Giáo trình dùng cho giáo viên và sinh viên dạy thêm, dạy kèm và học sinh khá giỏi. Học sinh chưa có nền tảng kiến thức k nên sử dụng. Mình rất bận nên sẽ k rep tin nhắn hỏi đáp án hay cách làm :) các bạn thông cảm
CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG I Phép tònh tiến: Tu : M M MM ' u Chú ý: Cho d: ax+by+c = Ta có: Ta : d d ' ⟹d//d’ M(x; y) Khi đó: x ' x a Tu(a,b) : M(x; y) y ' y b II Phép đối xứng trục: Đd: M M d trung trực MM’ d M(x; y) Khi đó: x ' x ĐOx: M(x; y) M(x; y) Khi đó: x ' x ĐOy: M(x; y) M' y ' y III Phép đối xứng tâm: ĐI: M ĐI(a,b): M(x; y) IV Phép quay: M IM ' IM M(x; y) ⟹ x ' 2a x y ' 2b y Q(I,φ): M(x;y) M(x’;y’) IM ' IM x ' x cos y sin y ' x sin y cos Lưu ý: 1.Nếu O≡I d ' ⟹d//d’ ĐI Q( I ,180) : d d' ⟹d//d’ y ' y M V( I ,k ) : d (IM ; IM ') Q(O;90) : d Đ : d d ' ⟹d⊥d’ d' M(x,y)⟼M’(x’,y’) Gọi a đường thẳng qua M vng góc với ∆ Gọi H = a ∩ ∆ Khi H trung điểm MM’ Gọi I = d ∩ ∆ Khi d’ M’I Lưu ý: d ∩ ∆ = I⟹ I ∈ d’ d // ∆ ⟹ d// d’ d ⊥ ∆ ⟹ d ≡ d’ ∆ Q( I ;90) Q(O;90) oTIO I V Phép vò tự: V(I,k): M M IM ' k.IM (k 0) d d' ∆ V(I,k)(M) = M, V(I,k)(N) = N M ' N ' k.MN V( I ,k ) : (O; R) (O '; R ') R ' k R V(I(a,b),k): M(x; y) I M(x; y) Khi đó: x ' kx (1 k )a y ' ky (1 k )b M' M a d H d' BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG DẠNG 1: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT Bài Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía d Lấy hai điểm P,Q cố định d a Tìm d điểm M cho MA+MB ngắn b Tìm M N thuộc d cho MN PQ MA+NB ngắn Bài Cho đường thẳng d hai điểm A,B nằm hai phía d Tìm điểm M d cho MA MB lớn ? Bài Cho hai đường thẳng song song d1 d2 hai điểm cố định AB nằm hai phái ngồi d1 d2 Tìm M N thuộc d1 d2 cho MN⊥ d1 AM+BN ngắn Bài Cho hình vuồn ABCD có tâm O Tìm M ∈ AB, N ∈ CD cho MN//BC OM+MN+NB ngắn ? Hd: dùng T BC :O ↦O’ Bài Cho góc nhọn xOy hai điểm A, B nằm góc Đường thẳng d qua A cắt Ox, Oy P Q a CMR diện tích ∆OPQ lớn A trung điểm PQ b Tìm M N thuộc Ox, Oy cho chu vi ∆AMN nhỏ c Tìm M N thuộc Ox, Oy cho MA+NB nhỏ Bài CMR tất tam giác có chung cạnh diện tích tam giác cân có chu vi nhỏ Bài Cho ∆ABC có m tia phân giác ngồi góc A M điểm tùy ý thuộc m Cmr chu vi ∆ABC≤∆MBC ? Bài Cho ∆ABC Tìm M,N,P nằm BC,CA,AB cho chu vi ∆MNP nhỏ biết: a M N cho trước? b M cho trước? c M,N,P chưa biết ??? Hd: c Giả sử dựng M Dựng M1 M2 đối xứng với M qua AB AC Cmr M1 AM 2BAC khơng đổi ⇒ M1M2 ngắn AM1 AM2 ngắn (Định lý cosin) mà AM1 = AM2 =AM M chân đường cao AH Tương tự P N chân đường cao Bài Cho ∆ABC có góc C ≤ 120o M điểm tùy ý nằm ∆ABC Tìm M để MA+MB+MC nhỏ ? Hd: Dùng Q(C,60) Bài 10 Cho ∆ABC M điểm tùy ý ngồi ∆ABC CMR MB≤MA+MC nhỏ ? Tìm M để dấu “=” xảy ? Hd Dùng Q(A,60) ac db ac bd S ADC ' bd sin ADC ' ac.sin ABC ' 2 2 Bài 11 Cho tứ giác ABCD có AB=a,BC=b,CD=c,DA=d CMR