chặn-Phương pháp Perron
Trong mục này chúng ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong miền bị chặn bất kỳ, theo phương pháp Perron.
Định nghĩa 2.1 (Hàm dưới điều hòa, hàm trên điều hòa). Hàm u ∈ C(Ω) được gọi là hàm dưới điều hòa (trên điều hòa) trong miền Ω, nếu với mọi hình cầu B ⊂⊂ Ω và với mọi hàm h điều hòa trong B sao cho u ≤ h (u ≥ h) trên ∂B, ta đều có u ≤ h (u ≥ h) trong B.
Dễ thấy mọi hàm điều hòa trong Ω đều là hàm dưới điều hòa và cũng là hàm trên điều hòa.
Các hàm dưới điều hòa và trên điều hòa có các tính chất được chỉ ra trong các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Giả sử u ∈ C(Ω) là hàm dưới điều hòa trong Ω. Khi đó u nhận giá trị lớn nhất trên ∂Ω.
Chứng minh. Xem [1], Bổ đề 7.1, trang 79.
Bổ đề 2.2. Giải sử u, v ∈ C(Ω) tương ứng là hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω. Khi đó ta có u ≤ v trong Ω.
Chứng minh. Xem [1], Bổ đề 7.2, trang 80.
Bổ đề 2.3. Giả sử u1, u2,· · · , uN là dãy các hàm dưới điều hòa trong Ω. Khi đó hàm u(x) = max{u1(x), u2(x),· · · , uN(x)} cũng là hàm dưới điều hòa trong Ω.
Chứng minh. Xem [1], Bổ đề 7.3, trang 81.
Định nghĩa 2.2 (Hàm cắt điều hòa). Cho u là một hàm dưới điều hòa trong Ω và hình cầu B ⊂⊂ Ω. Gọi u¯ là hàm điều hòa trong B bằng với hàm u trên ∂B (hàm u¯ tồn tại theo Định lý 2.11). Ta gọi hàm cắt điều hòa của hàm u đối với B trong Ω là hàm
U(x) = ¯ u(x), nếu x ∈ B u(x), nếu x ∈ Ω\B. (2.24)
Bổ đề 2.4. Hàm cắt điều hòa của hàm dưới điều hòa đối với hình cầu B trong Ω xác định bởi (2.24) là một hàm dưới điều hòa trong Ω. Chứng minh. Xem [1], Bổ đề 7.4, trang 81.
Chú ý: Tương tự chúng ta có các kết quả tương ứng với các hàm trên điều hòa bằng cách thay u bởi −u trong các bổ đề trên.
Cho ψ là một hàm bị chặn bất kì trên biên ∂Ω. Kí hiệu Sψ là tập hợp tất cả các hàm u ∈ C(Ω) dưới điều hòa trong Ω và u ≤ ψ trên ∂Ω. Khi đó ta có
Định lý 2.17. Hàm u(x) = sup
v∈Sψ
v(x) là một hàm điều hòa trong Ω.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 7.1, trang 82.
Định nghĩa 2.3 (Nghiệm Perron). Hàm điều hòa xác định trong Định lý 2.17 được gọi là nghiệm Perron của bài toán Dirichlet
∆u = 0, trong Ω u = ψ, trên ∂Ω.
Có thể thấy, nếu bài toán Dirichlet có nghiệm thì nghiệm đó phải trùng với nghiệm Perron.Thật vậy, nếu ω là nghiệm của bài toán đó thì ω ∈ Sψ. Theo nguyên lý cực trị ta lại có ω ≥ u với mọi u ∈ Sψ. Vậy ω là nghiệm Perron.
Vấn đề còn lại là xét xem khi nào nghiệm Perron trở thành nghiệm của bài toán Dirichlet? Để trả lời câu hỏi này ta đưa vào khái niệm sau
Định nghĩa 2.4. Cho ξ ∈ ∂Ω.
Hàm ω = ωξ ∈ C(Ω) được gọi là hàm chắn (barrier) tại điểm ξ đối với Ω, nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(ii) ω(ξ) = 0 và ω > 0 trong Ω\ {ξ}.
Hàm ω được gọi là hàm chắn địa phương tại điểm ξ nếu tồn tại một lân cận V của ξ sao cho ω là hàm chắn tại điểm ξ đối với Ω∩V. Rõ ràng, nếu tồn tại một hàm chắn địa phương tại điểm ξ thì cũng tồn tại một hàm chắn tại điểm đó đối với Ω. Thật vậy, lấy hình cầu B ⊂⊂ V bất kỳ sao cho ξ ∈ B. Khi đó ta có m = inf(V∩Ω)\Bω > 0 và hàm ¯ ω(x) = min(m, ω(x)), nếu x ∈ Ω∩B, m, nếu x ∈ Ω\B
là hàm chắn tại điểm ξ đối với Ω.
Định nghĩa 2.5. Điểm ξ ∈ ∂Ω được gọi là điểm đều (đối với toán tử Laplace) nếu tại điểm đó tồn tại một hàm chắn.
Bổ đề 2.5. Giả sử u là nghiệm Perron trong Ω. Khi đó, nếu ξ ∈ ∂Ω là điểm đều và ψ liên tục tại ξ thì u(x) → ψ(ξ) khi x → ξ.
Chứng minh. Xem [1], Bổ đề 7.5, trang 84.
Định lý 2.18. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong miền Ω bị chặn, với dữ kiện biên ψ liên tục, có nghiệm khi và chỉ khi tất cả các điểm biên của Ω đều là điểm đều.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 7.2, trang 85.
Như vậy vấn đề tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong miền Ω bị chặn được đưa về bài toán xét tính đều của các điểm trên ∂Ω. Dưới đây chúng ta có một điều kiện đủ cho bài toán này.
Định nghĩa 2.6. Biên ∂Ω được gọi là có tính chất cầu ngoài nếu với mỗi điểm ξ ∈ ∂Ωtồn tại một hình cầu B = BR(y) sao cho B¯∩Ω = {ξ}. Ta thấy, nếu ∂Ω có tính chất cầu ngoài thì mọi điểm của ∂Ω đều là điểm đều vì khi đó hàm
¯ ω(x) = R2−n − |x −y|2−n, nếu n ≥ 3, ln |xR−y|, nếu n = 2 là hàm chắn tại điểm ξ.
Hơn nữa, mỗi điểm biên thuộc lớp C2 đều là điểm đều. Do đó nếu miền Ω thuộc lớp C2 thì bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trên Ω có nghiệm nếu dữ kiện biên liên tục.
2.3. Phương pháp tách biến Fourier giải bài toánbiên đối với phương trình Laplace 2 chiều