Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.. Độ trơn nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng.. Sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng.. tử tương ứng của các p
Trang 1Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạychuyên ngành Toán Giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ,động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giảhọc tập và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Mạnh Linh
Trang 2Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Mạnh Linh
Trang 3Mục lục
Mở đầu 3
Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 5
1.1 Định lý đồ thị đóng 5
1.2 Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 8
1.2.1 Toán tử vi phân tuyến tính 8
1.2.2 Công thức tích phân từng phần 9
1.2.3 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng 9
1.2.4 Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu 10
1.2.5 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu 11
1.3 Toán tử làm trơn Friedrichs 12
1.4 Không gian Sobolev Hs(Rn) 16
1.4.1 Biến đổi Fourier 16
1.4.2 Không gian Sobolev 23
Chương 2 Độ trơn nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng 28
2.1 Sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng 28
2.2 Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục 32
2.3 Độ trơn nghiệm yếu của phương trình elliptic 36
Trang 42.4 Độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic 402.4.1 Khái niệm toán tử hypoelliptic 402.4.2 So sánh các toán tử 422.4.3 Định lý về độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic 46Kết luận 49Tài liệu tham khảo 50
Trang 5tử tương ứng của các phương trình có tính chất này sẽ là các toán tửelliptic và hypoelliptic.
Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là
“Độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tínhvới hệ số hằng”
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là chương 2 của cuốn sáchchuyên khảo [3]
2 Mục đích nghiên cứu
Mô tả lý thuyết độ trơn của nghiệm yếu đối với các lớp phương trìnhelliptic và hypoelliptic
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
Trang 6- Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục.
- Lớp toán tử elliptic và hypoelliptic
- Các định lý về so sánh
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu độ trơn của nghiệm yếu,các toán tử elliptic và hypoelliptic, định lý về độ trơn
Luận văn gồm hai chương Chương 1 trình bày một số kiến thứcchuẩn bị như: Định lý đồ thị đóng, nghiệm yếu của phương trình đạohàm riêng tuyến tính, toán tử làm trơn Friedrichs, không gian Sobolev
Hs(Rn) Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trong đó trình bày
sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng, điều kiện cần đểmọi nghiệm yếu là khả vi liên tục, độ trơn nghiệm yếu của phương trìnhelliptic, độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic
5 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về độ trơn của nghiệm phương trìnhđạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng
6 Những đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về lý thuyết độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàmriêng tuyến tính với hệ số hằng và lớp toán tử elliptic và hypoelliptic
Trang 7Định lý 1.1 Giả sử A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert Xvào không gian Hilbert Y xác định khắp nơi trên X và A là toán tửđóng Khi đó tồn tại hằng số C sao cho
Chứng minh Giả sử D là tập hợp các phần tử y ∈ Y sao cho tồn tại
y∗ ∈ X thỏa mãn
Trang 8Dễ thấy D là không gian con của Y Ta đi chứng minh y∗ là duy nhất.Thật vậy, giả sử tồn tại phần tử z ∈ X thỏa mãn
Trang 9và Y, ký hiệu là X × Y.
Ta thấy đồ thị GA của A là không gian con đóng của H Thật vậy, giả sử{xn, Axn} → {x, y} thuộc H; khi đó xn → x thuộc X, Axn → y thuộc
Y và theo giả thiết Ax = y, suy ra {x, y} ∈ GA
Ta cũng lưu ý rằng G⊥A là tập hợp các phần tử của H có dạng {−y∗, y} ,với y ∈ D Theo phương trình (1.2) rõ ràng các phần tử như vậy thuộc
Trang 10{x, Ax} = {0, w} Nếu x = 0 thì Ax = 0 suy ra w = 0 Điều này mâuthuẫn với điều giả sử D 6= Y Vậy D = Y.
Nếu (1.1)không thỏa mãn thì tồn tại dãy {xn} các phần tử thuộc X saocho khi n → ∞ ta có
Khi đó theo (1.2),(1.3) và (1.5) suy ra
|(y, Axn)| = |(y∗, xn)| ≤ ky∗k kxnk ≤ C kyk , ∀y ∈ D
Nếu y là phần tử bất kỳ của Y thì tồn tại dãy {yk} các phần tử của Dhội tụ đến y theo chứng minh trên Vì
|(yk, Axn)| ≤ C kykk , k = 1, 2
nên chuyển qua giới hạn, với mỗi n ta được
|(y, Axn)| ≤ C kyk , y ∈ Y
Đặt y = Axn, ta có kAxnk2 ≤ C kAxnk hay kAxnk ≤ C Điều này mâu
1.2 Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính
1.2.1 Toán tử vi phân tuyến tính
Giả sử toán tử A được xác định như sau:
|µ|≤m
aµ(x)Dµ, x ∈ Ω ⊂ Rn, (1.6)
Trang 11trong đó x = (x1, x2, , xn), Ω là một miền trong Rn,
A(α1u1 + α2u2) = α1Au1 + α2Au2 Khi đó A là toán tử vi phân tuyếntính
Toán tử liên hợp của A, ký hiệu là A0, được xác định như sau:
trong đó A0 là toán tử liên hợp của toán tử A được xác định theo (1.7)
1.2.3 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêngXét phương trình
trong đó f ∈ L2(Ω)
Xuất phát từ công thức (1.9) với ϕ(x) thay bởi ϕ(x) ta phát biểu khái
Trang 12niệm nghiệm yếu của (1.10) như sau
Định nghĩa 1.2 Hàm u(x) ∈ L2(Ω) được gọi là nghiệm yếu của phươngtrình nếu
(u, A0ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω), (1.11)trong đó (., ) là tích vô hướng trong L2(Ω) và A0 là toán tử liên hợp củatoán tử A
Nhận xét 1.1 Giả sử u ∈ Cm(Ω) và là nghiệm yếu của phương trình(1.10) Khi đó nó là nghiệm cổ điển, tức là thỏa mãn phương trình tạimọi điểm x ∈ Ω
Chứng minh Từ (1.11) và công thức tích phân từng phần ta suy ra
1.2.4 Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu
Định lý 1.2 Điều kiện cần để phương trình (1.10) có nghiệm yếu là
∃ C > 0 sao cho
|(f, ϕ)| ≤ C kA0ϕk , ∀ϕ ∈ C0∞(Ω) (1.12)
Chứng minh Ta có
(f, ϕ) = (Au, ϕ) = (u, A0ϕ)
Trang 13Theo bất đẳng thức Schwarz ta có
|(f, ϕ)| = |(u, A0ϕ)| ≤ kuk kA0ϕk Chọn C = kuk suy ra: |(f, ϕ)| ≤ C kA0ϕk Định lý được chứng minh.
1.2.5 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu
Định lý 1.3 Nếu bất đẳng thức (1.12) được thỏa mãn thì phương trình(1.10) có nghiệm yếu
Chứng minh Giả sử W là tập hợp các hàm w ∈ L2(Ω) sao cho tồn tạimột hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) thỏa mãn
|(f, ϕ − ϕ1)| ≤ C kA0(ϕ − ϕ1)k = C kw − wk = 0,suy ra (f, ϕ) = (f, ϕ1) Do đó F chỉ phụ thuộc w và không phụ thuộc ϕ
F gán cho mỗi w ∈ W một số phức được cho bởi phương trình (1.14),suy ra F là phiếm hàm trên W Dễ thấy F tuyến tính Hơn nữa, theobất đẳng thức (1.12) thì
|F w| = |(ϕ, f )| ≤ C kA0ϕk = C kwk ,
Trang 14suy ra F bị chặn Theo Định lý Hahn-Banach (xem [3], tr.16) F có thể
mở rộng tới một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên L2(Ω) Do đó, theoĐịnh lý Fr´echet-Riesz (xem [3], tr.15) tồn tại hàm u ∈ L2(Ω), sao chokuk = kF k ≤ C và
với mỗi w ∈ L2(Ω) Do vậy theo phương trình (1.14) và (1.15) ta có(u, A0ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω) Định lý được chứng minh Tổng quát ta có định lý sau:
Định lý 1.4 Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.10) có nghiệm yếu
trong đó a =
(R
Trang 15jε(x)dx = 1 (1.18)Với u ∈ L2(Rn), ta đặt
Jεu(x) =
Zu(y)jε(x − y)dy =
Zu(x − z)jε(z)dz (1.19)Định lý 1.5 Với u ∈ L2(Rn) ta có
Trang 16kJεw − wk < ρ
3.
Trang 17Định lý được chứng minh
Jεu được gọi là toán tử làm trơn Jεu có một số tính chất sau:
Jεu ∈ C∞(Rn), ∀u ∈ L2(Rn) (1.22)(Jεu, v) = (u, Jεv), ∀u, v ∈ L2(Rn) (1.23)
DkJεv = JεDkv, ∀v ∈ C∞(Rn), 1 ≤ k ≤ n (1.24)Trong phần 1.2 chúng ta đã sử dụng kết quả sau:
Bổ đề 1.1 Giả sử Ω1 và Ω2 là các miền bị chặn trên Rn sao cho ¯Ω1 ⊂ Ω2.Giả sử u là một hàm liên tục thuộc Ω2 Khi đó, tồn tại một dãy {vk}các hàm thuộc C∞(Ω2) hội tụ đều tới u thuộc Ω1
Chứng minh Thu nhỏ một ít Ω2, ta giả sử u liên tục trên ¯Ω2 Giả sửˆ
u là hàm bằng u trên Ω2 và bằng 0 bên ngoài Ω2 Ta có u là hàm liêntục đều trên Ω2 Do đó, nếu η > 0 cho trước thì tồn tại δ > 0 sao cho
|u(x − z) − u(x)| < η, với |z| < δ
Giả sử d > 0 là khoảng cách từ ¯Ω1 tới biên của Ω2
Khi đó, nếu ε < min(δ, d), ta có
Trang 181.4 Không gian Sobolev Hs(Rn)
1.4.1 Biến đổi Fourier
Ta đặt:
S = S(Rn)
= v(x) ∈ C∞
(Rn); ∀k, µ ∃ m = m(k, µ) > 0 : (1 + |x|)k|Dµv(x)| ≤ m Biến đổi Fourier của v ∈ S xác định bởi
F v(ξ) =
Z
e−i(ξ,x)v(x)dx (1.25)Nếu v ∈ S, ta có thể lấy đạo hàm phương trình (1.25) dưới dấu tíchphân và thu được
DξµF v(ξ) = (−1)|µ|F (xµv) (1.26)Hơn nữa, nếu lấy tích phân từng phần F (Dµv) = R e−i(ξ,x)Dµxv(x)dx, tathu được:
Biến đổi Fourier có một số tính chất quan trọng, hai trong số đó chúng
ta quan tâm Thứ nhất là công thức ngược
Z
đều thỏa mãn với các hàm thuộc S
Chúng ta chứng minh hai tính chất trên
Trang 19Chứng minh Trước tiên ta thấy rằng, chỉ cần chứng minh hai tínhchất trên cho trường hợp n = 1 là đủ.
= 1π
Z ∞
−∞
sin Rt
Trang 20Lấy tích phân từng phần, ta được
−cos RtR
Trang 21Thêm nữa, vì v(x), v(x + t) và (x + t)v0(x + t) đều bị chặn với v ∈ Snên suy ra
|tv0(x + t) − v(x + t) + v(x)| ≤ K2(1 + |x|) ,với hằng số K2 nào đó Do đó, theo phương trình (1.34)
Để chứng minh phương trình (1.29), ta viết
Trang 22Vậy ta có điều cần chứng minh Định lý 1.6 Nếu v, w ∈ S và
Chứng minh Trước hết, ta chú ý rằng F v và F w đều thuộc S nên
F v · F w cũng thuộc S Để việc tính toán thuận tiện chúng ta không viết
Rn dưới dấu tích phân.Theo phương trình (1.28) ta có
= (2π)−n
Zv(y)
Z
ei(ξ,x−y)F w(ξ)dξ
dy
=
Zv(y)w(x − y)dy
Lưu ý rằng, ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân vì tích phân lặp hội
Ứng dụng của định lý trên, với ∀v ∈ S ta có
dx
=Z
e−i(εξ,y)j(y)dy = F j(εξ)
Trang 23Do đó, nếu v ∈ S, ta có
|Jεv|2s =
Z(1 + |ξ|)2s|F (Jεv)|2dξ
=
Z(1 + |ξ|)2s|F jε(ξ)|2|F v|2dξ
≤
Z(1 + |ξ|)2s|F v|2dξ
= |v|2s
Vì vậy, ta suy ra
|Jεv|s ≤ |v|s, v ∈ S, s ∈ R (1.38)Hơn nữa điều này cũng đúng với v ∈ Hs nên khi ε → 0 ta cũng có
Vì S trù mật trong Hs và (1.38) đúng, điều này là đủ để chứng minh(1.39) với v ∈ S Nếu u ∈ Hs và ρ > 0 cho trước thì tồn tại v ∈ S saocho
Trang 24Nếu (1.39) thỏa mãn với v thì ta có thể chọn ε đủ nhỏ sao cho
F (vw) = (2π)−n
Z
Rn
F v(η)F w(ξ − η)dη, v, w ∈ S
Trang 25Chứng minh Theo phương trình (1.30), ta có
1.4.2 Không gian Sobolev
Chúng ta sử dụng hai tính chất của biến đổi Fourier để xác định một
Trang 26|v0|2−s =
Z(1 + |ξ|)−2s(1 + |ξ|)4s|F v|2dξ = |v|2svà
(v, v0)0 =
Z(1 + |ξ|)2s|F v|2dξ = |v|2s
|Dµv|s ≤ |v|s+|µ|, v ∈ S (1.47)Điều này suy ra từ bất đẳng thức
Trang 27kvn − uk → 0 khi n → ∞ (1.50)Khi đó u bằng một hàm thuộc Ck(Rn) hầu khắp nơi.
Chứng minh Ta đi chứng minh bất đẳng thức
r2(k−s)+n−1dr
.Tích phân cuối cùng này bị chặn khi R → ∞ vì 2(k − s) + n < 0
Ta ký hiệu Hs là phần bù của S với chuẩn tương ứng là |·|s và có thể dễdàng kiểm tra Hs là không gian Hilbert Do đó theo Bổ đề Banach-Saks(xem [3], tr.18) thì {vn} có một dãy con {wn} hội tụ trong Hs Để thuận
Trang 28tiện ta giả sử {vn} chính là dãy con Khi đó
Điều này chứng tỏ rằng {wn(x)} hội tụ đều tới một hàm w ∈ Ck(Rn)
Ta khẳng định u = w hầu khắp nơi Thật vậy, ta có
Z
|x|<R
|u − w|2dx = 0, với mọi R
Bổ đề 1.3 Nếu v ∈ S, thì với mỗi s ∈ R tồn tại hằng số cs thỏa mãn
(Hằng số cs không phụ thuộc vào ε.)
Trang 29Chứng minh Giả sử k ≥ 0, k ∈ Z và k ≥ s Khi đó bất đẳng thức
Trang 31với các biến ξ1, , ξn Thay ξ1, , ξn bởi D1, , Dn thì ta được
Toán tử P (D) chính là toán tử A, tức là A(u) = P (D)u
Bổ đề 2.1 Giả sử P (D) được xác định bởi (2.4) Khi đó
P (D)(uv) = X
|µ|≤m
1µ!P
Nếu Duk là toán tử duy nhất đối với u và Dvk là toán tử duy nhất đối với
Theo công thức Taylor ta có
P (η + ξ) = X
|µ|≤m
1µ!P
(µ)
Trang 32Bổ đề được chứng minh Đặt
Bổ đề 2.3 Giả sử Ω giới hạn trên dải |xk − a| ≤ M/2 và P(k)(ξ) =
∂P (ξ)/∂ξk Khi đó
P(k)(D)ϕ ≤ mM kP (D)ϕk , ∀ϕ ∈ C0∞(Ω) (2.9)
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo m Giả sử
Q(k)(D)ϕ ≤ (m − 1)M kQ(D)ϕk , ∀ϕ ∈ C0∞(Ω), (2.10)với mọi đa thức Q(ξ) có dạng
|µ|<m
Trang 33Ta giả sử a = 0, theo phương trình (2.6) ta có
Hệ quả 2.1 Giả sử Ω được giới hạn trên miền |xk − ak| ≤ Mk/2, 1 ≤
k ≤ n khi đó với bất kỳ đa chỉ số µ ta có
P(k)(D)ϕ ≤ m!
