Bộ công thức Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia từ A Z gồm 3 phần với nhiều công thức toán học được áp dụng thường xuyên trong các bài thi THPT Quốc gia năm 2021. Xem thêm các thông tin về Bộ công thức Toán ôn thi THPT Quốc gia tại đây
Trang 1BỘ CÔNG THỨC TỐN LỚP 12 ƠN THỊ THPT QUỐC GIA TỪ A — Z Phần I ĐẠI SỐ Tam thức bậc 2 Bất đăng thức Cauchy Cấp số cộng Cấp số nhân
Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương trình, bất phương trình chứa căn
Trang 58 Phương trình, bất phương trình mũ : fx) — a9) Khai oes een a=1 f(x), g(x) xae định al 5 gw c„ lệ =O (a~— 9[f@) - g()] >0 10 Lũy thừa: a,b>0 81721100 onaa lau a a li (ara a |a“b°=(abj“| 4°= bì = i mlnfae — mn ak a ama Logarit: 0O<N:,N2,N va O<a,b#1 tacé log,N = M <> N=a™ log,[N_} =log,N, ~log,N, N
log,a" =M log,N°= a log,N
Trang 6Phân II LƯỢNG GIÁC
Bao gồm 3 chuyên đề lớn 1 Công thức lượng giác 2 Phương trình lượng giác 3 Hệ thức lượng trong tam giác
I Công thức lượng giác : 1 Hệ thức cơ bản : sin°X + cos*x = 1 tgx.cotgx = 1 sin x 2 1 tgx 9 COSX 1 + tg*x g = cos? x cos X 2 1 cotgox = — 1+cotg x = : sin x 9 sin?x 2 Các cung liên kết: Đối - Bù - Phụ - Hơn kém 7r; = cos(-x) = cosx tg (—x) = — {gx sin(-x) = —sinx cotg (—x) = —cotgx sin(x—x) = sinx tg (70 —x) = —tgx
cos(x—x) = —cosx cotg(7t —-x) = —cotgx
sin(C -x) = cosx tg( —x) = cotgx
7 7 7t
cos(= -X) = sinx cotg(= —) = tgx
sin(x+z) = —sinx tg (x + 7) = igx
COS(X+7r) = —Ccosx cotg(x+7r) = cotgx
sin(x + = = cosx tg(x + =) = —cotgx
cos(x + 2) = —sinx cotg(x ay, = —tgx
Trang 7
3 Công thức cộng : sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny cos(x + y)= cosx.cosy + sinx.siny tgx + toy tg (x+ ig (x+y) a 7 = Gey 4 Công thức nhân đôi : F = ; ei tg2x = —=—— 2tgx sin2x 2sinx.cosx ig 1 to’x 2 19 2 1+cos2x cos2x = cos*x— sin"x ES = = 2cos”x— 1 : Ae) 1—cos2x = 1-2sin’x Si ====E== 5 Công thức biểu diễn sinx, cosx,tgx theo t = to> B sinx=—2! 14? coe 1+ t? tgx = = 1-? 6 Công thức nhân ba : 3tgx — tg*
in3x = 3sinx - 4sin” tg3x = ==
§in3x = 3sinx - 4sinx g 1— 3Igx
neue 3cosx + cos3x
cos3x = 4cos*x - 3cosx eZ
.¬8, 8sinx — sin3x
Sinx =-——————
4
Trang 87 Công thức biến đổi :
a Tích thành tổng :
© cosa.cosb = ã [cos(a —b) + cos(a + b)]
« sina.sinb = 4 [cos(a—b) — cos(a + b)]
« sina.cosb = 5 [sin(a —b) + sin (a + b)] b/ Tổng thành tích : x+y * cosx + cosy w 2cos +y * cosx — cosy = — 2sin ~ x+y sinx + siny = 2sin e sinx — siny = 2cos XY sin X—¥ — _sinx+y) a sin(x + y) cals MY lis cosx.cosy SS2025299107, sinx.siny sin(x-y) sin(y - x) - tị = - —
SKS suy cosx.cosy COO CNY sinx.siny
Đặc biệt: | SỈPX + cosx = Ý2 sinx +) = Y2 cos(x - 7)
sinx - cosx = Ý2 sinx—^) = - 2 cos(x + ˆ)
Trang 9bí cosx=cos © [MT SEKÊ" x=-œ +k2m (kez)
Đặc biệt: cosx=1 <= x=k2n ; Cosx=-1 > x=n+k2n cosx = 0 > xa 5 tke
eí †gx = tga © x=ơ+kz (KeZ) dí cotgx = cotga x=œ+km (KkeZ)
2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác :
Cách giải : Đặt t= sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta có phương trình
"1
a,t" + an, + + a = 0
Nếu t = cosx hoặc t = sinx thì có điểu kiện -1<t <1 3 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx :
a.sinx + b.cosx = € a.bz0
Điều kiện có nghiệm : a?+b? >c?
Cách giải : Chia 2 vế phương trình cho +a?+b? và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản
4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx : a.sin?x + b.sinx.cosx + c.cos*x = 0 Cách giải : Xét cosx =0 â x Đ + km có phải là nghiệm không? Xét cosx z O chia 2vế cho coạx và đặt t=tgx 5 Phương trình dạng : | a.(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = œ Cách giải : Đặt t= sinx cosx = W2sin(x + 5) ¡ -⁄2<t<v2 †2—1 2
và giải phương trình bậc hai theo t
Trang 10II Hệ thức lượng trong tam giác : 1 Định lý hàm số cosin: | a? = b2 + c2 —- 2bccosA b* = a* + c* — 2accosB c* = a” + b* — Zab cosC a b C
2 Dinh ly ham s6 sin: sinA = sinB — sinC 7 2R
3 Công thức tính độ dài trung tuyến : b°+c* at a*+c* b* a’+b* cc” m=) -— m=) -— m= -— 2 4 2 4 2 4 4 Công thức tính diện tích tam giác : S= Sah, — Sph, — sch, 1 : 1 : 1 5 = —bc.sinA = —ac.sinB = —ab.sinC 2 2 2 4R S = ,/p(p — a)(p — b)(p —c) Phan III BAO HAM — TICH PHAN — HINH HOC - NHI THUC NEWTON 1 Dao ham
2 Bang cac nguyén ham
3 Dién tich hinh phang — Thé tich vat thé tron xoay 4 Phương pháp tọa độ trong mặt phang
Trang 11I Dao ham: @œ=)" = (u*)’ =_ œ.u*1u' ` fe 1 a = u Wxy = Bale Wey aa ay ai x u
(sinx)” = cosx (sinu)y’ = u’.cosu
(cosx)’ =-sinx (cosu)’ =—u’.sinu
7 nt —= ai
(tax) ~ cos?x Gy = cos?
oe ee be
(cotgxy = mines (cotgu)’ SIRE
(e*)’ = _e* (@") = u'.e"
Trang 12II Diện tích hình phẳng - Thể tích vật thể tròn xoay :
© Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng ® Chọn công thức để tính diện tích b d S= |ly.-yo|dx | hoặc | S= [|x, —x¿|dy a c ® Chọn cơng thức để tính thể tích : B - Hình phẳng quay quanh Ox: | V = xj|yš = v2|dx a 4
- Hình phang quay quanh Oy:| y= x {x2 = xã|dy
e Biến x thì cận là x=a; x=b cho trong giả thiết hoặc
hoành độ các giao điểm
Trang 13b Góc @ (0° < <90°) giữa hai đường thẳng : Ax + By+C=0và Ax+By+C'=0 e Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo) đến đường thẳng A: Xp + Byg + C| A: d(M, A) = | VA? +B? d Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Ax+By+C _, Ax+By+C [A2 + B2 4 ÍA2 + B2 e Hai điểm M(x,y:), M'(xa,yz) nằm cùng phía so với A © titla>O Hai điểm M(x¡,y:), M'(xs,ya) nằm khác phía so với A © t¡la<O = 50 Axa+By,+ C' = SS Ÿ¬=_=- A?+BE Ơ ” - VA2+B? 2 Đường tròn : ~ Phương trình đường tròn : Dạng 1 : Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a ;b) và bán kính R (x - a)? + (y—b)?=R?
Dạng 2: Phương trình có dạng | x? + y?- 2ax- 2by+c =0 với điểu kiện a?®+b?—c > 0 là phương trình đường tròn (C) cé
†âm I{(a;b) và bán kính R= va2+b2—c
- Phương tích của một điểm Mo(xo;yo) đối với một đường tròn : Pwo) = Xo" + Yor — 2aXo— 2byo + ¢
Trang 14
3 Elip : mm
® Phương trình chính tắc Elip (E) me e =1] (a>b) 5 P=
* Tiêu điểm : F;(c;0), Fa(c;0) s Đỉnh trục lớn: A:(Ca;0), Aa(a;0) « Đinh trục bé : B:(0;-b) , Bz(0;b) ; Tâm sai:
« Phương trình đường chuẩn : x= aS
ẻẺẻ ate eae XX YoY _
s Phương trình tiếp tuyến của Elip tại M (xo; yo)e(E) S28 01p)
se Điều kiện tiếp xúc của (E) và (A) : Ax + By +C = A?a? + B*b? = C?
4 Hypebol :
SN:
* Phương trình chính tắc Hypebol (H) nh # a =1| =a? +b? * Tiêu điểm : F(c;0) , Fa(c;0)
«Đinh — : Ar(a;0), Aa(a;0) ; Tâm sai: e =<
* Phương trình đường chuẩn: | x = ae ® Phương trình tiệm cận : y= 2x +_ Phương tĩnhtếp tuyến của Hypebol tại M(xo yo)e(H): | 8 ~ YF = 4 © Diéu kién tiép xtc ca (H) va (A): Ax + By + C =0 A?a?T— B?b? = C? (C#0) 5 Parabol :
_ Phương trình chính tắc của Parabol : (P): Y'= 2px
Trang 151I Phương pháp tọa độ trong không gian : 1 Tích có hướng hai vectơ :
Trang 163 Đường thang:
a Ba dạng phương trình của đường thẳng :
® Phương trình tham số của A qua Mo(Xo;Yo; Zo) và X=X, +at có vectơ chỉ phương H = (a;b;c) : y=y,+bt | (teR) Z=Zạ+ct + Phương trình chính tắc : | X—Š® = Ÿ—*o _ 2-70 a b Cc © Phuong trinh téng quat:| [Ax +By +Cz +D =0 Ax+By+C'z+D'=0 (với A:B:CzA':B':C') b Góc giữa hai đường thẳng : _ |aa' + bb'+cc| va? + b°+c? Ja'2+ b2+ c2 c Khoảng cách từ A đến đường thắng A (A có vtep U và qua M) : |[z.waj fal
Trang 174 Mặt cầu : a Phương trình mặt cầu : ~ Dạng 1 : Phương trình mặt cầu (8) có tâm 1(a;b;c) và bán kính R (x-a)?+(x-—b)?+ (x-c)? = R? ~ Dạng 2 : Phương trình có dạng : x + y? + 2?— 2ax — 2by —2cz+d =0
v6i diéu kign a? +b? +c?—d > 0 là phương trình mặt cầu (S) có tâm1(a;b;c) và bán kính R=a? + b? + e?~ d
b Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng :