LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN

LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN

Trang 1

I CONG THUC TINH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|

Tinh chat Hinh vé Vidu

Cho hình chĩp đều s Chohinh chop đều s.4Bc cé canh day bang SABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chĩp là: a, cạnh bên bằng b Khí đĩ: N38 =a SABC ~ 12 33 a2 aS 6 B 6 =— 3 p.# “a fiteBY ak 2 (5(«/3) 8 $ ABC — 12 Cho hình chĩp đều SABC cĩ cạnh đáy bằng 4, gĩc giữa cạnh bên va mặt đáy bằng z Khi đĩ: |V, $ ABC = —.tan a 12

Cho hình chĩp đều SABC cĩ cạnh đáy bằng

a, gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 Thể tích khối chĩp là: 3 3 a, 2x3 6 p, 2x2 12 C: a’ V3 12 D a’ V6 12 a a3 V, aac = 45:tan 60° = =>[c] Cho hình chĩp đều SABC cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bang a 3 Khi đĩ: Vi ase “ ¬-tanz

Cho hình chĩp đều s.ABc cĩ cạnh đáy bằng

2a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối chĩp là: a3 a3 A 3 B 6 a3 a6 ‹ 12 D 12 V, 2a) 3/3 $ ABC = LÊ} san =# Y3 — [2] Cho hình chĩp đều S.ABC cĩ bên bằng b va gĩc giữa cạnh bên với mặt đáy bang a Khi đĩ: 3 Vi ase = 2 SỈn ơ c0S” ø

Cho hình chĩp đều S.ABC cĩ bên bằng a và

Trang 2

Cho hình chĩp đều SABCD cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Khí đĩ: 8` x|4b° — 2a? Vs ascp = 6

Cho hinh chop déu S.ABCD co canh day

bing a, canh bén bing aJS Thé tich khéi chop 1a: A a’ V2 3 B a’ V2 2 3 3 c.2 4 D “Y3 6 2 a 4(av5] -> a2 Vs ascp = 6 = 2 = [Bl Cho hinh chop déu SABCD cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng z Khí đĩ: AD = “mn a

Cho hình chĩp đều s.aBcD cĩ cạnh đáy

bang z, gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối chớp là: A, #về p 9 6 ` 6 3/8 a2 c= D 3 6 3 3 Vanco = 9 tan a? = #8 — [al Cho hình chĩp đều SABCD cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng z 3 Khí đĩ: |V $ ABCD =“ tanø 6

Chohình chĩp đều s.ABCD cĩ cạnh đáy

bằng a2, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bing 45° Thể tích khối chĩp là: A # v3 B a v3 3 `6 C a’ V2 D a’ V2 3 6 3 (av2) a’ J2 Vs.asco = —§— tan 45° = 3 =lcl Cho hình chĩp đều SABCD cĩ cạnh bên bằng b, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng z Khí đĩ: 4a’ tana V, 3 3 (2+ tan? z) $ ABCD ”

Cho hình chĩp đều S.A4BECD cĩ cạnh bên

Trang 3

Chohinh chop déu S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a và gĩc ở đáy của mặt bên bằng z với ae) =;= 4'2 3 V œ xtan S.ABCD ” 6

Chohinh chop déu S.ABCD cĩ cạnh đáy

bang a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

60° Thể tích khối chop la: 3 3 gq & 6 B.“ v3 6 3/2 a2 gs 6 D 3 axÍtan260-1 a2 Vs xscp “ — rT “5 => Ic] Cho hinh chop S.ABC cĩ ba mặt phẳng (SAB), (SAC),(SBC) đơi một vuơng gĩc và cĩ diện tích lần lượt là S, ,S,,S, Khí đĩ: {2s SS Vs asc = = : Cho hình chỏp S.45C cĩ ba mặt phăng

(SAB), (SAC), (SBC) ddi một vuơng gĩc và diện tích của các tam giác SAB,SBC,SCA lân lượt là 15em?, 20cm” và 12em° Thể tích khối chĩp là: A 20/2 B 20 C ae D = V = SABC ~ SS = 20/2 = [Al Cho hinh chop s.ABC cĩ SA,SB,SC đơi một vuơng gĩc Biết SA =a,SB =b,SC =c Khí đĩ: |V, „„ = gĩc

Cho hình chĩp s.ABC cĩ SA,SB,SC đơi một

vuơng gĩc Biết SA=5, SB=4 Và $SC= 3 Thể tích khối chĩp là: A 20 B 10 C 30 D 60 Khí đĩ: V, „„ = c643- 10=

Trang 4

II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨF| 1 Phương pháp chung

Buốĩc 1: Xác định tâm của đa giác đáu:

- Tam giác đêu: Giao của 3 đường trung tuyén

- Tam giác 0uơng: trung điểm của cạnh huuền

- tam giác thường: siao của 3 đường trưng trực (ít gặp) - Hình ouơng, hình chữ nhật: giao diém 2 đường chéo Bước 2: Kẻ (4) qua tâm à 0uơne sĩc uới đáu (trục của đáu)

Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên à trục (4) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A) cắt (4) ở I thì I là tâm của mặt cầu 2 Các mơ hình thường gặp Mơ hình 1: Hình chĩp đều s_ABc $ B +) Ưu tiên tính R = SĨ

+) Cơng thức: SN.SA = SISH

Mơ hình 2: Hình chop S.4BC cĩ SA 1 (ABC}], tam giác ABC đều

s

8

+) Uu tién tinh R= Al

+) Cơng thức: Aï° = AN? + AH?

Mơ hình 3: Hình chĩp S.ABC co SA1( ABC), tam

Trang 5

Mơ hình 5: Hình chĩp đều S.ABCD I I T OR = “\ +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Cơng thức: SN.SD = SI.SO

Mơ hình 6: Hình chĩp S.ABCD cĩ ASAB cân, (SAB)1 (ABCD), ABCD là hình vuơng (hình chữ nhật) +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Cơng thức: IS? = IG? + SG? III DIỆN TÍCH MẶT CÂU - THE TICH KHOI CAU 1 DIEN TICH HINH TRON - HINH VIÊN PHAN - HINH QUAT TRON +) Diện tích hình trịn bán kính R: S,, = zR? 2 +) Diện tích hình quạt trên: S,„= “ — (ø_mdial) œ —Sinœ R? +) Diện tích hình viên phân: S, = +) Diên tích mặt cầu: 5 = 4zR?

