Tập bài giảng phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ———————————– TRẦN VĂN BẰNG TẬP BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (Lưu hành nội bộ) HÀ NỘI - NĂM 2017 TRẦN VĂN BẰNG TẬP BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (Tài liệu dùng cho sinh viên ngành Sư phạm Toán) HÀ NỘI - NĂM 2017 Mục lục Lời nói đầu Một số kí hiệu Chương Giới thiệu phương trình đạo hàm riêng 1.1 Một số kí hiệu chung 1.1.1 Về không gian Euclide Rn 1.1.2 Không gian hàm khả vi 10 1.1.3 Một số công thức tích phân 11 1.2 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng 12 1.3 Phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai 15 1.4 Dạng tắc PTĐHR tuyến tính cấp hai 18 1.4.1 Dạng tắc điểm 18 1.4.2 Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai hàm hai biến dạng tắc miền 1.5 Nghiệm tổng quát 20 27 1.6 Một số tượng tự nhiên dẫn tới phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 29 1.6.1 Phương trình truyền nhiệt chiều 29 1.6.2 Sự dao động dây 33 1.6.3 Sự khuếch tán không gian ba chiều 36 1.7 Tính đặt chỉnh toán 38 1.8 Bài tập Chương 41 Chương Phương trình Laplace - Poisson 50 2.1 Hàm điều hòa - Biểu diễn Green 51 2.1.1 Khái niệm hàm điều hòa - Nghiệm 51 2.1.2 Biểu diễn Green hàm điều hòa 52 2.1.3 Các tính chất hàm điều hòa 54 2.2 Bài toán biên phương trình Laplace, Poisson 60 2.2.1 Các toán biên 60 2.2.2 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 61 2.2.3 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet PT Laplace hình cầu 65 2.2.4 Các định lý hội tụ 68 2.2.5 Sự tồn nghiệm BT Dirichlet miền bị chặn-Phương pháp Perron 71 2.3 Phương pháp tách biến Fourier giải toán biên phương trình Laplace chiều 77 2.3.1 Giải toán biên miền chữ nhật 77 2.3.2 Giải toán biên miền tròn 82 2.4 Bài tập chương 83 Chương Phương trình truyền sóng 88 3.1 Bài toán Cauchy phương trình truyền sóng 88 3.1.1 Tính nghiệm toán Cauchy 89 3.1.2 Công thức nghiệm toán Cauchy 91 3.2 Bài toán biên ban đầu PT truyền sóng 99 3.2.1 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 99 3.2.2 Sự tồn nghiệm 102 3.3 Bài tập Chương Chương Phương trình truyền nhiệt 4.1 Biểu diễn Green hàm nhiệt 108 115 115 4.1.1 Công thức Green toán tử truyền nhiệt 115 4.1.2 Nghiệm toán tử truyền nhiệt 117 4.1.3 Biểu diễn Green hàm nhiệt 117 4.1.4 Các nguyên lý cực trị 119 4.2 Bài toán Cauchy phương trình truyền nhiệt 123 4.2.1 Tính nghiệm toán Cauchy 124 4.2.2 Công thức nghiệm toán Cauchy 124 4.3 Bài toán biên ban đầu PT truyền nhiệt 127 4.3.1 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm toán biên ban đầu 128 4.3.2 Phương pháp tách biến Fourier giải toán biên ban đầu 131 4.4 Bài tập Chương 133 Phụ lục 141 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu từ kỷ XVIII công trình Euler, D’ Alembert, Lagrange Laplace với vai trò công cụ để mô tả mô hình vật lý học Ngày nay, phương trình đạo hàm riêng trở thành lý thuyết thiếu để nghiên cứu nhiều lĩnh vực thủy động học, điện học, nhiệt học, quang