BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài tập phương trình lượng giác

Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 1 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 1 sin 2 x  b)   0 3 sin 2 30 2 x    Bài 4. Giải các phương trình sau: a) sin 2 1 6 x          b)     o o sin 60 sin 30 2x x     c)   sin 3 2 x    d)   1 sin 2 10 3 x   Bài 5. Giải các phương trình sau: Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 2 a)   o o cos 3 15 cos150 x   b) cos 3 cos 3 2 x x                  c)   o cos 30 1 x   d)   3 cos 2 2 x     e)   o 2 cos 60 3 x   f)   cos 3 6 3 x   Bài 6. Giải các phương trình sau: a) 2 3 sin 0 4 x   b) 2 1 cos 0 2 x   c)     o o cos 20 cos 2 10 0 x x     d) cos sin 2 4 x x          e) sin 5 sin 3 sin 4 sin 2 0 x x x x   Bài 7. Giải phương trình sau: 1 sin 0 sin 4 x x   (1) Bài 8. Giải các phương trình sau: a)   cos cos 3 2 0 3 x x             b)     o o sin 2 60 cos 40 x x   c) sin 4 sin10 sin 7 sin 0 x x x x   d) 2 2 sin 3 sin 0 x x   e) cos5 cos3 cos4 cos2 0 x x x x   f) cos 2 sin 3 sin 3 1x x x   Bài 9. Giải phương trình sau: tan 2sin 1 0 3 x x         Bài 10. Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho: a) 1 sin 2 6 2 x          trong khoảng ; 3 6          b) 3 cos 2 2 x  trong khoảng   2 ;4   Bài 11. Giải các phương trình sau: a)   sin 8cos 1 x  b)     cos sin cos 3 sinx x    Bài 12. Giải các phương trình sau: a) tan 1x  b)   o 1 tan 2 30 3 x   c) tan 100 x  d) 3 tan 1 5 x    với 7 2 6 x      e)   3 tan 2 1 2 x   Bài 13. Giải các phương trình sau: a) cot 1 x   b) 1 cot 3 x  c)   o 3 cot 45 3 x  d)   cot 2 1 x     e)     o o cot 30 tan 2 90 x x   Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 3 II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI, BẬC BA ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 2sin 3 0 x   (1) b) cos2 5cos 4 0 x x    (2) c) cos2 7sin 6 0 x x    (3) d) 2 1 3tan 1 0 cos x x    e) 2 1 4cot 2 0 sin x x    f) 2 2sin 3sin 5 0 x x    g) 2 2 2sin cos 4sin 2 0 x x x     h) 2 2 9cos 5sin 5cos 4 0 x x x     i)   2 5sin sin 1 cos 3 x x x    k) 2 2 π π cos 3 cos 3 3cos 3 2 0 2 2 x x x                   l) 2 cos2 sin 2cos 1 0 x x x     (CĐSPHN 97) Bài 3. Giải các phương trình sau a) 2 2sin 3sin 1 0 x x    b) cos2 5sin 3 0 x x    c) cos3 2cos 2 2 x x   d) 4 4 sin cos 1 2sin 2 2 x x x    e) 2cos 2 cos 1 cos 2 cos3x x x x   f) 2 1 5sin 2cos 0 x x    với cos 0 x  g) 5cos cos2 2sin 0 x x x    Bài 4. Giải các phương trình sau: a)     4 sin 3 cos2 5 sin 1 x x x    b) sin 3 cos 2 1 2sin cos2x x x x   c) cos3 cos2 cos 1x x x   (D2006) d) 4 2 4sin 12cos 7 x x   e) 2 6sin cos4 14 x x   Bài 5. Giải các phương trình sau a) 2 3 2 2 2 cos cos 1 cos tan cos x x x x x     b) 2 2 1 1 8 cos 2 sin 2 3x x   Bài 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 sin 4sin 3 2 0 x x m     (1) Bài 7. Cho phương trình     2 2 sin 1 2sin cos 0 x x m x     (1). Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ;0 2 x          Bài 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 ; 2 2 x          :   cos2 2 1 cos 1 0 x m x m      Bài 9. (ĐH Cảnh sát nhân dân 99) Tìm các nghiệm của phương trình: 2 1 5sin 2cos 0 x x    thỏa mãn điều kiện cos 0 x  . Bài 10. (CĐ Công nghiệp IV – TP.HCM 00) Cho phương trình:   2 cos 2 1 cos 2 1 0 x m x m      1. Giải phương trình khi 1 2 m  2. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm   0;2 π x  Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 4 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT (THUẦN NHẤT) ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau: 1. sin 3cos 1x x  2. 4sin 3cos 5 x x   3. 3sin 2 2cos 2 3 x x   4. 3 cos3 sin 3 2 x x  5. 3 3sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x    (ĐH Mỏ địa chất HN 1995) 6. cos7 .cos5 3sin 2 1 sin 7 .sin 5x x x x x    (ĐH Mỹ Thuật CNHN 1996) 7. π π π 3sin 4sin 5sin 5 0 3 6 6 x x x                         8. 3 3 4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos4 3 x x x x x    (HVCông nghệ BCVT 01) 9. 3 2sin 4 3cos2 16sin cos 5 0 x x x x     10. 