+) Diện tích chỏm cầu chiều cao ¡:: S_= 2nRh=n(r? +h’)

+) Thể tích khối cầu: V,, = SAR’

+) Thé tich chom cau: V_ = zh* [A-3) = ae (hi + 3r” | II MẶT CÂU NGOẠI TIẾP HÌNH HỘP CHỮ NHẬT - HÌNH LẬP PHƯƠNG

Trang 6

-“+—~ S ' ' ' A it + D ' ‘ ' d ` 'R ' ` ' ` XX:_-.xsaeme a ` ; ` qn 5 ra, ` 4 + 4 ts ` { ` Tà eo Ta 1x Pee 4 “ ‘ ˆ ' , ' eof ` Ă““=— ` : ` ' ` ' ` ‘ ` + > ' B' % 2 “ skhensecetesed euceccneuased ; Ld = Cc ; ' ~-~=J$ ’ , A D' +) Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, nội tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a

- Tâm I là trune điểm của AC" (Hoặc lấu truns điểm của

đoạn thắng nốt tâm của 2 mặt đốt điện) - Bán kính R=^ 2 +) Gọi (S,)(S;) là mặt cầu nội tiếp ồ ngoạt tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D" cạnh a Ta cĩ: 4 4 Vv, RF 423 Vi= 37}, Hy “ưng 2 IV MẶT NĨN - KHỔI NĨN 1 Hình nĩn, khối nĩn: Ta +) Ư,,=—zrR“h v3 +) _ = ARI +) S, = zR(R+]) 2 Hình nĩn cụt, khối nĩn cụt: +) S = ml(R+r) +) S, =a(R?+r°+1(R+r)) Vine = szh(R +r? +Rr) 3 Thiết diện

+) Thiét điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S,,.=Rh

+) Thiét dién qua đình khơng chứ trục là tam giác cân SCD, thiệt điện cắt

day theo day cung CD ta cé:

- Gác giữa thiêt điện va diy: (ACD,BCD) = AHO

- Gác giữa trục va thiệt điện: (AO (ACD))= OAH

Trang 7

4 Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nĩn bán kính r đường

3 .Ä

cao h R5 a

2h

+) Trong các khối nĩn nội tiếp mặt cầu (S) tâm I, bán kính khơng đổi R

Khối nĩn cĩ thể tích lớn nhất khi h=ŠRz= 2 2n Khiảu v,= RẺ

5 Mat cau (S) tim I, ban kính r nội tiếp trong mặt nĩn (N) bán kính:

R, đường cao h, đường sith Ì Ta cĩ:

+) Dựng tâm I:

- Lay Ee AC sao cho OC = EC

- Qua E kẻ đường thẳng uuơng sĩc uới AC 0à cắt AO tai I thi I la tam mặt cầu nội tiếp mặt nĩn (N ) hR +) Ban kinh mat ciu (S$): r=—— 1+R V MAT TRU - KHOI TRU 1 CƠNG THỨC CƠ BẢN +) V„=zR°h, S_ =2=rh, S,, =2R(R + h)

+) Thiết điện uuơng sĩc uới trục là đường trịn bám kính R

+) Thiết điện chứa trục là hình chữ nhật ABCD điện tích S = 2Rh

+) Thiét điện sơng song tới trục là hình chữ nhật AEFI) cĩ khoảng cách

sữữa trục va thiết điện là d(OO', AEFD) =O!

66: Visen = ZABCD.00' sin(AB,CD) +) Gọi AB,CD là hai đường kính bat ki trén hai mat day cia hinh tru ta

Trang 8

+) A,B Tân lượt là các điểm trên các đường trịn đáu của hình trụ ta cĩ:

- Gác giữa AB nà trục OO': (AB,OO')= A'AB

- Khoang cach gitta AB va OO': d( AB,OO')=O'H +) Mat cau ngoai tiép khéi trụ cĩ bán kính wy r va đường cao h cĩ: 2 R= +” vả, = ;( [2# } \" 4 4 +) Trong các hình trụ nội tiếp mặt cầu thì hình trụ cĩ thiêt điện qua trục lớn nhật khi r=#Ý2 on r\2>h= r= Tức là ú đồ thờ điện là một hình vudng +) Trong các hình trụ cé dudéng cao h uà bán kính r nội Hếp mặt cầu thì hình trụ cĩ thể tích lớn nhát khi h2 = 2y? l= r¬Í2 +) Cho hình trụ (H) cĩ bán hính l uà đường cao 2R (S ) là mặt cầu nội tiếp hình trụ (H) ta cĩ: 5z (S) - H số điện tích: == Chú 1:

1 Một hình trụ cĩ điện tích tồn phần khơng đơi S Cĩ thể tích lớn nhất khi uà chỉ khi h = 2Ï =

2 Một hình trụ cĩ thể tích khơng đơi V Cĩ điện tích tồn phần nhỏ nhất khi l = 2l = $|— V 7

Trang 10

Hình trụ cụt †) S.„= zRÍh, + h, ) 1 #) V„¿ =2” (h, +h,) hs Nửa khối trụ +) V= 1 R= 2V„ Hình nêm +) V,= eR’ tana +) V,= * _2)R tana = V-V, 2 3

Diện tích gidi 1 ï + ) Sparel = ght aX

Trang 11

TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIẢI NHANH TỐN 13

PHAN 1 HAM SO

SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO

1 Dinh nghia

Vz.,z, € K,z, <#, (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

f(*,)< f(*,) =w= ƒ(z) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải

f(«,) > f(2,) > y = f(x) nghich biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Chú ý: + Nếu f'(z) >0, Vre (a:b) = hàm số f(a) đồng biến trên khoảng (a:b)

+Néu f'(x)<0, Vxe(a;b)=> ham sé f(x) nghich bién trên khoảng (a;)

+Néu f'(x)=0, Vx e (a:b) > hamsé f(x) khéng déi trên khoảng (a:8)

+ Nếu ƒ(z) đồng biến trên khoảng (a:b) => ƒ (z) >0 Vz e (a:b)

+ Nếu f(a) nghich bién trén khoang (a:b) — f(z) <0 Vze (a:b)

2 Quy tac va céng thite tinh dao ham

Quy tac tinh dao ham: Cho u = u(+): v= v(z): C : là hằng số Tổng, hiệu: (u + v) =1! + 0 Tích: (u v) =u'v+viu =(C u) =Cư ' Thương: (+) = etn2e (z9)=|S] ca 2 U u u Dao ham ham hop: Néu y = ƒ(w) tứ = u(z) => =wWu Bảng cơng thức tính đạo hàm:

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp

(c) =0 (Cla hang sé) (2*) = a2" (2° ) = aa (u* ) ey laf +) _~ (+ =-* (uz0) (v=) =—- ah ere (vu) = or (u > 0)

(sine) =cos xr (sin u) =u’ cosu

(cosz) = —sinz# (cos u) = —u’sinu

Trang 12

ca | — wu (tan) oe" a (tan u) = = ' 1 , (eo *) " sin’ ¢ (sie Mã an u (c’) =c" (c*) =u'e* (a) =a’ Ina (a) =u'a’ Ina 1 4 ¡ ’ Inhj =2 , _ 1 (ni) = —

(108, lẫn xina (lee, u) _ulna

Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a b a c x be ' , Lr z (#]- ad — be [sr stese) F ° d f ef ae (cx +d) | de! + cr + f (4e'+ez+ 7} Đạo hàm cấp 2: + Định nghĩa: ƒ”(x)= [Z(x)Ï + Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = ƒ (t) tại thời điểm t, la: a(¢,) =f" (t,) * Một số chú ý: e Nếu hàm số ƒ (x) va 9(z) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f(z) + 9(z) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này cĩ thể khơng đúng đối với hiệu /(x)~ ø(z):

e Nếu hàm sốƒ (z) và ø(z) là các hàm số đương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên

K thì hàm số ƒ (z) g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này cĩ thể

khơng đúng khi các hàm số ƒ (+), ø(+) khơng là các hàm số dương trên K

e Cho ham sé u= u(z), xác định với z € (a:») và u(z) ° (c d) Hàm số f{u(x)| cũng xác định với 2 € (a:b)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số Giả sử hàm số ƒ cĩ đạo hàm trên #£

+ Nếu ƒ'{z)>0 với mọi z e # và ƒ'(z) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xe K thi

hàm số ƒ đồng biến trên É

+ Nếu f'(z) <0 véi moi re K va f'(z) = 0 chi tại một số hitu han diém xe K

Trang 13

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ # = = — Ệ z š] thì dấu "= " khi xét dấu đạo

c + C

hàm ÿ khơng xảy ra

Giả sử y = f(z) = a2? + br’ +cer+d = f'(x) = 3a#” + 2ba + c Ham số đồng biến trên R Hàm số nghịch biến trên lŠ a>0 a<0 cọ cà © f'(z)20VreR@ a=0 f'(z)<0,VreR@ a=0 b=0 b=0 c>0 c<0

Trường hợp 9 thì hệ số e khác 0 vì khi a=b= e = 0thì ƒ(z) =d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ĩx thì khơng đơn điệu)

* Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng cĩ độ dài bằng l ta giải như sau:

+Bước 1: Tính y= f(z.m) = a#° +b#+e

+Bước 9: Hàm số đơn điệu trên Cha, <> / =0 cĩ 2 nghiệm phân biệt A»>0

= \ #0 ( )

+Buée 3: Ham sé don diéu trén khoang cé d6 dai bang |

= ls, —i| ale (+, +2) — 44,2, = P @s*?-4P=I (3 3ì

+ Bước 4: Giải f3 và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 Định nghĩa Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập K và z, € Jé + +, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a;b) chứa z„ sao cho (a;b) K và f(x) > ƒ(+;).Vz € (a:b) \ {z,} :

Khi đĩ ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ƒ

+a, 1a diém cực đại của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng (a:b) chita 2, sao cho

(a;b) cKvà f(z) Z ƒf(*¿).Yz = (a:b) \ {z,}

Khi đĩ ƒ(z,} được gọi là giá tri cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

Trang 14

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ = = ~ Ề z š] thì đấu "= " khi xét dấu đạo

cx + c

ham y’ khơng xảy ra

Giả sử = ƒ(#) = a+` + ba” + c + d => ƒ'(#) = 3az+” + 2bz + c Ham số đồng biến trên R Hàm số nghịch biến trên ÏŠ a>0 a<0 A<0 A<0 © /ƒ(z)>0:VzeR© a=0 © f'(z)<0VreR@ a=0 b=0 b=0 c>0 e<0

Trường hợp 9 thì hệ số c khác 0 vì khi a =b= c= Othi f(z) =d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ĩx thì khơng đơn điệu)

* Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng cĩ độ

dài bằng L ta giải như sau:

+Bước 1: Tính = f'(x:m) = ar’ + br +c

+ Buéc 2: Ham sé don điệu trên (z,:z,) <> 1 =0 cĩ 2 nghiệm phân biệt A>0

sẽ L #0 (")

+Buéc 3: Ham sé don điệu trên khoảng cĩ độ dài bang /

c© le, -2,| =le (2, +2,) —4a,27,=P <S*-4P=l P re)

+ Bước 4: Giải (*) va giao véi P *) để suy ra giá trị m cần tìm

CỰC TRỊ HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập K và z,„ € K

+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa z,„ sao cho (a;b) K và f(a) > f(a), Ve € (a:ð) \ {z,}

Khi đĩ ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ƒ

+z, là điểm cực đại của hàm số f nếu tổn tại một khoảng (a:b) chứa z, sao cho (a;b) K và f(z) < ƒf(*,).Vz € (a:b) \ {z,}

Khi d6 f(«,) dude goi la gia tri cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

Trang 15

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số + Nếu +, là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x; f(z,)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ƒ 2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số = f(z) dat cuc tri tai diém z¿ Khi đĩ, nếu y = f(a) cĩ đạo hàm tại điểm z, thì ƒ'(z„) = 0 Chú ý: + Dao ham f'(x) cĩ thể bằng 0 tại điểm x„ nhưng hàm số ƒ khơng đạt cực trị tại điểm :

+ Hàm số cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo ham + Ham sé chỉ cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0

hoặc tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo hàm 8 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm + Khi đĩ, nếu hàm số ƒ cĩ đạo hàm tại

điểm z, thì f'(x,)=0.Néu f(x) > 0 trên khoảng (z, — h:z,} và ƒ'(z) < 0 trên khoảng (z,:z„ + h) thì z, là một điểm cực đại của hàm số ƒ(z)

+ Nếu ƒ(z) <0 trên khoảng (+, — h:z,} và ƒ (z) > 0 trên khoảng (x,;x, +) thì

a, là một điểm cực tiểu của hàm số f(z) Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

+_ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm (+)

+_ Bước 2: Tìm các điểm +, (2 = kăt ) mà tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng cĩ đạo hàm