học, lý thuyết đàn hồi, kinh tế học, sinh thái học, nhiều lĩnh vực toán học hình học đại số, hình học vi phân, giải tích siêu địa phương, giải tích điều hòa, tô pô, lý thuyết biểu diễn nhóm nhiều chiều, tính toán khoa học, Hiện có nhiều tài liệu Phương trình đạo hàm riêng tiếng nước (xem [4] - [6] tài liệu đó) Tài liệu tiếng Việt chủ đề có số tài liệu tốt (xem [1] - [3] tài liệu đó) Tuy nhiên để phù hợp với chương trình đào tạo, thời lượng học tập, đối tượng sinh viên, thấy cần phải biên soạn tài liệu riêng cho sinh viên ngành Sư phạm Toán học Trong khuôn khổ học phần tín chỉ, tập giảng Phương trình đạo hàm riêng đề cập tới số nội dung phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp - lớp phương trình đạo hàm riêng có vai trò vô quan trọng ứng dụng phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Nội dung tập giảng trình bày chương: Với mục đích giúp người học có nhìn khái quát lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, Chương dành để giới thiệu kí hiệu, khái niệm phương trình đạo hàm riêng, cách phân loại, khái niệm nghiệm, số tượng tự nhiên dẫn tới phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, số toán phương trình đạo hàm riêng khái niệm đặt chỉnh toán Chương tập trung nghiên cứu đại diện lớp phương trình elliptic cấp - phương trình Laplace - Poisson toán biên phương trình Laplace - Poisson Qua toán biên, người học làm quen với hai phương pháp biểu diễn nghiệm bao gồm: phương pháp Green phương pháp tách biến Chương giới thiệu phương pháp Perron để chứng minh tồn nghiệm toán Dirichlet phương trình Laplace, nội dung dành cho muốn tiếp tục nghiên cứu sâu phương trình đạo hàm riêng Chương dành để trình bày kết phương trình truyền sóng đại diện lớp phương trình hyperbolic cấp Phương pháp nghiên cứu chương gồm: phương pháp lượng để chứng minh tính nghiệm, phương pháp đặc trưng phương pháp tách biến để biểu diễn nghiệm Chương cuối đề cập tới đại diện lớp phương trình parabolic - phương trình truyền nhiệt Các phương pháp sử dụng chương gồm: phương pháp lượng để chứng minh tính nhất, phương pháp Green phương pháp tách biến để biểu diễn nghiệm Đây tập giảng sử dụng cho sinh viên ngành Sư phạm Toán học Nội dung học phần mang tính nhập môn phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp với khái niệm nghiệm hiểu theo nghĩa cổ điển (nghiệm thuộc lớp C ), nên bổ ích cho sinh viên ngành Sư phạm Vật lý, học viên cao học chuyên ngành Toán học, Vật lí quan tâm tới lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội thành viên Tổ Giải tích tạo điều kiện, động viên đóng góp ý kiến bổ ích để tập giảng hoàn thiện, đặc biệt ThS Trần Văn Tuấn, CN Nguyễn Phương Đông đọc chỉnh sửa nhiều lỗi soạn thảo số vấn đề cách trình bày giảng Tác giả Một số kí hiệu Rn Không gian Euclide thực n chiều |x| Chuẩn hay độ dài véc tơ x x.y Tích vô hướng hai véc tơ Rn Ω, Ω, ∂Ω Tập mở, bao đóng biên Rn A ⊂⊂ Ω A compact chứa Ω, gọi chứa compact o A Phần tập A ν Véc tơ pháp tuyến đơn vị biên