Bài giảng công thức truy hồi chia để trị trần vĩnh đức

Bài toán tháp Hà Nội .... Có 3 cái cọc và trên một chiếc cọc đặt n cái đĩa với đường kính giảm dần.. Cần ít nhất bao nhiêu lần di chuyển để chuyển hết cả n đĩa sang cọc bêncạnh sao cho •

Bài toán tháp Hà Nội

Có 3 cái cọc và trên một chiếc cọc đặt n cái đĩa với đường kính giảm dần Cần ít nhất bao nhiêu lần di chuyển để chuyển hết cả n đĩa sang cọc bên

cạnh sao cho

• mỗi lần chỉ di chuyển một đĩa

• mỗi đĩa có thể dịch chuyển từ một cọc này sang một cọc khác bất

kỳ, nhưng không được để một chiếc đĩa lớn lên trên một chiếc đĩa khác có đường kính nhỏ hơn?

Công thức truy hồi chia để trị

n D 3 disks.

2

3

4 Figure 10.3 A recursive solution to the Towers of Hanoi problem.

Hình : Lời giải gồm 7 bước khi bài toán với 3 đĩa

Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 7 tháng 8 năm 2013 4 / 22

Công thức truy hồi chia để trị

4 5 6 7

8 Figure 10.2 The 7-step solution to the Towers of Hanoi problem when there are

n D 3 disks.

2

3

4 Figure 10.3 A recursive solution to the Towers of Hanoi problem.

Ta có một lời giải đệ quy như sau:

• Đầu tiên chuyển n − 1 đĩa trên cùng từ cột 1 sang cột 3: Cần ít

nhất T n −1 bước.

• Chuyển đĩa n sang cột 2: Cần 1 bước.

• Chuyển n − 1 đĩa từ cột 3 sang cột 2: Cần ít nhất T n −1 bước.

Cận dưới

Để chuyển được đĩa n lớn nhất sang cột 2:

Ta phải chuyển n − 1 đĩa trên nó sang cột 3: ≥ T n −1 bước.

Chuyển đĩa n sang cột 2 (sau bước cuối của chuyển đĩa n): ≥ 1 bước.

Để chuyển n − 1 đĩa từ cột 3 sang cột 2: ≥ T n −1 bước

Vậy ta được

T n ≥ T n −1 + 1 + T n −1 = 2T n −1 + 1

Công thức tường minh

Đánh giá thuật toán Sắp xếp trộn

Công thức tường minh

(

n − 2 i )

=

log n ∑ −1 i=0

log n ∑ −1 i=0

2 i

= n log n − (2 log n − 1)

= n log n − n + 1.

Một công thức truy hồi

Dự đoán: S(n) = n − 1.

Công thức truy hồi Chia để trị

) p

+ 8 9

( 3 4

2 < 1