S ABCD Hd: Gọi ∆ trung trực BD Đ∆: C⟼C’ S ABC ' Trần Quang – 01674718379 LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG DẠNG II: DỰNG HÌNH Bài Cho vecto a , đường thẳng d d’ cắt nhau, đường tròn (O), (O’) Dựng M N thỏa: a M ∈ d N ∈ d’ cho MN a b M ∈ d N ∈ (O) cho MN a c M ∈ (O) N ∈ (O’) cho MN a Bài Dựng hình bình hành ABCD biết AB = a, BC = b ( AC , BD) Hd: Dựng hbh ACC’B C năm cung chứa góc φ dây AC’ BC=b Bài Cho hai đường tròn (O),(O’) cắt A B với OO’=m Dựng đường thẳng d qua A cắt (O),(O’) P Q cho PQ = 2m Hd: Gọi M N trung điểm AP AQ ⟹ MN = m Kẻ ON’ ⊥NO’ ⇒ N’O’=m Bài Cho hai đường tròn (O),(O’) đường thẳng d dựng đường thẳng d’ // d cắt (O),(O’) theo dây cung AB CD cho AB = CD ? Hd: Gọi I I’ hình chiếu O O’ lên d Dùng T II ' Bài Cho ∆ABC Dựng tam giác MNP nhận A,B,C làm trung điểm cạnh MN,NP,PM Bài Cho ∆ABC Tìm điểm M AB N AC cho MN//BC AM = CN Hd: Dựng hbh MNCD CMR D chân phân giác AD Bài Cho a xác định, đường tròn (O) có hai dây cung AB CD khơng cắt Tìm M ∈(O) ssao cho MA MB cắt CD E F EF a ? Hd: dùng Ta : A A ' A ' FB AMB khơng đổi Bài Cho đường thẳng d, đường tròn (O) điểm I Tìm M ∈ d N ∈ (O) cho I trung điểm MN Bài Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) đường thẳng d a Hãy tìm hai điểm M M’ nằm hai đường tròn cho d đường trung trực đoạn thẳng MM’ b Hãy xác định điểm I d cho tiếp tuyến IT với (O;R) tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành góc TIT’ nhận đường thẳng d đường phân giác ngồi Bài 10 Cho góc nhọn xOy điểm A cố định nằm góc Dựng đường thẳng d qua A cắt Ox, Oy m N cho A trung điểm MN? Bài 11 Cho điểm A hai đường tròn (O), (O’) Tìm B C thuộc hai đường tròn cho ∆ ABC đều? Bài 12 Cho hai đường thẳng song song d d’ G điểm cố định khơng nằm d d’ Dựng ∆ ABC thỏa mãn: A, B nằm d d’, G tâm tam giác ABC ? Bài 13 Cho tam giác ABC có góc A = α, điểm M cố định nằm AB.Tìm N P thuộc Bc AC cho MP=MN MN tiếp tuyến với dường tròn ngoại tiếp ∆AMP? Trần Quang – 01674718379 LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG Hd: CMR NMP MAP Phép Q M , : A A' Khi suy (A’N,AP)=α Gọi I giao điểmA’N AP ⟹ NI//AM (hai góc đồng vị) hay A’N//AB Bài 14 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Dựng đường thẳng d qua A cắt (O) (O’) M,N cho: a A trung điểm MN b N trung điểm AM Bài 15 Cho tam giác nhọn ABC Dựng hình vng MNPQ cho P Q nằm BC, M N nằm AB AC Bài 16 Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB,BC,CD, DA dựng đỉnh hình thoi MNPQ MN//AC, MQ//BD ? Bài 17 Cho góc nhọn xOy điểm A cố định nằm góc Dừng đường tròn (O) qua A tiếp xúc với Ox, Oy ? Bài 18 Cho hai đường tròn (O;r) (O’;R) khác bán kính tiếp xúc ngồi với Điểm M cố định nằm (O) Dựng đường tròn (I) qua M tiếp xúc với hai đường tròn ? Bài 19 Cho đường tròn (O) đường thẳng d tiếp xúc với A Điểm