Bài giảng quy nạp trần vĩnh đức

Quy nạp Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 21 tháng năm 2014 Tham khảo: E.Lehman, T Leighton, A Meyer, Mathematics for CS Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking Game Nguyên lý quy nạp Xét vị từ P(n) N Nếu ▶ P(0) đúng, ▶ với n ∈ N, (P(n) ⇒ P(n + 1)), P(n) với n ∈ N Ví dụ Định lý Với n ∈ N, + + ··· + n = n(n + 1) Đặt P(n) mệnh đề n ∑ i=1 i= n(n + 1) Chứng minh ▶ Bước sở: P(0) ▶ Bước quy nạp: Ta chứng minh: với n ≥ 0, mệnh đề P(n) ⇒ P(n + 1) Thật vậy, giả sử P(n) đúng, với n số nguyên Vì + + · · · + n + (n + 1) = (1 + + · · · + n) + (n + 1) n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1)(n + 2) = nên P(n + 1) Theo quy nạp ta có P(n) với số n ∈ N Ví dụ Định lý Với n ∈ N, ta có n3 − n chia hết cho Đặt P(n) mệnh đề ”n3 − n chia hết cho 3.” Chứng minh ▶ Bước sở: P(0) 03 − = chia hết cho ▶ Bước quy nạp: Ta chứng minh rằng, với n ∈ N, mệnh đề P(n) ⇒ P(n + 1) Thật vậy, giả sử P(n) đúng, với n số nguyên Vì (n + 1)3 − (n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + − n − = n3 + 3n2 + 2n = n3 − n + 3n2 + 3n = (n3 − n) + 3(n2 + n) chia hết P(n + 1) Theo quy nạp ta có P(n) với số n ∈ N Ví dụ chứng minh sai Định lý (Sai) Mọi ngựa màu Đặt P(n) mệnh đề ”Trong tập gồm n ngựa, ngựa màu.” Đặt P(n) mệnh đề ”Trong tập gồm n ngựa, ngựa màu.” Chứng minh Sai ▶ Bước sở: P(1) có ngựa ▶ Bước quy nạp: Giả sử P(n) để chứng minh P(n + 1) Xét tập gồm n + ngựa {h1 , h2 , · · · , hn+1 } ▶ ▶ Các h1 , h2 , , hn có màu (giả thiết quy nạp) Các h2 , h3 , , hn+1 có màu (giả thiết quy nạp) Vậy màu(h1 ) = màu(h2 , , hn ) = màu(hn+1 ) Vậy ngựa {h1 , h2 , · · · , hn+1 } màu Có nghĩa P(n + 1) Theo quy nạp ta có P(n) với số n ∈ N Bài tập Chứng minh n ∑ =1 i2 = n(n + 1)(2n + 1) Chứng minh 2n > n2 với n > Chứng minh với n ≥ 1, F(n − 1)F(n + 1) − F(n2 ) = (−1)n với F(i) số Fibonacci thứ i 8-Puzzle “mcs-ftl” Chapter — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66 Induction A B C A B C A D E F D E F D H G G H (a) H (b) B C F E G (c) Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and two (c) possible moves 3.3.4 The 8-Puzzle In the 8-Puzzle, there are lettered tiles (A–H) and a blank square arranged in a ⇥ grid Any lettered tile adjacent to the blank square can be slid into the blank 8-Puzzle “mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66 “mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 61 — #67 60 Bài toánChapter Induction 3.3.chuyển Invariants hợp lệ để chuyển từ Hãy tìm dãy A B C A B A C B CA D E F D sang E D F E FD H G G G H H (a) H (b) B C F E G (c) Figure 3.8 The desired final configuration of the 8-puzzle Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and Định lý two (c) possible moves Không tồn dãy chuyển cho toán 3.3.4 The 8-Puzzle In the 8-Puzzle, there are lettered tiles (A–H) and a blank square arranged in a ⇥ grid Any lettered tile adjacent to the blank square can be slid into the blank : Chuyển hàng D E G H F Thứ tự tựFigure nhiên3.8củaThe cácdesired chữ ô: final configuration of the 8-puzzle : problem: Bổ đề Lemma 3.3.4 A row move does not change the order of the tiles Mỗi lần chuyển hàng không làm thay đổi thứ tự mục Proof A row move moves a tile from cell i to cell i C or vice versa This tile does not change its order with respect to any other tile Since no other tile moves, there is no change in the order of any of the other pairs of tiles ⌅ Let’s turn to column moves This is the more interesting case, since here the Chuyển cột “mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 62 — #68 Bổ đề Chapter Induction Mỗi lần chuyển theo cột làm thay đổi thứ tự hai cặp mục A B D F H E (a) C G A B C D F G H E (b) Figure 3.9 An example of a column move in which the G-tile is moved into the adjacent hole above In this case, G changes order with E and H H E; G/ Cặp ngược E G H (a) E (b) A B C Figure 3.9 An example of a column move in which the G-tile is — 2010/9/8 — 0:40 — page 63 — #69 adjacent hole above In this case, G changes order with E and H F D G Định nghĩa Definition 3.3.6 A pair of letters L1 and L2 is an inversion if L1 E H 63 after L2 in the puzzle order the alphabet, but L1 appears Cặp chữ L1 L2 gọi ngược L1 đứng trước L2 bảng in theô puzzle chữ L1 lại đứng For sauexample, L2 chữ below, there are three inversions: D inversions in theThere end state: is exactly one inversion G; H / in the start state: E; G/ A B C A B C A B C D E F D E F F D G G H H G E H Thereofisinversions exactly one inversion G; H / in the start state: ut the effects of row and column moves in terms During a move, the number of inversions can only increase by 2, or remain the same A B C ma 3.3.4, a row move does not change the order of the tiles, and so D E F Bổ đề Mỗi bước di chuyển, số cặp ngược tăng 2, giảm 2, giữ nguyên Chứng minh ▶ ▶ Chuyển hàng: không đổi Chuyển cột: cặp thay đổi Cả hai cặp không ngược⇒ số cặp ngược tăng 2 Cả hai cặp ngược⇒ số cặp ngược giảm Một cặp ngược⇒ giữ nguyên Hệ Trong bước di chuyển, tính chẵn lẻ số cặp ngược không đổi “mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66 Bổ đề60 Chapter Induction Số cặp ngược trong cấu hình đạt từ A B C A B C A D E F D E F D H G G H (a) lẻ Chứng minh H (b) Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and two (c) possible moves Quy nạp theo số bước 3.3.4 The 8-Puzzle In the 8-Puzzle, there are lettered tiles (A–H) and a blank squ ⇥ grid Any lettered tile adjacent to the blank square can be s For example, a sequence of two moves is illustrated in Figure 3.7 “mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66 “mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 61 — #67 60 Định lý Chapter Induction 3.3 Invariants Không tồn dãy chuyển hợp lệ để chuyển từ A B C A B A C B CA D E F D sang E D F E FD H G G G H H (a) H (b) B C F E G (c) Figure 3.8 The desired final configuration of the 8-puzzle Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and two (c) possible moves 3.3.4 The 8-Puzzle In the 8-Puzzle, there are lettered tiles (A–H) and a blank square arranged in a ⇥ grid Any lettered tile adjacent to the blank square can be slid into the blank Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking Game Nguyên lý quy nạp mạnh Xét vị từ P(n) N Nếu ▶ P(0) đúng, ▶ với n ∈ N, (P(0) ∧ P(1) ∧ · · · ∧ P(n)) ⇒ P(n + 1), P(n) với n ∈ N Ví dụ Hãy dùng quy nạp mạnh chứng minh rằng: Mọi số nguyên lớn phân tích thành tích số nguyên tố Ví dụ Ở nước Quy nạp, họ dùng đơn vị tiền Mạnh Họ có hai loại tiền 3Mh (Mạnh) 5Mh Dù họ có vấn đề nhỏ với việc đổi tiền 4Mh 7Mh, họ nhận thấy họ đổi số tiền ≥ 8Mh Hãy giải thích cho họ xem điều Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking Game Unstacking Game ▶ Có chồng hộp Bạn thực dãy bước chuyển ▶ Mỗi bước chuyển bạn chia hộp kích thước (a + b) thành hai chồng khác rỗng kích thước a b Và bạn ab điểm cho bước chuyển ▶ Trò chơi kết thúc chồng hộp hộp ▶ Điểm bạn tổng điểm bạn đạt bước ▶ Hãy tìm chiến lược chơi để tối đa hoá điểm bạn? Định lý Mọi chiến lược trò chơi gồm chồng n hộp cho điểm S(n) = n(n − 1) [...]... blank Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking Game Nguyên lý quy nạp mạnh Xét vị từ P(n) trên N Nếu ▶ P(0) đúng, và ▶ với mọi n ∈ N, (P(0) ∧ P(1) ∧ · · · ∧ P(n)) ⇒ P(n + 1), thì P(n) đúng với mọi n ∈ N Ví dụ Hãy dùng quy nạp mạnh chứng minh rằng: Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích thành tích của các số nguyên tố Ví dụ Ở nước Quy nạp, họ dùng đơn vị tiền... diagram) quadrant: đều có cách látthis gạch kín sân.” ▶ ▶ Bước cơ sở: P(0) đúng vì chỉ có một ô dành cho Bill Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, ta chứng minh P(n + 1) đúng B 2n X X X 2n 2n Theo quy nạp ta có P(n) đúng với mọi số n ∈ N 2n Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking Game “mcs-ftl” “mcs-ftl” — — 2010/9/8 2010/9/8 — — 0:40 0:40 — — page page 59 59 — — #65... (for n > 0) increases the number of regions splits k of the old regions, and it splits k old regions if previous lines in k- 1 different places Two lines can in Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking Game rwise, there are four central squares.) A complica ntional architect, Frank insisted d a Ví newdụ computer science building As Gehry, the project went further... 5Mh Dù họ có vấn đề nhỏ với việc đổi tiền 4Mh hoặc 7Mh, nhưng họ nhận thấy rằng họ có thể đổi mọi số tiền ≥ 8Mh Hãy giải thích cho họ xem tại sao điều này đúng Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking Game Unstacking Game ▶ Có một chồng hộp Bạn sẽ thực hiện một dãy bước chuyển ▶ Mỗi bước chuyển bạn chia một hộp kích thước (a + b) thành hai chồng khác rỗng kích... cặp ngược trong trong mọi cấu hình đạt được từ A B C A B C A D E F D E F D H G G H (a) luôn là lẻ Chứng minh H (b) Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and two (c) possible moves Quy nạp theo số bước 3.3.4 The 8-Puzzle In the 8-Puzzle, there are 8 lettered tiles (A–H) and a blank squ 3 ⇥ 3 grid Any lettered tile adjacent to the blank square can be s For example, a sequence of two... least for n = 2: trống ở giữa (để đặt tượng Bill) B Chứng minh thử Xét P(n) là mệnh đề ”Có cách lát gạch sân 2n × 2n để lại một ô ở giữa.” ▶ Bước cơ sở: P(0) đúng vì chỉ có một ô dành cho Bill ▶ Bước quy nạp: ! case of courtyard tiling Proof (successful attempt) The proof is by induction Let P (n) be the propo every location of Bill in a 2n ⇥ 2n courtyard, there exists a tiling of the rema Chứng minh... page 61 — #67 60 Bài toánChapter 3 Induction 3.3.chuyển Invariants hợp lệ để chuyển từ Hãy tìm một dãy A B C A B A C B CA D E F D sang E D F E FD H G G G H H (a) H (b) B C F E G (c) Figure 3.8 The desired final configuration of the 8-puzzle Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and Định lý two (c) possible moves 2 3 4 Không tồn tại dãy chuyển cho bài toán trên 3.3.4 ... Bill Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, ta chứng minh P(n + 1) B 2n X X X 2n 2n Theo quy nạp ta có P(n) với số n ∈ N 2n Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking... quy nạp: Giả sử P(n) để chứng minh P(n + 1) Xét tập gồm n + ngựa {h1 , h2 , · · · , hn+1 } ▶ ▶ Các h1 , h2 , , hn có màu (giả thiết quy nạp) Các h2 , h3 , , hn+1 có màu (giả thiết quy nạp) ...Nội dung Nguyên lý quy nạp Ví dụ lát gạch Ví dụ chuyển chữ Quy nạp mạnh Unstacking Game Nguyên lý quy nạp Xét vị từ P(n) N Nếu ▶ P(0) đúng, ▶ với n ∈ N, (P(n)