Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát

-1- ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THU TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC TRUY HỒI TRONG BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -2- MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… …… Lời nói đầu……………………………………………………… ….…… Chƣơng BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT………………… 1.1 Lịch sử toán Tháp Hà Nội ………………………………………… 1.1.1 Truyền thuyết 1.1.2 Lịch sử 1.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát 1.2.1 Bài toán Tháp Hà Nội cổ điển 1.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chƣơng MỘT SỐ CÔNG THỨC TRUY HỒI TRONG BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI DỰA TRÊN PHÁT BIỂU QUI HOẠCH ĐỘNG…… 17 2.1 Công thức qui hoạch động toán Tháp Hà Nội ……………… 17 T cọc … … … 30 2.3 Công thức truy hồi T 39 Kết luận………………………………… … 54 Tài liệu tham khảo………………………… .…… 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -3- LỜI NÓI ĐẦU Tháp Hà Nội từ tiếng Việt đựợc biết đến nhiều giới, gắn liền với Trò chơi (hoặc Bài toán) Tháp Hà Nội Bài toán giới thiệu phổ biến rộng rãi Paris từ năm 1883 nhà toán học Edouard Lucas Mặc dù khoảng 10 năm (từ năm 1883 đến 1891), báo sách, E Lucas thú vị quan trọng toán mối quan hệ với lĩnh vực khác (Dãy truy hồi, lí thuyết đồ thị, hệ đếm số 2, trò chơi tháo vòng Trung Hoa,…), toán Tháp Hà Nội thường coi trò chơi toán học nhiều toán có nội dung toán học Với bùng nổ công nghệ thông tin, toán Tháp Hà Nội quan tâm trở lại toán thú vị Toán-Tin học vào năm 1970 Bài toán Tháp Hà Nội đưa vào hầu hết giáo trình tin học ví dụ điển hình thuật giải đệ qui, lập trình độ phức tạp tính toán Trò chơi Tháp Hà Nội không thú vị chỗ mang tên Hà Nội, thủ đô Việt Nam Bài toán Tháp Hà Nội hấp dẫn nhà nghiên cứu Toán học Tin học liên quan đến nhiều vấn đề Toán-Tin học giải thuật đệ qui, hệ đếm mã Gray, tam giác Pascal, thảm Sierpinski Fractal, dãy Stern, lý thuyết đồ thị chu trình Hamilton, ôtômát hữu hạn, độ phức tạp tính toán, Bài toán Tháp Hà Nội gợi ý cho nhiều nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác Hiện toán nghiên cứu phát triển nhiều nhà toán học khoa học máy tính, chuyên gia giáo dục y học Một toán tổng quát trực tiếp quan trọng toán Tháp Hà Nội toán Tháp Hà Nội với nhiều cọc Để nghiên cứu toán này, nhà toán học đưa thuật toán, chứng minh công thức truy hồi áp dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -4- nhiều phương pháp, có công thức qui hoạch động, để chứng minh đánh giá thuật toán tối ưu Luận văn Một số công thức truy hồi toán Tháp Hà Nội tổng quát có mục đích trình bày tổng quan toán Tháp Hà Nội với nhiều cọc (bài toán Tháp Hà Nội tổng quát) Luận văn trình bày chứng minh số công thức truy hồi tính số lần chuyển tối ưu trò chơi Tháp Hà Nội tổng quát Đặc biệt, luận văn quan tâm tới công thức qui hoạch động giải toán Tháp Hà Nội Luận văn gồm Phần mở đầu, hai Chương Tài liệu tham khảo Chƣơng Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chương giới thiệu tổng quan toán tháp Tháp Hà Nội tổng quát Chƣơng Một số công thức truy hồi trò chơi Tháp Hà Nội tổng quát Chương trình bày cách tính số lần chuyển tối ưu thông qua việc chứng minh số công thức truy hồi Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy Em xin cảm ơn Thầy Cô Đại học Thái