ng 1. Giới thiệu về ph ương trình đạ o hàm riêng . . 5 1.1. Một số kí hiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Về Không gian Euclide Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Không gan các hàm khả vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Một số công thức tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Các kh ái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng . . 10 1.3. Phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Dạng chính tắc của PTĐHR tuyến tính cấp hai . . . . . . . 19 1.4.1. Dạng chính tắc tại từng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2. Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miền. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6. Một số hiện tượng tự nhiên dẫn tới phư
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————— ——————— BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trần Văn Bằng Hà Nội, 05-01-2016 Mục lục Chương Giới thiệu phương trình đạo hàm riêng 1.1 Một số kí hiệu chung 1.1.1 Về Không gian Euclide Rn 1.1.2 Không gan hàm khả vi 1.1.3 Một số công thức tích phân 1.2 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng 10 1.3 Phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai 15 1.4 Dạng tắc PTĐHR tuyến tính cấp hai 19 1.4.1 Dạng tắc điểm 19 1.4.2 Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai hàm hai biến dạng tắc miền 1.5 Nghiệm tổng quát 22 31 1.6 Một số tượng tự nhiên dẫn tới phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 1.6.1 Phương trình truyền nhiệt chiều 34 34 MỤC LỤC 1.6.2 Sự dao động dây 39 1.6.3 Sự khuếch tán không gian ba chiều 41 1.7 Bài toán Cauchy tính đặt chỉnh toán Chương Phương trình Laplace-Poisson 2.1 Hàm điều hòa Biểu diễn Green 43 45 46 2.1.1 Khái niệm hàm điều hòa Nghiệm 46 2.1.2 Biểu diễn Green hàm điều hòa 48 2.1.3 Các tính chất hàm điều hòa 51 2.2 Bài toán biên phương trình Laplace, Poisson 54 2.2.1 Các toán biên 54 2.2.2 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 55 2.2.3 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet phương trình Laplace hình cầu 58 2.2.4 Các định lý hội tụ 60 2.2.5 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet miền bị chặn-Phương pháp Perron 61 2.3 Phương pháp tách biến Fourier giải toán biên phương trình Laplace chiều 65 2.3.1 Giải toán biên miền chữ nhật 65 2.3.2 Giải toán biên miền tròn 70 Chương Phương trình truyền sóng 3.1 Bài toán Cauchy phương trình truyền sóng 3.1.1 Tính nghiệm toán Cauchy 75 76 76 MỤC LỤC 3.1.2 Công thức nghiệm toán Cauchy 3.2 Bài toán biên ban đầu PT truyền sóng 78 88 3.2.1 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 89 3.2.2 Sự tồn nghiệm 91 Chương Phương trình truyền nhiệt 4.1 Biểu diễn Green hàm nhiệt 103 104 4.1.1 Công thức Green toán tử truyền nhiệt 104 4.1.2 Nghiệm toán tử truyền nhiệt 105 4.1.3 Biểu diễn Green hàm nhiệt 105 4.1.4 Các nguyên lý cực trị 107 4.2 Bài toán Cauchy phương trình truyền nhiệt 109 4.2.1 Tính nghiệm toán Cauchy 110 4.2.2 Công thức nghiệm toán Cauchy 