bk = 1 shkπLM 2 M Z M 0 f4(ξ) sin kπξ M dξ. Bài toán biên Dirichlet tổng quát
u00xx +u00yy = 0, (x, y) ∈ (0;L)× (0;M) (2.37) với điều kiện biên
u(x,0) = f1(x); u(x, M) = f2(x); 0 ≤ x ≤ L;
u(0, y) = f3(y); u(L, y) = f4(y); 0 ≤ y ≤ M. (2.38) có nghiệm bằng tổng của các nghiệm của bốn bài toán trên.
Hoàn toàn tương tự ta có thể sử dụng phương pháp tách biến để giải các bài toán biên khác đối với phương trình Laplace trên miền chữ nhật (xem phần bài tập).
2.3.2. Giải bài toán biên trong miền tròn
Bài toán 5: Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace bên trong miền tròn x2 +y2 < R2 :
u00xx +u00yy = 0, x2 +y2 < R2 (2.39) với điều kiện biên
u|x2+y2=R2 = f(x, y). (2.40) Để giải bài toán này, ta đổi biến sang hệ tọa độ cực (x = ρcosϕ; y = ρsinϕ) để dẫn tới bài toán trong miền chữ nhật
u00ρρ + 1 ρu
0
ρ + 1
với điều kiện biên
u|ρ=R = g(ϕ), (2.42) trong đó g(ϕ) = f(Rcosϕ, Rsinϕ) là hàm tuần hoàn với chu kì 2π, tức là g(0) = g(2π).
Nghiệm tách biến của phương trình (2.41) có dạng u(ρ, ϕ) = a0 2 + ∞ X k=1 ρ R k (akcoskϕ+bksinkϕ), (2.43) với các hằng số a0, ak, bk được tìm từ điều kiện biên (2.42), cụ thể
a0 = 1 π Z 2π 0 g(ξ)dξ; ak = 1 π Z 2π 0 g(ξ) coskξdξ; bk = 1 π Z 2π 0 g(ξ) sinkξdξ.
Thay các hệ số vào (2.43), ta có thể đưa nghiệm đó về dạng tích tích phân Poisson sau đây:
u(ρ, ϕ) = 1 2π Z 2πR 0 g(s) R 2 −ρ2 R2 +ρ2 −2Rρcos(s− ϕ)ds. (2.44) Thay trở lại biến (x, y) ta có nghiệm của Bài toán 5.
Bài tập
Bài 2.7 Chứng minh các công thức nghiệm (2.43) và (2.44) của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace bên trong đường tròn. Bài 2.8 Chứng minh rằng:
đường tròn bán kính R có dạng: u(ρ, ϕ) = a0 2 + ∞ X n=1 Rn ρn (Ancosnϕ+Bnsinnϕ).
2, Nghiệm tách biến của phương trình Laplace trong miền vành khăn R1 < ρ < R2 có dạng: u(ρ, ϕ) = ∞ X n=1 (Anρn+Cn ρn) cosnϕ+ ∞ X n=1 (Bnρn+Dn ρn ) sinnϕ) +alnρ+b. Bài 2.9 Áp dụng công thức nghiệm của Bài toán 5, tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình tròn ρ < 1, thỏa mãn điều kiện biên u|ρ=1 = f(ϕ) trong các trường hợp sau:
1. f(ϕ) = cos2ϕ. 2. f(ϕ) = sin3ϕ. 3. f(ϕ) = cos4ϕ.
4. f(ϕ) = sin6ϕ + cos6ϕ.
Bài 2.10Áp dụng công thức nghiệm (2.43) của Bài toán 5, tìm nghiệm của bài toán Neumann đối với phương trình Laplace trong hình tròn ρ < R, với điều kiện biên sau:
1. ∂u∂ρ|ρ=R = Acosϕ. 2. ∂u∂ρ|ρ=R = Acos 2ϕ. 3. ∂u∂ρ|ρ=R = sin3ϕ.
Bài 2.11 Hãy tìm sự phân bố nhiệt dừng u(ρ, ϕ) bên trong hình tròn bán kính R, biết:
1) nhiệt độ trên biên
u(ρ, ϕ)|ρ=R = Asinϕ;
2) trên một nửa biên (0 ≤ ϕ ≤ π)) duy trì nhiệt độ −T0, còn trên nửa biên kia (−π ≤ ϕ < 0) duy trì nhiệt độ T0.
Bài 2.12 Áp dụng công thức nghiệm trong Bài tập 2.3.2 tìm hàm điều hòa trong hình vành khăn 1 < ρ < 2 sao cho
u|ρ=1 = f1(ϕ), u|ρ=2 = f2(ϕ) với
1. f1(ϕ) = u1 = const, f2(ϕ) = u2 = const. 2. f1(ϕ) = 1 + cos2ϕ, f2(ϕ) = sin2ϕ.
Bài 2.13 Tìm nghiệm của phương trình ∆u = A trong hình vành khăn R1 < ρ < R2 biết u|ρ=R1 = u1, u|ρ=R2 = u2 trong đó A, u1, u2 là các hằng số đã cho.
Bài 2.14 Tìm nghiệm của phương trình Poisson ∆u = −Axy,(A = const) trong hình tròn ρ < R biết u|ρ=R = 0.
Bài 2.15 Tìm nghiệm của phương trình Poisson ∆u = A trong hình chữ nhật 0 < x < a,0 < y < b thỏa mãn các điều kiện biên:
u|x=0 = Asin πy
u|y=0 = Bsin πx
a , u|x=b = 0.
Bài 2.16 Tìm phấn bố thế năng của trường tĩnh điện u(x, y) bên trong hình chữ nhật 0 < x < a,0 < y < b nếu thế năng dọc theo cạnh của hình chữ nhật nằm trên trục Oy bằng v0, còn ba cạnh kia tiếp đất. Giả thiết rằng bên trong hình chữ nhật đó không có điện tích. Bài 2.17 Tìm sự phân bố thế năng của trường tĩnh điện u(x, y) bên trong miền chữ nhật −a < x < a,−b < y < b, hai cạnh đối diện của nó x = a và x = −a có thế năng v0 còn hai mặt khác y = b và y = −b được tiếp đất.
Bài 2.18 Tìm phân bố dừng của nhiệt độ u(x, y) trong một bản mặt chữ nhật đồng chất 0 < x < a,0 < y < b biết các cạnh x = a và y = b được phủ bằng lớp cách nhiệt, hai cạnh kia x = 0 và y = 0 được duy trì ở nhiệt độ 0, còn bên trong bản mặt có nguồn nhiệt toả ra với mật độ không đổi q.
Chương 3
Phương trình truyền sóng
Trong chương này chúng ta tìm hiểu về một đại diện của lớp phương trình hyperbolic, đó là phương trình truyền sóng trong môi trường thuần nhất trong không gian n chiều:
∂2u
∂t2 − a2∆u = f(x, t), x ∈ Ω ⊂ Rn, t > 0.
Về phương diện vật lý, t là biến thời gian, x = (x1, x2,· · · , xn) là biến không gian, a > 0 là vận tốc truyền sóng và là một hằng số, f(x, t) là mật độ của ngoại lực, ∆u là toán tử Laplace theo biến x.
Nếu đổi biến s = at thì phương trình trở thành ∂2u
∂s2 −∆u = g(x, s), với g(x, s) = 1
a2f(x, s/a),
do đó chúng ta có thể coi a = 1 để đơn giản trong cách viết về sau. 75