+_ Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu ƒ (z) Nếu ƒ (z) đổi dấu khi đi qua z, thì hàm số đạt cực trị tại z,

Định lí 3: Giả sử = f(x) cĩ đạo hàm cấp 9 trong khoảng (x, — hia, + h) với h > 0 + Nếu 7) =0 f" (x,) < 0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại z,

+ Nếu f(x,)=0, Ƒ(*,) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z,

Từ định lí trên, ta cĩ một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f'(z)

+ Buéc 2:Tim cac nghiém #, (: = 1:2 ) của phương trình f'(z) = 0 + Buéc 3:Tinh (+) và tính f(z)

+ Nếu ƒ (z,) <0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại điểm z

Trang 16

MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

I CUC TRI CUA HAM DA THUC BAC BA:

1, Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước

Bài tốn tổng quat: Cho hàm số = /(œ m) = ax* + ba’ +cr+d Tim tham sé m dé ham

số cĩ cực đại, cực tiểu tại ®,#, thỏa mãn điều kiện #{ cho trước Phương pháp: + Bước I1: * Tập xác định: D = lR *_ Đạo hàm: ÿ/ = 3a#” + 2bz + = Az + Bz + Ơ + Bước 2:

Hàm số cĩ cực trị (hay cĩ hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay cĩ cực đại và cực tiểu)

«&> phương trình = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt

A =3a#0 a#0

<> š 3 sự Oi , =>meD

A,= B -4AC =4 -12ac >0 b° — 3ac > 0 + Bước 8: Gọi z,.z, là hai nghiệm của phương trình y’ = 0 B 2b #, +#, = j.- =— 3 Khi đĩ: os t,.2, =—=— “- A 3a Bước 4: Biến đổi diéu kién K về dạng tổng S va tich P Tu dé giai ra tim dude me D

Bước 5: Kết luận các gia tri m thoa man: m = D, 0 D,,

* Chú ý: Hàm sé bac ba: = az + bx? + cx + d(a # 0) Ta cĩ: y'=3ar + 2br+c Diéu kién Két luan b - 3ae <0 Hàm số khơng cĩ cực trị b — 3ac > 0 Hàm số cĩ hai điểm cực trị

> Điều kiện để hàm số cĩ cực trị cùng dấu, trái dấu * Ham sé cé6 2 cực trị trái dấu

Trang 17

« Ham sé cé hai cực trị cùng dấu âm A,>0 ỹ © phương trình / = 0 cĩ hai nghiệm âm phân biệt © 4 Š = 2, + 2, = ` <0 C P=z,z,=—>0 “A4 >_ Tìm điều kiện để hàm số cĩ hai cực trị +,#, thỏa mãn: #ạ<@<#, #ị <#, <Ø Œ <#,<#, " Hai cực trị z,,z, thỏa mãn #, < œ<#, = (2, -øÌ(*, - a) <0€©z, x, — a(z, +z,)+ø? <0 "- Hai cực trị z,,z, thỏa mãn #, < #, < “ (2, — a)(z, - a) > © ss ©, 2, —a(z, +2,)+a@? >0 + +2, < 2ø z +, <2œ "_ Hai cực trị z,,z, thỏa mãn # <#, <#, as (+, -øÌ(#, — a) > Oo @,.2, ~a(z, +2,)+a@° >0 # +2, > 2œ # +#, > 2œ “ Phương trình bậc 3 cĩ 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi cĩ 1 nghiệm là z = = cĩ 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi cĩ 1 nghiệm là z = + ; a a

8 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cĩ các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,

khác phía so với một đường thẳng

Vi trí tương đối giữa 2 điểm vơi đường thăng:

Cho 2 diém A(x,:y,), B(x,:y,) và đường thẳng A - az + bự + e = 0

Nếu (az, + by, +c)(ar, + by, +c) <0 thihaidiém A, B nam vé hai phía so với dudng thang A

Nếu (az, + by, + c) (ar, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung phía so với đương thẳng A

Một số trưởng hợp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

<> ham s6 cĩ 2 cực trị cùng dấu

<> hàm số cĩ 9 cực trị trái dấu

<©> phương trình # = 0 cĩ hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox <> phương trình = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt và ÿ„„ „„ > 0

Trang 18

Đặc biệt: + Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox 8v > Ư Yoo + Vor > 9 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox >0 <© phương trình z = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt và Yoo Yor Yoo + Vor <9

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

(áp dụng khi khơng nhẩm đươc nghiêm và viết được phương trình đường thẳng di qua hai

điểm cực trị của đồ thị hàm s6)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục OQx > đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

©> phương trinh hồnh đơ giao điểm ƒ (z) =0 co 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiêm)

3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

Trang 19

MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH Dat: BAC =a m a a A ẩ c |CD( —m—— Tổng quát: 2 Sa AN s V3VM” B C

Dữ kiện Cơng thức thỏa mãn øb < 0

Tam giác 4Œ vuơng cân tai A b* = 8a

Tam giac ABC déu bỀ = 24a

Tam giac ABC cé dién tich a S, 32a°(S, y +b°=0

Tam giac ABC cé dién tich maz(S, ) bề _30a3 Tam giác 4BŒcĩ bán kính đường trịn nội tiếp FAApC — Tọ © abla f-2] |1? Tam giác AŒcĩ bán kính đường trịn ngoại tiếp = Ra azo =R |ð Tam giác 4 8Œ cĩ độ dài cạnh BŒ = m, am) + 2b = Ư Tam giác 4 BŒ cĩ độ dài 4B = AC = n, 16a?n? — b + Sab = 0

Tam giac ABC co cuc tri B,C € Or b? = 4ac Tam giác 4Œ cĩ 3 gĩc nhọn b(Sa + bŸ) > 0

Tam giác 48C cĩ trong tam O b? =6ac

Tam giác 48C cĩ trực tâm @ bỀ + Sa — 4ac = 0

Tam giác 48C cùng điểm Ĩ tạo thành hình thoi b? = 2ac Tam giác 4 BŒ cĩ Ĩ là tâm đường trịn nội tiếp bỀ — Sa — 4abe = 0 Tam giác 4Œ cĩ Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp bỀ — Sa — Sabc = 0 Tam giác 4Œ cĩ cạnh BC = kAB = kAŒ bŸ k” — Sa(k? — 4) =0

