Bài toán Cauchy (tổng quát) đối với phương trình đạo hàm riêng được hiểu là việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng trong một miền Ω khi biết giá trị của nó trên một mặt cong Σ ⊂ Ω nào đó và biết tốc độ biến thiên của nghiệm theo một trường véc tơ λ không tiếp xúc với Σ trên mặt cong đó. Ta thường xét trường hợp Σ là một phần của biên ∂Ω và λ = ν là trường véc tơ pháp tuyến đơn vị trên Σ. Khi đó ta gọi Σ là mặt Cauchy, các giá trị đã cho trên Σ được gọi là các dữ kiện Cauchy.
Ba vấn đề định tính cơ bản được đặt ra đối với bài toán Cauchy là: 1, Sự tồn tại nghiệm: Bài toán có ít nhất một nghiệm.
2, Tính duy nhất nghiệm: Bài toán có không quá một nghiệm. 3, Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện của bài toán: Khi dữ kiện thay đổi nhỏ thì nghiệm cũng chỉ thay đổi nhỏ.
Một bài toán thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện trên thì được gọi là bài toán đặt chỉnh hay bài toán đặt đúng theo nghĩa của Hadamard. Trong các chương sau đây chúng ta sẽ chỉ ra tính đặt chỉnh của một số bài toán đối với phương trình Laplace, truyền sóng và truyền nhiệt.
Bài tập Bài 1.26 Giải các bài toán Cauchy sau
1, uxx + 2uxy −3uyy = 0 u|y=0 = 3x2, uy|y=0 = 0 2, uxx −uyy − 2ux −2uy = 4 u|x=0 = −y, ux|x=0 = y − 1 3, uxx +ux = 0 u|y=x = sinx, uy|y=x = 1 4,
uxx + 2cosxuxy −sin2xuyy −sinxuy = 0 u|y=sinx = ϕ0(x), uy|y=sinx = ϕ1(x).
Chương 2
Phương trình
Laplace-Poisson
Trong chương này chúng ta tìm hiểu về một đại diện của lớp phương trình elliptic, đó là phương trình Laplace và phương trình Poisson, bao gồm các tính chất nghiệm, tính đặt chỉnh của một số bài toán đối với phương trình đó. Nhiều kết quả định tính đối với phương trình này có thể mở rộng đối với các phương trình elliptic nói chung.
Ta nhắc lại rằng, phương trình Laplace là phương trình:
∆u := ux1x1 +ux2x2 +· · ·+ uxnxn = 0, (2.1) còn phương trình Poisson là phương trình không thuần nhất tương ứng:
∆u = f(x). (2.2)