Trong mục này chúng ta sẽ đề cập tới một ứng dụng của dạng chính tắc trong việc tìm nghiệm tổng quát của một số phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai thông qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1.6. Cho phương trình
x2uxx + 2xyuxy +y2uyy = 0.
Các bạn có thể tự chứng minh được rằng phép đổi biến ξ = y
x, η = y sẽ đưa phương trình trên về dạng chính tắc
uηη = 0, với y 6= 0.
Giải phương trình này bằng cách tích phân theo η hai lần (ξ cố định) ta có
u(ξ, η) = ηF(ξ) +G(ξ).
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: u(x, y) = yF(y x) +G( y x). Ví dụ 1.7. Xét phương trình 4uxx + 5uxy +uyy +ux + uy = 2. Phép đổi biến ξ = y −x, η = y − x 4
sẽ đưa phương trình trên về dạng chính tắc uξη = 1 3uη − 8 9. (1.32) Đặt v = uη thì (1.32) có thể viết dưới dạng vξ = 1 3v − 8 9
là một phương trình vi phân tuyến tính cấp một (giả thiết η cố định). Giải phương trình này ta có
v = 8 3 +e
ξ/3φ(η). Bây giờ tích phân theo η ta nhận được
u(ξ, η) = 8
3η +G(η)e
ξ/3 + F(ξ). và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
u(x, y) = 8 3 y − x 4 +G y − x 4 e(y−x)/3 +F(y −x).
Chú ý: Khác với phương trình vi phân thường cấp 2, nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cấp 2 phụ thuộc vào hai hàm số tùy ý.
Bài tập
Bài 1.18 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: a. uxx − 1
c2uyy = 0, c là hằng số b. uxx − 3uxy + 2uyy = 0
d. uxx+ 10uxy + 9uyy = y.
Bài 1.19 Biến đổi các phương trình sau về dạng Uξη = cU
nhờ phép đổi biến và đổi ẩn hàm
U = ue−(αξ+βη), trong đó α, β cần được xác định cụ thể:
a. uxx − uyy + 3ux −2uy +u = 0 b. 3uxx + 7uxy + 2uyy + uy +u = 0.
Bài 1.20 Chứng minh rằng phương trình uxx = aut +bux − b 2 4 u+d, với a, b, d −const là phương trình parabolic. Chứng tỏ rằng, phép thế u(x, t) = v(x, t)e2bx
sẽ biến đổi phương trình trên thành
vxx = avt +de−2bx