3 4sin 1 3sin 3 cos3x x x    (CĐ Hải quan TP.HCM 98) 11. 2 2 cos 3sin 2 1 sinx x x    (ĐH Kỹ thuật công nghệ TP.HCM 00) 12.   4 4 4 sin cos 3sin 4 2 x x x    Bài 2. (ĐHKTQD 1997) Tìm các nghiệm 2 6 ; 5 7 x          của phương trình cos7 3sin 7 2 x x    IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 2 sin 2sin cos 3cos 0 x x x x    (1) b) 2 2 sin 6sin cos 3cos 1 x x x x     (2) V. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC BA ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X Bài 1. Giải các phương trình sau a) 3 2 2 3 2sin sin cos 4sin cos cos 0 x x x x x x     b) 3 6sin 2cos 5sin 2 cosx x x x   c) 3 2sin cosx x  d) 2 2 sin 2sin cos cos 0 x x x x    e) 2 2 6sin sin cos cos 2 x x x x    f) 2 sin 2 2sin 2cos 2x x x   g)   2 2 sin 3 1 sin cos 3 cos 0 x x x x     h)     3 4sin cos 4sin cos 2sin cos 1 2 2 x x x x x x                        i) 3 3 2sin 4cos 3sinx x x   k) 3 sin 4sin cos 0 x x x    l) 3 2cos sin 3x x  m) 2 2 2 2 3 3sin cos 3sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x                    n) sin 2 2cot 3 x x   Bài 2. Cho phương trình   sin 1 cos cos m m x m x x    (1) a) Giải phương trình với 1 2 m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 5 VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN X, COS X, TAN X, COT X Bài 1. Giải các phương trình sau: a)   2 sin cos sin cos 1x x x x   b)    1 sin 1 cos 2 x x    c)    2 1 sin cos sin cos 2 x x x x   d)   2sin 2 2 sin cos 1 0 x x x     e) sin cos 2sin 2cos 2 x x x x    f) 1 tan 2 2sinx x   g) 2 3 sin cos 1 sin cos 3 x x x x    i) 1 sin 2 sin cosx x x   Bài 2. Giải phương trình 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 6 x x x x x x       VII. PHƯƠNG TRÌNH NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X Bài 1. Giải các phương trình sau : a) sin cos 7sin 2 1x x x   b) sin cos 4sin 2 1x x x   c)     1 2 sin cos 2sin cos 1 2 x x x x     d) sin 2 2 sin 1 4 x x           VIII. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH Bài 1. Giải các phương trình sau a) sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2x x x x x     b) sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3x x x x x x     c) 1 cos cos 2 cos3 0 x x x     (ĐH Nông lâm TPHCM) d) cos cos 2 cos3 cos 4 0 x x x x     (HVQHQT 99) e) sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0 x x x x x x       (ĐHSP Vinh 97) f) sin 3 sin sin 2 0 x x x    (ĐH Đà Nẵng 97 khối B) g) cos10 cos8 cos6 1 0 x x x     ( h) cos cos3 2cos5 0 x x x    (HVQHQT 00) i) 9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8 x x x x     (ĐH Ngoại thương HN 97) j) 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x     (ĐH Ngoại thương TPHCM 00) k) sin 4 tanx x (ĐH Y HN 00) l)    2 2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x     m)   cos sin cos sin cos cos2x x x x x x   (ĐH Y khoa HN 96) n)    2 2sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3 x x x x      (ĐH Hàng hải 00) o) 3 3 cos sin sin cosx x x x    (ĐH Đà Nẵng 99) IX. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Phương pháp tổng hai số không âm Dạng 0 0 0 0 0 A B A A B B                Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 6 Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 2 2 4 1 sin sin 3 sin sin 3 sin 4 x x x x x    b) 2 2 4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0 x x x x      c) 4cos 2cos 2 cos 4 7 x x x     2. Phương pháp chặn trên, chặn dưới hai vế Dạng A B A M A M B M B M               Ví dụ: Giải các phương trình sau a)   sin cos 2 2 sin 3x x x    b)   2 cos 4 cos 2 5 sin 3x x x    c) 7 9 10 sin cos 2 sinx x x    3. Phương pháp bắc cầu Dạng A B C A M A M B N B N M N C                    Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 4 17 sin cos 1x x  b) sin 2 cos8 1x x  c) 5 5 sin cos cos2 sin 2 1 2 x x x x     X. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 2 cos 2cos 2 2cos 1x x x    b)     1 sin 1 sin 1 sin 1 1 x x x       XI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 1 tan cot cos x x x   b) 1 cot tan sin x x x   c) sin cos sin cos 2 x x x x     d) cos sinx x  BÀI TẬP LÀM THÊM Bài 1. Giải các phương trình sau: 1. (KA_14) sin 4cos 2 sin 2x x x   2. (KB_14)   2 sin 2cos 2 sin 2x x x    3. (KA_13) 1 tan 2 2 sin 4 x x           4. (KB_13) 2 sin 5 2cos 1x x  5. (KD_13) sin 3 cos 2 sin 0 x x x    6. (KA_12) 3 sin 2 cos2 2cos 1x x x   7. (KB_12)   2 cos 3sin cos cos 3 sin 1x x x x x    8. (KD_12) sin 3 cos3 sin cos 2 cos 2x x x x x     Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 7 9. (CĐ_12) 2cos 2 sin sin 3x x x  10. (KA_11) 2 1 sin 2 cos2 2 sin sin 2 1 cot x x x x x     11. (KB_11) sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x    12. (KD_11) sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x      13. (CĐ_11) 2 cos 4 12sin 1 0 x x    14. (KA_10)   1 sin cos2 sin 1 4 cos 1 tan 2 x x x x x             . 15. (KB_10)   sin 2 cos 2 cos 2cos2 sin 0 x x x x x     . 16. (KD_10) sin 2 cos 2 3sin cos 1 0 x x x x      . 17. (CĐ_10)   5 3 4cos os 2 8sin 1 cos 5 2 2 x x c x x    . 18. (KA_09)      1 2sinx cos 3 1 2sin 1 sinx x x     . 19. (KB_09)   3 sinx cos sin 2 3 os3 2 os4 sin x x c x c x x     . 20. (KD_09) 3 os5 2sin 3 cos 2 sinx 0 c x x x    . 21. (CĐ_09)   2 1 2sinx cos 1 sinx cosx x     . 22. (KA_08) 1 1 7 4sin 3 sinx 4 sin 2 x x                   23. (KB_08) 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x    . 24. (KD_08)   2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x     25. (CĐ_08) sin 3 3 cos3 2sin 2x x x   . 26. (KA_07)     2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x      . 27. (KB_07) 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x    . 28. (KD_07) 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x          . 29. (KA_06)   6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x x     . 30. (KB_06) cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x          . 31. (KD_06) cos3 cos 2 cos 1 0 x x x     . 32. (KA_05) 2 2 cos 3 cos 2 cos 0 x x x   . 33. (KB_05) 1 sin cos sin 2 cos 2 0 x x x x      . 34. (KD_05) 4 4 3 cos sin cos sin 3 0 4 4 2 x x x x                     . 35. (KB_04)   2 5sin 2 3 1 sin tanx x x    . Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 8 36. (KD_04)    2cos 1 2sin cos sin sinx x x x x     . 37. (KA_03) 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x      . 38. (KB_03) 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x    . 39. (KD_03) 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x           . 40. (KB_02) 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x    . Bài 2. (KA_02) Tìm nghiệm thuộc khoảng   0; 2  của phương trình: cos3 sin3 5 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x            . Bài 3. (KD_02) Tìm x thuộc đoạn   0;14 nghiệm đúng phương trình: cos3 4cos 2 3cos 4 0 x x x     . Bài 4. Giải các phương trình sau: 1. cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x    2. 2 2 2 2 sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x   3.   3 2 cos 2 2 sin cos 3sin 2 3 0 x x x x      (ĐHQG TP.HCM A 99) 4.   1 3sin 2cos 3 1 tan cos x x x x     (CĐSPHN 99) 5.     4 sin 3 cos 2 5 sin 1 x x x    (ĐH Luật HN 99) 6.     2 sin tan 1 3sin cos sin 3 x x x x x     (ĐHNN I B 99) 7. 3 2sin cos 2 cos 0 x x x    (ĐHNN I A 99) 8. 4 4 sin cos cos 2x x x   9. 6 6 7 sin cos 16 x x  10.   6 6 16 sin cos 1 3sin 6 0 x x x     (HVCTQGHCM 00) 11. 2 2 2 3 cos cos 2 cos 3 2 x x x    12. 2 2 2 cos cos 2 cos 3 1x x x   13. 2 2 2 3 sin sin 2 sin 3 2 x x x    14. 2 2 2 sin 3 sin 2 sin 0 x x x    (ĐHYHN 98) 15. 3 3 3 cos sin3 sin cos3 sin 4x x x x x   (ĐH Ngoại thương 99) . gi¸c 1 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 1 sin 2 x  b)   0 3 sin 2 30 2 x    Bài 4. Giải các phương trình. m     (1) Bài 7. Cho phương trình     2 2 sin 1 2sin cos 0 x x m x     (1). Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ;0 2 x          Bài 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm. cosx x x   Bài 2. Giải phương trình 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 6 x x x x x x       VII. PHƯƠNG TRÌNH NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X Bài 1. Giải các phương trình sau : a)