Bài toán khuếch tán dẫn tới một phương trình đạo hàm riêng tương tự như phương trình dẫn nhiệt. Để phân biệt đại lượng vô hướng và đại lượng véc tơ, riêng trong mục này chúng ta sẽ dùng kí hiệu có mũi tên phía trên để chỉ một véc tơ. Giả sử C(x, y, z, t) là nồng độ của một chất (khối lượng của chất đó trên một đơn vị thể tích) đang tan ra trong chất lỏng hoặc chất khí, chẳng hạn chất ô nhiễm trong một cái hồ. Khối lượng chất ô nhiễm trong miền Ω với biên Σ cho bởi
Z
Ω
C(x, y, z, t)dV. (1.57) Theo định luật bảo toàn khối lượng, tốc độ thay đổi khối lượng trong Ω theo thời gian bằng hiệu của tốc độ của dòng khối lượng đi vào Ω và tốc độ của dòng khối lượng đi ra khỏi Ω, cộng với tốc độ khối lượng
chất đó sinh ra do một nguồn trong Ω. Ở đây, ta giả thiết không có nguồn trong Ω. Gọi −→q là véc tơ thông lượng khối lượng, khi đó −→q .−→ν
là khối lượng trên một đơn vị diện tích, trên một đơn vị thời gian đi qua biên Σ của Ω theo hướng véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị −→ν . Vậy
định luật bảo toàn khối lượng là: d dt Z Ω CdV = Z Ω ∂C ∂t dV = − Z Σ − →q .−→ν dS. (1.58) Theo định lý Ostrogradski, Z Σ − →q .−→ν dS = Z Ω div−→q dV. (1.59) Do vậy ta có ∂C ∂t = −div−→q . (1.60)
Theo định luật Fick về khuếch tán, liên hệ giữa véc tơ thông lượng −→q
và nồng độ C cho bởi
−
→q = −H−−→gradC +C−→v , (1.61)
trong đó −→v là vận tốc của chất lỏng hoặc chất khí, H là hệ số khuếch
tán và có thể phụ thuộc vào C. Kết hợp (1.60) và (1.61) ta nhận được ∂C ∂t = div(H −−→ gradC)− div(C−→v ). (1.62) Nếu H là hằng số thì ∂C ∂t = H∆C −−−→grad.(C−→v ). (1.63)
Nếu −→v có thể bỏ qua hoặc bằng 0 thì:
∂C
là phương trình đã nhận được trong (1.40) khi Q = 0.
Nếu H là không đáng kể thì ta nhận được một phương trình cấp một
∂C ∂t +
−
→v .−−→gradC +Cdiv−→v = 0. (1.65)
Ở trạng thái ổn định (khi t đủ lớn) thì nồng độ C không phụ thuộc vào thời gian t nữa. Lúc đó phương trình (1.62) trở thành
∇.(H−−→
gradC)− −−→grad.(C−→v ) = 0 (1.66)
và nếu −→v có thể bỏ qua hay bằng 0 thì ta nhận được −−→
grad.(H−−→
gradC) = 0. (1.67) Nếu H là hằng số thì đây chính là phương trình Laplace.