷ z2 = - 2ỗ = - 1ỗcos + sin i ữ ữ ữ ç ø è é æ p ù pử ữ ỳ a/ 2ỗ ữ c os + i sin ỗ ữ ỗ ữỳ 6 ố ø ê ú ë û é ỉ p ù7 pư ữ ỗ ữỳ = -Ta cú : 2ỗcos + i sin ữ ữỳ ỗ 6 ố ứ ê ú ë û ( 2) *Cách khác : làm 31 Bài43 Tùy theo số j viết số phức sau dạng lượng giác æ 7p 7p ỗ ữ + i sin ữ ỗcos ữ ữ ỗ 6ứ ố 1- cosj - i sin j + cosj + i sin j b/ z = (1- cosj - i sin j )(1 + cosj + i.sin j ) a/ z = æ ữ ỗ = 2.ỗ + i ữ = - - 2.i ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Bi44 365 ổ 1+ i ữ b/ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ -Ta cú : z = (tan1- i )4 Viết số phức sau dạng lượng giác Bài45 Cho số phức z = r (cosj lượng giác số phức : 1+ i 2 p p = + i = cos + i sin 2 4 Do : 365 p p = - cos - i sin = 4 2 ( 3- 3.i )( = 3.i ( - 3.i )( 3- = )= + 3.i ) c/ z j z biết j Ỵ (0;2p) Viết z dạng lượng giác với acgumen i + 3.i z a/Tìm acgumen j z có mơđun khơng phụ thuộc vào m z acgumen 2j b/ Chứng minh n 3.i + i sin j ) Hãy tìm dạng Bài46 Cho số phức z=(m2+m+1)+(m2+m+1)i ỉ3 - 3.i ÷ ỗ ữ c /Tỡm n ỗ l s thc ? l s o? ữ ỗ ữ ỗ ữ ç è - 3.i ø 3- b/ - a/ z 365 ỉ é p 1+ i ÷ pù 365p 365p ỗ ữ = ờcos + i sin ỳ = cos + i sin ỗ ữ ỗ ỳ ữ ỗ 4 4 ố 2ứ ỷ ổ ổ pữ pử ữ ỗ ữ ữ = cosỗ 91 p + + i sin 91 p + ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ 4÷ 4ø è ø è -Ta có : 3.i Bài47 ( Cho số phức w = + i e = + 3.i +i 2 p p + i = cos + i sin 2 6 ( ) a/ Chứng minh z0 = cos ) p p + i sin , z1 = z0.e 12 12 z2 = z0.e3 nghiệm phương trình : z3 - w = (*) n n ỉ3 - 3.i ỉ p ữ pữ ỗ ỗ ữ ữ Do ú : ç = c os + i sin ç ÷ ç ữ ữ ỗ 6ữ ữ ỗ ố ứ ỗ - 3.i ø è b/ Biểu diễn hình học số phức z0 ,z1 , z2 Bài48 Chứng minh rằng: np np + i sin 6 n æ3 - 3.i np ữ ỗ ữ ỗ l s thực sin = Û n = 6k, k ẻ Z ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố - 3.i ø = cos Nếu z + 1 = z2008 + 2008 = - z z Bài49 Chứng minh số phức z = + + i có acgumen n p + k.2p 12 ổ3 - 3.i np ữ ỗ ữ ỗ l s o cos = n = + 6k, k ẻ Z ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - 3.i ứ ố Bài50 d/ Viết số phức sau dạng lượng giác tìm bậc hai z = - + 3.i * Viết dạng lượng giác : Cho số phức p p z = 1- cos - i sin 7 Tìm mơđun ,acgumen viết z dạng lượng giác Bài51 Cho số phức z có mơđun j acgumen z Hãy tìm acgumen số phức di õy : ổ1 ữ ỗ z = - + 3.i = 4ỗ - + i ữ ữ ỗ ữ ỗ ứ ữ ỗ ố ổ 2p 2p ữ = 4ỗ ỗcos + sin i ữ ữ ữ ỗ 3 ứ ố a/ - Vậy z có hai bậc hai : 2z Bài52 b/ z z c/ z + z d/ z2 - z e/ z2 + z CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ z - 3i = z +1 có acgumen Tìm số phức z thỏa : z +i - p Bài53 Xác định tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức cho : z- p có acgumen z +2 Bài54 Cho số phức z thỏa z + = , với số phức , tìm z max z Bài55 Tìm phần thực phần ảo : (1 + i )10 a/ ( +i ) æ p pư ÷.i + 3.i - i sin ữ ữ ỗ 3ữ ố ứ b/ ỗ ç çcos ( ) ... + 12 = f/ z4 - BÀI 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A/Kiến thức : 1 /Số phức dạng lượng giác : a/Acgumen số phức : Cho số phức z khác Gọi M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Số đo ( radian)... tổng số hạng cấp số nhân ) Bài 15 Hỏi số sau số thực hay số ảo ( với z số phức tùy ý cho biểu thức cho xác định ) z- z z2 - (z )2 a/ z2 + (z )2 b/ c/ ( số ảo ) z + (z ) + z.z Bài 16 Tìm tập hợp... 2x2+x+3=0 tập số phức (Tốt Nghiệp 2007) D = 1- 24 = - 23 = 23i - Số thực a < có hai bậc hai i - a - i - a B /Bài tập bản: Bài3 1 Tìm bậc hai số phức sau: a/ w = + 5.i Vậy phương trình cho có nghiệm : số