111 4.3 Bài toán biên ban đầu PT truyền nhiệt 115 4.3.1 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm toán biên ban đầu 116 4.3.2 Phương pháp tách biến Fourier giải toán biên ban đầu trường hợp chiều 118 MỤC LỤC Chương Giới thiệu phương trình đạo hàm riêng Chương nhằm giới thiệu cho người học khái niệm chung phương trình đạo hàm riêng như: khái niệm phương trình đạo hàm riêng, số cách phân loại; khái niệm nghiệm (cổ điển); số tượng dẫn tới phương trình đạo hàm riêng; toán phương trình đạo hàm riêng; Đặc biệt việc phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; dạng tắc; phương pháp đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai dạng tắc; Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng 1.1 Một số kí hiệu chung 1.1.1 Về Không gian Euclide Rn Kí hiệu Rn không gian Euclide thực n chiều với tích vô hướng chuẩn thông thường: x.y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn ; |x| = x21 + x22 + · · · + x2n Hình cầu (mở) tâm a ∈ Rn , bán kính r tập hợp: Br (a) := {x ∈ Rn | |x − a| < r} Để ý rằng, ωn thể tích hình cầu đơn vị Rn ta tích hình cầu bán kính r ωn rn Hơn nữa, diện tích mặt cầu đơn vị nωn diện tích mặt cầu bán kính r nωn rn−1 1.1.2 Không gan hàm khả vi Với hàm u = u(x) đủ trơn, ta kí hiệu đạo hàm riêng gradient ∂u = uxj ; ∂xj Du = ( ∂u ∂u ∂u , ,··· , ) ∂x1 ∂x2 ∂xn Để tiện cho việc kí hiệu đạo hàm riêng cấp cao hơn, ta đưa vào khái niệm đa số, n số tự nhiên α = (α1 , · · · , αn ), αi ∈ N Với quy ước n |α| = αi ; xα = xα1 xα2 · · · xαnn ; i=1 ∂ |α| u D u= ∂xα1 ∂xα2 · · · ∂xαnn α Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội Khi biên ∂Ω trơn ta gọi ν véc tơ pháp tuyến đơn vị biên Ω Chúng ta sử dụng đạo hàm theo véc tơ pháp tuyến đơn vị: ∂u := Du.ν ∂ν Cho Ω ⊂ Rn tập mở, với biên ∂Ω bao đóng Ω Kí hiệu C(Ω) = C (Ω) không gian tất hàm liên tục Ω; C k (Ω), k = 1, 2, không gian tất hàm có đạo hàm riêng đến cấp k thuộc C(Ω); o n Nếu A ⊂ R tập không thiết mở, với phần A o C(A) = C (A) không gian tất hàm thuộc C(A) có thác triển liên tục lên A; C k (A), k = 1, 2, · · · không gian tất hàm có đạo hàm riêng đến cấp k thuộc C(A) o Ta thường sử dụng chẳng hạn với A = Ω Khi A = Ω 1.1.3 Một số công thức tích phân Nói chung để giải phương trình đạo hàm riêng, phải tích phân phương trình Ta kí hiệu tích phân bội hàm u Ω (nếu tồn tại) bởi: u(x)dx Ω Ngoài cần tới tích phân mặt (loại một) biên Ω Để tiện cho việc tiếp thu kiến thức nhắc lại khái niệm Giả sử Σ mặt cong n−1 chiều, trơn có phương Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng trình tham số x = x(u) với tham số u = (u1 , · · · , un−1 ) ∈ D ⊂ Rn−1 Khi đó, x ∈ Σ có n − véc tơ độc lập tuyến tính tiếp xúc với biên ∂x ∂x1 ∂x2 ∂xn =( , ,··· , ), j = 1, 2, · · · , n − ∂uj ∂uj ∂uj ∂uj Do tích có hướng véc tơ véc tơ pháp tuyến với biên x : N= ∂x ∂x ∂x × × ··· × ∂u1 ∂u2 ∂un−1 Hơn ta có dS = |N |du vi phân diện tích mặt Σ tích phân mặt (loại một) Σ hàm f (nếu tồn tại) xác định thông qua tích phân bội n − 1: f (x(u))|N |du f (x)dS := D Σ Lưu ý rằng, Σ = ∂Ω véc tơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω cho bởi: ν=± N |N | , với dấu ± chọn thích hợp tùy theo miền Ω Bây giả sử ∂Ω đủ trơn Cho u, v ∈ C (Ω) C −trường véc tơ F : Ω → Rn Ta có số công thức tích phân quan trọng sau đây: a, Công thức Ostrogradski: divFdx = Ω F.