Bài giảng phương trình đạo hàm riêng

ng 1. Giới thiệu về ph ương trình đạ o hàm riêng . . 5 1.1. Một số kí hiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Về Không gian Euclide Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Không gan các hàm khả vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Một số công thức tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Các kh ái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng . . 10 1.3. Phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Dạng chính tắc của PTĐHR tuyến tính cấp hai . . . . . . . 19 1.4.1. Dạng chính tắc tại từng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2. Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miền. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6. Một số hiện tượng tự nhiên dẫn tới phư

KHOA TOÁN

——————— ? ———————

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Trần Văn Bằng

Hà Nội, 05-01-2016

Chương 1 Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng 5

1.1 Một số kí hiệu chung 6

1.1.1 Về Không gian Euclide Rn 6

1.1.2 Không gan các hàm khả vi 6

1.1.3 Một số công thức tích phân cơ bản 7

1.2 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng 10

1.3 Phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai 15

1.4 Dạng chính tắc của PTĐHR tuyến tính cấp hai 19

1.4.1 Dạng chính tắc tại từng điểm 19

1.4.2 Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miền 22

1.5 Nghiệm tổng quát 31

1.6 Một số hiện tượng tự nhiên dẫn tới phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 34

1.6.1 Phương trình truyền nhiệt trong thanh một chiều 34

1

1.6.2 Sự dao động của dây 39

1.6.3 Sự khuếch tán trong không gian ba chiều 41

1.7 Bài toán Cauchy và tính đặt chỉnh của bài toán 43

Chương 2 Phương trình Laplace-Poisson 45

2.1 Hàm điều hòa Biểu diễn Green 46

2.1.1 Khái niệm hàm điều hòa Nghiệm cơ bản 46

2.1.2 Biểu diễn Green của hàm điều hòa 48

2.1.3 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa 51

2.2 Bài toán biên đối với phương trình Laplace, Poisson 54

2.2.1 Các bài toán biên cơ bản 54

2.2.2 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm 55

2.2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu 58

2.2.4 Các định lý về sự hội tụ 60

2.2.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền bị chặn-Phương pháp Perron 61

2.3 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên đối với phương trình Laplace 2 chiều 65

2.3.1 Giải bài toán biên trong miền chữ nhật 65

2.3.2 Giải bài toán biên trong miền tròn 70

Chương 3 Phương trình truyền sóng 75

3.1 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng 76

3.1.1 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 76

3.1.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy 78

3.2 Bài toán biên ban đầu đối với PT truyền sóng 88

3.2.1 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm 89

3.2.2 Sự tồn tại nghiệm 91

Chương 4 Phương trình truyền nhiệt 103

4.1 Biểu diễn Green của hàm nhiệt 104

4.1.1 Công thức Green đối với toán tử truyền nhiệt 104

4.1.2 Nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt 105

4.1.3 Biểu diễn Green của hàm nhiệt 105

4.1.4 Các nguyên lý cực trị 107

4.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt 109

4.2.1 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 110

4.2.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy 111

4.3 Bài toán biên ban đầu đối với PT truyền nhiệt 115

4.3.1 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán biên ban đầu 116

4.3.2 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên ban đầu trong trường hợp một chiều 118

Giới thiệu về phương trình

đạo hàm riêng

Chương này nhằm giới thiệu cho người học các khái niệm chung vềphương trình đạo hàm riêng như: khái niệm phương trình đạo hàmriêng, một số cách phân loại; khái niệm nghiệm (cổ điển); một số hiệntượng dẫn tới phương trình đạo hàm riêng; các bài toán cơ bản đốivới phương trình đạo hàm riêng; Đặc biệt là việc phân loại phươngtrình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; dạng chính tắc; phương phápđưa một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chínhtắc;

5

1.1 Một số kí hiệu chung

1.1.1 Về Không gian Euclide Rn

Kí hiệu Rn là không gian Euclide thực n chiều với tích vô hướng vàchuẩn thông thường:

x.y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn; |x| =

q

x21 + x22 + · · · + x2

n.Hình cầu (mở) tâm a ∈ Rn, bán kính r là tập hợp:

Khi biên ∂Ω trơn thì ta gọi ν là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vịtrên biên của Ω Chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm theo véc tơ pháp tuyếnngoài đơn vị:

o

A) có thác triểnliên tục lên A;