Nguyên Viện Toán học tận tình giảng dạy em suốt trình học cao học Tôi xin cảm ơn khoa Toán-Tin, trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, trường Trung học phổ thông Hòn Gai quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè cổ vũ động viên suốt trình học cao học làm luận văn Thái Nguyên, 10.4.2015 Vũ Thu Trang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -5- CHƢƠNG BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT 1.1 Lịch sử toán tháp Hà Nội 1.1.1 Truyền thuyết Éduard Lucas, tác giả trò chơi Tháp Hà Nội, viết sau: Dưới vòm tòa tháp thờ thần Brahma (thần sáng tạo) thành Bernares (Ấn độ), vị trí coi trung tâm giới, bắt đầu sáng tạo vũ trụ, thần Brahma đặt 64 đĩa vàng ròng có khoét lỗ ba cọc kim cương Các đĩa có đường kính nhỏ dần từ lên tạo thành hình nón Các nhà tu hành tòa tháp liên tục suốt ngày đêm, không mệt mỏi, chuyển 64 đĩa từ cọc sang cọc thứ ba tòa tháp Khi di chuyển đĩa phải tuân theo hai qui tắc: 1) Mỗi lần chuyển đĩa cọc 2) Đĩa chuyển từ cọc sang hai cọc khác Đĩa lớn không đặt lên đĩa nhỏ có tính dễ vỡ Công việc hoàn thành tòa tháp đổ, lúc thời điểm kết thúc vũ trụ với tiếng nổ khủng khiếp! Không rõ truyền thuyết tới đâu Lucas ra, nhà tu hành cần 18.446.744.073.709.551.615 lần di chuyển hoàn thành công việc Nếu họ làm ngày lẫn đêm, lần chuyển đĩa giây phải tới 580 tỷ năm hoàn thành công việc này! 1.1.2 Lịch sử Trò chơi Tháp Hà Nội Éduard Lucas (1842-1891) phổ biến Paris năm 1883 ẩn danh (under the nickname) giáo sư N Claus Trò chơi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -6- nhà toán-tin học quan tâm nghiên cứu, trở thành ví dụ thuật giải giải đệ quy kinh điển dạy học tin học (solving problem, lập trình bản, giải thuật đệ qui, độ phức tạp tính toán, ) Ngoài toán Tháp Hà Nội ứng dụng nghiên cứu tâm lý phương pháp giảng dạy cách giải vấn đề (problem solving) Tháp Luân Đôn biến thể khác, dùng chẩn đoán điều trị thần kinh tâm lý chức thực hành Có lẽ điều mà tác giả khó hình dung mức phổ biến đến trò chơi, nghiên cứu thực tiễn lẫn giải trí Trên bìa hộp đựng trò chơi sản xuất năm 1883 sách L’Arithméique Amusante (Số học vui), xuất Paris năm 1895 (sau Ông mất), Édouard Lucas viết ([21], trang 179): “…la Tour d’Hanoi, véritable casse-tête annamite…” (Tháp Hà Nội, trò chơi trí tuệ người Annam), Ông lại gọi trò chơi trò chơi Tháp Hà Nội lại trò chơi trí tuệ người Annam chưa có câu trả lời thật rõ ràng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -7- Một giả thuyết Cột cờ Hà Nội gợi ý cho E Lucas đặt tên trò chơi trò chơi Tháp Hà Nội: “The Flag Tower of Hanoi may have served as the inspiration for the name” Cột cờ Hà Nội có đáy gồm ba khối vuông xây chồng lên Cột cờ Hà Nội xây năm 1805-1812, 70 năm trước trò chơi tháp Hà Nội phổ biến Cột cờ Hà Nội kỉ 19 Năm 1882 Pháp công đánh chiếm thành Hà Nội lần thứ hai Đề tài Hà Nội Đông Dương thời tràn ngập báo Paris vào năm 18821883 (xem [12], trang 6) Phải điều gợi ý E Lucas đặt tên cho trò chơi trò chơi Tháp Hà Nội? Trên tờ bìa hộp đựng trò chơi Tháp Hà Nội bán lần đầu Paris năm 1883 có hình tháp 10 tầng, tre, người Annam dòng chữ: La Tour d’Hanoϊ, Veritable casse-téte Annamite Jeu, rapporté du Tonkin par le professeur N Claus (de Siam) du college Mandarin Li-Sou-Stian - Tháp Hà Nội, Trò chơi trí tuệ người Annam, mang từ Bắc Kì giáo sư N Claus (ở Siam), trường