νdS (1.1) ∂Ω b, Công thức tích phân phần: ∂u vdx = ∂xi Ω uvνi dS − ∂Ω u Ω ∂v dx ∂xi (1.2) Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội Bài tập Bài 1.1 Cho hàm n biến u(x) = |x|, x = Tính đạo hàm riêng sau: a, uxi b, uxi xj Bài 1.2 Trong R2 , tìm véc tơ pháp tuyến đơn vị điểm biên ∂Ω (nếu có) biết: a, Ω = [0; 1] × [0; 2]; b, Ω = Br (0) Bài 1.3 Trong R3 , tìm véc tơ pháp tuyến đơn vị điểm biên ∂Ω (nếu có) biết: a, Ω = [0; 1] × [0; 2] × [0; 3]; b, Ω = Br (0); c, Ω = D × [0, T ], với D hình tròn đơn vị, tâm R2 Bài 1.4 Với ξ ∈ Rn cố định, ωn thể tích hình cầu đơn vị Rn Đặt Γ(x − ξ) = Γ(|x − ξ|) := Tính a, Dxi Γ(x − ξ); b, Dxi xj Γ(x − ξ); |x n(2−n)ωn 2π − ξ|2−n , n > 2, ln |x − ξ|, n = Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 111 4.2.2 Công thức nghiệm toán Cauchy Để xét tồn nghiệm toán Cauchy (4.13)-(4.14), chia thành hai toán sau đây: Lu = 0, u(x, 0) = ϕ(x), Lu = f (x, t), u(x, 0) = 0, (x, t) ∈ G∞ x∈R (BT1) n (x, t) ∈ G∞ (BT2) n x∈R Mệnh đề 4.1 Giả sử ϕ(x) ∈ Cb (Rn ) Khi nghiệm u ∈ Cb2,1 (G∞ ) (BT1) cho công thức Γ(x, t; ξ, 0)ϕ(ξ)dξ, u(x, t) = Rn ϕ(x), t > (4.16) t = Chứng minh Mệnh đề 4.2 (Nguyên lý Duhamel) Giả sử f (x, t) ∈ Cb (G∞ ) Khi v τ (x, t) nghiệm (BT1) ứng với kiện ban đầu ϕ(x) = f (x, τ ), τ > nghiệm (BT2) cho công thức t v τ (x, t − τ )dτ u(x, t) = (4.17) Chứng minh Định lý 4.9 (Công thức nghiệm toán Cauchy) Giả sử f (x, t) ∈ Cb (G∞ ), ϕ(x) ∈ Cb (Rn ) Khi nghiệm toán Cauchy (4.13)- 112 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng (4.14) cho công thức Poisson sau đây: u(x, t) = √ n (2 πt) e ϕ(ξ)dξ Rn t + |x−ξ|2 4t (2 π(t − τ ))n e |x−ξ|2 4(t−τ ) (4.18) f (ξ, τ )dξdτ Rn Chứng minh Nghiệm toán Cauchy (4.13)-(4.14) tổng nghiệm (BT1) (BT2) nên từ Mệnh đề 4.1 4.2 ta có điều phải chứng minh Bài tập Bài 4.1 Cho f ∈ Cb2,1 (G∞ ), ϕ ∈ Cb (Rn ), a > Chứng minh nghiệm toán Cauchy phương trình truyền nhiệt: ut = a2 ∆u + f (x, t) thỏa mãn điều kiện ban đầu u|t=0 = ϕ(x) cho công thức Poisson: √ u(x, t) = (2a πt)n ϕ(ξ)e − |x−ξ|2 4a2 t dξ Rn t f (ξ, τ ) + Rn [2a π(t − τ )]n − e |x−ξ|2 4a2 (t−τ ) Bài 4.2 Giả sử uk (x, t) nghiệm toán Cauchy ut = a2 ∆u, u|t=0 = fk (xk ), k = 1, · · · , n dξdτ Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 113 Chứng minh hàm u(x, t) = Πnk=1 uk (x, t) nghiệm toán Cauchy ut = a2 ∆u, u|t=0 = Πnk=1 fk (xk ) Bài 4.3 Giả sử f (x, t) ∈ C (G∞ ) hàm điều hòa theo x với t ≥ cố định Chứng minh hàm u(x, t) = t f (x, τ )dτ nghiệm toán Cauchy ut = a2 ∆u + f (x, t), Bài 4.4 Giả sử u0 ∈ C ∞ (Rn ) chuỗi u|t=0 = ∞ δk k k=0 k! ∆ u0 (x), δ > chuỗi nhận từ cách lấy đạo hàm cấp một, cấp hai, hội tụ miền bị chặn Chứng minh hàm ∞ u(x, t) = k=0 a2 tk k ∆ u0 (x) k! nghiệm toán Cauchy ut = a2 ∆u, < t < δ ; a2 u|t=0 = u0 (x) Nghiệm 