Ck(A), k = 1, 2, · · · là không gian tất cả các hàm có các đạo hàmriêng đến cấp k thuộc C(A)

Ta sẽ thường sử dụng chẳng hạn với A = Ω Khi đó

o

A = Ω

1.1.3 Một số công thức tích phân cơ bản

Nói chung để giải các phương trình đạo hàm riêng, chúng ta sẽ phảitích phân các phương trình đó Ta kí hiệu tích phân bội của hàm utrên Ω (nếu tồn tại) bởi:

trình tham số x = x(u) với tham số u = (u1, · · · , un−1) ∈ D ⊂ Rn−1.Khi đó, tại x ∈ Σ có n − 1 véc tơ độc lập tuyến tính tiếp xúc với biênlà

Bây giờ giả sử ∂Ω đủ trơn Cho u, v ∈ C1(Ω) và C1−trường véc tơ

F : Ω → Rn Ta có một số công thức tích phân quan trọng sau đây:

c, Ω = D × [0, T ], với D là hình tròn đơn vị, tâm 0 trong R2.

Bài 1.4 Với ξ ∈ Rn cố định, ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn.Đặt

1 2π ln |x − ξ|, nếu n = 2

Tính

a, DxiΓ(x − ξ);

b, DxixjΓ(x − ξ);

c, ∂Γ

∂ν(x − ξ) trên biên hình cầu Bρ(ξ).

Bài 1.5 Sử dụng công thức Ostrogradski (1.1), chứng minh công thứctích phân từng phần (1.2)

Bài 1.6 Sử dụng công thức tích phân từng phần (1.2), chứng minhrằng với mọi u, v ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) ta có:

biến u = u(x, t) hoặc u = u(x, y):

uxx + uyy = f (x, y) (1.6)α(x, y)uxx + 2uxy + 3x2uyy = 4ex (1.7)

uxuxx + (uy)2 = 0 (1.8)(uxx)2 + uyy + a(x, y)ux + b(x, y)u = 0 (1.9)Nói chung ta có thể viết một PTĐHR dưới dạng

F (x1, x2, · · · , xn, u, ux1, · · · , uxn, ux1x1, ) = 0, x ∈ Ω ⊂ Rn (1.10)trong đó x = (x1, · · · , xn) là các biến độc lập, u là ẩn hàm của cácbiến đó

Một nghiệm của (1.10) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đếncấp cần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộcΩ

Nói chung một PTĐHR thường có vô hạn nghiệm Ví dụ, các hàm

u(x, t) = ex−ct,u(x, t) = cos(x − ct)

là các nghiệm của (1.5) Hơn nữa, mọi hàm khả vi của x − ct đều lànghiệm của phương trình đó

Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêuchí sau:

1, Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càngcao càng phức tạp)

2, Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nóichung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càngcao thì càng phức tạp)

3, Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theothời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi

là phương trình dừng) Trong tình huống này người ta thường kí hiệubiến thời gian là t, các biến còn lại là biến không gian

Cụ thể hơn ta có các khái niệm sau đây:

Định nghĩa 1.2 Cấp của một PTĐHR là cấp cao nhất của đạo hàmriêng có mặt trong phương trình

Chẳng hạn, (1.5) là phương trình cấp 1, còn các phương trình (1.9) là phương trình cấp hai

(1.6)-Định nghĩa 1.3 Một PTĐHR là tuyến tính nếu nó có dạng

Nói chung các PTĐHR phức tạp hơn các phương trình vi phânthường vì với phương trình vi phân thường, để tìm một nghiệm riêng

từ nghiệm tổng quát ta chỉ phải tìm các giá trị của các hằng số tùy ý,trong khi đó với PTĐHR, việc chọn nghiệm riêng thỏa mãn các điềukiện bổ sung có khi còn khó hơn cả việc tìm nghiệm tổng quát Đó là

vì, nghiệm tổng quát của các PTĐHR phụ thuộc vào các hàm tùy ý(xem ví dụ sau đây) và nó có thể có vô hạn các nghiệm độc lập tuyếntính

Ví dụ 1.1 Giải PTĐHR tuyến tính cấp hai

Tích phân phương trình này theo η (giữ ξ cố định) ta có

uξ = f (ξ)(do ξ cố định nên hằng số tích phân có thể phụ thuộc ξ)