trung học Li-Sou-Stian (N Claus de Siam đảo từ E Lucas d’Amiens, Amiens quê E Lucas Li-Sou-Sian đảo từ Sant Louis, trường trung học Paris, nơi Ông dạy học vào năm đó) Phần dịch nghĩa tờ hướng dẫn thứ giới thiệu trò chơi Tháp Hà Nội tóm tắt sau: Trò chơi lần đầu tìm thấy sách có minh họa tiếng Quan thoại FER-FER-TAM-TAM, xuất tương lai gần, phủ bảo hộ Tháp Hà Nội có đĩa, nhỏ dần, có số lượng thay đổi, mà làm gỗ, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -8- có lỗ Ở Nhật Bản, Trung Quốc, Đông Kinh (Tonkin-Bắc Kì), chúng làm sứ Trò chơi có mục đích dỡ bỏ đĩa, đặt vào cọc bên cạnh, theo quy tắc định Vui bổ ích, dễ học dễ chơi thành phố, nông thôn, chuyến du lịch, tạo để mang đến kiến thức khoa học, giống trò chơi kỳ thú lạ giáo sư N CLAUS (của SIAM) Trò chơi Tháp Hà Nội vừa phổ biến Paris năm 1883 đón nhận rộng rãi đơn giản hấp dẫn E Lucas tỏ khôn khéo Ông cho sản xuất trò chơi Tháp Hà Nội với đĩa, số đĩa vừa đủ để trò chơi không đơn giản (để chuyển hết đĩa từ cọc nguồn sang cọc đích, không nhầm lẫn, cần 255 bước), không phức tạp (như trường hợp 64 đĩa, phải tỉ năm) Ngày nay, mạng Internet có nhiều chương trình viết nhiều ngôn ngữ khác nhiều phần mềm hiển thị hướng dẫn trò chơi Tháp Hà Nội (với ba cọc nhiều hơn, trò chơi Tháp Hà Nội cải biên, ) Tại Việt Nam có nhiều lập trình viên, sinh viên đại học đưa phiên ứng dụng trò chơi, giúp trở thành trò chơi điện tử hấp dẫn sinh động Một số hãng điện thoại nước đưa trò chơi tháp Hà Nội vào điện thoại di động Có thể tìm mua trò chơi Tháp Hà Nội làm gỗ sứ cửa hàng Việt Nam nước để giải trí 1.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát 1.2.1 Bài toán Tháp Hà Nội cổ điển n T đặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ), đĩa http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -9- n Ta thực chuyển đĩa số từ cọc A sang cọc C; chuyển đĩa số sang cọc B; chuyển đĩa số từ cọc C sang cọc B Khi đĩa số nằm đĩa số Vậy ta có hai đĩa nằm cọc B, cọc C thời trống Chuyển đĩa số từ cọc A sang cọc C Lặp lại ba bước để giải toán cho hai đĩa: chuyển đĩa số đĩa số cho nằm lên đĩa số cọc C Tiếp tục làm cho bốn, năm,…đĩa Mỗi lần dựng xong tháp từ đĩa thứ l đến đĩa thứ (trên cọc B cọc C, hai cọc trống), ta chuyển đĩa thứ l từ cọc A sang cọc trống (cọc C cọc B), lại di chuyển tháp dựng từ cọc B (hoặc cọc C) lên đĩa thứ l để tháp với l đĩa Như vậy, xây dựng xong tháp thứ l ta dễ dàng xây dựng tháp thứ l 1, sau chuyển đĩa thứ l sang cọc trống Phương pháp gọi thuật giải đệ qui: Để tiến hành giải toán với n đĩa, ta áp dụng lại thuật giải toán với n đĩa Toàn trình số hữu hạn bước, đến lúc thuật giải áp dụng cho n Bước đơn giản chuyển đĩa từ cọc A sang cọc C Kí hiệu L ( n) số lần chuyển đĩa tối ưu toán tháp Hà Nội với n đĩa ba cọc Khi ấy, để chuyển n đĩa từ cọc A sang cọc C, trước tiên ta phải chuyển n đĩa (các đĩa nhỏ) từ cọc A sang cọc B, sau chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C Cuối cùng, lại chuyển n đĩa từ cọc B sang cọc C Ta có: L1 1, L 3, L(n) L(n 1) L(1) L(n 1) L( n 1) Theo qui nạp, ta có L(n 1) L n 2n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2n 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 10 - Vậy công thức L(n) 2n chứng minh với n Công thức cho thấy, thuật toán đệ qui giải toán Tháp Hà Nội thuật toán có thời gian mũ 1.