a Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên... Tìm 3 số của cấp số cộng.. Xen giữa 3 số để đợc cấp số nhân.. 5 Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng.. Số hạng đầu của chúng bằng 3,
Trang 1Bài tập chơng III
D y số - Cấp số cộng Cấp số nhân ãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân – Cấp số nhân
*******
Đ1 Phơng pháp quy nạp toán học
n
a) 1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n2
b) 1 4 7 10 (3 2) (3 1)
2
n
c) 12 + 22 + 32 + + n2 =
6
) 1 2 )(
1
n
d) 13 + 23 + 33 + + n3 =
4
) 1
2
n n
e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n+1) =
3
) 2 )(
1
n
2) CMR:
a) 2n > 2n + 3 (n 4) b) (1 + a)n > 1 + na (a > 0, n 2)
c) 1 1 1 2
( 1)
2 sin
2
nx n x sin sin sinx sin x nx
x sin
n
3) CMR: n
a) (13n - 1) chia hết cho 12 b) (19n - 1) chia hết cho 9
c) 7.2 2n 2 3 2n 1
chia hết cho 5 (n 1) c) 5.3 3n 2 2 3n 1
chia hết cho 19 (n 1)
Đ2 D y sốãy số
1) Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
b) un =
n
3
2) Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
n n
n
2
2 1
cos 2
n
n
b) un =
n
5
2
n n
n
4) Cho (un )xác định bởi:
n
u
u
2 3
1 1
Tìm số hạng tổng quát
5) Cho (un )xác định bởi:
6 6
6
6
n
Chứng minh dãy tăng và bị chăn trên
a) Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên
2 cos
n
11) Viết 5 số hạng đầu của dãy số: 1 2
1
, 2
Đ3 Cấp số cộng
1) Cho cấp số cộng: 3, 3 Tính u10.
75
8
7 2 3 7
u u u u
3) Tìm S20 của 1 cấp số cộng biết: S6 18; S10 110
4) Chứng minh rằng:
Trang 2a2, b2, c2 là cấp số cộng khi và chỉ khi
b a a c c
1 , 1 , 1
là cấp số cộng
5) Cho cấp số cộng với các số hạng dơng: u1, u2, un,
Chứng minh rằng:
1
1
u u
1
1
1
n
n
tan
2
A
, tan
2
B
, tan
2
C
lập thành csc khi và chỉ khi cosA, cosB, cosC lập cấp số cộng 7) Giải phơng trình;
a) 1 + 4 + 7 + + x = 287 (x là số hạng thứ n của cấp số cộng)
b) 2 + 4 + 8 + + y = 1022 ( y là số hạng thứ n của cấp số nhân)
c) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + + (x + 28) = 155
8) Tìm x biết: 4x - 3, 2x2 + 4, 7x + 5 là cấp số cộng
9) a) Tìm un và n biết: u1 = 2, d= 5, sn = 245
b) Tìm 4 số biết: 4 số đó lập thành 1 csc có tổng bằng 5 và tổng bình phơng bằng 245 10) Cho 4 số nguyên lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 20, tích bằng 384 Tìm 4 số đó 11) Tìm cấp số cộng biết:
a)
17
10
6 1
3 5 1
u u
u u u
b)
1170
60
12 2 4 15 7
u u u u
c)
2 45 9
6
4
s
s
d)
21
168
6 5 4
3 2 1
u u u
u u u
13) Cho u u n i 0 CMR: i
n
n
c
m c
16) Cho ABC có: cot ,cot ,cot CMR: A g C a b c2, 2, 2
17) Xen giữa các số 1 và 25 năm số, tạo với 2 số đã cho 1 cấp số cộng
18) Tìm csc gồm 3 số hạng có tổng bằng 21, tổng các bình phơng của chúng bằng 309
19) Cho hệ:
2
2
cos cos 1 cos
cos
1 70
x tg x
x x
Tìm tổng các nghiệm của hệ
20) Ba số: 2, 3, 5 có thể là 3 số hạng cùng có mặt trong 1 cấp số cộng đợc không?
Đ4 Cấp số nhân
1) Ba số dơng lập cấp số cộng có tổng bằng 21 Thêm lần lợt 2, 3, 9 vào 3 số đó ta đợc cấp số nhân Tìm 3 số của cấp số cộng
2) Cho 2 số 2 và 54 Điền vào giữa 2 số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân
3) Cho 2 số 3 và 48 Xen giữa 3 số để đợc cấp số nhân
4) Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phơng bằng 85
5) Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng Số hạng đầu của chúng bằng 3, các số hạng thứ 3 giống nhau Số hạng thứ 2 của cấp số cộng nhiều hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 3 Tìm 2 cấp số ấy
6) Ba số nguyên có tổng bằng 15 lập thành cấp số cộng Lần lợt thêm 1, 1, 4 vào chúng đợc cấp số nhân Tìm cấp số cộng
Trang 37) Ba số dơng có tổng là 114 có thể coi là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân hoặc là u1, u4,
u25 của 1 cấp số cộng Tìm 3 số ấy
8) Cho 1 dãy số gồm 4 số nguyên Ba số hạng đầu lập cấp số cộng, 3 số hạng cuối lập cấp số nhân Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37, tổng 2 số hạng giữa bằng 36 Tìm 4 số ấy
9) Cho 4 số lập csn Theo thứ tự ta bớt đi 2, 1, 7, 27 thì đợc cấp số cộng Tìm cấp số nhân 10) Tính tổng:
2
1 2
2
10 10 10 9 99 999 9 (n so 9).
7 77 777 777 7 (n so 7) 1 2.2 3.2 100.2
P 1 2 .
n
n
24 72
7 1
13 18 65 32
12) Tính các góc của tam giác vuông có độ dài 3 cạnh lập thành cấp số nhân
13) Tìm 3 số có tổng bằng 146 là 3 số hạng đầu của 1 cấp số nhân, đồng thời là các số hạng thứ nhất, thứ 17 và 19 của 1 cấp số cộng
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307
81640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058
22317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644 28810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610 45432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925 40917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572 70365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885
752724891227938183011949 (1000 chữ số sau dấu phẩy)