Tích phân theo ξ (giữ η cố định) ta nhận được

Như vậy, để nhận được một nghiệm riêng thỏa mãn một số điềukiện nào đó ta sẽ phải xác định hai hàm F, G

Bài tậpBài 1.7 Hãy cho biết cấp của các PTĐHR sau đây:

Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát sauđối với hàm u(x) = u(x1, x2, · · · , xn):

Việc phân loại phương trình (1.14) chỉ phụ thuộc vào các hệ số aijcủa các đạo hàm riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm nhưsau Gọi

A(x) = [aij(x)]

là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai Tạimỗi x ∈ Ω cố định, A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) cóđúng n giá trị riêng thực Ta nói:

+) phương trình (1.14) thuộc loại elliptic tại x nếu A(x) có n giátrị riêng cùng dấu;

+) phương trình (1.14) thuộc loại hyperbolic tại x nếu A(x) có 1giá trị riêng trái dấu với n − 1 giá trị riêng còn lại;

+) phương trình (1.14) thuộc loại parabolic tại x nếu A(x) có 1 giátrị riêng bằng 0 còn n − 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu;

+) phương trình (1.14) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic)trên miền Ω nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm x ∈ Ω

là phương trình elliptic trên Rn;

b, Phương trình truyền nhiệt

ut − ∆u = 0, (x, t) ∈ Rn+1

là phương trình parabolic trên Rn+1;

c, Phương trình truyền sóng

utt − ∆u = 0, (x, t) ∈ Rn+1

là phương trình hyperbolic trên Rn+1;

d, Phương trình

x1ux1x1 + ux2x2 + ux2 = 0, x = (x1, x2) ∈ R2thuộc loại elliptic trên miền x1 > 0, thuộc loại hyperbolic trên miền

x1 < 0 và thuộc loại parabolic trên đường thẳng x1 = 0

Đặc biệt, trong trường hợp hai biến độc lập, phương trình (1.14)

có dạng

a(x, y)uxx+2b(x, y)uxy+c(x, y)uyy+d(x, y, u, ux, uy) = 0, (x, y) ∈ R2,

(1.15)trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục của hai biến (x, y) đã cho,

a, b, c không đồng thời bằng không Khi đó tại mỗi (x, y) ma trận các

hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai là

∆ = b2 − ac

Cụ thể

+) Nếu ∆ < 0 thì (1.16) có hai nghiệm cùng dấu nên (1.15) thuộcloại elliptic;

+) Nếu ∆ > 0 thì (1.16) có hai nghiệm trái dấu nên (1.15) thuộcloại hyperbolic;

+) Nếu ∆ = 0 thì (1.16) có một nghiệm bằng không và một nghiệmkhác không nên (1.15) thuộc loại parabolic

Sử dụng dấu hiệu này, ta có thể dễ dàng kiểm chứng lại Ví dụ 1.2phần d

Bài tậpBài 1.12 Phân loại các phương trình sau:

1 uxx + 2yuxy + xuyy − ux + u = 0

2 2xyuxy + xuy + yux = 0

3 uxx + 4uxy + uyy + ux + uy + 2u − x2y = 0

4 y2m+1uxx + uyy − ux = 0, m− là số nguyên không âm

Bài 1.13 Tìm miền elliptic, hyperbolic và parabolic của phương trìnhsau theo tham số λ :

D(ξ1, ξ2, · · · , ξn)D(x1, x2, · · · , xn) 6= 0.

Thay các đạo hàm này vào (1.17) ta nhận được phương trình

˜A(ξ) = [˜ars(ξ)]; A(x) = [aij(x)];

J (x) = [bkl(x)], với bkl = ∂ξl

∂xkthì (1.19) có thể viết dưới dạng

˜A(ξ) = J (x)tA(x)J (x) (1.20)

Chứng tỏ ˜A(ξ) và A(x) là hai ma trận đồng dạng hay chúng có cùngchỉ số quán tính Vậy nếu (1.17) thuộc loại elliptic (hay parabolic,hyperbolic) tại điểm x0 thì (1.18) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng:parabolic, hyperbolic) tại điểm ξ0 = ξ(x0)

