Trong mục này chúng ta chủ yếu đề cập tới các nguyên lý cực trị, là công cụ cho việc chứng minh các đánh giá tiên nghiệm cho các bài toán biên, ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt. Kí hiệu
S = ∂Ω×(t1, t2); σ = S ∪Ωt1; GT = Rn ×(0, T]; G∞ = Rn × (0,∞). Bổ đề 4.1. Giả sử u(x, t) ∈ C2,1(Q) và thỏa mãn
Lu ≥ (≤)0, (x, t) ∈ Q. Khi đó, với mọi (x, t) ∈ Q ta có
min
σ u ≤ u(x, t) (max
σ u ≥ u(x, t)). (4.7) Chứng minh. Xem [1], Bổ đề 4.1, trang 128.
Định lý 4.2 (Nguyên lý cực trị trong miền bị chặn). Giả sử u(x, t) ∈
C2,1(Q) thỏa mãn phương trình Lu = 0 trong Q. Khi đó, với bất kì (x, t) ∈ Q, ta có
min
σ u ≤ u(x, t) ≤ max
σ u. (4.8)
Chứng minh. Định lý này dễ dàng suy ra từ Bổ đề 4.1
Định lý 4.3 (Nguyên lý cực trị trong miền không bị chặn). Giả sử u(x, t) ∈ C2,1(GT)∩C( ¯GT) thỏa mãn phương trình Lu = 0 trong GT và bị chặn trên GT. Khi đó, với bất kì (x, t) ∈ Q, ta có
inf
Rn
u(x,0) ≤ u(x, t) ≤ sup
Rn
u(x,0). (4.9)
Chứng minh.
Định lý 4.4 (Nguyên lý cực trị mạnh). Giả sử u(x, t) ∈ C2,1(QT)∩
C(QT) thỏa mãn phương trình Lu = 0 trong QT và đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất tại điểm (x0, t0) ∈ QT thì u ≡ u(x0, t0) trong Qt0.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 4.3, trang 131.
Định lý 4.5. Giả sử u(x, t) ∈ C2,1(QT) ∩ C(QT) thỏa mãn phương trình Lu = f(x, t) trong QT. Khi đó với bất kỳ (x, t) ∈ QT ta có
min σ u− T sup QT |f| ≤ u(x, t) ≤ max σ u+T sup QT |f|. (4.10) Do đó |u(x, t)| ≤ max σ |u|+T sup QT |f|. (4.11)
Chứng minh. Xem [1], Định lý 4.4, trang 134.
Định lý 4.6. Giả sử u(x, t) ∈ C2,1(GT) ∩ C( ¯GT) thỏa mãn phương trình Lu = f(x, t) và bị chặn trong GT. Khi đó với bất kỳ (x, t) ∈ QT ta có inf Rn u(x,0)− T sup GT |f| ≤ u(x, t) ≤ sup Rn u(x,0) +T sup GT |f|. (4.12)
Chứng minh. Xem [1], Định lý 4.5, trang 135.
Định lý 4.7. Giả sử u(x, t) ∈ Cb2,1(G∞) ∩ C( ¯G∞) là nghiệm của phương trình Lu = 0 trong G∞ và u(x,0) → 0 khi |x| → ∞. Khi đó u(x, t) → 0 đều theo x trong Rn khi t → ∞.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 5.7, trang 143.