Trục hồnh chia tam giác 4.8Œ thành š_x'Ê

hai phần cĩ diện tích bằng nhau b= 4v2|ac|

Tam giác ABC 'cé điểm cực trị cách đều trục hồnh b` =Sac

Đồ thị hàm số (C) -= a#! +bz” +ce cắt trục Ĩz tại p? 100 =——dc

4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(c) -y=an'+be*+ec và trục hồnh cĩ diện tích b`= ae

phần trên và phần dưới bằng nhau

Phương trình đường trịn ngoại tiếp A4BC: z” + - -(2 - = + cy + 2 - m =0

a a

Trang 20

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I Định nghĩa

Cho hàm số y = f(z) xác định trên tập D

đỸ Ätuoi là giả trfilu nhữktầu kim gi y =J(đÏ tên B kn 7», + gọi là giá trị nhất của hàm số w= ƒ(*) rên Ð nếu: 3e eD,ƒ(œ,)=M Kí hiệu: M=maxƒ(x) „ ; „ L2 „ „ f(z)=m,VreD + S6 m gọi là giá trị nho nhất của hàm sé y = f(a) trén D néu: dz, € D,f(z,)=m Ki hiéu: m = minf(2)

2 Phuong phap tim GTLN,GTNN

* Tim GTLN, GTNN cua hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

+ Bước I1: Tính f'(x) và tìm các điểm 2,,, ,Œ, D ma tai đĩ f'(z) = 0 hoặc hàm số khơng cĩ đạo hàm

+ Bước 2: Lập bang biến thiên và rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số * Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

+ Bước 1:

* Hàm số đã cho ÿ = ƒ (z) xác định và liên tục trên đoạn [ a:b |

* Tìm các điểm ,,2,, ,#,„ trên khoảng (a:b), tai dé f' (x) = 0 hoặc f(z) khơng xác định + Bước2: Tính ƒ(a).ƒ(z,).ƒ(«,) /(s„).#(b) + Bước 3: Khi đĩ: * mag f(z) = maz |ƒ (z,) ƒ(e,) ƒ (x,) f (a) ƒ (b)} * nin f(z) = min {ƒ (z,) ƒ (z,) ƒ (z„ ) ƒ («) ƒ(8)} * Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng * Bước 1: Tính đạo hàm ƒf(z)

* Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm z € (a:b) của phương trình

ƒŒ) = 0 và tất cả các điểm œ € (a;6) làm cho ƒ{(z) khơng xác định * Bước 3 Tính A= lim ƒ(z), B= lim ƒ(z), ƒ(z,) ƒ(œ)

2a” rb”

* Bước 4 So sánh các giá trị tính được va két luan M = max f(x), m= min f(z)

Trang 21

DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số = ƒ(z) xác định trên một khoảng vơ hạn (là khoảng đạng (a:+=).(—=;ð) hoặc (—00;+00)) Đường thẳng y = y, la đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

lim f(2) = yy, im f(x) = y,

2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng z = #, được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 1= ƒ(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim ƒ(z) = +, lim f(x) = —s, lim ƒ(x)=~ø, lim ƒ(x)= + X—-PX X-PX 2-25 2-725 ax+b Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y = (c #0; ad—bc # 0) luơn cĩ tiệm cận cr+d ` G we “ 7 ngang la y = — và tiệm cận đứng z = —— ¢ C KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Sơ đồ khảo sát hàm số Cho ham sé y= f (x) * Tìm tập xác định của hàm số * Sự biến thiên se Chiều biến thiên i Tính y' ii Tim cac nghiém cua phudng trinh y'=0 và các điểm tại đĩ ' khơng xac dinh ủi Xét đấu g' và suy ra các khoảng biến thiên của hàm số se Tìm cực trị (nếu cơ) e Tim cac giới vơ cực: các giới hạn tại +, — œ và tại các điểm mà hàm số khơng xác định se Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu cơ) se Lập bảng biến thiên * Đồ thị

e_ Liệt kê các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng, ) e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Ĩy (nếu cơ)

Trang 22

Thầy Hồng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn

2 KHAO SAT MOT SO HAM DA THUC VA PHAN THUC:

a) HAM SO BAC BA y=azr*+br°+cer+d (a#0)

TRUONG HOP a>0O a<0 Phương trình ' = 0 cĩ VÀ y 2 nghiém phan biét | | ⁄Ä O 7 \ WT z ` Fae AY Phương trình =0 cĩ yA nghiém kép ‘ 1 1 2 = 2 : Phương trình Í =0 vơ yA yA nghiém 1 Q1 ae 1 x aa \ j1} ` \

b) HAM SO TRUNG PHUONG y = az‘ +bx’> +c (a #0)

Trang 23

Phương trình = 0 cĩ yh vA 1 nghiém ax+b c) HAM SO NHAT BIEN y= cx+d (c #0, ad—be #0) D=ad-bc >0 D=ad—be <0 apes 1 Ï | ` MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Dạng 1: Từ đồ thị (C) [y= f(x) suy ra đồ thị (c’) [y= f (|x|) - Ƒlz khi r+>0 Ta cĩ v=/(E)=[ff) Hi «li và = ƒ ((:Ì) la ham chan nên đồ thị (C”) nhận Oy làm trục đối xứng * Cách vẽ (C') từ (C):

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy cia dé thi (C): y = f(z)

+ Bỏ phần đồ thị bên trai Oy của (C) , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy Ví dụ: Từ đồ thị (C):w= ƒ(z)= z° — 3z suy ra đồ thị (c’) ‘y= lol - 3|z| Biến đổi (C):

+ Bỏ phần đồ thị của (C) bên trái

Ơụ giữ nguyên (C) bên phai Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị được

Trang 24

Dạng 2: Từ đồ thị (C): y= f(z) suy ra d6 thi (c’) [y= |/(z)|: nossa) Tt * Cách vẽ (C') từ (C):

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox cua đồ thị (C): = ƒ (z) :

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ĩx của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Vi du: Ti dé thi (C): y= f(x)=x° —3x “A \ |" |over-s 1 > Biến đổi (C): vO TỰ cv suy ra đồ thị = Je" = 32} + Bỏ phần đồ thị của (C) dưới Ox, giữ nguyên (C ) phia trén Ox “ ` ~ + ° ¥ + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ † qua Or ~~~~—~~~~ TỶ Chú ý với dang: y = | f (et) ta lần lượt biến đổi 2 dé thi y = /(l) va y= | f(z) Ví dụ: Từ đồ thị ‘ (C): y= f(z) =2° - 30 suy ra đồ thị (c’)- y=" — aa 2

v = |z[Ì — 3|z[ Biến đổi (C) để được == | AKT

Trang 25

Ví dụ a) Từ đồ thị (C): y= f(x) = 22° - 32’ +1 b) Ta dé thi (C): y = f(z) =—— suy suy ra đồ thị (C') : = |z — 1|(2z” — z — 1) œ—] ra đồ thị (C):=—— r -1 bề _ f(2) khix>1 x ụ=|#-1|(Ðz ——)= LÊ khie<1| y= leat khi œ e (1;+s} lr] a #— khi x € (—2;1) Đồ thị (C):

wee key ee ets + Bỏ phần đồ thị của (C) với z <1,

+ Bỏ (C) với z < 1 Lấy đối xứng phần

đồ thị bị bỏ qua Ox giữ nguyên (C) với x >1

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua (C) YA Ox YA \ Oo 1 ¥ ‘ 1 ‡ ‘ ' ' í (C)