4.5-4.7 tìm theo công thức Poisson, ta giải nhanh phương pháp tách biến áp dụng 4.2-4.4 Bài 4.5 Giải toán Cauchy sau (n = 1) ut = 4uxx + t + et , u|t=0 = 114 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng ut = uxx + 3t2 , u|t=0 = sin x ut = uxx + e−t cos x, ut = uxx + et sin x, u|t=0 = cos x u|t=0 = sin x u|t=0 = e−x ut = uxx + sin t, ut = uxx , u|t=0 = e2x−x ut = uxx , u|t=0 = xe−x ut = uxx , u|t=0 = sin xe−x 2 Bài 4.6 Giải toán Cauchy sau (n = 2) ut = ∆u + et , u|t=0 = cos x sin y ut = ∆u + sin t sin x sin y, u|t=0 = xye−x ut = ∆u + cos t, 8ut = ∆u + 1, 2ut = ∆u, u|t=0 = −y u|t=0 = e−(x−y) u|t=0 = cos xy Bài 4.7 Giải toán Cauchy sau (n = 3) ut = 2∆u + t cos x, ut = 3∆u + et , u|t=0 = cos y cos z u|t=0 = sin(x − y − z) ut = 4∆u + sin 2z, ut = ∆u + cos(x − y + z), ut = ∆u, u|t=0 = 41 sin 2z + e−x cos 2y u|t=0 = e−(x+y−z) u|t=0 = cos(xy) sin z Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 115 4.3 Bài toán biên ban đầu phương trình truyền nhiệt Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn, với biên ∂Ω trơn Với T > 0, ta kí hiệu QT := Ω × (0, T ]; ST := ∂Ω × (0, T ]; Ωs = Ω × {t = s} Trong mục nghiên cứu tính đặt chỉnh toán biên ban đầu sau: Tìm nghiệm phương trình ∂u − ∆u = f (x, t), ∂t (x, t) ∈ QT (4.19) thỏa mãn điều kiện ban đầu u(x, 0) = ϕ(x) x ∈ Ω (4.20) thỏa mãn điều kiện biên sau: Điều kiện biên thứ nhất: u|ST = ψ1 (4.21) ∂u |S = ψ2 ∂ν T (4.22) Điều kiện biên thứ hai: Điều kiện biên thứ ba: ∂u + au ∂ν ST = ψ3 , (4.23) 116 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng f (x, t) hàm liên tục QT , ϕ(x) hàm liên tục Ω ψi (x), i = 1, 2, hàm liên tục biên ST cho trước Bài toán (4.19)-(4.20) điều kiện biên thứ i tương ứng gọi toán biên ban đầu thứ i, i = 1, 2, 4.3.1 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm toán biên ban đầu Cũng phương trình truyền sóng, tính phụ thuộc liên tục nghiệm toán biên phương trình truyền nhiệt suy từ đánh giá tiên nghiệm Định lý 4.10 Giả sử u(x, t) ∈ C 2,1 (QT ), thỏa mãn phương trình (4.19) QT điều kiện biên u|ST = (4.24) ∂u |S = ∂ν T (4.25) Khi tồn số C phụ thuộc vào T cho với s ∈ [0, T ], ta có đánh giá: n Qs i=1 ∂u ∂xi + u2 dxdt + u2 dx Ωs u2 (x, 0)dx + ≤C Ω Chứng minh f (x, t)dxdt Qs (4.26) Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 117 Hệ 4.1 (Tính nghiệm toán biên ban đầu thứ thứ hai) Bài toán biên ban đầu thứ thứ hai phương trình truyền nhiệt (4.19) có không nghiệm lớp C 2,1 (QT ) Chứng minh Giả sử u1 , u2 hai nghiệm toán biên ban đầu thứ (thứ hai) phương trình truyền nhiệt (4.19) Đặt u = u1 − u2 , ta có u nghiệm toán biên ban đầu tương ứng với vế phải f = kiện biên, kiện ban đầu không Theo Định lý 4.10, ta suy u2 (x, t)dxdt = 0, QT hay u = QT Từ ta có điều phải chứng minh Hệ 4.2 Giả sử u(x, t) hàm thỏa mãn giả thiết Định lý 4.10 trường hợp f = Khi ta có đánh giá sau với s 0, h2 > Nếu h1 = h2 = điều kiện (4.29) trở thành ux x=0 = ux x=L = (4.30) Điều kiện hiểu hai đầu cách nhiệt Nghiệm toán (4.27)+(4.28)+(4.29) có dạng u(x, t) = v(x) + w(x, t), v(x) nghiệm