Bài giảng Quy nạp Dãy số CSc, CSN (Dạy thêm)

Bài tập dánh cho sv và GV dạy thêm môn toán 11. Bài tập đại soo11 chương 3. Tài lieuj gom pp quy nạp, đại cương dãy số, cp so cong và cap só nhan. Giáo trình dánh cho sv và GV dạy thêm môn toán 11. Bài tập đại soo11 chương 3.

Chương III: Dãy Số Toán 11 §1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP Chứng minh ∀n∈N* ta có: Bài n(n  1) n(n  1)(2n  1) 12  22   n2  1    n  13  23   n3  n2 (n  1)2 4 12  32   (2n  1)2  n(4n2  1)     (2n  1)  n2 2n (2n 1) n n(3n  1) n 1 (3  3)   27   3n  10 1.2  2.5  3.8   n(3n  1)  n2 (n  1)     (3n  1)  12 14 + + + 10 + + 15 1 n     1.2 2.3 n(n  1) n  16 1 n     1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) 2n  17 1 n     1.4 4.7 (3n  2)(3n  1) 3n  18 n2    1 n 1.2.2 2.3.2 n((n  1).2 (n  1).2n 19 + n(n  1)(3n  2) 12 2n(n  1).(2n  1) 22  42   (2n)2  1.22  2.32   (n  1).n2  1 n+1 (1 – )(1 – )…(1 – n2 ) = 2n 1.4  2.7   n.(3n  1)  n(n  1)2 11 13 Chứng minh ∀n∈N*: 2n (n≥3) (n≥2) n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) = 1 1 + + + n = – n 2 2 20 n 2n     n   4.3n 3 21 14  24   n4  22 12 22 n2 n(n  1)     1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) 2(2n  1) n(n  1)(2n  1)(3n2  3n  1) 30 Bài 2n 2n2  2n  2n n (n≥4) 1 n n 1 n n 2n 1 2n 3n Bài Chứng minh rằng: Với số thực x >-1 ta có (1 x)n n n 4n 4n n n (n (n 10 n n n 1 n n 3n 1 1 13 (n > 1)     n 1 n  2n 24 * nx ∀n∈N 1)n (n>2) 1)n (n!)2 n n 1.1!+2.2!+…+n.n! < (n+1)! Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future Chương III: Dãy Số Bài 4 10 11 Chứng minh rằng: n 2n chia hết cho n 13 chia hết cho n 11n chia hết cho 92 n 14 chia hết cho 10n chia hết cho 16n 15n chia hết cho 225 n 15n chia hết cho 10n 18 n 28 chia hết cho 27 32 n n chia hết cho 62 n 3n 3n chia hết cho 11 7.22 n 32 n chia hết cho Toán 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 n 33 n chia hết cho 19 n 6n 11n 6n chia hết cho 24 2n 4.3 32n 36 chia hết cho 64 2n chia hết cho 35 n n 5n chia hết cho 25 2n n 2n chia hết cho 23 n 3n chia hết cho 32 n 40n 67 chia hết cho 64 n 3n 6n n 5n 2n chia hết cho 24 n.(2n2 3n 1) chia hết cho 22 11n 122 n chia hết cho 133 §2 DÃY SỐ Dãy số tăng, dãy số giảm  (un) dãy số tăng  un+1 > un với  n  N* un+1 – un > với  n  N* u  n1  với n  N* ( un > 0) un  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N* un+1 – un< với  n  N*  un1 un  với n  N* (un > 0) Dãy số bò chặn  (un) dãy số bò chặn  M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bò chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bò chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* Bài 1: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) un  2n2  b) un  n 1 d) un  sin2 n 2n  cos n  (1)n 2n  e) un  n  cos2 n c) un  f) un  n 1 n2  (n  1)! 2n Bài 2: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) u1  2, un1   un  1 b) u1  15, u2  9, un2  un  un1 c) u1  0, un1  2 un2  d) u1  1, u2  2, un2  un1  2un Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future Chương III: Dãy Số Toán 11 Bài 3: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức qui nạp: a) u1  1, un1  un  b) u1  3, un1   un2 c) u1  3, un1  2un d) u1  1, un1  2un  e) u1  1, un1  5un  e) u1  f) un1  un  n g) 1, u u1 un 5u n 6u n h) u1 un d) un  2n  3n  n2  n  n2  g) un  2n3  5n  l) un  3n n 1 o) un  n   n b) un  2n (n  1)! 2, u un Bài 4: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) cho bởi: a) un  u 1 , u n 1  n c) un  2n f) un  h) un  3n  n k) un  3n  n m) un  n  n2  n) un  n q) un  n (1)n n2 e) un  n  cos2 n 2 p) un    3 2u n n n 1 1 n n 1 3n Bài 5: Xét tính bò chặn trên, bò chặn dưới, bò chặn dãy số (un) cho bởi: 2n  a) un  b) un  c) un  n2  n(n  1) n2 d) un  n2  2n n2  n  e) un  n f) un  (1)n cos n2  2n  n  2n §3 CẤP SỐ CỘNG Đònh nghóa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* un  u1  (n  1)d Số hạng tổng quát: với n  uk 1  uk 1 Tính chất số hạng: uk  Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1  u2   un  Trần Quang – 01674718379 (d: công sai) với k  2 n(u1  un ) = n 2u1  (n  1)d  Study the past if you would define the future Chương III: Dãy Số Toán 11 Bài 1: Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu công sai nó: 3n  a) un = 3n – b) un  c) un  n2 d) un  3n e) un   3n f) un  Bài 2: Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: u  u  u  10 u  u  u  10 a)  b)  u1  u6  17 u4  u6  26   u  u  d)   u2 u7  75 u3  u7  u4  10 g)  u2  u6   u  u  60 e)  72 15  u4  u12  1170 u7  u3  h)  u2 u7  75 n 1  u  15 c)  u14  18 u  u  u  12 f)  u1u2 u3   u2  u5  u3  10 i)  u4  u6  26 u17  u20  k)  2 u17  u20  153 Bài 3: a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng Bài 4: a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66 Bài 5: Xác định CSC biết: a Cho cấp số cộng có số hạng Biết số hạng thứ hai số hạng thứ tư Hãy tìm số hạng lại b Một cấp số cộng có số hạng mà tổng số hạng thứ ba số hạng thứ năm 28, tổng số hạng thứ năm số hạng cuối 140 Hãy tìm cấp số cộng c Cho cấp số cộng có số hạng với cơng sai duơng số hạng thứ tư 11 Hãy tìm số hạng lại cấp số cộng đó, biết hiệu số hạng thứ ba số hạng thứ năm d Hãy tìm cấp số cộng có số hạng mà số hạng thứ ba tổng số hạng đầu số hạng cuối 10 e Cho cấp số cộng tăng (un) có u13 u15 302094 tổng 15 số hạng 585 Hãy tìm u1 cơng sai d cấp số cộng f.Một cấp số cộng có số hạ ng thứ 5, số hạng cuối 45 tổng tất số hạng 400 Hỏi cấp số cộng có số hạng, xác định cấp số cộng đó? Bài 6: a) Ba góc tam giác vuông lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc b) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có công sai d = 30 Tìm số đo góc Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future Chương III: Dãy Số Toán 11 c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc Bài 7: Hãy tính tổng sau : a Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số hạng thứ hai 105 số hạng cuối 999 b Tính tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 1/3, số hạng thứ hai -1/3 số hạng cuối -2007 c Cho cấp số cộng (un) có u5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu (un) d Cho cấp số cộng (un) có u2 + u5 = 42 u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng 346 số hạng cấp số cộng e Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng = 10, tích = – 56 Tìm số f Năm số tạo thành cấp số cộng có tổng = 10, tích = 320.Tìm số g Ba số lập thành CSC có tổng = 27 tổng bình phương chúng 293 Tìm số Bài 8: Cho số a,b,c tạo thành cấp số cộng Chứng minh : a a2 + 2bc = c2 + 2ab b số a2 + ab + b2 ; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 tạo thành cấp số cộng c a2 + 8bc = (2b + c)2 d 3(a2 + b2 + c2) = 6(a – b)2 + (a + b + c)2 Bài 9: Cho số a,b,c > Chứng minh : a số a2 , b2 , c2 lập thành CSC  số b) số a,b,c lập thành CSC  số , , lập thành CSC b+c c+a a+b 1 , , lập thành CSC b+ c c+ a a+ b Bài 10: Chứng minh số a, b, c lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành cấp số cộng, với: a) x  b2  bc  c2 ; y  c2  ca  a2 ; z  a2  ab  b2 b) x  a2  bc; y  b2  ca; z  c2  ab Bài 11: Tìm x để số a, b, c lập thành cấp số cộng, với: a) a  10  3x; b  x  3; c   x b) a  x  1; b  3x  2; c  x  Bài 12: Tìm nghiệm số phương trình: x3  15x  71x  105  , biết nghiệm số phận biệt tạo thành cấp số cộng Bài 13: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = – un +1 = Trần Quang – 01674718379 un – un n ≥ Study the past if you would define the future Chương III: Dãy Số Toán 11 a Chứng minh rằng: un < n  N + un Chứng minh rằng: (vn) CSC Từ suy biểu thức un un b Đặt = Bài 14: Tính tổng: 10 1790 1002 2002 S S S S S 13 595 15 995 1781 1772 992 982 972 42 32 22 12 1992 1982 197 42 32 22 12 S 55 60 65 855 S 18 13122 S 16 65536 S 15 75 1171875 §4 CẤP SỐ NHÂN Đònh nghóa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* n1 Số hạng tổng quát: un  u1.q Tính chất số hạng: uk2  uk 1.uk 1 Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  nu1  n  S  u1(1  q )  n 1 q với n  với k  với q  với q  Bài 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: u  u  u  65 u  u  72 (q  0) c) a)  b)  u1  u7  325 u5  u3  144  a  a  728 e)  a  a  a  91 u  u  u  14 f)   u1.u2 u3  64 u4  u2  60 i)  u5  u3  180 u7  u1  728 k)  u1  u3  u5  91 u5  96 u9  192 n)  u3  u5  90 u2  u6  240 o)  (q: công bội) u3  u5  90  u2  u6  240 a  a  60 d)  a  a  180 u1  u2  u3  21   u  u  u  u  30 h)  12 22 32 42 g)  1      u u u 12 u1  u2  u3  u4  340  u7  u1  1460 l)  u1  u3  20 u20  8u17 u3  u5  272 p)  u7  u1  325 m)  u1  u3  u5  65 6u2  u5  3u3  2u4  1 q)  Bài 2: a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Bài 3: Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Bài 4: a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng 728 số hạng cuối 486 b) Tìm công bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future Chương III: Dãy Số Toán 11 hạng 889 Bài 5: a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai b) Độ dài cạnh ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh ABC có hai góc không 600 Bài 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Bài 7: Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác đònh công bội cấp số 148 Bài 8: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tổng số hạng đầu , đồng thời, theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Bài 9: Cho số lập thành cấp số nhân Biết cơng bội ¼ số hạng tổng số hạng đầu 25 Bài 10: Cho tứ giác ABCD có góc tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tìm góc Bài 11: Một cấp số nhân có số hạ ng đầu số hạng cuối 2187, cơng bội q = Hỏi cấp số nhân có số hạng Bài 12: Xác định cấp số nhân có cơng bội q = 3, số hạng cuối 486 tổng số hạng 728 Bài 13: Tìm cấp số nhân có số hạ ng, biết tổng số hạng đầu 31 tổng số hạng sau 62 Bài 14: Tìm cấp số nhân có số hạ ng, biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 27 tích hai số hạng lại 72 Bài 15: ch số x, y, , th thứ tự ập thành N, đ ng th i ch ng số hạng đầu, số hạng thứ thứ m số đó, biết tổng a ch ng b ng Bài 16: ch số x,y, , th thứ tự ập thành N với cơng bội hác 1, đ ng th i số x, 2y, th thứ tự ập thành với cơng sai hác ìm Bài 17: ch số x,y, , th thứ tự ập thành N, số x, y- , th thứ tự ập thành N, số x, y- , - th thứ tự ập thành ìm x,y, Bài 18: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân Bài 19: Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau ba số hạng cấp số cộng; tổng hai số đầu cuối 32, tổng hai số 24 Bài 20: Tìm số dương a b cho a, a + 2b, 2a + b lập thành cấp số cộng (b + 1) 2, ab + 5, (a + 1)2 lập thành cấp số nhân 2 Bài 21: Chứng minh số lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành , , yx y yz cấp số nhân Bài 22: Cho số a,b,c tạo thành CSN Chứng minh a) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future Chương III: Dãy Số b) số Toán 11 2 ; ; tạo thành cấp số cộng b–a b b–c Bài 23: Cho cấp số nhân có số hạng với cơng bội dương Biết số hạng thứ hai số hạng thứ tư Hãy tìm số hạng lại cấp số nhân Bài 24: Một cấp số nhân có số hạng với số hạng đầu cơng bội số âm Biết tích số hạng thứ ba thứ năm 5184, tích số hạng thứ năm số hạng cuối 746 496 Hãy tìm cấp số nhân Bài 25: Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng lại cấp số nhân Bài 26: Xác định cấp số nhân g m số hạng với ba số hạng đầu 168 ba số hạng cuối 21 Bài 27: Hãy tính tổng sau : Tổng tất số hạng cấp số nhân có số hạng đầu , số hạng thứ hai –2 số hạng cuối 64 Tổng tất số hạng cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng số hạng cuối 81 256 S 16 64 1048576 S 1536 768 S 5 1024 S 1024 59049 S 12 3359232 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future  ... bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Bài 7: Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số. .. Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân Bài 19: Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau... cấp số nhân có số hạng với số hạng đầu cơng bội số âm Biết tích số hạng thứ ba thứ năm 5184, tích số hạng thứ năm số hạng cuối 746 496 Hãy tìm cấp số nhân Bài 25: Cho cấp số nhân có số hạng, số