(m − |µ|)!M
µ
kP (D)ϕk , ϕ ∈ C0∞(Ω), (2.13)trong đó M = (M1, , Mn)
Trang 34Hệ quả 2.1 thu được bởi ứng dụng lặp của Bổ đề 2.3 Từ đó ta suy
ra Định lý 2.1 vì luôn tồn tại một đa chỉ số µ thỏa mãn P(µ)(ξ) =constant 6= 0
Định lý 2.2 Nếu toán tử A có các hệ số là hằng, Ω là miền bị chặn bất
kỳ và f ∈ L2(Ω) thì phương trình Au = f có một nghiệm yếu
Chứng minh Vì A có các hệ số là hằng số nên A0 cũng có các hệ số làhằng số
Giả sử A có hệ số hằng số, trước tiên ta xét trường hợp f = 0 Ở đây
ta có thể tìm nghiệm trơn Thật vậy, giả sử ζ = (ζ1, , ζn) là một véctơ
Trang 35gồm các thành phần phức và đặt
(ζ, x) = (ζ1x1 + ζ2x2 + · · · + ζnxn), (2.15)trong đó x ∈ Rn Do đó lấy vi phân ta được
Dkei(ζ,x) = ζkei(ζ,x) (2.16)Nếu P (ζ) là đa thức của ζk thì ta có
P (D)ei(ζ,x) = P (ζ)ei(ζ,x) (2.17)
Do đó hàm u = ei(ζ,x) là nghiệm của phương trình
Định lý 2.3 Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu của phương trình (2.18)thuộc C1(Ω) là:
∃C0 > 0, R > 0 sao cho ∀ζ ∈ Cn thỏa mãn phương trình P (ζ) = 0, tacó
Trang 36Chứng minh Giả sử W là tập hợp tất cả các nghiệm yếu của phươngtrình (2.18), tức là tập hợp tất cả các hàm u ∈ L2(Ω) thỏa mãn
u, ¯P (D)ϕ = 0, ∀ϕ ∈ C∞
Giả sử u ∈ W ít nhất là thuộc C1(Ω) Giả sử Ω1 là miền bị chặn sao cho
Ω1 ⊂ Ω và B là toán tử Dk, 1 ≤ k ≤ n, được áp dụng đối với các hàmthuộc C1(Ω1) Ta thấy W là không gian con đóng của L2(Ω) Thật vậy,
rõ ràng nó là không gian con, nếu un ∈ W, un → u ∈ L2(Ω), thì theophương trình (2.21) ta có u ∈ W Do đó W là không gian Hilbert Ta
có B ánh xạ W vào L2(Ω1) B là tuyến tính và theo giả thiết xác địnhtrên toàn W Hơn nữa, B là toán tử đóng, tức là nếu un → u ∈ W và
Bun → v ∈ L2(Ω1) thì Bu = v Để chứng minh khẳng định này, ta chú
ý rằng nếu ϕ ∈ C0∞(Ω1) thì
(Bun, ϕ) = (un, Bϕ) ,suy ra
Mặt khác, vì u ∈ W nên u ∈ C1(Ω) Do đó với bất kỳ ϕ ∈ C0∞(Ω1), tacó
Trang 37Vì B = Dk và k là số nguyên tùy ý thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n, nên ta có
Giả sử ζ là một nghiệm phức bất kỳ của phương trình (2.19) Khi đó
ei(ζ,x)là một nghiệm trơn của phương trình (2.18) và rõ ràng đó là nghiệmyếu Thay vào (2.23),theo (2.16) ta nhận được
|ζ|2Z
Toán tử Pm(D) được gọi là phần chính của toán tử P (D)
Định nghĩa 2.1 Toán tử P (D) được gọi là elliptic nếu
Trang 38Ví dụ 2.1 Cho toán tử P (D) = ∆ = D12 + D22 + + D2n Ta đi chứngminh P (D) là elliptic Thật vậy
|tξ0| ≤ C0.Cho t → ∞, ta có ξ0 = 0 Do vậy nghiệm thực duy nhất của phương
2.3 Độ trơn nghiệm yếu của phương trình elliptic
Giả sử P (D) là toán tử elliptic cấp m Từ định nghĩa ta thấy rằng
Pm(ξ) 6= 0 trên tập hợp |ξ| = 1 trong Rn Do đó hàm 1
Pm(ξ) liên tụctrên tập hợp đóng, bị chặn này, nên 1
Pm(ξ) bị chặn trên đó Vì vậy với
|ξ| = 1 ta có
1
Pm(ξ) ≤ M,tức là với bất kỳ ξ ∈ R,
1
|Pm(ξ/ |ξ|)| ≤ M
Trang 39Vì P (D) − Pm(D) có bậc nhỏ hơn m nên theo (1.48) ta suy ra
|P (ξ) − Pm(ξ)| ≤ C (1 + |ξ|)m−1 (2.27)Hai bất đẳng thức trên dẫn đến bổ đề sau:
Bổ đề 2.4 Nếu P (D) là toán tử elliptic cấp m thì tồn tại hằng số Csao cho
|v|s ≤ C |P (D)v|s−m+ |v|s−1 , v ∈ S (2.28)Chứng minh Trước tiên chúng ta chú ý rằng tồn tại hằng số K thỏamãn
(1 + |ξ|)2m ≤ K (1 + |ξ|)2m (2.29)Nếu |ξ| ≥ 1 thì (1 + |ξ|)2m ≤ (2 |ξ|)2m và 1 + |ξ|2m ≥ |ξ|2m, suy ra
Trang 40Định lý 2.4 Giả sử P (D) là toán tử elliptic với hệ số hằng, Ω là miềnbất kỳ thuộc Rn Nếu f ∈ C∞(Ω) thì mọi nghiệm yếu của phương trình
P (D)u = f thuộc C∞(Ω)
Chứng minh Giả sử ϕ là một hàm thuộc C0∞(Ω) và ta định nghĩa ϕubằng 0 bên ngoài Ω Ta thấy rằng với mỗi s ≥ 0, tồn tại một hằng số cssao cho
Vì
nên theo Bổ đề 1.2 ta có ϕu ∈ C∞(Rn) Với bất kỳ điểm y ∈ Ω, ta cóthể tìm được hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) không triệt tiêu trong một lân cận của y
Do đó, hàm 1/ϕ thuộc C∞, trong lân cận này Vì u = (ϕu) · (1/ϕ) nên
u thuộc C∞ trong lân cận này Mặt khác, y là điểm bất kỳ thuộc Ω nênsuy ra u ∈ C∞(Ω) Ta chú ý rằng với bất kỳ ϕ ∈ C0∞(Ω) và mỗi ε > 0,hàm Jε(ϕu) thuộc S Do đó theo theo Bổ đề 2.4 ta có
|Jε(ϕu)|s ≤ C |P (D)Jε(ϕu)|s−m + |Jε(ϕu)|s−1 (2.32)
Để tính số hạng thứ nhất ở vế phải của bất đẳng thức trên ta chú ý rằngvới v ∈ S, theo phương trình (2.6), ta có
(P (D)Jε(ϕu), v) = u, ϕ ¯P (D)Jεv
= u, ¯P (D)(ϕJεv) − X
|µ|>0
1µ!