thứ nhất đối với phương trình Laplace trong Ω.
∆u = 0 x ∈ Ω u|∂Ω = ψ. (2.12) Khi đó ta có đánh giá |u(x)| ≤ max ∂Ω |ψ|, ∀x ∈ Ω. (2.13) Do đó, bài toán biên thứ nhất (2.12) có không quá một nghiệm trong C(Ω) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện biên ψ.
Chứng minh. Theo nguyên lí cực trị đối với hàm điều hòa trong miền bị chặn ta có
min
∂Ω u ≤ u(x) ≤ max
∂Ω u, ∀x ∈ Ω. Từ đây ta có đánh giá (2.13).
Giả sử u1, u2 ∈ C(Ω) là hai nghiệm của bài toán (2.12) ứng với dữ kiện biên ψ là ψ1, ψ2. Khi đó u1 − u2 là nghiệm của bài toán đó ứng với dữ kiện biên ψ = ψ1 − ψ2. Theo đánh giá (2.13) ta có
|u1(x)−u2(x)| ≤ max
∂Ω |ψ1 − ψ2|, ∀x ∈ Ω.
Từ bất đẳng thức này chúng ta suy ra u1 = u2 trong Ω nếu ψ1 = ψ2 trên ∂Ω. Hay bài toán biên trên có không quá một nghiệm.
Hơn nữa nếu |ψ1 − ψ2| < ε trên ∂Ω thì ta cũng sẽ có |u1 −u2| < ε trong Ω hay nghiệm của bài toán (2.12) phụ thuộc liên tục vào dữ kiện biên ψ.
Định lý 2.7. Giả sử u ∈ C2(Ω)∩ C(Ω) là nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Poisson trong Ω.
∆u = f(x) x ∈ Ω u|∂Ω = ψ. (2.14)
Khi đó với mọi x ∈ Ω ta có đánh giá min ∂Ω u− M1sup Ω |f| ≤ u(x) ≤ max ∂Ω u +M1sup Ω |f|, (2.15) trong đó M1 = M1(Ω) là hằng số.
Do đó, bài toán biên thứ nhất (2.14) có không quá một nghiệm trong C(Ω) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải f và dữ kiện biên ψ. Chứng minh. Xem [1], Định lý 3.2, trang 58.
Chú ý: Các đánh giá (2.13) và (2.15) được gọi là các đánh giá tiên nghiệm của bài toán biên thứ nhất.
Định lý 2.8. Giả sử ∂Ω trơn và với mỗi x0 ∈ ∂Ω đều tồn tại một hình cầu BR bán kính R sao cho x0 ∈ ∂BR và BR ⊂ Ω (tính chất cầu trong). Khi đó hai nghiệm bất kì của bài toán biên thứ hai đối với phương trình Laplace: ∆u = 0 x ∈ Ω ∂u ∂ν |∂Ω = ψ. (2.16) chỉ có thể sai khác nhau một hằng số.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 3.3, trang 59.
Định lý 2.9. Giả sử Ω là miền thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.8 và u ∈ C2(Ω)∩C1(Ω) là nghiệm của bài toán (2.16). Khi đó tồn tại các hằng số C = C(Ω), M = M(Ω) sao cho
|u(x)− C| ≤ M max
∂Ω |ψ|, ∀x ∈ Ω. (2.17) Chứng minh. Xem [1], Định lý 3.4„ trang 60.
Định lý 2.10. Giả sử ∂Ω trơn và tồn tại hằng số a0 > 0 sao cho a(x) ≥ a0 trên ∂Ω, u ∈ C2(Ω) ∩C1(Ω) là nghiệm của bài toán biên thứ ba đối với phương trình Laplace:
∆u = 0, x ∈ Ω (∂u∂ν +au)|∂Ω = ψ. (2.18)
Khi đó ta có đánh giá tiên nghiệm
|u(x)| ≤ 1
a0 max∂Ω |ψ|, ∀x ∈ Ω. (2.19) Chứng minh. Xem [1], Định lý 3.5, trang 63.