Hàm u(x) được gọi là hàm điều hòa tại điểm x0 nếu u có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục tại x0 và thỏa mãn
∆u(x0) = 0.
Hàm u được gọi là hàm điều hòa trong miền giới nội Ω ⊂ Rn nếu u là hàm điều hòa tại mọi điểm thuộc Ω.
Hàm u được gọi là hàm điều hòa trong miền không giới nội Ω ⊂ Rn
nếu u là hàm điều hòa tại mọi điểm thuộc Ω và thỏa mãn điều kiện về độ tăng khi |x| → ∞ sau đây:
|u(x)| ≤ C
|x|n−2, (2.3)
với C > 0 là một hằng số.
Hàm u được gọi là hàm điều hòa trên tập đóng Ω nếu nó điều hòa trong một miền chứa Ω.
Ví dụ 2.1. 1, Hàm u(x, y) = x+ 2y+ 1 là hàm điều hòa tại mọi điểm (x, y) ∈ R2; là hàm điều hòa trong mọi miền giới nội Ω ⊂ R2; không là hàm điều hòa trong miền không giới nội bất kì trong R2 vì nó không thỏa mãn điều kiện về độ tăng tại vô cùng (1.14).
2, Hàm u(x, y) = x
x2 +y2 là hàm điều hòa tại mọi điểm (x, y) 6= (0,0); là hàm điều hòa trong mọi miền trong R2 không chứa điểm (0,0).
3, Hàm u(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 là hàm điều hòa tại mọi điểm (x, y, z) ∈ R3; là hàm điều hòa trong mọi miền giới nội Ω ⊂ R3; không là hàm điều hòa trong miền không giới nội bất kì trong R3 vì nó không thỏa mãn điều kiện về độ tăng tại vô cùng (1.14).
Ví dụ 2.2. Gọi ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn. Với mỗi ξ ∈ Rn, hàm Γ(x−ξ) xác định bởi Γ(x− ξ) = Γ(|x−ξ|) := 1 n(2−n)ωn|x− ξ|2−n, nếu n > 2, 1 2π ln|x− ξ|, nếu n = 2 (2.4) là hàm điều hòa tại mọi x ∈ Rn \ {ξ} và được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace.
Bài tập
Bài 2.1Kí hiệuH(Ω)là tập hợp các hàm điều hoà trong miềnΩ ⊂ Rn. Chứng minh rằng:
a) H(Ω) là một không gian vectơ: mọi tổ hợp tuyến tính của các hàm điều hoà là hàm điều hoà.
b) H(Ω) ổn định đối với phép lấy đạo hàm: đạo hàm ∂u
∂xi của hàm điều hoà u cũng là hàm điều hoà.
c) Nếu u, v ∈ H(Ω) thì: uv ∈ H(Ω) ⇔ Du.Dv = 0.
Bài 2.2 Giả sử u(x) = u(x1, . . . , xn) là hàm điều hoà. Chứng minh rằng các hàm sau đây cũng là hàm điều hoà:
a) u(x+h), h = (h1, . . . , hn) - vectơ bất kì, b) u(λx), λ - vô hướng bất kì,
Như vậy, tính điều hoà là bất biến đối với phép tịnh tiến, phép vị tự và phép quay.
Bài 2.3 Tìm nghiệm dạng u = f(r) (r = pPni=1x2
i) của phương trình Laplace 4u = 0.
Bài 2.4 Chứng minh rằng nếu f(z) ≡ f(x + iy) = u(x, y) +iv(x, y) là hàm phức chỉnh hình theo biến z trong miền Ω thì u và v là những hàm điều hoà trong Ω.
Đảo lại, nếu u là hàm điều hoà trong miền đơn liên Ω thì có thể xem u là phần thực của một hàm chỉnh hình trên Ω.
Bài 2.5 Chứng minh rằng nếu u(x) = u(x1, . . . , xn) là hàm điều hoà thì v(x) = 1 |x|n−2u( x1 |x|2, . . . , xn |x|2), |x| = v u u t n X i=1 x2i cũng là hàm điều hoà.
Bài 2.6 Tìm biểu thức của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cực, hệ tọa độ trụ và trong hệ tọa độ cầu.