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Một mở rộng tự nhiên toán Tháp Hà Nội cổ điển Bài toán Tháp Hà Nội với bốn (hoặc nhiều) cọc Chính tác giả toán Tháp Hà Nội, E Lucas người xét toán với nhiều cọc vào năm Bài toán Tháp Hà Nội với bốn cọc 1889 (xem [12], trang 211) Năm 1902-1903 Henry Ernest Dudeney viết hai báo toán Tháp Hà Nội với bốn cọc Trong hai trang sách tiếng The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems xuất London năm 1907 New York năm 1908 (xem [9] bìa sách hình bên), Ông viết toán trò chơi tháp Hà Nội với bốn cọc (dưới dạng quân cờ) số đĩa 8, 10 21 gọi The Reve's puzzle-câu đố Reve) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 44 - Bây sử dụng giả thuyết quy nạp, ta có s s t M C s 1, p , p 2t C t , p 2 C t 1, p t t s 2t 1C t 1, p = M C s 1, p , p C t 1, p t s 2t C t 1, p = (iv) t Cuối cùng, từ (ii), (iii) phần (2a) Hệ 2.1 ta có: M n 1, p M n, p 2s C s 1, p n C s 2, p (v) Các hệ thức (i)-(v) chứng tỏ (1) (2a) cho s Vậy theo quy nạp, khẳng định (1) (2a) Bổ đề chứng minh Chứng minh (2b) Từ phần (2a), phần Bổ đề 2.1.1, ta có: M C s, p m, p M C s, p s cho m 1,2, , C s 1, p m 1, p Vì M C s, p Chọn C s, p m, p M C s, p , p m s m n sử dụng kết phần (1), ta có (2b) Định lý Chứng minh (2c) Theo Bổ đề 2.1.2 ta có K C s, p 1, p C s 1, p Giả sử M giá trị thỏa mãn K C s, p m, p K C s, p M C s 1, p 1, p m với m 1,2, , M , C s 1, p M Khi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 45 - M C s, p M, p M C s, p M C s 1, p M C s, p M M, p 1, p M C s 1, p M 1, p M C s 1, p M C s, p M 1, p M 1, p , M,p M C s 1, p Từ hai hệ thức Bổ đề 2.2.1 ta có, F C s 1, p M,p M , k , p có cực tiểu Do đó, ta phải có C s 1, p M C s, p M C s, p K C s, p C s, p C s 1, p C s, p Từ 1, p C s, p , Kết hợp với phần (2) Bổ đề 2.1.2 phần (1) trên, ta có C s 1, p C s, p với C s, p K n, p n C s 1, p Chứng minh (2d) Hiển nhiên Chứng minh (2e) Từ phần (2d) ta có k C s 1, p l, p C s 2, p C s 2, p l1 l C s, p l C s, p l1 l1 1,2, , C s, p C s, p 1,2, , C s 1, p 1 (2.3.7) Vì ta có: k n, p C s 2, p C s 2, p l1 R C s 1, p R C s 1, p C s, p l1 Suy với i , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2.3.8) - 46 i C s i, p , R C s j 2, p j k i n, p (2.3.9) i C s i, p li , R C s j 2, p li j Trong đó: i li 1,2, , C s 1, p - C s j 2, p -1 j 1,2, , C s i 1, p 1 Từ (2.3.9) ta có trường hợp đặc biệt sau: s 1, ks R C s j 2, p , j n, p (2.3.10) s 1 ls , R C s j 2, p ls , n C s 1, p j ls 1,2, , p Và từ (2.1.9) ta có k s n, p với C s, p Định lý chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.3.1, ta kiểm tra lại kết Định lý 2.3.1 trường hợp p Trong Bảng 2, ta thiết lập giá trị M n, p , k n, p K n, p cho n 1 35 p 7,8,9 tính toán với công thức Định lý 2.3.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 47 - Bảng 1 k n,7 K n,7 0,0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 11 1,1 11 0,1 11 0,1 15 1,2 13 1,1 13 0,1 19 1,3 17 1,2 15 1,1 23 1,4 21 1,3 19 1,2 10 27 1,5 25 1,4 23 1,3 11 31 1,6 29 1,5 27 1,4 12 35 1,6 33 1,6 31 1,5 13 39 1,6 37 1,7 35 1,6 14 43 1,6 41 1,7 39 1,7 15 47 1,6 45 1,7 43 1,8 16 51 1,6 49 1,7 47 1,8 17 55 2,6 53 1,7 51 1,8 18 59 3,6 57 1,7 55 1,8 19 63 4,6 61 1,7 59 1,8 20 67 5,6 65 1,7 63 1,8 21 71 6,6 69 1,7 67 1,8 22 79 6,7 73 1,7 71 1,8 TT M n,7 M n,9 k n,8 K n,8 0,0 k n,9 K n,9 0,0 M n,8 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 