B cố định (O) Dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) B tiêp xúc với d ? Bài 20 Cho hai đường thẳng d d’ cắt C tìm d d’ điểm A B cho ABC vng cân A DẠNG III: QUỸ TÍCH Bài Cho hai điểm B,C cố định nằm (O,R) điểm A thay đổi đường tròn Chứng minh a Trực tâm H tam giác ABC nằm đường tròn cố định b Gọi P đỉnh tam giác AHP Tìm quỹ tích P? Bài Cho hình bình hành ABCD có A cố định, ABD nội tiếp đg tròn (O;R) cố định B,D di động (O;R) BD = 2a khơng đổi Tìm quỹ tích: a Trung điểm I BD b Trực tâm H ABD c Quỹ tích C Hd: c dựng đường kính AK CMR K trục tâm BCD ⇒ AHCK hbh … Bài Cho tam giác ABC cố đinh có trực tâm H Về phía A mặt phẳng bờ BC, dựng hình thoi BCDE Hạ EE1⊥AC, DD1⊥AB Gọi M = EE1∩DD1 Tìm quỹ tích: a Điểm D b Điểm M Hd: b Cmr BHEM hbh Dựa vào cạnh song song suy MED HBC MDE HCB Khi ∆HBC=∆MED⇒HCDM hbh Khi DM CH cố định Bài Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , đỉnh C chạy đường tròn (O;R) Tìm quỹ tích đỉnh D C thay đổi Trần Quang – 01674718379 LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến B P,Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ NPQ ? Bài Cho đường tròn (O;R) hai điểm A,B cố định Với điểm M , ta xác định điểm M’ cho MM ' MA MB Tìm quỹ tích điểm M’ điểm M chạy (O;R) Bài Cho đường thẳng a điểm G khơng nằm a Với điểm A nằm a ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B C A chạy a? Bài Cho đường tròn (O) tam giác ABC Một điểm M thay đổi (O) Gọi M điểm đối xứng với M qua A, M điểm đối xứng với M qua B M điểm đối xứng với M qua C Tìm quỹ tích điểm M ? Hd: Gọi D trung điểm MM3 CMR ABCD hbh ⇒D cố định Bài Cho đường tròn (O;R) điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi đường tròn Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Bài 10 Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B PQ đường kính thay đổi (O)khác với đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA ,PB M N a Chứng minh Q trung điểm CM , N trung điểm CQ b Tìm quỹ tích điểm M,N đường kính PQ thay đổi Bài 11 Cho đường tròn (O;R) điểm A cố định Một dây cung thay đổi (O;R) có độ dài m khơng đổi Tìm quỹ tích điểm G cho GA GB GC Bài 12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)bán kính R , đỉnh B,C cố định A thay đổi (O) Chứng minh trọng tâm G tam giác ABC chạy đường tròn Bài 13 Cho đường tròng tâm O đường kính AB Điểm M di động đường tròn Phía ngồi MAB dựng hình vng AMNP Tìm quỹ tích P N ? Bài 14 Cho ∆ABC Trên Bx, Cy tia đối BA, CA lấy D E di động cho BD=2CE Tìm quỹ tích trung điểm M DE? Hd: Dựng Bt//Cy Trần Quang – 01674718379 LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG DẠNG 4: ÁP DỤNG PHÉP DỜI HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG ĐỂ CHỨNG MINH Bài Cho ∆ABC có A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB Gọi O1, O2, O3 I1, I2, I3 tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ∆AB1 C1 , ∆A1 BC1 , ∆A1 B1 C CMR ∆O1O2 O3 = ∆I1 I2I3 ? Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) với AD=R Dựng hình bình hành DABM DACN Cmr tâm đường tròn ngoại tiếp DNM nằm (O) ? Bài Cho tứ giác lồi ABCD khơng phải hình thang Gọi M, N trung điểm AB CD Biết MN tạo với AD BC hai góc Cmr AD =BC ? Bài Cho hbh ABCD M nằm tam giác MBD Biết MBC MDC , Cmr AMD BMC ? Bài Bên ngồi ∆ABC, dựng hình chử nhật BCDE Các đường thẳng qua D E vng góc với AB, AC, cắt K Cmr AK⊥BC? Hd: Gọi H trực tâm ∆ABC Cmr TBE : BH EK ; CH DK suy H↦K Bài Cho ∆ABC có tâm đường tròn nội tiếp I, diểm P tùy ý nằm ∆ABC Gọi A’, B’, C’ điểm đối xứng với P qua AI, BI, CI Cmr AA’, BB’, CC’ đồng quy ? Hd: Cmr AA’ trung trực B’C’ Tương tự BB’, CC’ trung trực tam giác A’B’C’ Bài Cho ABC với trực tâm H A a Cmr đường tròn ngoại tiếp ∆HAB, HBC, HCA có R b Gọi O1, O2, O3 tâm đường tròn nói Chứng minh O3 đường tròn qua điểm O1, O2, O3 có bán kính bán kính đường O1 tròn ngoại tiếp ABC O Hd: a dùng DBC : HBC KBC H b Cmr O1BO2 ABC AOC ⟹∆OAC=∆BO1 O2 ⟹ AC=O1 O2 C B K Bài Cho tứ giác ABCD có A = 600, B = 1500, D = 900, AB = , CD = 12 Tính độ dài cạnh AD BC O2 Hd: Dựng hbh ABCC’ ⟹góc BAC’=30⟹ BC = 6, AD = Bài Cho ABC cân đỉnh A Điểm M chạy BC Kẻ MD AB, ME AC Gọi D = ĐBC(D) Tính BD ' M chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vò trí điểm M Hd: BD ' M = 1v; MD + ME = BH với BH⊥AC Bài 10 Cho ABC Dựng phía tam giác tam giác BAE CAF vuông cân A Gọi I, M, J theo thứ tự trung điểm EB, BC, CF Chứng minh IMJ vuông cân Hd: Xét phép quay Q(A,900) Trần Quang – 01674718379 LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG Bài 11 Cho ABC Dựng phía tam giác hình vuông ABEF ACIK Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM vuông góc vơi FK AM = FK Hd: Gọi D = Đ(A)(B) Xét phép quay Q(A,90):D↦F, C↦K Bài 12 Cho điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Lấy đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng tam giác ABE BCF nằm phía so với đường thẳng AB Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AF, CE Chứng minh BMN Bài 13 Cho OAB OA’B’ vng cân O cho O nằm B’A nằm ngồi A’B Gọi G G’ trọng tâm OAA’ OBB’ Cmr OGG’ vng cân ? Bài 14 Cho ABC Lấy cạnh tam giác làm cạnh, dựng phía tam giác tam giác ABC1, CAB1, CAB1 Chứng minh : a AA1, BB1, CC1 nhau? b AA1, BB1, CC1 đồng quy ? Hd: a Xét phép quay Q(A,600), Q(B,600) b Gọi I=AA1∩ CC1 Q(B,60):A↦C1; A1↦C, I↦J Vì A, A1, I thẳng hàng nên C, C1, J thẳng hàng Xét Q(A,60):C1↦B; C↦B1, J↦I Tính thẳng hàng suy I thuộc BB1 Bài 15 Cho ABC tâm O Trên cạnh AB, AC đặt đoạn thẳng AD, AE cho AD + AE = AB Chứng minh OD = OE DOE = 1200 Hd: Xét phép quay Q(O,1200) Bài 16 Cho hình vuông ABCD điểm M cạnh