Cố định x = x0, ta có A(x0) là một ma trận hằng Khi đó, tồn tạimột ma trận T = [αkl] sao cho ma trận TtA(x0)T có dạng

do đó ˜A(ξ0) có dạng đường chéo như trên và phương trình (1.18) lúc

đó được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.17) tại điểm x0.Nói chung trong trường hợp n > 2 chúng ta không tìm được phépđổi biến để đưa (1.17) về dạng chính tắc trong một miền nên ma trậncác hệ số của các đạo hàm cấp hai chỉ có dạng đường chéo như trêntại điểm ξ0 Đặc biệt trong trường hợp aij không phụ thuộc x thì matrận các hệ số của các đạo hàm cấp hai có dạng đường chéo như trêntại mọi điểm nên (bằng cách đổi lại thứ tự biến nếu cần) ta có:

+Nếu (1.17) thuộc loại elliptic thì dạng chính tắc của nó là:

1.4.2 Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

của hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miền

Riêng trong trường hợp hai biến, chúng ta có thể đưa được phươngtrình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chính tắc trong miền

mà dạng của phương trình đó không đổi Thật vậy, xét phương trình:a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux, uy) = 0 (1.21)

Để biến đổi PTĐHR về dạng chính tắc, trước hết chúng ta chỉ raảnh hưởng của một phép đổi biến đối với PTĐHR (1.21) Giả sử ξ, η

là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của x, y :

ξx ηx

ξy ηy

6= 0

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta tính được

trong đó các hệ số là các hàm của ξ, η và

a∗ = aξx2 + 2bξxξy + cξy2;

b∗ = aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy;

c∗ = aηx2 + 2bηxηy + cηy2;Hơn nữa ta có

∆∗ = (b∗)2 − a∗c∗ = J2∆

Từ các công thức xác định hệ số trên đây, chúng ta đi tìm phép đổibiến ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) sao cho một số trong các hệ số a∗, b∗, c∗trong (1.22) bằng không

Chú ý rằng a∗, c∗ có dạng tương tự nhau và có thể viết chung bởi

aζx2 + 2bζxζy + cζy2 (1.23)trong đó ζ thay cho ξ hoặc η Giả sử chúng ta muốn chọn ξ, η sao cho

a∗ = c∗ = 0 Tất nhiên là điều này chỉ có thể xảy ra khi phương trình

là hyperbolic vì khi đó ∆∗ = (b∗)2 > 0

a, Trường hợp phương trình hyperbolic trong một miền

Để làm điều đó, chúng ta chọn ζ thỏa mãn (1.23) Khi đó, chia hai

vế cho ζy2 thì phương trình trên trở thành

Do vậy,

ζx

ζy = −

dydx

và phương trình (1.24) trở thành

adydx

do biệt thức ∆ = b2 − ac > 0 (vì phương trình là hyperbolic)

Các phương trình này được gọi là các phương trình vi phân đặctrưng, chúng là các phương trình vi phân thường xác định các đườngcong trong mặt phẳng (x, y), dọc theo các đường cong đó hàm ζ =const Các nghiệm của chúng được gọi là các đường cong đặc trưng.Tích phân các phương trình đặc trưng ta có hai đường cong đặc trưngphân biệt Chọn một đường cong là ξ(x, y), đường cong còn lại làη(x, y.) Cụ thể, tích phân các PTVP thường ta có

Chia hai vế cho 2b∗ ta có

2y

2 + 1

2x

2 = c2

Nghiệm thứ nhất là họ các hyperbol, còn nghiệm thứ hai là họ cácđường tròn.

Thực hiện phép đổi biến

uξη = η

2(ξ2 − η2)uξ − ξ

2(ξ2 − η2)uη.Đây là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình nêu trên

b, Trường hợp phương trình thuộc loại parabolic trong một miền

Trong trường hợp này ta có ∆∗ = b2 − ac = 0 nên (ta có thể giảthiết a ≥ 0, c ≥ 0)

b = ±√

a√c

Lúc này ta chỉ có một đường cong đặc trưng là nghiệm của phươngtrình:

Đây là các phương trình vi phân thường tách biến và có nghiệm chobởi

uηη = 2

η2uξ + 1

η2eη.Lưu ý rằng, nếu ta chọn hàm η khác thì vế phải của phương trìnhchính tắc trên đây cũng thay đổi theo

c, Trường hợp phương trình thuộc loại elliptic trong một miền

Đối với phương trình elliptic thì ∆ < 0 nên phương trình đặc trưng(1.25) không có nghiệm thực Giả sử phương trình đó có hai nghiệmphức

Khi đó ta có thể chứng minh được rằng (xem [1, 2]), với phép đổibiến ξ = Φ1(x, y), η = Φ2(x, y) ta sẽ nhận được dạng chính tắc củaphương trình elliptic là:

−2e−y/2 ± 2ie−x/2 = C

Do đó thực hiện đổi biến

a 4uxx + 5uxy + uyy + ux + uy = 2

f sin2xuxx + sin 2xuxy + cos2xuyy = x.