48 - 23 87 6,8 77 2,7 75 1,8 24 95 6,9 81 3,7 79 1,8 25 103 6,10 85 4,7 83 1,8 26 111 6,11 89 5,7 87 1,8 27 119 6,12 93 6,7 91 1,8 28 127 6,13 97 7,7 95 1,8 29 135 6,14 105 7,8 99 1,8 30 143 6,15 113 7,9 103 2,8 31 151 6,16 121 7,10 107 3,8 32 159 6,17 129 7,11 111 4,8 33 167 6,18 137 7,12 115 5,8 34 175 6,19 145 7,13 119 6,8 35 183 6,20 153 7,14 123 7,8 Nhận xét 2.3.1 Liefvoort [13] đưa thuật toán giải toán Tháp Hà Nội cho bốn cọc Ý tưởng thuật toán Liefvoort chia tháp gồm n đĩa cọc P1 thành nhóm đĩa s1 n , s2 n , , sm n với s1 n s1 n s2 n s1 n s2 n sm n n, s1 n số đĩa phần sm n số đĩa phần Với sm cần 2sm lần di chuyển Bắt đầu từ đáy, nhóm đĩa đánh dấu là: 1,2, ,m , đĩa đồng với số nhóm đĩa Ngoại trừ nhóm cùng, nhóm lại sau thực theo thuật toán lặp với ba cọc Phương pháp Liefvoort sử dụng ý tưởng chia để trị-the divide and conquer, thường gặp toán tin học cỡ lớn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 49 - Để xác định số nhóm đĩa ( m ) số lượng đĩa nhóm, Liefvoort đưa hai phương pháp sau đây: Theo Liefvoort, trường hợp p s1 n n k n,4 , si n ki n,4 , chọn với i 2,3, , s k i n,4 Sử dụng Định lý 2.3.1, (2.3.9) (2.3.10) ta có s1 n s2 n si n s i n, ss n R 1,2, , s , R i s i s i si n khi i R s, s i R Dưới trình bày cách tiếp cận Majumda [17] Ta có Bổ đề 2.3.3 Cho s R cho (2.3.4)-(2.3.6) Hơn nữa, giả sử si n, p ki m j n, p k i n, p , i 1,2, s, 0, C s k n, p j 2, p , n với n 1, p j j 1,2, , s, Khi (1) s1 n, p s2 n, p ss n, p n, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2.3.11) - 50 - (2) i C s i 1, p , R m j n, p j i si n, p C s i 1, p li , R i m j n, p li m j n, p j j i C s i 2, p , m j n, p R C s i 1, p 1 j li 1,2, mi n, p Chứng minh (1) Hiển nhiên từ (2.3.10) phần (e) Định lý 2.3.1 Chứng minh (2) Suy từ (2.3.9) (2.3.10), sử dụng phần (1) Bổ đề 2.2.2 hệ thức li li C s i 2, p Định lí sau cho biểu thức tường minh si n, p Việc chứng minh suy trực tiếp từ Bổ đề 2.3.3 Định lý 2.3.2 Cho s R cho (2.3.4)-(2.3.6) Khi (1) Nếu R , s1 n, p C s i 1, p với i 1,2, , s, (2) Nếu R m1 n, p R, s1 n, p C s, p si n, p C s i 1, p với i (3) Giả sử với j m0 n, p m1 n, p 1,2, , s , 1,2, , s ta có mj n, p R m0 n, p m2 n, p m j n, p , m j n, p tính theo (2.3.11) Khi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 51 - C s i 2, p si n, p C s i 1, p lj C s i 1, p li = R m0 n, p i 1,2, , j i j i j 1, j , s, m2 n, p mi n, p Định lý 2.3.3 (Theorem 2.2, [17]) Giả sử s si n, p xác định theo Định lý 2.3.1 Bổ đề 2.3.3(2) Khi s 2i M si n, p , p M n, p i Chứng minh Sử dụng quy nạp theo q , trước tiên ta chứng minh kết tổng quát sau đây: q M n, p q q 2i M si n, p , p , M k n, p , p q s (2.3.12) i Sử dụng (2.3.10), ta thấy M n, p M k n, p , p M s1 n, p , p Chứng tỏ (2.3.12) với q Giả sử giá trị với q (1 q s ), theo (2.3.10) ta có q M n, p 2q M k q n, p , p M sq 2i M si n, p , p n, p , p i q q M k q 2i M si n, p , p n, p , p i Vậy theo quy nạp, công thức (2.3.12) chứng minh Trong trường hợp đặc biệt q i s, Định lý suy từ (2.1.9) nhận xét kmin i s Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 52 - Chú ý 2.3.2 Theo Định lý 2.3.3 trên, dễ dàng tìm biểu thức M n, p p 3,4 Ta thấy toán Tháp Hà Nội với hai đĩa giải n Với p , ta có s n, si n,3 n 2i M n,3 với i 1,2, , n Do 2n 1, biểu thức (2.1.3) i Bài toán Tháp Hà Nội trường hợp bốn cọc có biểu thức tương ứng s 2i M n,4 Si n ,4 i Công thức Majumda [17] trùng với công thức Liefvoort [13] Từ Định lý 2.3.3 Bổ đề 2.3.3, ta thấy rằng, với n p 4, chia tháp thành nhiều phần nhỏ Gọi s tổng số nhóm cần chia, đó, với nhóm s1 n, p , s2 n, p , , ss n, p , phần dịch chuyển sử dụng p cọc Thêm nữa, đĩa nhóm si n, p i 1,2, , s cần 2i chuyển Vì thế, tổng số lần di chuyển nhóm lần dịch s 2i 2s i Do đó, sau s lần di chuyển nhóm, phần sử dụng hết p cọc di chuyển tháp gồm n đĩa trở thành di chuyển từ đĩa đến đĩa cuối Giá trị số Trong toán Tháp Hà Nội với bốn cọc, từ Bổ đề 2.3.3, ta thấy cỡ đĩa nhóm si n,4 s i s i khi i R, R i s Công thức trùng với cách tính Liefvoort [13] đưa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 53 - Trong Bảng thống kê cỡ đĩa nhóm cho n 1 35 p 5,6,7 Bảng p n s1 s2 s3 p s4 s5 s1 s2 p s3 s4 s1 s2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 8 10 9 11 10 10 12 10 11 13 10 12 14 10 10 13 15 10 10 14 16 10 10 15 17 10 11 15 18 10 12 15 19 10 13 15 20 10 14 15 21 11 15 15 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ s3 - 54 - 22 12 16 16 23 13 17 17 24 14 18 18 25 15 19 19 26 15 20 20 27 15 21 11 28 15 20 22 29 15 10 20 23 30 15 10 20 24 31 15 10 20 10 25 32 15 10 20 10 26 33 15 10 20 10 27 11 34 15 10 20 10 28 35 15 10 20 10 28 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 55 - KẾT LUẬN Chương Luận văn trình bày sơ lược lịch sử phát triển toán Tháp Hà Nội, tập trung trình bày toán cổ điển với ba cọc toán tổng quát với bốn cọc Chương đồng thời giới thiệu sơ lược cách giải toán theo thuật toán Frame-Stewart Nội dung nghiên cứu luận văn nằm Chương với việc trình bày chứng minh số công thức truy hồi để giải toán Mặc dù toán Tháp Hà Nội tổng quát trình bày luận văn Cao học [7], [7] chủ yếu đề cập tới thuật toán Frame-Stewart, đây, công thức truy hồi giải toán Tháp Hà Nội tổng quát được tiếp cận làm rõ thông qua phát biểu qui hoạch động phương pháp chia để trị, dựa theo báo Majumdar, mang đến nhìn mẻ cho toán Mới tập trung khai thác viết Majumda [16]-[18] số ý tưởng Liefvoort [13], nên luận văn chưa thể bao quát hết số lượng lớn viết liên quan đến công thức truy hồi giải toán Tháp Hà Nội tổng quát Tuy nhiên, hy vọng luận văn phần mang đến nhìn mẻ, thú vị tô thêm nét chấm phá sinh động tranh toán Tháp Hà Nội vốn hấp dẫn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 56 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Trà Ân (2000), “Bài toán Tháp Hà Nội”, Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, (280), tr - 11 [2] Phạm Trà Ân (2002), “Bài toán Tháp Hà Nội-Cái nhìn từ lý thuyết Độ phức tạp tính toán”, Tạp chí Thông tin Toán học, 6(2), tr 10 - 13 [3] Mao Thị Hiền (2013), Trò chơi Tháp Hà Nội số vấn đề liên quan, Luận văn Cao học, Trường Đại Học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Vũ Đình Hòa (2008), “Bài toán Tháp Hà Nội”, Tạp chí Toán Tuổi thơ 2, (68), tr 15 - 17 [5] Tạ Duy Phượng (2010), “Trò chơi Tháp Hà Nội-Lịch sử toán tổng quát”, Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, (280), tr 11 - 13 [6] Tạ Duy Phượng (2014), Trò chơi Tháp Hà Nội: Lịch sử vấn đề ToánTin học liên quan (Bản thảo), 150 trang [7] Nguyễn Thị Hồng Phượng (2010), Thuật toán Frame-Stewart giải toán Tháp Hà Nội tổng quát, Luận văn Cao học, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên [8] Nguyễn Xuân Tấn (2002), “Bài toán “Tháp Hà Nội” - toán hóc búa trăm năm nay”, Tạp chí Thông tin Toán học, 6(1), tr - Tiếng Anh [9] Dudeney H E (1907), The Canterbury Puzzles (and other curious problems), Thomas Nelson and Sons, Ltd., London [10] Dunkel O (1941), “Editorial note concerning advanced problem 3918”, Amer Math Monthly, 48 (219), pp 20 - 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 57 - [11] Frame J S (1941), “Solution to advanced problem 3918”, Amer Math Monthly, 48, pp 216 - 217 [12] Hinz A M., Klavžar S., Milutinovíc U., Petr C (2013), The Tower of Hanoi Myths and Maths, Birkhäuser Basel [13] Liefvoort A (1992), “An Iterative Algorithm for the Reve’s Puzzle”, The Computer Journal, 35 (1), pp 91 - 92 [14] Majumdar A A K (2012), Classical Tower of Hanoi Problem and Its Generalizations, Vol 1: Multi-peg Generalizations, Lambert Academic Publishing [15] Majumdar A A K (2013), Classical Tower of Hanoi Problem and Its Generalizations, Vol 2: Other Generalizations, Lambert Academic Publishing [16] Majumdar A A K (1994) “The generalized four-peg tower of Hanoi Problem”, Optimization, 29, pp 349 - 360 [17] Majumdar A A K (1995), “The generalized p-peg tower of Hanoi Problem”, Optimization, 32, pp 175 - 183 [18] Majumdar A A K (1995), “The divide and conquer approach to the generalized p-peg tower of Hanoi Problem”, Optimization, 34, pp 373 - 378 [19] Stewart B M (1939), “Advanced problem 3918”, Amer Math Monthly, 46(363), pp 135 - 140 [20] Stewart B M (1941), “Solution to advanced problem 3918”, Amer Math Monthly, 48, pp 217 - 219 Tiếng Pháp [21] Lucas E (1895), L’Arithmétique Amusante: Introduction aux Récréations Mathématiques, Gauthier-Villars, Paris Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 58 - Xác nhận luận văn chỉnh sửa theo ý kiến thảo luận Hội đồng chấm luận văn NGƢỜI HƢỚNG DẪN PGS.TS TẠ DUY PHƢỢNG Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên HỌC VIÊN VŨ THU TRANG http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 18 - CHƢƠNG 2 MỘT SỐ CÔNG THỨC TRUY HỒI TRONG BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT 2.1 Công thức qui hoạch động giải bài toán Tháp Hà Nội : Cho p cọc P1, P2 , , Pp n đặt n 1, được ọc Ba các đĩa này ọc P1 ọc ọc ừ cọc nguồn P1 sang cọc :D Pp Gọi M n, p là số lần di chuyển tối thiểu hợp lệ cần để giải quyết bài toán Tháp Hà Nội gồm p cọc và n đĩa M n, p , ọc P1 sang cọc Pp... chuyển Công thức truy hồi cho lời giải bài toán Tháp Hà Nội dựa trên thuật toán FrameStewart là: S p ( n) 0, khi n 0; 2n 1, khi p 3, n 0; n l , khi p 3, n 0 min 2 S p l 0 l n Sp 1 Khi đó, bài toán Tháp Hà Nội với nhiều cọc trở thành bài toán tối ưu rời rạc: Tìm S p (n) min 2S p (l ) S p 1 (n l ) 0 l n 1 Như vậy, B M Stewart và J S Frame đã đề xuất một thuật toán giải cho bài toán Tháp Hà Nội với số cọc... Chương 2 trình bày chứng minh một số công Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 17 - thức truy hồi tính số lần chuyển tối ưu trong trò chơi tháp Hà Nội tổng quát Đặc biệt quan tâm tới phương pháp chia để trị (the divide and conquer), mô tả qui hoạch động (the dynamic programming formulation) giải bài toán (trò chơi) Tháp Hà Nội Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... thuật toán của Stewart và Frame cùng với một số thuật toán cải biên khác đã được chứng minh là tương đương theo nghĩa số lần