AB Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB AD E F CM cắt AD N Chứng minh rằng: a) CM + CN = EF Bài 17 b) CM CN AB Hd: Xét phép quay Q(C,900) Cho ABC Dựng phía tam giác hình vuông ABDE ACIJ cho C D nằm khác phía với AB Chứng minh giao điểm BI CD nằm đường cao AH ABC Hd: Lấy tia đối AH đoạn AK = BC Gọi O tâm hình vuông ACIJ Xét phép quay Q(O,900) IB CK Tương tự CD BK Bài 18 Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng GH 2GO Hd: Gọi A’, B’, C’ trung điểm BC, CA, AB Cmr O trực tâm A’B’C’ Xét V(G,–2) Trần Quang – 01674718379 LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG Bài 19 Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố đònh, đỉnh A chạy đường tròn (O) Tìm q tích trọng tâm G ABC Bài 20 Cho đường tròn (O, R) đường thẳng d điểm chung với đường tròn Từ điểm M d, kẻ tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O) a) Chứng minh PQ qua điểm cố đònh b) Tìm tập hợp trung điểm K PQ, tâm O đường tròn ngoại tiếp MPQ, trực tâm H MPQ HD: a) Kẻ OI d, OI cắt PQ N OI ON r N cố đònh b) Tập hợp điểm K đường tròn (O1) đường kính NO Tập hợp điểm O đường trung trực đoạn OI Tập hợp điểm H đường tròn (O2) = V(O,2) Bài 21 Cho điểm A đường tròn (O, R) đường kính MN quay xung quanh tâm O AM AN cắt đường tròn (O) B C a) Chứng minh đường tròn (AMN) qua điểm cố đònh khác A b) Chứng minh BC qua điểm cố đònh c) Tìm tập hợp trung điểm I BC trọng tâm G ABC Hd: a) AO cắt (AMN) D OA.OD OM.ON R2 D cố đònh b) AO cắt BC E AE.AD AO2 R2 E cố đònh c) Tập hợp điểm I đường tròn (O1) đường kính EO Tập hợp điểm G đường tròn (O2) = V (O1) ( A, ) Bài 22 Cho đường tròn (O, R), đường kính AB Một đường thẳng d vuông góc với AB điểm C đường tròn Một điểm M chạy đường tròn AM cắt d D, CM cắt (O) N, BD cắt (O) E a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vò trí điểm M b) Tứ giác CDNE hình gì? c) Tìm tập hợp trọng tâm G MAC HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD CDNE hình thang c) Gọi I trung điểm AC Kẻ GK // MO Tập hợp điểm G đường tròn (K, R ) ảnh đường tròn (O, R) qua phép V (I , ) Trần Quang – 01674718379 LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị ... OBB’ Cmr OGG’ vng cân ? Bài 14 Cho ABC Lấy cạnh tam giác làm cạnh, dựng phía tam giác tam giác ABC1, CAB1, CAB1 Chứng minh : a AA1, BB1, CC1 nhau? b AA1, BB1, CC1 đồng quy ? Hd: a Xét phép quay... Q(A,600), Q(B,600) b Gọi I=AA1∩ CC1 Q(B,60):A↦C1; A1↦C, I↦J Vì A, A1, I thẳng hàng nên C, C1, J thẳng hàng Xét Q(A,60):C1↦B; C↦B1, J↦I Tính thẳng hàng suy I thuộc BB1 Bài 15 Cho ABC tâm O Trên cạnh... có A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB Gọi O1, O2, O3 I1, I2, I3 tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ∆AB1 C1 , ∆A1 BC1 , ∆A1 B1 C CMR ∆O1O2 O3 = ∆I1 I2I3 ? Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn