Bài tập phương trình lượng giác
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 1 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 1 sin 2 x b) 0 3 sin 2 30 2 x Bài 4. Giải các phương trình sau: a) sin 2 1 6 x b) o o sin 60 sin 30 2x x c) sin 3 2 x d) 1 sin 2 10 3 x Bài 5. Giải các phương trình sau: Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 2 a) o o cos 3 15 cos150 x b) cos 3 cos 3 2 x x c) o cos 30 1 x d) 3 cos 2 2 x e) o 2 cos 60 3 x f) cos 3 6 3 x Bài 6. Giải các phương trình sau: a) 2 3 sin 0 4 x b) 2 1 cos 0 2 x c) o o cos 20 cos 2 10 0 x x d) cos sin 2 4 x x e) sin 5 sin 3 sin 4 sin 2 0 x x x x Bài 7. Giải phương trình sau: 1 sin 0 sin 4 x x (1) Bài 8. Giải các phương trình sau: a) cos cos 3 2 0 3 x x b) o o sin 2 60 cos 40 x x c) sin 4 sin10 sin 7 sin 0 x x x x d) 2 2 sin 3 sin 0 x x e) cos5 cos3 cos4 cos2 0 x x x x f) cos 2 sin 3 sin 3 1x x x Bài 9. Giải phương trình sau: tan 2sin 1 0 3 x x Bài 10. Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho: a) 1 sin 2 6 2 x trong khoảng ; 3 6 b) 3 cos 2 2 x trong khoảng 2 ;4 Bài 11. Giải các phương trình sau: a) sin 8cos 1 x b) cos sin cos 3 sinx x Bài 12. Giải các phương trình sau: a) tan 1x b) o 1 tan 2 30 3 x c) tan 100 x d) 3 tan 1 5 x với 7 2 6 x e) 3 tan 2 1 2 x Bài 13. Giải các phương trình sau: a) cot 1 x b) 1 cot 3 x c) o 3 cot 45 3 x d) cot 2 1 x e) o o cot 30 tan 2 90 x x Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 3 II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI, BẬC BA ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 2sin 3 0 x (1) b) cos2 5cos 4 0 x x (2) c) cos2 7sin 6 0 x x (3) d) 2 1 3tan 1 0 cos x x e) 2 1 4cot 2 0 sin x x f) 2 2sin 3sin 5 0 x x g) 2 2 2sin cos 4sin 2 0 x x x h) 2 2 9cos 5sin 5cos 4 0 x x x i) 2 5sin sin 1 cos 3 x x x k) 2 2 π π cos 3 cos 3 3cos 3 2 0 2 2 x x x l) 2 cos2 sin 2cos 1 0 x x x (CĐSPHN 97) Bài 3. Giải các phương trình sau a) 2 2sin 3sin 1 0 x x b) cos2 5sin 3 0 x x c) cos3 2cos 2 2 x x d) 4 4 sin cos 1 2sin 2 2 x x x e) 2cos 2 cos 1 cos 2 cos3x x x x f) 2 1 5sin 2cos 0 x x với cos 0 x g) 5cos cos2 2sin 0 x x x Bài 4. Giải các phương trình sau: a) 4 sin 3 cos2 5 sin 1 x x x b) sin 3 cos 2 1 2sin cos2x x x x c) cos3 cos2 cos 1x x x (D2006) d) 4 2 4sin 12cos 7 x x e) 2 6sin cos4 14 x x Bài 5. Giải các phương trình sau a) 2 3 2 2 2 cos cos 1 cos tan cos x x x x x b) 2 2 1 1 8 cos 2 sin 2 3x x Bài 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 sin 4sin 3 2 0 x x m (1) Bài 7. Cho phương trình 2 2 sin 1 2sin cos 0 x x m x (1). Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ;0 2 x Bài 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 ; 2 2 x : cos2 2 1 cos 1 0 x m x m Bài 9. (ĐH Cảnh sát nhân dân 99) Tìm các nghiệm của phương trình: 2 1 5sin 2cos 0 x x thỏa mãn điều kiện cos 0 x . Bài 10. (CĐ Công nghiệp IV – TP.HCM 00) Cho phương trình: 2 cos 2 1 cos 2 1 0 x m x m 1. Giải phương trình khi 1 2 m 2. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm 0;2 π x Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 4 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT (THUẦN NHẤT) ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau: 1. sin 3cos 1x x 2. 4sin 3cos 5 x x 3. 3sin 2 2cos 2 3 x x 4. 3 cos3 sin 3 2 x x 5. 3 3sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x (ĐH Mỏ địa chất HN 1995) 6. cos7 .cos5 3sin 2 1 sin 7 .sin 5x x x x x (ĐH Mỹ Thuật CNHN 1996) 7. π π π 3sin 4sin 5sin 5 0 3 6 6 x x x 8. 3 3 4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos4 3 x x x x x (HVCông nghệ BCVT 01) 9. 3 2sin 4 3cos2 16sin cos 5 0 x x x x 10. 3 4sin 1 3sin 3 cos3x x x (CĐ Hải quan TP.HCM 98) 11. 2 2 cos 3sin 2 1 sinx x x (ĐH Kỹ thuật công nghệ TP.HCM 00) 12. 