Bài 1.17 Đưa các phương trình sau về dạng chính tắc

1.5 Nghiệm tổng quát

Trong mục này chúng ta sẽ đề cập tới một ứng dụng của dạng chínhtắc trong việc tìm nghiệm tổng quát của một số phương trình đạo hàmriêng tuyến tính cấp hai thông qua các ví dụ sau:

sẽ đưa phương trình trên về dạng chính tắc

là một phương trình vi phân tuyến tính cấp một (giả thiết η cố định).Giải phương trình này ta có

+ G



y − x4

a uxx − 1

c 2uyy = 0, c là hằng số

b uxx − 3uxy + 2uyy = 0

c uxx+ uxy = 0

d uxx+ 10uxy + 9uyy = y.

Bài 1.19 Biến đổi các phương trình sau về dạng

Uξη = cUnhờ phép đổi biến và đổi ẩn hàm

U = ue−(αξ+βη),trong đó α, β cần được xác định cụ thể:

1.6 Một số hiện tượng tự nhiên dẫn tới phương

trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

1.6.1 Phương trình truyền nhiệt trong thanh một chiều

Trong tài liệu này, năng lượng nhiệt (the heat energy or the thermalenergy) sẽ được gọi tắt là nhiệt năng Xét một thanh một chiều, cótiết diện ngang không đổi A và có chiều dài L (xem Hình 1) đượcđịnh hướng theo trục x Gọi e(x, t) là mật độ nhiệt năng (the thermaldensity-nhiệt năng trên một đơn vị thể tích) Giả thiết mặt xungquanh của thanh được cách nhiệt hoàn toàn Khi đó không có nhiệtnăng thoát ra khỏi thanh qua mặt xung quanh Nhiệt năng có thể phụthuộc vào x và t nếu thanh không được nung nóng đều Xét một látcắt mỏng với độ dày ∆x giữa x và x + ∆x

Nếu lát cắt đủ mỏng thì tổng nhiệt năng trong lát cắt bằng tíchcủa mật độ nhiệt năng và thể tích, tức là

là thông lượng nhiệt (heat flux - lượng nhiệt năng trên một đơn vịthời gian truyền sang phải trên một đơn vị diện tích), S(x, t) là lượng

nhiệt năng trên một đơn vị thể tích sinh ra trên một đơn vị thời gian.Khi đó, luật bảo toàn nhiệt năng được mô tả bởi:

∂

∂t[e(x, t)A∆x] = ϕ(x, t)A − ϕ(x + ∆x, t)A + S(x, t)A∆x. (1.35)Phương trình này chỉ là một mô tả gần đúng, nhưng nó sẽ chính xáckhi chuyển qua giới hạn khi độ dày của lát cắt ∆x → 0 Chia hai vếcho A∆x rồi cho ∆x → 0, ta nhận được:

∂

∂te(x, t) = −

∂

∂xϕ(x, t) + S(x, t). (1.36)Bây giờ, ta viết lại phương trình này thông qua nhiệt độ (the tem-perature) u(x, t) Mật độ nhiệt năng e(x, t) được cho bởi:

e(x, t) = c(x)ρ(x)u(x, t), (1.37)

trong đó c(x) là nhiệt dung riêng (the specific heat - nhiệt năng cầnphải cung cấp để một đơn vị khối lượng tăng nhiệt độ của nó lên mộtđộ) và ρ(x) là mật độ khối (the mass density) Thông lượng nhiệt cóliên hệ với nhiệt độ thông qua định luật Fourier:

u(x, 0) = f (x).

