HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các hàm số lượng giác được dùng để mô tả những hiện tượng thay đổi một cách tuần hoàn hay gặp trong thực tiễn, khoa học kĩ thuật. Trong bài này, ta tìm hiểu các hàm số lượng giác sin , y cos , y tan , y cot y x x x x     . A. Các hàm số sin , cos y x y x   I. Định nghĩa: - Quy tắc (phép đặt) tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu sin y x  . Tương tự: - Quy tắc (phép đặt) tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu cos y x  . Ví dụ: Tính giá trị của hàm số sin , cos y x y x   tại 2 3 5 4 ; ; ; ;

Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 2 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Các hàm số lượng giác được dùng để mô tả những hiện tượng thay đổi một cách tuần hoàn hay gặp trong thực tiễn, khoa học kĩ thuật. Trong bài này, ta tìm hiểu các hàm số lượng giác sin , y cos , y tan , y coty x x x x    . A. Các hàm số sin , cosy x y x  I. Định nghĩa: - Quy tắc (phép đặt) tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu siny x . Tương tự: - Quy tắc (phép đặt) tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu cosy x . Ví dụ: Tính giá trị của hàm số sin , cosy x y x  tại 2 3 5 4 ; ; ; ; 3 4 6 3 x x x x x           x 2 3  3 4  5 6   4 3  siny x 3 2 2 2 1 2 0 3 2  cosy x 1 2  2 2  3 2  1 1 2  Chú ý: - Hàm số sin , cosy x y x  có thể được cho dưới dạng sau: sin : sin cos : cos x x y x x x x          - Hàm số sin , cosy x y x  có TXĐ là  , D x     - Hàm số sin , cosy x y x  có tập giá trị là     T 1;1 1;1 y     - Hàm số siny x là hàm số lẻ vì   sin sinx x    và D có tính đối xứng - Hàm số cosy x là hàm số chẵn vì   cos cosx x   và D có tính đối xứng II. Tính chất tuần hoàn của hàm số sin , cosy x y x  1. Định nghĩa: Hàm số   y f x  được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu T là một số dương nhỏ nhất thỏa mãn     T f x f x   . 2. Hàm số sin , cosy x y x  là hàm tuần hoàn với chu kì T 2   Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số 2k  thỏa mãn   sin 2 sin ,x k x x     Ngược lại, ta có thể chứng minh rằng số T sao cho   sin T sin ,x x x   phải có dạng T 2k   , k là một số nguyên. Rõ ràng, trong các số dạng   2k k    , số dương nhỏ nhất là 2  . Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 3 Vậy đối với hàm số siny x , số T 2   là số dương nhỏ nhất thỏa mãn   sin T sin ,x x x   Như vậy hàm số siny x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2  . Tương tự ta có hàm số cosy x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2  . Ví dụ: Cho hàm số sin 2x y  . Tìm chu kì T của hàm số đã cho.     sin 2x sin 2x 2 sin 2 Tx          III. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số sin , cosy x y x  1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số siny x - Do hàm số siny x là hàm số tuần hoàn với T 2   nên ta chỉ xét sự biến thiên và đồ thị hàm số siny x trên một đoạn có độ dài 2  , chẳng hạn trên đoạn   ;    . * Chiều biến thiên: Cho   , x OA OM  Do   ; x     khi đó M xuất phát từ A' và chạy đủ một vòng tròn để quay lại A' Do   ; x     nên   sin 1;1 x   do đó + x tăng từ   đến 2   thì y giảm từ 0 đến -1  hàm số siny x nghịch biến trên , 2           + x tăng từ 2   đến 0 thì y tăng từ -1 đến 0  hàm số siny x đồng biến + x tăng từ 0 đến 2  thì y tăng từ 0 đến 1  hàm số siny x đồng biến + x tăng từ 2  đến  thì y giảm từ 0 đến 1  hàm số siny x nghịch biến * Bảng biến thiên: x   2   0 2   y * Đồ thị hàm số: Do hàm số siny x là hàm số lẻ nên ta chỉ vẽ đồ thị hàm số trên đoạn   0,  phần còn lại được lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua gốc tọa độ Bảng giá trị: y x A A O M B' B 0 -1 0 1 0 Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 4 x 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   y 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 Nhận xét: - Tịnh tiến đồ thị hàm số vừa vẽ sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2 ,4 ,6 ,    thì được đồ thị hàm số siny x trên  . - Đồ thị hàm số siny x được gọi là một đường hình sin - Hàm số siny x đồng biến trên khoảng , 2 2          Từ đó, do tính chất tuần hoàn với chu kì 2  của hàm số siny x do vậy hàm số siny x đồng biến trên mỗi khoảng 2 , 2 , 2 2 k k k                . 2. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số cosy x Ta có thể tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số cosy x tương tự như đã làm đối với hàm số siny x trên đây. Tuy nhiên ta nhận thấy cos sin 2 x x          với mọi x, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số siny x sang trái một đoạn có độ dài 2  ta được đồ thị hàm số cosy x (nó cũng được gọi là một đường hình sin) Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 5 Căn cứ vào đồ thị của hàm số cosy x , ta lập được bảng biến thiên của hàm số đó trên đoạn   ,    : x   0  cosy x Nhận xét: - Khi x thay đổi, hàm số cosy x nhận mọi giá trị thuộc đoạn   1;1  . Ta nói tập giá trị của hàm số cosy x là đoạn   1;1  . - Do hàm số cosy x là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số cosy x nhận trục tung làm trục đối xứng. - Hàm số cosy x đồng biến trên khoảng   ;0   . Từ đó do tính chất tuần hoàn với chu kì 2  , hàm số cosy x đồng biến trên mỗi khoảng   2 ; 2 k k      , hàm số cosy x đồng biến trên mỗi khoảng   2 ; 2 ,k k k       . Ghi nhớ: Hàm số siny x Hàm số cosy x - Có tập xác định là  - Có tập giá trị là   1;1  - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2  - Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k              và nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 , 2 2 k k k               - Có đồ thị là một đường hình sin - Có tập xác định là  - Có tập giá trị là   1;1  - Là hàm số chẵn - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2  - Đồng biến trên mỗi khoảng   2 ; 2 k k      và nghịch biến trên mỗi khoảng   2 ; 2 ,k k k      - Có đồ thị là một đường hình sin -1 1 -1 Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 6 B. Các hàm số tan , coty x y x  I. Định nghĩa - Với mỗi số thực x mà cos 0 x  , tức là   x 2 k k       , ta xác định được số thực sin tan cos x x x   Đặt 1 \ 2 D k k              . Quy tắc đặt tương ứng mỗi số 1 x D với số thực sin tan cos x x x  được gọi là hàm số tang, kí hiệu tany x . Vậy hàm số tany x có tập xác định là D 1 , ta viết: 1 tan : tan D x x    - Với mỗi số thực x mà sin 0 x  , tức là   x k k     , ta xác định được số thực cos cot sin x x x   Đặt   2 \D k k      . Quy tắc đặt tương ứng mỗi số 2 x D với số thực sin tan cos x x x  được gọi là hàm số côtang, kí hiệu coty x . Vậy hàm số coty x có tập xác định là D 2 , ta viết: 2 cot : cot D x x    Nhận xét: - Hàm số tany x là một hàm số lẻ vì nếu 1 x D thì 1 x D  và   tan tanx x    - Hàm số coty x cũng là một hàm số lẻ vì nếu 2 x D thì 2 x D  và   cot cotx x    . II. Tính chất tuần hoàn của các hàm số tan , coty x y x  Các hàm số tan , coty x y x  là những hàm số tuần hoàn với chu kì  III. Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số tan , coty x y x  1. Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số tany x Do tính chất tuần hoàn với chu kì  của hàm số tany x , ta chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó trên khoảng 1 ; 2 2 D           , rồi tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải các đoạn có độ dài ,2 ,3 ,    thì được toàn bộ đồ thị của hàm số tany x . * Chiều biến thiên: Hàm số tany x đồng biến mỗi khoảng ; , 2 2 k k k                * Bảng biến thiên: x   tany x   Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 7 * Đồ thị Nhận xét: - Khi x thay đổi, hàm số tany x nhận mọi giá trị thực. Ta nói tập giá trị của hàm số tany x là  - Vì hàm số tany x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. - Hàm số tany x không xác định tại tại   2 x k k       . Với mỗi k  đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm ;0 2 k          gọi là một đường tiệm cận của đồ thị hàm số tany x . (Từ tiệm cận có nghĩa là ngày càng gần) 2. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số coty x Hàm số coty x xác định trên   2 \D k k      là một hàm số tuần hoàn với chu kì  . Ta có thể khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó tương tự như đã làm đối với hàm số tany x . Đồ thị của hàm số coty x có dạng như hình dưới. Nó nhận mỗi đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm   ;0 ,k k   làm một đường tiệm cận. Ghi nhớ: Hàm số tany x Hàm số coty x - Có tập xác định là 1 \ 2 D k k              - Có tập giá trị là  - Là hàm số lẻ - Có tập xác định là   2 \D k k      - Có tập giá trị là  - Là hàm số lẻ Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 8 - Là hàm số tuần hoàn với chu kì  - Đồng biến trên mỗi khoảng ; , 2 2 k k k                - Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng   2 x k k       làm một đường tiệm cận - Là hàm số tuần hoàn với chu kì  - Nghịch biến trên mỗi khoảng   ; ,k k k      - Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng   x k k     làms một đường tiệm cận §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. Phương trình lượng giác cơ bản I. Phương trình sin x m (1) Vì   sin 1;1 x   nên + Nếu   1;1 m   thì phương trình (1) có nghiệm + Nếu   1;1 m   thì phương trình (1) vô nghiệm Khi   1;1 m   thì tồn tại    sao cho sin m   Phương trình (1) trở thành   2 sin sin 2 x k x k x k                   Khi đó ta nói rằng 2 và 2x k x k           là hai họ nghiệm của phương trình (1) Chú ý: Phương trình               2 sin sin 2 f x g x k f x g x k f x g x k                Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 1 sin 2 x    sin sin 6 2 2 6 6 5 2 2 6 6 x x k x k k x k x k                                            Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm là     5 2 và 2 6 6 x k k x k k             b)   0 3 sin 2 30 2 x            o o o o o o o o o o o o o o o sin 2 30 sin 60 sin 2 30 sin 60 2 30 60 360 45 180 2 30 180 60 360 105 180 x x x k x k k x k x k                                Chú ý: Khi xét các phương trình lượng giác ta đã coi ẩn số x là số đo rađian của các góc lượng giác. Trên thực tế, ta còn gặp những bài toán yêu cầu tìm số đo độ của các góc (cung) lượng giác sao cho Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 9 sin (côsin, tang hoặc côtang) của chúng bằng số m cho trước, chẳng hạn   o 3 sin 2 20 2 x   . Khi giải các phương trình này, ta có thể áp dụng các công thức nêu trên và lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong "công thức nghiệm" cho thống nhất, chẳng hạn viết o o 30 360 x k  chứ không viết o 30 2x k    . c)   sin 1 2 2 x x k k         d)   2 sin 0 2 x k x x k k x k                 e)   2 2 sin 1 2 3 2 2 2 x k x x k k x k                           Chú ý:             sin 1 2 2 sin 0 sin 1 2 2 f x f x k f x f x k f x f x k                   Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) sin 2 1 6 x            2 2 6 2 6 x k x k k               b)     o o sin 60 sin 30 2x x               o o o o o o o o o o o o o sin 60 sin 2 30 60 2 30 360 60 180 2 30 360 10 120 270 360 x x x x k x x k x k k x k                                    c)   sin 3 2 x    Vô nghiệm vì   2 1;1    d)   1 sin 2 10 3 x     1 1 2 10 arcsin 2 5 arcsin 3 3 1 1 2 10 arcsin 2 5 arcsin 3 2 3 x k x k k x k x k                                      II. Phương trình cos x m (2) Vì   cos 1;1 x   nên Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 10 + Nếu   1;1 m   thì phương trình (2) có nghiệm + Nếu   1;1 m   thì phương trình (2) vô nghiệm Khi   1;1 m   thì tồn tại    sao cho cos m   Phương trình (2) trở thành   2 cos sin 2 x k x k x k                  Khi đó ta nói rằng 2 và 2x k x k          là hai họ nghiệm của phương trình (2) Chú ý: Phương trình               2 cos cos 2 f x g x k f x g x k f x g x k               Ví dụ: Giải các phương trình sau: a)   cos 1 2x x k k       b)   cos 0 2 x x k k         c) cos 1 2x x k        Chú ý:                   cos 1 2 cos 0 2 cos 1 2 f x f x k k f x f x k k f x f x k k                        Ví dụ: Giải các phương trình sau: a)   o o cos 3 15 cos150 x     o o o o o o o o o o 3x 15 150 360 x 55 120 3x 15 150 360 x 45 120 k k k k k                       b) cos 3 cos 3 2 x x                    5 3x 2 x 3 2 12 3x 2 x 3 2 24 2 x k k k k x k                                         c)   o cos 30 1 x     o o 30 360x k k      d)   3 cos 2 2 x       5 2x 2 6 12 5 11 2x 2 6 12 k x k k k x k                                        e)   o 2 cos 60 3 x   Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 11   o o 2 60 arccos 360 3 x k k      f)   cos 3x 6 3  vô nghiệm vì   3 1;1   Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2 3 sin 0 4 x     2 3 2 2 3 2 3 4 2 3 x k x k k x k x k                                b) 2 1 cos 0 2 x     2 4 3 2 4 x k k x k                    c)     o o cos 20 cos 2 10 0 x x                   o o o o o o o o o o o o cos 20 cos 2x 10 cos 20 cos 180 2x+10 cos 20 cos 180 2x+10 20 190 2 170 2 3 3 2 70 3 x x x x k k x k k x                                   d) cos sin 2 4 x x            cos sin 2 cos sin 2 cos cos 2x 2 4 2 4 4 2 2x 2 12 3 4 2x 2 2 4 4 x x x x x k xx k k x k x k                                                                          e) sin 5 sin3 sin 4 sin 2 0 x x x x   [...]... c cot x  d  0 2 Cách giải Đặt t bằng hàm số lượng giác Nếu t bằng hàm số sin, hàm số cos thì t   1;1 Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình về phương trình ẩn t Giải tìm t rồi tìm x Một số công thức cần nhớ: cos 2 x  2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x cos 3 x  4 cos3 x  3cos x sin 3x  3sin x  4sin 3 x 2 tan x 1  tan 2 x Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2sin x  3  0 (1) tan 2 x...  d  sin x  cos x  và đưa phương trình (2) về dạng của phương trình (1) 2 2 - Một số phương trình có thể giải theo cách 1 IV Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sin x và cos x 1 Dạng phương trình a sin 3 x  b sin 2 x cos x  c sin x cos 2 x  d cos3 x  0 hoặc a sin 3 x  b cos x  c sin x  d cos3 x  0 2 Phương pháp giải - Kiểm tra xem cos x  0 có là nghiệm của phương trình hay không - Với...  t   1 8 8 1 7 Phương trình (3) có nghiệm t   1;0     m  1  1  2  m   8 8   3  Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x   ;  2 2  cos 2 x   2m  1 cos x  m  1  0 II Phương trình bậc nhất (thuần nhất) với sin x và cos x 1 Định nghĩa Là phương trình có dạng phương trình: a sin x  b cos x  c (1) với a, b  * , c   2 Phương pháp giải Cách 1: Phương pháp góc phụ... vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn   tan  2 x  90   cot  x  30    cot 2 x  x  30 o o o o  2 x  k180o  x  10o  k 60o  k    B Một số phương trình lượng giác thường gặp I Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba với hàm số lượng giác 1 Dạng phương trình a sin x  b  0  a  0  a sin 2 x  b sin x  c  0 a cos 2 x  b cos x  c  0 a tan 2 x  b tan x  c  0 a cot 2 x  b cot x  c  0... 2 2 2  2 2 2 2 n) sin 2 x  2 cot x  3 Ví dụ: Cho phương trình m sin x   m  1 cos x  m (1) cos x 1 2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm V Phương trình đối xứng đối với sin x, cos x, tan x, cot x 1 Phương trình đối xứng đối với sin x, cos x a) Giải phương trình với m  a) Dạng phương trình a  sin x  cos x   b sin x cos x  c (1) b) Phương pháp giải Hµm sè l­îng gi¸c vµ ph­¬ng tr×nh l­îng... các nghiệm x   ;  của phương trình cos 7 x  3 sin 7 x   2  5 7  III Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x 1 Dạng phương trình a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0 1 với a, b, c  * 2 Phương pháp giải Cách 1: Với cos x  0 thì phương trình (1) trở thành a sin 2 x  0  sin x  0 (vô lý) vì cos x  0  sin x  1  cos x  0 Chia cả hai vế của phương trình (1) cho cos 2 x... ta được a tan 2 x  b tan x  c  0 Tìm nghiệm Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi đưa phương trình (1) về phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) sin 2 x  2sin x cos x  3cos 2 x  0 (1) Ta thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trình (1) Chia cả hai vế của phương trình (1) cho cos x ta có tan 2 x  2 tan x  3  0    tan x  1  x   ...  sin 2 x  sin x  cos x 2 Phương trình đối xứng với tan x và cot x g) sin x  cos x  a) Dạng phương trình a  tan x  cot x   b  tan 2 x  cot 2 x   c b) Phương pháp giải Đặt t  tan x  cot x, t   2; 2   tan 2 x  cot 2 x  t 2  2 Phương trình đã cho trở thành at  bt 2  2b  c  0 (*) Giải phương trình (*) tìm t   2; 2  rồi tìm x Ví dụ: Giải phương trình tan x  tan 2 x  tan 3... x    1 4  VII Phương trình lượng giác đưa về dạng tích Đối với phương trình lượng giác dạng này khi giải ta áp dụng các công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích để biến đổi phương trình về dạng tích ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 2 ab ab sin a  sin b  2 cos sin 2 2 ab a b cos a  cos b  2 cos cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 Ví dụ: Giải các phương trình sau a) sin x ... HD: Đặt 1  sin x  t t  0; 2  X Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối A A   A khi A  0 khi A  0 2 Cách giải Để giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối ta dùng một trong các cách sau: + Dùng định nghĩa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ + Bình phương hai vế + Đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải các phương trình sau 1 a) tan x  cot x  cos x 1 b) . Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 2 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Các hàm số lượng giác được dùng để mô tả những hiện tượng thay đổi. A. Phương trình lượng giác cơ bản I. Phương trình sin x m (1) Vì   sin 1; 1 x   nên + Nếu   1; 1 m   thì phương trình (1) có nghiệm + Nếu   1; 1 m   thì phương trình (1) . Đặt t bằng hàm số lượng giác Nếu t bằng hàm số sin, hàm số cos thì   1; 1 t   Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình về phương trình ẩn t Giải tìm t rồi tìm x Một số công thức