tập Br (a) Hình cầu tâm a bán kính r ωn Thể tích hình cầu đơn vị Rn ∂u = uxi ∂xi −−→ Du = gradu Đạo hàm riêng hàm u theo biến xi Véc tơ gradient hàm u ∂u ∂ν Đạo hàm hàm u theo hướng véc tơ ν C(Ω) = C (Ω) Không gian hàm liên tục Ω C k (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω divF = n ∂Fi i=1 ∂xi Divergence trường véc tơ F = (F1 , · · · , Fn ) Ω u(x)dx Tích phân bội Ω ∂Ω u(x)dS Tích phân mặt loại ∂Ω Hai đầu cách nhiệt, nhiệt độ ban đầu cho công thức    2u0 x , < x < L2 , u t=0 = 2uL   (L − x), L < x < L, L u0 = const Tìm lim u(x, t) t→∞ Bài tập 4.9 Giải toán sau ut = uxx , < x < 1, ux = 0, u x=0 uxx = ut + u, < x < L, u x=0 ut = uxx − 4u, < x < π, u x=1 =u x=L =u x=0 = 0, u x=π = x2 − t=0 = 0, u t=0 = 0, u = t=0 = x2 − πx Bài tập 4.10 Cho mỏng đồng chất ≤ x ≤ L, mặt bên cách nhiệt Tìm nhiệt độ nếu: Hai đầu giữ với nhiệt độ không đổi u u2 , nhiệt độ ban đầu u t=0 x=0 = u1 , u x=L = = u0 = const Tìm lim u(x, t) t→∞ Hai đầu có nhiệt độ không đổi u x=0 =u x=L = u1 , nhiệt độ ban đầu cho công thức u t=0 = u0 (x) = Ax(L − x), A = const Tìm lim u(x, t) t→∞ Đầu bên trái cách nhiệt, đầu bên phải giữ với nhiệt độ không đổi u x=L = u2 , nhiệt độ ban đầu u t=0 = Ax L , Đầu bên trái giữ với nhiệt độ không đổi u A = const x=0 = u1 , đầu bên phải theo dòng nhiệt bên (không đổi); nhiệt độ ban đầu u t=0 = u0 (x) 138 Bài tập 4.11 Cho đồng chất mỏng, độ dài L, có mặt bên tỏa nhiệt vào môi trường xung quanh (nhiệt độ môi trường 0) Đầu trái giữ với nhiệt độ không đổi u = u1 Xác định nhiệt độ x=0 u(x, t) nếu: Đầu bên phải giữ với nhiệt độ u đầu u t=0 x=L = u2 = const, nhiệt độ ban = u0 (x) Đầu bên phải trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh (nhiệt độ môi trường 0), nhiệt độ ban đầu Trong trường hợp tổng quát nhiệt độ hai đầu phụ thuộc t, điều kiện biên có dạng u x=0 = α1 (t), u x=L = α2 (t) (4.39) Khi nghiệm toán (4.32), (4.33), (4.39) tìm dạng x u = v+w, w xác định công thức w(x, t) = α1 (t)+ (α2 (t)−α1 (t)) L Bài tập 4.12 Tìm nhiệt độ ≤ x ≤ L có mặt bên cách nhiệt, đầu x = L giữ với nhiệt độ 0, đầu x = có nhiệt độ u x=0 = At, với A = const Nhiệt độ ban đầu Bài tập 4.13 Giải toán sau: ut = uxx , < x < L, ux x=0 = 1, u x=L ut = uxx + u + sin 2x sin x, < x < ut = uxx − 2ux + x + 2t, < x < 1, u = 0, u π , ux x=0 t=0 x=0 =u ut = uxx + u − x + sin 2x cos x, < x < 1, u t=0 = x 139 = =u x=1 x= π2 = t, u π ,u x=0 =u t=0 t=0 = = ex sin πx = 0, ux x= π2 = ut = uxx + 4u + x2 − 2t − 4x2 t + cos2 x, < x < π, ux 2πt, u t=0 x=π = = + t, u x=π = = ut − uxx + 2ux − u = ex sin x − t, < x < π, u + t, u = 0, ux x=0 t=0 = + ex sin 2x 140 x=0 PHỤ LỤC Chuỗi Fourier Giả sử f (x) hàm tuần hoàn với chu kì 2L, (L > 0), trơn khúc Khi có khai triển Fourier a0 f (x) = + ∞ (ak cos k=1 kπx kπx + bk sin ), L L (5.1) hệ số ak , bk xác định L a0 = L f (x)dx, −L L ak = L f (x) cos kπx dx, L f (x) sin kπx dx, L (5.2) −L L bk = L k = 1, , −L Nếu thêm giả thiết f hàm chẵn ta có khai triển Fourier cosine: a0 f (x) = + ∞ ak cos k=1 141 kπx , L hệ số ak xác định L a0 = L f (x)dx, L ak = L f (x) cos kπx dx, L k = 1, , Nếu thêm giả thiết f hàm lẻ ta có khai triển Fourier sine: ∞ bk sin f (x) = k=1 kπx , L hệ số ak , bk xác định L bk = L f (x) sin kπx dx, L k = 1, , Chuỗi Fourier tổng quát Cho không gian L2 [a, b] hàm thực biến bình phương khả tích Lebesgue đoạn [a, b] với tích vô hướng b f, g = f (x)g(x)dx a chuẩn sinh tích vô hướng b f f (x)dx = f, f = a Giả sử {ψk (x)}∞ k=1 ⊂ L [a, b] dãy hàm đôi trực giao, tức ψn , ψm = 0, 142 ∀n = m Khi đó, hàm f (x) ∈ L2 [a, b] có khai triển theo hàm {ψk (x)}∞ k=1 : ∞ ak ψk (x), f (x) = (5.3) k=1 ak gọi hệ số Fourier hàm f (x) theo hệ trực giao {ψk (x)}∞ k=1 xác định bởi: b a f (x)ψk (x)dx , b ψ (x)dx a k f, ψk ak = = ψk k = 1, 2, (5.4) Ví dụ 5.3 Dễ thấy, không gian L2 [−L; L] hàm x 2x x 2x , cos , cos , , sin , sin , L L L L đôi trực giao kx kx = cos = sin = L, ∀k = 1, 2, L L Do hàm f ∈ L2 [−L; L] có khai triển theo hàm công thức (5.1) theo (5.4), hệ số xác định công thức (5.2) Một số tích phân đặc biệt Trong mục tính số tích phân đặc biệt để tiện sử dụng việc giải số toán Cauchy phương trình truyền nhiệt a) Tích phân Gauss +∞ e−z dz = I= √ π (5.5) −∞ Thật vậy, +∞ +∞ e−x dx I2 = −∞ e−y dy = −∞ e−x 143 −y dxdy Đổi sang hệ tọa độ cực x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ ta có +∞ 2π +∞ 2 e−ρ ρdρdϕ = 2π I2 = e−ρ ρdρ = π 0 Từ ta có điều cần chứng minh b) Tích phân +∞ −z I(α) = e √ sin(αz + β)dz = π sin βe − α4 (5.6) −∞ Thật vậy, lấy đạo hàm theo α sử dụng công thức tích phân phần ta có +∞ ze−z cos(αz + β)dz = I (α) = −∞ +∞ = − e−z cos(αz + β) α − −∞ +∞ e−z sin(αz + β)dz −∞ +∞ α =− α e−z sin(αz + β)dz = − I(α) −∞ hay α I(α) = Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp ta nhận I (α) + α2 I(α) = Ce− Mặt khác, sử dụng tích phân Gauss (5.5) ta có +∞ +∞ e−z sin βdz = sin β C = I(0) = −∞ −∞ Vậy ta có (5.6) 144 e−z dz = √ π sin β Tương tự ta có +∞ e−z cos(αz + β)dz = J(α) = √ α2 π cos βe− (5.7) −∞ Khái niệm đặc trưng định lí Kovalevskaya a) Bài toán Cauchy-Định lí Kovalevsskaya Trong Chương 4, nghiên cứu tồn nghiệm toán Cauchy phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt (đó phương trình dạng tắc) Trong mục đề cập tới toán Cauchy phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát định lí Kovalevskaya tồn nghiệm toán Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát n n aij (x)uxi xj + i,j=1 bj (x)uxj + b(x)u = f (x), x ∈ Ω, (5.8) j=1 hệ số aij = aij (x), bj = bj (x), b = b(x), f = f (x) hàm phức đủ trơn, aij = aji aij không đồng thời không Để đưa phương trình dạng tương tự xét phương trình truyền nhiệt phương trình truyền sóng, tách biến biến x1 , x2 , , xn , chẳng hạn xn đặt biến t Trong vật lí t giữ vai trò thời gian, biến lại x = (x1 , , xn−1 ) tọa độ không gian Giả sử mặt phẳng t = t0 lân cận điểm x = (x01 , , x0n−1 ) cho điều kiện ban đầu u|t=t0 = ϕ0 (x ), ut |t=t0 = ϕ1 (x ) (5.9) Bài toán tìm nghiệm phương trình (5.8) lân cận 145 x0 = (x0 1, , x0n−1 , t0 ) với điều kiện ban đầu (5.9) gọi toán Cauchy Vấn đề đặt với giả thiết toán Cauchy (5.8)+(5.9) có nghiệm Năm 1974 S V Kovalepsskaya (1850-1891) chứng minh định lí tồn nghiệm toán lớp hàm giải tích mang tên định lí Kovalepskaya Giả sử phương trình (5.8) viết dạng n−1 utt = n−1 bij (x)uxi xj + i,j=1 n bin (x)uxi t + i=1 bi (x)uxi + b(x)u + h(x) (5.10) i=1 Định lý 5.12 (Kovalevskaya, [1], trang 16) Giả sử bij , bin , bi , b, h hàm giải tích lân cận điểm x0 , ϕ1 , ϕ2 hàm giải tích lân cận điểm x Khi toán Cauchy (5.10)+(5.9) có nghiệm giải tích lân cận điểm x0 nghiệm lớp hàm giải tích b) Bài toán Cauchy tổng quát-Khái niệm đặc trưng Tổng quát nữa, giả sử miền Ω cho mặt (n − 1) chiều đủ trơn Σ trường véc tơ đơn vị ν = biến thiên đủ trơn mặt Σ không tiếp xúc với Σ (chẳng hạn ν trường véc tơ pháp tuyến đơn vị mặt Σ) Bài toán tìm nghiệm phương trình (5.8) lân cận mặt Σ cho u|Σ = ϕ0 (x), (5.11) ∂u = ϕ1 (x), (5.12) ∂ν Σ ϕ0 , ϕ1 hàm cho mặt Σ, gọi toán Cauchy tổng quát phương trình (5.8) Các hàm ϕ0 , ϕ1 gọi kiện Cauchy, mặt Σ gọi mặt Cauchy 146 Để nghiên cứu tồn nghiệm toán Cauchy tổng quát, tìm cách đưa toán dạng sử dụng định lí Kovalevskaya Giả sử mặt Σ có phương trình tham số xi = xi (ξ1 , , ξn−1 ), i = 1, , n (5.13) với vế phải (5.13) hàm đủ trơn hạng ma trận hàm rank[∂xi /∂ξk ]n×(n−1) = n − điểm mặt Σ Từ giả thiết ν không tiếp xúc với Σ, điểm x ∈ Σ, có ∂x hệ tọa độ địa phương xác định sở { ∂ξ , , ∂ξ∂x , ν}, n−1 ∂x1 ∂xn ∂x =( , , ), ∂ξi ∂ξi ∂ξi i = 1, , n − Với x ∈ Rn ta có biểu diễn theo hệ tọa độ địa phương n−1 x= ξi i=1 ∂x + ξn ν ∂ξi hay x = (ξ1 , , ξn−1 , ξn ) Như ta đưa vào biến ξ = (ξ1 , , ξn−1 , ξn ) Rõ ràng, mặt cong Σ có phương trình ξn = Đổi sang biến ξ = (ξ1 , , ξn ) đặt v(ξ) = u(x(ξ)) ta có n uxi = vξp p=1 n uxi xj ∂ξp ∂ξq = vξp ξq + ∂x ∂x i j p,q=1 ∂ξp , ∂xi n ∂ ξp , vξp ∂x ∂x i j p=1 i, j = 1, , n Từ phương trình (5.8) theo biến có dạng n n bij (ξ)vξi ξj + i,j=1 bj (ξ)vξj + b(ξ)v = f1 (ξ), j=1 147 (5.14) n bij (ξ) = apq (x(ξ)) p,q=1 ∂ξi ∂ξj , ∂xp ∂xq i, j = 1, , n Đặc biệt n bnn (ξ(x)) = aij (x) i,j=1 ∂ξn ∂ξn ∂xi ∂xj Nếu mặt Σ, hàm n aij (x) i,j=1 ∂ξn ∂ξn = 0, ∂xi ∂xj (5.15) bnn (ξ(x)) khác không lân cận mặt Σ Khi lân cận này, phương trình (5.14) viết dạng n−1 vξn ξn = n−1 cij (ξ)vξi ξj + i,j=1 n cin (ξ)vξi ξn + i=1 ci (ξ)vξi + c(ξ)v + h(ξ) (5.16) i=1 Đồng thời ta có n ∂u = ∂ν n uxi νi = i=1 i=1 n ∂ξj vξj νi = ∂x i j=1 n vξj j=1 ∂ξj ∂ν Bởi điều kiện (5.9) (5.10) hệ tọa độ có dạng v|ξn =0 = v0 (ξ ), n vξj j=1 ∂ξj ∂ν ξ = (ξ1 , , ξn−1 ), ξn =0 (5.17) = v1 (ξ ) Do ν không tiếp xúc với mặt Σ, nên ∂ξn = ∂ν Từ ta nhận ∂v ∂ν ξn =0 = v2 (ξ ), 148 (5.18) v2 (ξ ) = n−1 v1 (ξ ) − ∂ξn ∂ν j=1 ∂v0 ∂ξj ∂ξj ∂ν Như toán Cauchy tổng quát đưa toán Cauchy (5.16)(5.18) điều kiện (5.15) thỏa mãn Bây đưa số khái niệm có liên qua đến điều kiện (5.15) Với biến thực α = (α1 , , αn ) phương trình dạng n aij (x)αi αj = i,j=1 gọi phương trình đặc trưng phương trình (5.8) Điểm x mặt ω(x) = ω(x1 , , xn ) = gọi điểm đặc trưng phương trình (5.8) điểm n aij (x)ωxi ωxj = (5.19) i,j=1 có đạo hàm ∂ω ∂xi , i = 1, , n khác không Mặt ω(x) = gọi mặt đặc trưng (đường đặc trưng n = 2) phương trình (5.8) tất điểm điểm đặc trưng Điều kiện (5.15) có nghĩa mặt Σ điểm đặc trưng Như vậy, mặt Σ điểm đặc trưng toán Cauchy tổng quát đưa toán Cauchy xét mục trước Để toán Cauchy (5.16)-(5.18) thỏa mãn giả thiết Định lí Kovalevskaya ta cần bổ sung điều kiện sau: a) Các hệ số vế phả phương trình (5.8) hàm giải tích biến x b) Trường véc tơ ν biến thiên giải tích Σ c) Các kiện Cauchy hàm giải tích ξ 149 d) Nếu mặt Σ có phương trình ω(x) = 0, ω giải tích theo biến gradient ω khác không Theo định lí Kovalevskaya, toán Cauchy tổng quát có nghiệm lân cận mặt Σ thực điều kiện a), b), c), d) mặt điểm đặc trưng Ví dụ 5.4 a) Đối với phương trình Laplace ux1 x1 + · · · + uxn xn = 0, phương trình (5.19) có dạng (ωx1 )2 + · · · + (ωxn )2 = hay ωxi = với i = 1, , n Do phương trình Laplace mặt đặc trưng thực b) Đối với phương trình truyền nhiệt ut = ux1 x1 + · · · + uxn−1 xn−1 phương trình (5.19) có dạng (ωx1 )2 + · · · + (ωxn−1 )2 = hay ωxi = với i = 1, , n − Do phương trình có nghiệm ω = ϕ(t), với ϕ(t) hàm khả vi liên tục tùy ý (ϕ = 0) Bởi mặt phẳng t = const mặt đặc trưng phương trình truyền nhiệt c) Đối với phương trình truyền sóng utt = ux1 x1 + · · · + uxn−1 xn−1 phương trình (5.19) có dạng (ωt )2 = (ωx1 )2 + · · · + (ωxn−1 )2 = 150 Do mặt phẳng a1 (x1 − x01 ) + · · · + an−1 (xn−1 − x0n−1 ) + an (t − t0 ) = với a21 + · · · + a2n−1 = a2n , a21 + · · · + a2n−1 + a2n = mặt đặc trưng phương trình truyền sóng mặt nón a1 (x1 − x01 )2 + · · · + an−1 (xn−1 − x0n−1 )2 = an (t − t0 )2 với a21 + · · · + a2n−1 = a2n , a21 + · · · + a2n−1 + a2n = mặt đặc trưng phương trình truyền sóng 151 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng, Phần I, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Thừa Hợp (1999), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [4] Pavel Drabek, Gabriela Holubova (2014), Elements of partial differential equations, Walter de Gruyter, Berlin, New York [5] Richard Haberman (1987), Elementary applied partial differential equations with Fourier series and boundary value problems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632 [6] Beny Neta (2003), Numerical solution of partial differential equations, MA 3243 Lecture Notes 152 ... ∂Ω Bài tập nhà: từ Bài tập 1.1 đến Bài tập 1.6 1.2 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1 Một phương trình đạo hàm riêng phương trình có chứa đạo hàm riêng ẩn hàm Chẳng hạn, phương. .. dẫn tới phương trình đạo hàm riêng; toán phương trình đạo hàm riêng; đặc biệt việc phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; dạng tắc; phương pháp đưa phương trình đạo hàm riêng. .. Cấp phương trình đạo hàm riêng cấp cao đạo hàm riêng có mặt phương trình Chẳng hạn, (1.3) phương trình cấp 1, phương trình (1.4)-(1.7) phương trình cấp hai Định nghĩa 1.3 Một phương trình đạo hàm