chuyển đĩa là bằng nhau Vì vậy người ta thường gọi thuật toán của hai ông hoặc các thuật toán cải biên tương tự là thuật toán Frame- Stewart Kí hiệu S p (n) là số lần chuyển ít nhất giải bài toán Tháp Hà Nội với p cọc và n đĩa theo thuật toán Frame-Stewart Ta có thuật toán Frame-Stewart... không cho một thuật toán nào cho phép tìm ra các số này, và cũng không có một gợi ý nào cho trường hợp số đĩa không phải là số tam giác, thí dụ khi n 8 Bài toán tổng quát với p 3 cọc, p là số bất kì với số đĩa n bất kì được B M Stewart đề xuất năm 1939 (Problem 3918 trong tạp chí The Americal Mathematical Montly [19]) Lời giải của bài toán này đã được Stewart [20] và Frame [11] trình bày cũng trong tạp... Frame-Stewart Ta có thuật toán Frame-Stewart cho bài toán với số cọc bất kì như sau: Nếu số cọc p 3 thì sử dụng thuật toán tối ưu cho bài toán Tháp Hà Nội với ba cọc, như đã nêu ở trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 15 - Với p 3 và n 0 chọn số 0 l n làm cực tiểu số lần chuyển các đĩa theo qui tắc (thuật toán Frame-Stewart) sau: • Chuyển l đĩa nhỏ trên... coi một cách đúng đắn là lời giải giả định là tối ưu (presumed optimal solution), chứ chưa chứng minh được là lời giải tối ưu Từ 1941 đến nay, rất nhiều người khác đã nghiên cứu thuật toán này Gần đây một số tác giả đề nghị một số thuật toán hồi qui tương đương với thuật toán Frame-Stewart, nhưng tính tối ưu của thuật toán vẫn chưa được chứng minh Đây là một ví dụ tiêu biểu cho thấy: từ một bài toán. .. Khi p 3 (bài toán ba cọc), để M n k , p 1 có thể bằng 1, hay k (2.1.2) M n k ,2 có nghĩa thì n k chỉ n 1 Hệ thức (2.1.1) trở thành M n,3 2M n –1,3 1 Qui nạp theo n ta được: M n,3 2n 1, n 1 (2.1.3) Công thức này cũng đã được nói đến trong Mục 1.2.1 Có thể dễ dàng tính được: M 2, p 3 với p 3, M 3, p 5 với p 4 (2.1.4) Thật vậy, bài toán tháp Hà Nội với hai cọc là không giải được trong trường hợp số đĩa... M n = F n, k , n 1 (2.2.6) Dưới đây trình bày một số tính chất địa phương của hàm giá trị trong bài toán Tháp Hà Nội với bốn cọc Ta có Định lý 2.2.1 Với n 1 (1) F n, k không thể đạt cực tiểu tại ba giá trị liên tục, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 32 - (2) F n 1, k có cực tiểu duy nhất khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn: (a) k n... , k , p Lặp lại lập luận trên, ta đi đến kết luận của Bổ đề Từ các Bổ đề trên ta có các kết quả sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 31 - k n, p 1 cho mọi 2 n 0, K n, p (2.1.20) p 2 2.2 Công thức truy hồi trong b bốn cọc Mục này xét bài toán tháp Hà Nội với bốn cọc Vì p 4 là cố định nên ta kí hiệu M (n) : M n,4 2n Vì M n k ,3 k 1 nên giá trị tối ưu ... Bài toán Tháp Hà Nội cổ điển 1.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chƣơng MỘT SỐ CÔNG THỨC TRUY HỒI TRONG BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI DỰA TRÊN PHÁT BIỂU QUI HOẠCH ĐỘNG…… 17 2.1 Công thức. .. toán Tháp Hà Nội Luận văn gồm Phần mở đầu, hai Chương Tài liệu tham khảo Chƣơng Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chương giới thiệu tổng quan toán tháp Tháp Hà Nội tổng quát Chƣơng Một số công thức. .. Nội thuật toán có thời gian mũ 1.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Một mở rộng tự nhiên toán Tháp Hà Nội cổ điển Bài toán Tháp Hà Nội với bốn (hoặc nhiều) cọc Chính tác giả toán Tháp Hà Nội, E