Nhân xét: Trong quá trình thực hiện phép | Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực

hiện phép suy đồ thị một cách tương đối

biệt của (C): giao điểm với Ox, Ĩy, CÐ, CT chính xác TIÊP TUYỂN 1 Tiếp tuyến : Cho hàm số y= ƒ(x), cĩ đồ thị (C Tiếp tuyến của y= y'(z,)(z 7 +) + Đạ|-

đồ thi (C) tai diém M, (z;:1,) € (C) cĩ dạng:

Trong đĩ: Điểm M, (z;:1,) E(C) được gọi là tiếp điểm ( với 1ạ = (z;)) k= f'(z,) là hệ số gĩc của tiếp tuyến

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số (C) y= f(z) va (C') y g(x)

Đồ thị (Œ) và (Œ') tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình: |

Trang 26

+ Số giao điểm của (C,) và (C,) bằng với số nghiệm của phương trình (1)

+ Nghiệm z, của phương trình (1) chính là

hồnh độ z, của giao điểm

+ Để tính tung độ Yo của giao điểm, ta thay hồnh độ #, Vào

y= f(z) hoặc y = 9(z)

+Diém M(x,;y,) la giao diém cia (C,) va (C,)

DIEM DAC BIET CUA HO DUGNG CONG

1 Bài tốn tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C _) cĩ phương trình ¿ = ƒ(z.rn), trong đĩ ƒ là hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m khơng quá 2 Tìm những điểm cố định thuộc ho đường cong khi mm thay đổi?

Phương pháp giải:

+ Bưĩc 1: Đưa phương trình ự= ƒ(x,mn) về dạng phương trình

theo ẩn zn cĩ dạng sau: Ázn + B = 0 hoặc Azn” + Bm + Œ =0

+ Bước 3: Cho các hệ số bang 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình: A=0 A=0 hoặc +4 Ư = 0 B=0 C=0 + Buĩc 3; Kết luận:

- Nếu hệ vơ nghiệm thì họ đường cong (C_) khơng cĩ điểm cố định - Nếu hệ cĩ nghiệm thì nghiệm đĩ là điểm cố định của (C_)

2 Bài tốn tìm điểm cĩ tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) cĩ phương trình y = f(x) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm cĩ tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm cĩ tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hồnh độ và tung độ của điểm đĩ đều là số nguyên

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số + Bước 2: Lap luận để giải bài tốn

3 Bài tốn tìm điểm cĩ tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) cĩ phương trình = f(z) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một

điểm, qua đường thẳng

Bài tốn 1: Cho đồ thị (C) : = A+Ì + Ba” + Cz + D trên đơ thị (C) tìm những cặp điểm

đối xứng nhau qua diémI(z,,y,) * Phương pháp giải:

+ Gọi MÍa:AaŠ + Ba” + Ca + D, N(b.Ab® + Bb’ + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối

Trang 27

The, a+b=Ð21+,

TNC’ | Ala? + 6) + B(a? +6?) +C(a+b)+2D = 2y,

Giải hệ phương trình tìm được a ở từ đĩ tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho dé thj (C): y= Ax’ + Br’ +Cx+D Trén dé thj (C) tim những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

+ Goi M(a,Aa* + Ba + Ca+D),N(b,Ab® + Bb’ +Cb+D) la hai điểm trên (C)

đối xứng nhau qua gốc tọa độ

n a+b=0

+ Tac A(a’ + 0°) + B(a? + 6°) +C(a+b)+2D=0°

+ Giải hệ phương trinh tim dugc a,b tit dé tim dude toa dé M,N

Bài tốn 3: Cho đồ thị (C) -U= A# + B+ + Cr + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng đ: = Az+B

+ Gọi AM(a;Aa`+Ba°+Ca+D), N(b;Ab`+Bb°+Cb+D] là hai điểm trên (C) đối

xứng nhau qua đường thẳng đ

MN u¿= 0 (2)

của đường thẳng đ) Giải hệ phương trình tìm được M, N 4, Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách *, % Lý thuyết: + Cho hai điểm A(z,:w,):B(z,:w,) => AB= \s TP ) + (y, —Ù ) lcd (1) , 3 + Ta cĩ: | (với ï là trung điểm của ÄƒV và øz là vectơ chỉ phương Cho điểm A/(z,;y„) và đường thẳng đ:Ax+B/+C =0, thì khoảng cách từ Ä/ đến đ là Az, + By, +C VA +B h(M-d) = axr+b + Cho hàm phân thức: y = tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TƠN ỏ A và B thì M là trung cz + d

điểm của AB

Diện tích tam giác 14B khơng đổi: Sup = lad = bc| c?

Các bài tốn thường gặp:

Trang 28

x Ạ ‘ 45 d d d

+ Nếu 4 thuộc nhánh trai: 2, < > 2, SSE RSS y, =f(z,) + Nếu B thuéc nhanh phải: z, > fe ae y, = f(z,)

c c c

+ Sau dé tinh: AB’ = (9; _ z,) + (v, _ 12) = lía + 8) - (a _ a) | + (9; _ y,) -

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sé tim ra két qua

Bài tốn 2: Cho đồ thị hàm số (C) cĩ phương trình ụ = f(x) Tim toa dé diém M

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất * Phương pháp giải:

+ Goi M (+: y) và tổng khoảng cách từ A đến hai trục tọa độ là đ thì d= le| + lv |

+ Xé6t các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi Äƒ nằm ở các vị trí đặc biệt:

Trên trục hồnh, trên trục tung

+ Sau đĩ xét tổng quát, những điểm Ä cĩ hồnh độ, hoặc tung độ lớn hơn hồnh độ hoặc tung độ của Àƒ khi nằm trên hai trục thì loại đi khơng xét đến