Các điều kiện biên có thể thuộc một trong các loại sau đây:

1 Biết nhiệt độ trên biên (điều kiện biên Dirichlet)

u(0, t) = p(t)hoặc

u(L, t) = q(t)

2 Biên cách nhiệt (điều kiện biên Neumann)

∂

∂νu(x, t) = 0trong đó ∂ν∂ là đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài đơn vị Cụthể, tại x = 0,

∂

∂ν = −

∂

∂xcòn tại x = L thì

∂

∂ν =

∂

∂x(xem Hình 2) Điều kiện này có nghĩa là không có nhiệt độ truyền

ra ngoài thanh qua biên

3 Biên có sự đối lưu nhiệt

Khi một đầu của thanh (chẳng hạn đầu x = 0) được tiếp xúctại biên với một dòng chất lỏng hoặc khí chuyển động thì sẽ có

sự trao đổi nhiệt Sự trao đổi này được xác định bởi định luậtđối lưu nhiệt Newton (Newton’s law of cooling)

4 Điều kiện biên tuần hoàn

Trong trường hợp mô tả sự truyền nhiệt trong một vòng tròn(xem Hình 3) Nếu hai đầu thanh gắn chặt với nhau thì nhiệt

độ và thông lượng nhiệt tại hai đầu bằng nhau, tức là

u(0, t) = u(L, t),

ux(0, t) = ux(L, t)

Bài tậpBài 1.21 Giả sử nhiệt độ ban đầu của một thanh cho bởi

và các điều kiện biên là

u(0, t) = u(1, t) = 0

Hãy cho biết nhiệt độ của thanh như thế nào tại thời điểm sau đó.

Bài 1.22 Giả sử thanh có nguồn nhiệt bên trong không đổi Khi đóphương trình mô tả sự dẫn nhiệt là:

ut = kuxx + Q, 0 < x < 1

Giả thiết ta cố định nhiệt độ tại hai đầu thanh

u(0, t) = 0, u(L, t) = 1

Hỏi nhiệt độ trong thanh khi ổn định sẽ như thế nào? (Gợi ý: Khi đó

ut = 0 nên ta có phương trình vi phân thường ku00(x) + Q = 0)

Bài 1.23 Dẫn ra phương trình mô tả sự dẫn nhiệt trong một thanh

có hệ số dẫn nhiệt K(x)

Bài 1.24 Biến đổi phương trình

ut = k(uxx + uyy)sang hệ tọa độ cực (ρ = px2 + y2, tan φ = y/x) và đặc biệt hóaphương trình kết quả trong trường hợp hàm không phụ thuộc vào θ

Bài 1.25 Xác định nhiệt độ ở trạng thái dừng trong thanh một chiềuvới các hệ số nhiệt (c, ρ, K) không đổi và

1.6.2 Sự dao động của dây

Giả sử ta có một sợi dây nhỏ, căng, với chiều dài L Giả thiết haiđầu của sợi dây được buộc theo một cách nào đó (xem mục các điềukiện biên) Chúng ta sẽ mô tả chuyển động của dây sau khi đã làmnhiễu nó khỏi vị trí cân bằng tại thời điểm t = 0, (xem Hình 4)

Giả thiết độ cong của dây nhỏ nên ta có thể bỏ qua độ lệch ngang.Xét một đoạn nhỏ của dây giữa x và x+∆x Các lực tác động lên đoạndây này gồm có lực căng (dọc theo dây) và trọng lực (theo phươngthẳng đứng) Gọi T (x, t) là lực căng tại điểm x và tại thời điểm t Nếusợi dây dễ uốn thì lực căng có phương tiếp xúc với sợi dây (xem Hình5)

Hệ số góc của sợi dây được cho bởi

T (x + ∆x, t) sin θ(x + ∆x, t) − T (x, t) sin θ(x, t) + ρ0(x)∆xQ(x, t),

(1.44)trong đó Q(x, t) là thành phần thẳng đứng của ngoại lực trên một đơn

vị khối lượng, còn ρ0(x) là mật độ khối

Mặt khác, theo định luật Newton,

... rằng, ta chọn hàm η khác vế phải phương trìnhchính tắc thay đổi theo

c, Trường hợp phương trình thuộc loại elliptic miền

Đối với phương trình elliptic ∆ < nên phương trình đặc trưng(1.25)...

và phương trình (1.24) trở thành

adydx

do biệt thức ∆ = b2 − ac > (vì phương trình hyperbolic)

Các phương trình gọi phương trình vi... = nên ta có phương trình vi phân thường ku00(x) + Q = 0)

Bài 1.23 Dẫn phương trình mơ tả dẫn nhiệt

có hệ số dẫn nhiệt K(x)

Bài 1.24 Biến đổi phương trình

ut