4 4 4 sin cos 3sin 4 2 x x x Bài 2. (ĐHKTQD 1997) Tìm các nghiệm 2 6 ; 5 7 x của phương trình cos7 3sin 7 2 x x IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 2 sin 2sin cos 3cos 0 x x x x (1) b) 2 2 sin 6sin cos 3cos 1 x x x x (2) V. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC BA ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X Bài 1. Giải các phương trình sau a) 3 2 2 3 2sin sin cos 4sin cos cos 0 x x x x x x b) 3 6sin 2cos 5sin 2 cosx x x x c) 3 2sin cosx x d) 2 2 sin 2sin cos cos 0 x x x x e) 2 2 6sin sin cos cos 2 x x x x f) 2 sin 2 2sin 2cos 2x x x g) 2 2 sin 3 1 sin cos 3 cos 0 x x x x h) 3 4sin cos 4sin cos 2sin cos 1 2 2 x x x x x x i) 3 3 2sin 4cos 3sinx x x k) 3 sin 4sin cos 0 x x x l) 3 2cos sin 3x x m) 2 2 2 2 3 3sin cos 3sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x n) sin 2 2cot 3 x x Bài 2. Cho phương trình sin 1 cos cos m m x m x x (1) a) Giải phương trình với 1 2 m b) Tìm m để phương trình có nghiệm Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 5 VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN X, COS X, TAN X, COT X Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 sin cos sin cos 1x x x x b) 1 sin 1 cos 2 x x c) 2 1 sin cos sin cos 2 x x x x d) 2sin 2 2 sin cos 1 0 x x x e) sin cos 2sin 2cos 2 x x x x f) 1 tan 2 2sinx x g) 2 3 sin cos 1 sin cos 3 x x x x i) 1 sin 2 sin cosx x x Bài 2. Giải phương trình 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 6 x x x x x x VII. PHƯƠNG TRÌNH NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X Bài 1. Giải các phương trình sau : a) sin cos 7sin 2 1x x x b) sin cos 4sin 2 1x x x c) 1 2 sin cos 2sin cos 1 2 x x x x d) sin 2 2 sin 1 4 x x VIII. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH Bài 1. Giải các phương trình sau a) sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2x x x x x b) sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3x x x x x x c) 1 cos cos 2 cos3 0 x x x (ĐH Nông lâm TPHCM) d) cos cos 2 cos3 cos 4 0 x x x x (HVQHQT 99) e) sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0 x x x x x x (ĐHSP Vinh 97) f) sin 3 sin sin 2 0 x x x (ĐH Đà Nẵng 97 khối B) g) cos10 cos8 cos6 1 0 x x x ( h) cos cos3 2cos5 0 x x x (HVQHQT 00) i) 9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8 x x x x (ĐH Ngoại thương HN 97) j) 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x (ĐH Ngoại thương TPHCM 00) k) sin 4 tanx x (ĐH Y HN 00) l) 2 2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x m) cos sin cos sin cos cos2x x x x x x (ĐH Y khoa HN 96) n) 2 2sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3 x x x x (ĐH Hàng hải 00) o) 3 3 cos sin sin cosx x x x (ĐH Đà Nẵng 99) IX. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Phương pháp tổng hai số không âm Dạng 0 0 0 0 0 A B A A B B Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 6 Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 2 2 4 1 sin sin 3 sin sin 3 sin 4 x x x x x b) 2 2 4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0 x x x x c) 4cos 2cos 2 cos 4 7 x x x 2. Phương pháp chặn trên, chặn dưới hai vế Dạng A B A M A M B M B M Ví dụ: Giải các phương trình sau a) sin cos 2 2 sin 3x x x b) 2 cos 4 cos 2 5 sin 3x x x c) 7 9 10 sin cos 2 sinx x x 3. Phương pháp bắc cầu Dạng A B C A M A M B N B N M N C Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 4 17 sin cos 1x x b) sin 2 cos8 1x x c) 5 5 sin cos cos2 sin 2 1 2 x x x x X. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 2 cos 2cos 2 2cos 1x x x b) 1 sin 1 sin 1 sin 1 1 x x x XI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 1 tan cot cos x x x b) 1 cot tan sin x x x c) sin cos sin cos 2 x x x x d) cos sinx x BÀI TẬP LÀM THÊM Bài 1. Giải các phương trình sau: 1. (KA_14) sin 4cos 2 sin 2x x x 2. (KB_14) 2 sin 2cos 2 sin 2x x x 3. (KA_13) 1 tan 2 2 sin 4 x x 4. (KB_13) 2 sin 5 2cos 1x x 5. (KD_13) sin 3 cos 2 sin 0 x x x 6. (KA_12) 3 sin 2 cos2 2cos 1x x x 7. (KB_12) 2 cos 3sin cos cos 3 sin 1x x x x x 8. (KD_12) sin 3 cos3 sin cos 2 cos 2x x x x x Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 7 9. (CĐ_12) 2cos 2 sin sin 3x x x 10. (KA_11) 2 1 sin 2 cos2 2 sin sin 2 1 cot x x x x x 11. (KB_11) sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x 12. (KD_11) sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x 13. (CĐ_11) 2 cos 4 12sin 1 0 x x 14. (KA_10) 1 sin cos2 sin 1 4 cos 1 tan 2 x x x x x . 15. (KB_10) sin 2 cos 2 cos 2cos2 sin 0 x x x x x . 16. (KD_10) sin 2 cos 2 3sin cos 1 0 x x x x . 17. (CĐ_10) 5 3 4cos os 2 8sin 1 cos 5 2 2 x x c x x . 18. (KA_09) 1 2sinx cos 3 1 2sin 1 sinx x x . 19. (KB_09) 3 sinx cos sin 2 3 os3 2 os4 sin x x c x c x x . 20. (KD_09) 3 os5 2sin 3 cos 2 sinx 0 c x x x . 21. (CĐ_09) 2 1 2sinx cos 1 sinx cosx x . 22. (KA_08) 1 1 7 4sin 3 sinx 4 sin 2 x x 23. (KB_08) 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x . 24. (KD_08) 2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x 25. (CĐ_08) sin 3 3 cos3 2sin 2x x x . 26. (KA_07) 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x . 27. (KB_07) 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x . 28. (KD_07) 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x . 29. (KA_06) 6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x x . 30. (KB_06) cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x . 31. (KD_06) cos3 cos 2 cos 1 0 x x x . 32. (KA_05) 2 2 cos 3 cos 2 cos 0 x x x . 33. (KB_05) 1 sin cos sin 2 cos 2 0 x x x x . 34. (KD_05) 4 4 3 cos sin cos sin 3 0 4 4 2 x x x x . 35. (KB_04) 2 5sin 2 3 1 sin tanx x x . Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 8 36. (KD_04) 2cos 1 2sin cos sin sinx x x x x . 37. (KA_03) 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x . 38. (KB_03) 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x . 39. (KD_03) 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x . 40. (KB_02) 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x . Bài 2. (KA_02) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x . Bài 3. (KD_02) Tìm x thuộc đoạn 0;14 nghiệm đúng phương trình: cos3 4cos 2 3cos 4 0 x x x . Bài 4. Giải các phương trình sau: 1. cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x 2. 2 2 2 2 sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x 3. 3 2 cos 2 2 sin cos 3sin 2 3 0 x x x x (ĐHQG TP.HCM A 99) 4. 1 3sin 2cos 3 1 tan cos x x x x (CĐSPHN 99) 5. 4 sin 3 cos 2 5 sin 1 x x x (ĐH Luật HN 99) 6. 2 sin tan 1 3sin cos sin 3 x x x x x (ĐHNN I B 99) 7. 3 2sin cos 2 cos 0 x x x (ĐHNN I A 99) 8. 4 4 sin cos cos 2x x x 9. 6 6 7 sin cos 16 x x 10. 6 6 16 sin cos 1 3sin 6 0 x x x (HVCTQGHCM 00) 11. 2 2 2 3 cos cos 2 cos 3 2 x x x 12. 2 2 2 cos cos 2 cos 3 1x x x 13. 2 2 2 3 sin sin 2 sin 3 2 x x x 14. 2 2 2 sin 3 sin 2 sin 0 x x x (ĐHYHN 98) 15. 3 3 3 cos sin3 sin cos3 sin 4x x x x x (ĐH Ngoại thương 99) . gi¸c 1 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 1 sin 2 x b) 0 3 sin 2 30 2 x Bài 4. Giải các phương trình. m (1) Bài 7. Cho phương trình 2 2 sin 1 2sin cos 0 x x m x (1). Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ;0 2 x Bài 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm. cosx x x Bài 2. Giải phương trình 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 6 x x x x x x VII. PHƯƠNG TRÌNH NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X Bài 1. Giải các phương trình sau : a)