+ Những điểm cịn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài tốn 8: Cho đồ thị (C) cĩ phương trình = ƒ(x) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ A{ đến trụcOy

¬ _ y=ker f(x) =ke

Theo đâu bài ta cĩ =H | The

Bài tốn 4: Cho đồ thị hàm số (C) cĩ phương trình

ax+b

y= f(x)= 7 (c0, ad —bc #0) Tim toa dé diém M trén (C) sao cho độ dài MI ngắn

CX+

nhất (vdi I la giao diém hai tiệm cận) * Phuong phap giai: AP + Tiệm cận đứng z = —; tiệm cận ngang ¿/ = e ao 18 * x —d a + 4.38: + Ta tìm được tọa độ giao điểm {= ® in hai tiém can CC 3 9

~ Gọi M(z,,:y,,) la diém can tim Khi dé: IM? = [s„ + ‘) aC — 4 = 9(,,) + + e 4 Cc -

+ Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số ø để thu được kết quả

Bài tốn 5ð: Cho dé thị hàm số (C) cĩ phương trình y= ƒ(z) và đường thẳng đd: Az+ Bụ+Œ =0 Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến đ là ngắn nhất * Phương pháp giải:

+ Goi J thuộc (C)= I{z,:1ụ): 1ạ = ƒ()

Khoảng cách từ 7 đến đ là g(z,) = h(1:đ) [As + By, + O| oang cach tu en d la g(x) = ,đị= Jaa B

Trang 29

PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT

LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên Cho #1 là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc øœ của a là tích của ø thừa số a a” =aa a(n thita sé)

Với a # 0

a®° =1 a" =

a

Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° va 0 khéng cé nghia + Một số tính chất của lũy thừa

e Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều cĩ nghĩa:

â

a“ -aÊ = q”°Ê- 2 ma": (a*f ma**" ~ (ab)* =a* <b":

a) FG)

e Nếu a >1 thì a” > aŸ © œ > Ø; Nếu 0 < a <1 thì a“ > aŸ° © œ< Ø Su R R ® Với mọi Ư < a < b, ta cĩ: a” < b” mm >0; a” >b” ©m <0 e Chú ý:

+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc khơng nguyên

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì eơ số a phải khác 0 + Khi xét lũy thừa với số mũ khơng nguyên thì cơ số a phải dương + Phương trình + = b Ta cĩ kết quả biện luận số nghiệm của phương trình x” =b như sau: e Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình cĩ nghiệm duy nhất e Trường hợp n chẵn:

+ Với b< 0, phương trình vơ nghiệm

+ Với b =0, phương trình cĩ một nghiệm z = 0

+ Với b > 0, phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị đương là vb ,con oi tri im 1k =

Một số tính chất của căn bậc n

Véi abe RneEN ,tacé:

+ fa?” =|a Va; Ya! =a Va-

Trang 30

ite" = (va) Va >0, nguyên dương, ?m nguyên š dựa = "la, Va > 0, n,mnguyén dương

+ Nếu Pat thì Va? = Ya? Va >0 mm nguyên dudng p,q nguyén n om

maf m 5

2 HÀM SỐ LŨY THỪA

+ Khái niệm

Xét hàm số # = z”, với œ là số thực cho trước

Hàm số = zZ, với œ€ ï$, được gọi là hàm số lũy thừa Chú ý

Tập xác định của hàm số lũy thừa = #“ tùy thuộc vào giá trị của œ Cụ thể e Với œ nguyên dương, tập xác định là R

e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R \ {0}

Dac biét: Va

e Với œ khơng nguyên, tập xác định (0;+) + Khảo sát hàm số lũy thừa

% Tập xác định của hàm số lũy thừa ¿ = z” luơn chứa khoảng (0;+œ)

với moi œ € l$ Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = x* trén khoảng này =#”,œ >0 Ụ =#”,œ <0 1 Tập xác định: (0:+=) 1 Tập xác định: (0 +00) 2 Su bién thién 2 Su bién thién y'=az*'>0 V2>0 '=aưz”'<0 Vz>»0

Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt:

lim zÝ =0, lim zF =+#› limx* =+, limx*=0

e0° r+ x0" x40

Tiệm cận: khơng cĩ Tiệm cận:

Trang 31

Đồ thị của hàm số z

Đồ thị của hàm số lũy thừa 1= x” luơn đi qua điểm ï (1:1)

Trang 32

LOGARIT VA HAM SO LOGARIT

1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khái niệm Logarit

Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức aZ = b được gọi là logarit cơ số a của b và được kí hiệu là log ở

Khơng cĩ logarit của số âm và số 0

Bảng tĩm tắt cơng thức Mũ-loarrit thường gặp: s« a°— (a #0) log 1= 0,(0 < a#1) ° (a) =a * log, ø =1,(0 < a #1) ta" _, i e log a* = a,(0 <az 1) ) d * log „a=-—,(0<a#1) a a a

- (a) = (2) ‘ ¢ log, b* =a.log_b,(a,b>0,a#1)

+ (a) (by =(a)™ * lee b= 7 la, + (sŸ (3Ÿ =(aŸ + tog, = lng,b s bị = s] Ábz0) s log b+log e=log, (bc) (by tứ b “ e log b—log c= log | — « (e}*=4(a}“.(ø<N') e 1 a\? a8 se log b= ; ° (a ) = (a) SE, log, a ( 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT + Bất phương trình mũ cơ bản Bất phương trình mũ cơ bản cĩ dạng a? > ư (hoặc ` >b,8` <b,8` <b) với a >0,a#1 Ta xét bất phương trình cĩ dạng aŸ > b

e Nếu ư < 0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR e Nếu bị >0 thì bất phương trình tương đương với aŸ > an

Trang 33

Ta minh họa bằng đồ thị sau: e Với a >1, ta cĩ đồ thị 1 ' 0 x e Với 0 < a <1, ta cĩ đồ thị y=b TC x 7 : A ' 1 ' log, b

+ Bat phuong trinh logarit co ban

Bất phuong trinh logarit co ban cé dang log x >b(hoac log x=b,log x <b,log x<b)

vdia>Oa#l

Xét bat phuong trinh log, x > b

Trang 34

BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà khơng tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước khơng được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến gửi tiền ra

a) Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số

tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø kì hạn ( n e Đ * ) là:

Ss = A+nAr = A(1+nr)

9 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi khơng rút ra thì được tính vào vốn để

tính lãi cho kì hạn sau

a) Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số

tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø kì hạn ( n € Đ * ) là: 8 =A(I+r) —> r% = “2-1 (1 + r)

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định

a) Cơng thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền 4 đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø tháng ( n € N * )(

nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là ® n= log ) Ti + : S = 4] (a+r) -1|(1+7) —> na = - (1 + rj (0 + r) - 1

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Cơng thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất r% /tháng Mỗi tháng vào

ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền cịn lại sau n tháng là bao nhiêu? S Atay at r —> wept An

5 Vay vốn trả gĩp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hồn ng; hai lần hồn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hồn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng øœ tháng

Trang 35

(L+r) -1 S =A(l+r)} -X r Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì $ =0 nên A(L+r) _ 1 c1 r a A(1 + r) F (1 a r) -1

6 Bài tốn tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là 4 đồng/tháng Cứ sau n tháng thì lương người đĩ được tăng thêm r3%/tháng Hỏi sau kn tháng người đĩ lĩnh được tất cả là bao nhiêu tiền? (1+r) -1 r Cơng thức tính: Tổng số tiền nhận được sau kn thang la S, = Ak

7 Bài tốn tăng trưởng dân số: Cơng thức tính tăng trưởng dân số X=? J(l+r) (m,n EZ me n) Trong đĩ: r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm ø đến năm m X dân số năm rn X dân Số năm ? ; xX Từ đĩ ta cĩ cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số là |r% = “| - —1 a Lãi kép liên tục:

Gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n năm (néN’) la: 9, = A(L+r)” Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính + xs r ate lãi và lãi suất mỗi kì hạn là —%_ thì số tiền thu được sau năm là: mì S -a{1+ =| ™m

Khi tăng số kì hạn của mỗi nam lén v6 cuc, ttic lA m — + , goi la hinh thtic 1ai kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

Trang 36

PHAN IIL

NGUYEN HAM - TICH PHAN - UNG DUNG TICH PHAN

I NGUYEN HAM

1 Nguyén ham

Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(z) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số F(z) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(z) trén K néu F'(z) = f(a) với mọi

ze€K.Kíhiệu: Í ƒ(z)d+ = F(z) +

Định lí:

1) Nếu F(z) là một nguyên hàm của ƒ (z) trên #{ thì với mỗi hằng số Œ, hàm số

G(x) = F(x)+C cing la mét nguyên ham cia f(x) trên K

2) Nếu Ƒ(z) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(z} trên thì mọi nguyên hàm của

ƒ(z) trên KÝ đều cĩ dạng #{z) + Ở, với Œ là một hằng số

Do đĩ Ƒ(z) + Œ,Œ ïR là họ tất cả các nguyên hàm của ƒ(z) trên #Z 2 Tính chất của nguyên hàm ®([/(z)4z) = /(z) và [7'(e)đ = /(e)+€: a([7(z)ax)=/(e)ax e Nếu F(x) cĩ đạo hàm thì: J d(F(x)) = F(x) +C © [Af (x) dx = kf f(x)de voi k là hằng số khác 0 ° J[/()+ s(e) ]ae = [?(=)£+ [s(z)+

« Cơng thức đổi biến số: Cho y = f(u) va u= 9(z)

Néu J ƒ(œ)dz = F(x) +C thi f f(9(z)) 9'(x)dx = [ f(u)du = F(u)+C

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ƒ ( r) liên tục trên K déucé nguyén ham trén K

Trang 38

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a Đổi biến dang 1:

Nếu : [Z@) = F(z) + và với u = ø(£)là hàm số cĩ đạo hàm thì : [7(0)du = F(u)+C PHUONG PHAP CHUNG

¢ Bước 1: Chon « = g(t), trong đĩ g(t) 1a ham sé ma ta chọn thích hợp se _ Bước 2: Lấy vi phân hai vế : đz = g'(t) dt

« _ Bước 3: Biến đổi: /(z)dz = /| ø(t) |ø'(t)dt = s(t)4t

Trang 39

PHƯƠNG PHÁP CHUNG ° Bước 1: Chọn t= g(x) Trong đĩ ợ{ x) là hàm số mà ta chọn thích hợp * Bước 9: Tính vi phân hai vé: dt = g'(t)dt : Bước 3: Biểu thị: ƒ(z)dz = f| ø(t) |ø'(t)#t = g(t)dt Bước 4: Khi đĩ : I = | f(x)de = [ 9(t)dt = G(t)+C

* Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số cĩ t là mẫu số Hàm số : (2: f(z) t= g(x) "7= € sinz+d cosz+c — —= tan coe’ : 0 2 £ 1 Với : z+a >0 và z+b >0 Hàm ƒ{z] = Với z+a < 0 và z+b <0 Đặt : t=xz—a +AÍ-z—b 2 NGUYEN HAM TUNG PHAN

Néu u(x) , v(x) 14 hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên K:

[ +2) 9'œ)dz = (3) d(3)— | t(z) v'(z)dz

Trang 40

Dang II: | J = f PC) Inzdz ưu =Ìnz dr 2 te Vay [= Inx Q(x) - [ Q(x) ^ dz dv = P(«)dx v= | P(x)de = Q(z) Dat I DạngIH J= fe dx cos x w=c" đu = c”dr —COS# —COSZ Đặt sinz => —=cosz| Vậy I= c4 - | "dx dv = dx v= < sin x sinz cos x sin z = CO8 #

Bằng phương pháp tương tự ta tính được Í

sin# ke sau đĩ thay vào Ï

TÍCH PHÂN

1 Cơn †c tính tích

[7(œ)dz = F()} = F(0)~ F(a)

b b

* Nhận xét: Tích phân của hàm số ƒ từ a đến b cĩ thể kí hiệu bởi | f(x)dx hay } f(t)dt Tich

phân đĩ chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà khơng phụ thuộc vào cách ghi biến số 9 Tính chất của tích phân Gia sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K, a,b,e là ba số bất kỳ thuộc K Khi đĩ ta cĩ : 1 ƒ(z)dz =0 2 fos =-|/0M 3 fret =[7œx+ fret 4 j[ze) + g(2) |dz = fey ‡ foto 5 jMĂM = ‘| ƒ(œ)dz

6 Nếu f(x) > 0Vz e | a:ð | thì : ƒ ƒ(œ)dr > 0Vz e | a:b]

7 Nếu Vz e| a:ð |: ƒ(ø) > g) = ƒ ƒ(z)dz > f g(z)dz (Bất đẳng thức trong tich phan )

b

Định dạng
Số trang	94
Dung lượng	13,2 MB