Trong tài liệu này, năng lượng nhiệt (the heat energy or the thermal energy) sẽ được gọi tắt là nhiệt năng. Xét một thanh một chiều, có tiết diện ngang không đổi A và có chiều dài L (xem Hình 1) được định hướng theo trục x. Gọi e(x, t) là mật độ nhiệt năng (the thermal density-nhiệt năng trên một đơn vị thể tích). Giả thiết mặt xung quanh của thanh được cách nhiệt hoàn toàn. Khi đó không có nhiệt năng thoát ra khỏi thanh qua mặt xung quanh. Nhiệt năng có thể phụ thuộc vào x và t nếu thanh không được nung nóng đều. Xét một lát cắt mỏng với độ dày ∆x giữa x và x+ ∆x.
Nếu lát cắt đủ mỏng thì tổng nhiệt năng trong lát cắt bằng tích của mật độ nhiệt năng và thể tích, tức là
e(x, t)A∆x. (1.33)
Tốc độ thay đổi nhiệt năng cho bởi ∂
∂t[e(x, t)A∆x]. (1.34) Theo luật bảo toàn nhiệt năng, tốc độ thay đổi này trên một đơn vị thời gian phải bằng tổng của lượng nhiệt năng sinh ra bên trong trên một đơn vị thời gian với lượng nhiệt năng truyền ra ngoài thanh qua hai đầu thanh (ta sẽ gọi là biên) trên một đơn vị thời gian. Gọi ϕ(x, t) là thông lượng nhiệt (heat flux - lượng nhiệt năng trên một đơn vị thời gian truyền sang phải trên một đơn vị diện tích), S(x, t) là lượng
nhiệt năng trên một đơn vị thể tích sinh ra trên một đơn vị thời gian. Khi đó, luật bảo toàn nhiệt năng được mô tả bởi:
∂
∂t[e(x, t)A∆x] = ϕ(x, t)A −ϕ(x + ∆x, t)A +S(x, t)A∆x. (1.35) Phương trình này chỉ là một mô tả gần đúng, nhưng nó sẽ chính xác khi chuyển qua giới hạn khi độ dày của lát cắt ∆x → 0. Chia hai vế cho A∆x rồi cho ∆x → 0, ta nhận được:
∂
∂te(x, t) = − ∂
∂xϕ(x, t) + S(x, t). (1.36) Bây giờ, ta viết lại phương trình này thông qua nhiệt độ (the tem- perature) u(x, t). Mật độ nhiệt năng e(x, t) được cho bởi:
e(x, t) = c(x)ρ(x)u(x, t), (1.37) trong đó c(x) là nhiệt dung riêng (the specific heat - nhiệt năng cần phải cung cấp để một đơn vị khối lượng tăng nhiệt độ của nó lên một độ) và ρ(x) là mật độ khối (the mass density). Thông lượng nhiệt có liên hệ với nhiệt độ thông qua định luật Fourier:
ϕ(x, t) = −K ∂
∂xu(x, t), (1.38)
trong đó K là hệ số dẫn nhiệt (the thermal conductivity). Thế (1.37)- (1.38) vào (1.36) ta có c(x)ρ(x)∂u ∂t = ∂ ∂x K∂u ∂xu +S. (1.39)
Đặc biệt, khi c, ρ, K là các hằng số ta nhận được
trong đó k = K cρ (1.41) và Q = S cρ. (1.42)
Trong quá trình giải các phương trình trên, chúng ta sẽ thường phải xác định thêm hai điều kiện biên và một điều kiện ban đầu. Điều kiện ban đầu là phân bố nhiệt tại thời điểm t = 0, tức là
u(x,0) = f(x).
Các điều kiện biên có thể thuộc một trong các loại sau đây: 1. Biết nhiệt độ trên biên (điều kiện biên Dirichlet)
u(0, t) = p(t) hoặc
u(L, t) = q(t). 2. Biên cách nhiệt (điều kiện biên Neumann)
∂
∂νu(x, t) = 0
trong đó ∂ν∂ là đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài đơn vị. Cụ thể, tại x = 0, ∂ ∂ν = − ∂ ∂x còn tại x = L thì ∂ ∂ν = ∂ ∂x
(xem Hình 2). Điều kiện này có nghĩa là không có nhiệt độ truyền ra ngoài thanh qua biên.
3. Biên có sự đối lưu nhiệt
Khi một đầu của thanh (chẳng hạn đầu x = 0) được tiếp xúc tại biên với một dòng chất lỏng hoặc khí chuyển động thì sẽ có sự trao đổi nhiệt. Sự trao đổi này được xác định bởi định luật đối lưu nhiệt Newton (Newton’s law of cooling)
−K(0) ∂
∂xu(0, t) = −H{u(0, t)−v(t)}
trong đó H là hệ số đối lưu nhiệt (the heat transfer/convection coefficient) còn v(t) là nhiệt độ của môi trường xung quanh. Ta có thể phải giải phương trình cùng với một số các điều kiện biên như vậy. Chẳng hạn, một đầu cách nhiệt và đầu còn lại tiếp xúc với chất lỏng làm mát.
4. Điều kiện biên tuần hoàn
Trong trường hợp mô tả sự truyền nhiệt trong một vòng tròn (xem Hình 3). Nếu hai đầu thanh gắn chặt với nhau thì nhiệt độ và thông lượng nhiệt tại hai đầu bằng nhau, tức là
u(0, t) = u(L, t), ux(0, t) = ux(L, t).
Bài tập
Bài 1.21 Giả sử nhiệt độ ban đầu của một thanh cho bởi u(x,0) = 2x, nếu 0 ≤ x ≤ 1/2 2(1− x), nếu 1/2 ≤ x ≤ 1 và các điều kiện biên là
Hãy cho biết nhiệt độ của thanh như thế nào tại thời điểm sau đó. Bài 1.22 Giả sử thanh có nguồn nhiệt bên trong không đổi. Khi đó phương trình mô tả sự dẫn nhiệt là:
ut = kuxx +Q, 0 < x < 1. Giả thiết ta cố định nhiệt độ tại hai đầu thanh
u(0, t) = 0, u(L, t) = 1.
Hỏi nhiệt độ trong thanh khi ổn định sẽ như thế nào? (Gợi ý: Khi đó ut = 0 nên ta có phương trình vi phân thường ku00(x) +Q = 0)
Bài 1.23 Dẫn ra phương trình mô tả sự dẫn nhiệt trong một thanh có hệ số dẫn nhiệt K(x).
Bài 1.24 Biến đổi phương trình
ut = k(uxx +uyy)
sang hệ tọa độ cực (ρ = px2 +y2,tanφ = y/x) và đặc biệt hóa phương trình kết quả trong trường hợp hàm không phụ thuộc vào θ. Bài 1.25 Xác định nhiệt độ ở trạng thái dừng trong thanh một chiều với các hệ số nhiệt (c, ρ, K) không đổi và
a. Q = 0, u(0) = 1, u(L) = 0 b. Q = 0, ux(0) = 0, u(L) = 1 c. Q = 0, u(0) = 1, ux(L) = ϕ d. Qk = x2, u(0) = 1, ux(L) = 0