phương trình v (x) = thỏa mãn điều kiện biên (4.29) Dễ dàng tìm v(x) = C1 x + C2 với C1 = h1 (u2 − u1 ) , h1 + h2 + h1 h2 L C2 = u1 + C1 h1 (4.31) Hàm w(x, t) thỏa mãn phương trình (4.27) điều kiện ban đầu w t=0 =u t=0 −v t=0 = ϕ(x) − v(x) = ϕ(x), ˜ (4.32) điều kiện biên (wx − h1 w)x=0 = (wx + h2 w)x=0 = (4.33) Giải toán (4.27), (4.32), (4.33) phương pháp tách biến ta nhận được: λ2 t n wn (x, t) = An e−a Xn (x), Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 121 µ2n λn = , µn (n = 1, 2, ) nghiệm dương phương L trình h1 h2 L2 cot µ = (µ − ), L(h1 + h2 ) µ µn x µn x µn cos + h1 sin Xn (x) = L L L ∞ λ2 t n An e−a Khi đó, w(x, t) = Xn (x), An tìm từ điều n=1 kiện ban đầu (4.32) Sử dụng tính trực chuẩn hệ hàm Xn (x) đoạn [0, L], ta có L An = Φn µn µn x µn x cos + h1 sin dx, L L L u˜0 (x) L Φn µn x µn x + h1 sin dx L L = Bài 4.8 Cho mỏng đồng chất có chiều dài L, với mặt bên cách nhiệt Tìm nhiệt độ u(x, t) nếu: Hai đầu x = x = L giữ với nhiệt độ 0, nhiệt độ ban đầu u t=0 = ϕ(x) trường hợp sau: a) u0 (x) = A = const b) u0 (x) = Ax(L − x), A = const Đầu x = giữ với nhiệt độ 0, đầu x = L trao đổi nhiệt với môi trường có nhiệt độ Nhiệt độ ban đầu u t=0 = ϕ(x) 122 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng Cả hai đầu x = x = L trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh, nhiệt độ ban đầu u t=0 = ϕ(x) Hai đầu cách nhiệt, nhiệt độ ban đầu u t=0 = ϕ(x) = const Hai đầu cách nhiệt, nhiệt độ ban đầu cho công thức u t=0 u , = 0, < x < L2 , L < x < L Trong trường hợp này, dáng điệu u(x, t) t → ∞ Hai đầu cách nhiệt, nhiệt độ ban đầu cho công thức u t=0 2u0 x , = 2uL (L − x), L < x < L2 , L < x < L, u0 = const Tìm lim u(x, t) t→∞ Bài 4.9 Giải toán sau ut = uxx , < x < 1, ux = 0, u x=0 uxx = ut + u, < x < L, u x=0 ut = uxx − 4u, < x < π, u x=1 =u x=0 = 0, u x=L =u x=π t=0 = 0, u = 0, u = x2 − t=0 = t=0 = x2 − πx Bài 4.10 Cho mỏng đồng chất ≤ x ≤ L, mặt bên cách nhiệt Tìm nhiệt độ nếu: Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 123 Hai đầu giữ với nhiệt độ không đổi u u1 , u x=L = u2 , nhiệt độ ban đầu u t=0 x=0 = = u0 = const Tìm lim u(x, t) t→∞ Hai đầu có nhiệt độ không đổi u =u x=0 x=L = u1 , nhiệt độ ban đầu cho công thức u t=0 = u0 (x) = Ax(L − x), A = const Tìm lim u(x, t) t→∞ Đầu bên trái cách nhiệt, đầu bên phải giữ với nhiệt độ không đổi u x=L = u2 , nhiệt độ ban đầu u t=0 = Ax , L A = const Đầu bên trái giữ với nhiệt độ không đổi u x=0 = u1 , đầu bên phải theo dòng nhiệt bên (không đổi); nhiệt độ ban đầu u t=0 = u0 (x) Bài 4.11 Cho đồng chất mỏng, độ dài L, có mặt bên tỏa nhiệt vào môi trường xung quanh (nhiệt độ môi trường 0) Đầu trái giữ với nhiệt độ không đổi u x=0 = u1 Xác định nhiệt độ u(x, t) nếu: Đầu bên phải giữ với nhiệt độ u độ ban đầu u t=0 x=L = u2 = const, nhiệt = u0 (x) Đầu bên phải trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh (nhiệt độ môi trường 0), nhiệt độ ban đầu Trong trường hợp tổng quát nhiệt độ hai đầu phụ 124 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng thuộc t, điều kiện biên có dạng u x=0 = α1 (t), u x=L = α2 (t) (4.34) Trong trường hợp này, nghiệm toán (4.27), (4.28), (4.34) tìm dạng u = v + w, w xác định công thức x w(x, t) = α1 (t) + (α2 (t) − α1 (t)) L Bài 4.12 Tìm nhiệt độ ≤ x ≤ L có mặt bên cách nhiệt, đầu x = L giữ với nhiệt độ 0, đầu x = có nhiệt độ u x=0 = At, với A = const Nhiệt độ ban đầu Bài 4.13 Giải toán sau: ut = uxx , < x < L, ux x=0 = 1, u x=L = 0, u ut = uxx + u + sin 2x sin x, < x < u t=0 t=0 π , ux = x=0 = u x=1 = t, u x= π2 = = ut = uxx − 2ux + x + 2t, < x < 1, u x=0 =u t=0 = ex sin πx ut = uxx + u − x + sin 2x cos x, < x < 1, u t=0 π ,u x=0 = 0, ux x=π = 2πt, u t=0 t=0 x=0 = x=π = = ut −uxx +2ux −u = ex sin x−t, < x < π, u + t, u = = x ut = uxx + 4u + x2 − 2t − 4x2 t + cos2 x, < x < π, ux 0, ux x= π2 = + ex sin 2x x=0 = 1+t, u Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng, Phần I, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Thừa Hợp (1999), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Pavel Drabek, Gabriela Holubova (2007), Elements of partial differential equations, Walter de Gruyter, Berlin, New York [...]... u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0 i=1 22 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng 1.4.2 Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miền Riêng trong trường hợp hai biến, chúng ta có thể đưa được phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chính tắc trong miền mà dạng của phương trình đó không đổi Thật vậy, xét phương trình: a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy +... đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Loại phương trình này xuất hiện trong nhiều mô hình thực tế (xem Mục 1.5 sau đây) Chúng ta sẽ nghiên cứu ba lớp đặc biệt của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic, hyperbolic và parabolic thông qua các đại diện của chúng là phương trình Laplace, phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến... của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng cao càng phức tạp) 12 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng 2, Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói chung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng cao thì càng phức tạp) 3, Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương. .. ∂ν (1.4) ∂Ω trong đó ∆ là toán tử Laplace xác định bởi n ∆u := i=1 ∂ 2u ∂x2i 1.2 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1 Một phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) là một phương trình có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm Chẳng hạn, các phương trình sau là các PTĐHR đối với hàm hai Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2 11 biến u = u(x, t) hoặc u = u(x, y): ut + cux = 0 (1.5) uxx... xác định hai hàm F, G 14 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng Bài tập Bài 1.7 Hãy cho biết cấp của các PTĐHR sau đây: a uxx + uyy = 0 b uxxx + uxy + a(x)uy + ln u = f (x, y) c uxxx + uxyyy + a(x)uxxy + u2 = f (x, y) d uuxx + u2yy + eu = 0 e ux + cuy = d Bài 1.8 Chứng minh rằng u(x, t) = cos(x − ct) là một nghiệm của phương trình ut + cux = 0 Bài 1.9 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là... x Bài 1.10 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình uxy + uy = 0 Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2 15 Gợi ý: Đặt v = uy Bài 1.11 Chứng minh rằng với hai hàm F, G khả đến cấp hai bất kì trên R ta có y u = F (xy) + xG( ) x là nghiệm của phương trình x2 uxx − y 2 uyy = 0 1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Trong học phần này, chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu về phương trình đạo hàm. .. ta nhận được phương trình chính tắc 1 1 uξξ + uηη = − uξ − uη + u ξ η Bài tập Bài 1.15 Đưa các phương trình sau về dạng chính tắc: a 4uxx + 5uxy + uyy + ux + uy = 2 30 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng b uxx + uxy + uyy + ux = 0 c 3uxx + 10uxy + 3uyy = x + 1 d uxx + 2uxy + 3uyy + 4ux + 5uy + u = ex e 2uxx − 4uxy + 2uyy + 3u = 0 f uxx + 5uxy + 4uyy + 7uy = sin x Bài 1.16 Đưa các phương trình sau về... ra khi phương trình là hyperbolic vì khi đó ∆∗ = (b∗ )2 > 0 a, Trường hợp phương trình hyperbolic trong một miền Để làm điều đó, chúng ta chọn ζ thỏa mãn (1.23) Khi đó, chia hai vế cho ζy2 thì phương trình trên trở thành a ζx ζy 2 + 2b ζx + c = 0 ζy Dọc theo đường cong ζ(x, y) = const, ta có dζ = ζx dx + ζy dy = 0 (1.24) 24 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng Do vậy, ζx dy =− ζy dx và phương trình. .. y) = yF ( ) + G( ) x x Ví dụ 1.7 Xét phương trình 4uxx + 5uxy + uyy + ux + uy = 2 Phép đổi biến ξ = y − x, η=y− x 4 32 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng sẽ đưa phương trình trên về dạng chính tắc 1 8 uξη = uη − 3 9 (1.32) Đặt v = uη thì (1.32) có thể viết dưới dạng 1 8 vξ = v − 3 9 là một phương trình vi phân tuyến tính cấp một (giả thiết η cố định) Giải phương trình này ta có v= 8 + eξ/3 φ(η) 3... sau đối với hàm u(x) = u(x1 , x2 , · · · , xn ): n n aij (x)uxi xj + i,j=1 bj (x)uxj + c(x)u = d(x), x ∈ Ω, (1.14) j=1 trong đó các hệ số aij = aij (x), bj = bj (x), c = c(x), d = d(x) là các hàm liên tục đã cho trên Ω, aij = aji và các aij không đồng thời bằng không 16 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng Việc phân loại phương trình (1.14) chỉ phụ thuộc vào các hệ số aij của các đạo hàm riêng cấp hai ... dẫn tới phương trình đạo hàm riêng; toán phương trình đạo hàm riêng; Đặc biệt việc phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; dạng tắc; phương pháp đưa phương trình đạo hàm riêng. .. 1.2 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1 Một phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) phương trình có chứa đạo hàm riêng ẩn hàm Chẳng hạn, phương trình sau PTĐHR hàm hai Trần Văn... = i=1 22 Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng 1.4.2 Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai hàm hai biến dạng tắc miền Riêng trường hợp hai biến, đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến