Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh toán 12

Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh toán 12Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh toán 12Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh toán 12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TỐN 12 fb c PHỈN HÀM SỐ o SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ m Đðnh nghïa x1, x  K , x  x ( K khoâng đoạn nửa khoâng)      f x   f x   y  f x  nghðch biến K đồ thð xuống tÿ trái sang phâi Chú ý: + N u f  x   0, x  a ;b   hàm s f  x  đ ng bi n tr n khoâng a;b  + N u f   x   0, x  a; b   hàm s f  x  nghðch bi n khoâng a;b  + N u f  x   0, x  a ;b   hàm s f  x  h ng đ i khoâng a;b  + N u f  x  đ ng bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a ;b  + Nếu f  x  nghðch bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a ;b  /g f x  f x  y  f x đồng biến K đồ thð lên tÿ trái sang phâi T s/ p u ro u ie iL a Quy tắc cơng thức tính đäo hàm   Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : hìng số   u  v   Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u   Tổng, hiệu: u  v    T n   O C  u .v  v .u C u  , v       v2 u2 u Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  y x  y u u x u  v  Thương:    Bâng cơng thức tính đäo hàm: ọo hm ca hm s cỗp (C l hỡng s) x   .x   u   u   1  1 u   u    u  u u   u u  u0 u        cos u   u.sin u Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  cos x    sin x  sin u   u .cos u c  sin x   cos x  o   1 iH a       (x  0) x x   x  x 0 x   x   .x iD h C   Đäo hàm hàm hợp www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sin e  e a   a ln a  ln x   x1 e   u.e a   u.a ln a  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a fb c x x o x u u u a ro /g m a u u u u x Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: u a    b Đạo hàm cấp : T s/ p  a    c x d    f  ax  bx  c  d    e     dx  ex  f  dx  ex  f  ax  b  ad  bc ;     cx  d  cx  d  x2    b    c e    f  + Đðnh nghïa: f   x    f   x   u ie iL a  + Ý nghïa học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s  f t täi thąi điểm t là:     a t0  f  t0 * Một số ý:      Nếu hàm số f x g x đồng biến (nghðch biến) tr n K hàm số   f x g x  O cüng đồng biến (nghch bin) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng đối vĆi hiệu       K hàm số f x  g x  cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng cỏc hàm số f x  , g x  kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K Cho hm số u  u  x  , xác đðnh vĆi x  a;b  u x   c;d  Hàm số f u  x   cüng xác đðnh vĆi x  a;b  Nếu hàm số f x g x hm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giâ sā hàm số f cò đäo hàm K       c hàm số f đồng biến K Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K hàm số f nghðch biến K    Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K o  iH a iD h  T n f x g x Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Chú ý: fb * Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tỵ y  ax  b  d x thỡ dỗu " " xột dỗu ọo cx d c hàm y  không xây .c   o Giâ sā y  f x  ax  bx  cx  d  f  x  3ax  2bx  c   /g m Hàm số đồng biến  f  x  0; x  Hàm số nghðch biến  a        a    b    c     f  x  0; x  u ro    a        a    b    c Trỵng hp thỡ h s c khác a  b  c  thỡ f x d p T s/ (ỵng thỵng song song hc trùng vĆi trýc Ox kh ng đĄn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số c a đơn điệu chiều không cị độ dài l ta giâi sau: Bỵc 1: Tớnh y f  x ; m  ax  bx  c    a  *  x ; x   y  có nghim phõn bit u ie iL a Bỵc 2: Hm s n iu trờn Bỵc 3: Hàm số đĄn điệu không cị độ dài bìng l   x1  x  l  x1  x    4x1x  l  S2  4P  l * * T n O Bỵc 4: Giâi * giao vĆi * * để suy giá trð m cỉn tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ iD h Đðnh nghïa Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K x  K   + x0 điểm cực tiểu cûa hàm số f tồn täi khoâng a; b chĀa x cho 0 iH a  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  Khi đò f  x  ỵc gi l giỏ tr cc tiu cỷa hm s f   + x điểm cực đäi cûa hàm số f tồn täi khoâng a;b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  0 o Khi ũ f x ỵc gọi giá trð cực đäi cûa hàm số f c + Điểm căc đäi điểm căc tiểu gọi chung điểm cực trð + Giá trð căc đäi giá trð căc tiểu gọi chung cực trð + Điểm căc đäi điểm căc tiu ỵc gi chung l im cc tr ca hm số điểm căc trð phâi điểm têp hợp K Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 + Giá tr cc ọi v giỏ tr cc tiu ỵc gi chung giá trð cực trð (hay cực trð) hàm số   fb + Nếu x0 điểm căc trð cûa hàm số điểm x ; f (x ) ỵc gi l im cc tr đồ thð hàm số f c Điều kiện cæn để hàm số đät cực trð     cị đäo hàm o Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y  f x đät căc trð täi điểm x Khi đò, y  f x   m täi điểm x f  x  Chú ý:   /g  Đäo hàm f  x bìng tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng đät căc trð täi ro điểm x0 T s/ p u Hàm số đät căc trð täi điểm mà täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm Hàm số chỵ đät căc trð täi điểm mà täi đò đäo hàm cûa hàm số bìng hc täi đị hàm số kh ng cò đäo hàm Điều iện đủ để hàm số đät cực trð Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x Khi đò, hàm số f cò đäo hàm täi       f  x   khoâng x ; x  h  thỡ x l m t i m cỵc cỷa hàm s f x   N u f   x   khoâng x  h; x  f   x   khoâng  x ; x  h  thỡ x l m t i m cỵc ti u cûa hàm s f  x    điểm x f ' x0  N u f  x  tr n khoâng x  h; x 0 0 u ie iL a 0 Quy tắc tìm cực trð Quy tắc 1:   i  1;2;   Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm điểm x i T n O mà täi đò đạo hàm hàm số hoðc hàm số liên tục khơng cị đạo hàm      đổi dấu Bước 3: Lêp bâng biến thiên hoc bõng xột dỗu f x Nu f  x qua x i hàm số đät căc trð täi x i   Nếu f   x   0, f   x   hàm số Nếu f   x   0, f   x   hàm số     iD h Đðnh lí 3: Giâ sā y  f x có đäo hàm cå p khoâng x  h; x  h vĆi h  0 f đät căc đäi täi x 0 f đät căc tiểu täi x Từ đðnh lí trên, ta cị quy tắc khác để tìm cực trð hàm số Quy tắc 2:    Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm nghiệm x i i 1;2; cỷa phỵng trỡnh f x  Bước 3: Tính f  x tính f  x i  đät căc đäi täi điểm x i i đät căc tiểu täi điểm xi Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 i   c      Nếu f   x   hàm số f Nếu f   x   hàm số f  o iH a www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: fb Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước   ài to n t ng quat: Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm c số có căc đäi, căc tiểu täi x 1, x thúa iu kin K cho trỵc /g m o Phương ph p:  ước 1:  Têp xác đðnh: D  2  Đäo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C ước 2: Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi căc tiểu)  y   có hai nghiệm phân biệt y  i dỗu qua nghim ũ ro u phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn biệt T s/ p   A  3a  a     m  D1  y   B  4AC  4b  12ac  b  3ac       ước 3: Gọi x 1, x l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y   u ie iL a  B 2b  x  x   A   3a Khi đò:  C c x x     A 3a ước 4: Bi n đ i u ki n K v da ng t ng S ti ch P T ú giõi tỡm ỵc m D2 ước 5: K t luån giá trð m thóa mãn: m  D1  D2   * Chú ý: Hàm số bêc ba: y  ax  bx  cx  d a  O Ta có: y '  3ax  2bx  c Kết luận Hàm số kh ng cò căc trð Hàm số cò hai điểm căc trð T n Điều kiện b  3ac  b  3ac  Điều kiện để hàm số có cực trð dấu, trái dấu  Hàm số cú cc tr trỏi du phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu  ac   iD h  Hàm số có hai cực trð dấu  Hàm số có hai cực trð dấu dương iH a  y phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu C 0 P  x 1.x   A Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 c o   y B phỵng trỡnh y cú hai nghim dỵng phồn bit S  x  x    A  C P  x x  0  A www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  Hàm số có hai cực trð dấu âm m o c fb  y ' B phỵng trỡnh y   có hai nghiệm âm phân biệt  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x thỏa mãn: x1    x /g x1  x   ro    x1  x Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1    x       u  x1   x     x1.x   x1  x            x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x1  x  2    Hai căc trð x 1, x thóa mãn   x1  x   T s/  p Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1  x       u ie iL a    x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x1  x Phỵng trỡnh bờc cú nghim lờp thnh cỗp s cng có nghiệm x  b d , cú nghim lờp thnh cỗp s nhõn cú nghiệm x   3a a i tri tương đ i giưa điêm vơi đương th ng:   B B hai phía so vĄi ỵng thởng iD h v ỵng thởng : ax by c  c ax  by  c   thi hai điểm A, B nëm v Cho m A x A; yA , B x B ; yB N u ax A  byA T n O Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng   N u ax A  byA  c ax B  byB  c  thi hai điểm A, B nëm cu ng Một số trương hơp đ c biêt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Oy  hàm s cú cc tr cựng dỗu phỵng trỡnh y   có hai nghiệm phân biệt dỗu Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 + Cỏc im cc trð cûa đồ thð nìm phía đối vi trc Ox phỵng trỡnh y có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  0 c o + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Oy hm s cú cc tr trỏi dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim trỏi dỗu iH a phớa so vi ỵng thợng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Đặc biệt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox c fb y y phỵng trỡnh y   có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox m o y y phỵng trỡnh y có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  /g + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía đối vi trc Ox phỵng trỡnh y có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  u ro (áp dung không nh m đươc nghiêm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trð đồ thð hàm số) Hoðc: Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox  đồ thð cít trýc Ox tọi im phõn bit phỵng tri nh hoành đ giao m f x  co nghi m phân bi t (áp dung p nh m nghiêm) T s/ Phương trình đường thẳng qua c c điểm cực trð  2c 2b  y.y y .y  bc g  x   9ay  g x  y  g x   x  d  3y  9a  9a 3     u ie iL a Khoâng cách hai điểm cực trð đồ thð hàm số ậc AB  b  3ac 4e  16e vĆi e  a 9a II CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c a  0 O MỘT SỐ KẾT Q CỈN NHỚ  Hàm số có căc trð  ab   Hàm số có ba căc trð  ab  T n a  b  a   Hàm số cò căc trð căc trð căc đäi   b  a   Hàm số có hai căc tiểu căc đäi   b  a   Hàm số có căc tiểu hai căc đäi   b   Hàm số cò căc trð căc trð căc tiểu   c täo thành tam giác ABC thóa mãn dĂ kiện: ab  b   b  ;   ,C   ;   2a 4a   2a 4a  o   iH a iD h  Giâ sā hàm số y  ax  bx  c có căc trð: A(0;c), B    Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y c fb o Tổng quát:  b cot  8a A O x m B /g Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam gi{c ABC vuông c}n A ro b  8a b  24a 32a (S )2  b  Tam gi{c ABC Tam gi{c ABC có diện tích S ABC  S u Tam gi{c ABC có diện tích max (S ) p S0   T s/ Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn nội tiếp rABC  r0 r  u ie iL a Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn ngoại tiếp RABC  R C b5 32a b2  b3   a 1    8a    R b  8a 8ab Tam gi{c ABC có độ d|i cạnh BC  m0 am02  2b  Tam gi{c ABC có độ d|i AB  AC  n0 16a 2n02  b  8ab  Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn ngoại tiếp Tam gi{c ABC có cạnh BC  kAB  kAC Trục ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh hai phần có diện tích b  ac b  8ac   Đồ thð hàm số C : y  ax  bx  c cít trýc Ox täi b2  36 ac phổn tr n v phổn dỵi bìng 100 ac c  bx  c trýc hồnh cị diện tích b2  o im phồn bit lờp thnh cỗp s cng nh tham số để hình phỵng giĆi hän bći đồ thð iH a Tam giác ABC cò điểm căc trð cách trýc hoành C  : y  ax b  6ac b  8a  4ac  b  2ac b  8a  4abc  b  8a  8abc  b k  8a(k  4)  iD h Tam gi{c ABC điểm O tạo th|nh hình thoi Tam gi{c ABC có O l| t}m đường tròn nội tiếp T n Tam gi{c ABC có trọng t}m O Tam gi{c ABC có trực t}m O b  4ac b(8a  b )  O Tam gi{c ABC có cực trị B,C  Ox Tam gi{c ABC có góc nhọn Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2   2     c y  c   0  b 4a   b 4a  2 Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x y   www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GIÁ TRỊ LỚN NHÇT - GIÁ TRỊ NHỎ NHÇT I Đðnh nghïa    f (x )  M , x  D x  D, f (x )  M     Số M gọi giá trð lớn cûa hàm số y  f x D nếu:  c fb Cho hàm số y  f x xác đðnh têp D o Kí hiệu: M  max f ( x) xD m  f (x )  m, x  D x  D, f (x )  m     Số m gọi giá trð nhỏ cûa hàm số y  f x D nếu:  /g Kí hiệu: m  f (x ) x D ro Phương pháp tìm GTLN,GTNN * Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khâo sát trực tiếp     Bước 1: Tính f  x tìm điểm x1, x 2, , x n  D mà täi đò f  x  hoðc hàm số u  T s/ p kh ng cò đäo hàm + Bước 2: Lêp bâng biến thi n v ri suy giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s * Tỡm GTLN, GTNN hàm số tr n đoän  Bước 1:   u ie iL a  Hàm số cho y  f x xác đðnh liên týc tr n đoän a;b         Tìm điểm x1, x 2, , x n không a;b , täi đị f  x  hoðc f  x kh ng xác đðnh          Bước 2: Tính f a , f x1 , f x , , f x n , f b  Bước 3: Khi đò:              f x   f x  , f x  , , f x  , f a  , f b   max f x  max f x , f x , , f x n , f a , f b n T n a ,b  O a ,b  * Tìm GTLN, GTNN hàm số tr n hông  Bước 1: Tính đäo hàm f (x ) Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh iD h Bc 2: f (x ) v tỗt cõ cỏc điểm i  (a;b) làm cho f (x ) kh ng xác đðnh  Bước Tính A  lim f (x ) , B  lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) x a x b So sánh giá trð tính ỵc v kt luờn M max f (x ) , m  f (x ) (a ;b ) iH a  Bước (a ;b ) Nếu giá trð lớn (nhó nhất) A B kết luận khơng cị giá trð lớn (nhó nhất)   Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 c   o         min f x  f a  a ;b  + N u y  f x đ ng bi n a;b     f x f b max  a ;b  min f (x )  f b  a ;b  + N u y  f x nghich bi n a;b     f (x )  f a max  a ;b  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ fb Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y  f (x ) xác đðnh không vơ hän (là khoâng däng c a;   ,  ;b  hoc ; ) ỵng thợng y y0 l ỵng tim cn ngang (hay tim cờn ngang) cûa đồ thð hàm số y  f (x ) nu ớt nhỗt mt cỏc iu kin sau thúa mãn: o lim f (x )  y0, lim f (x )  y0 x  x  /g m ng tim cn ng ỵng thợng x x ỵc gi l ỵng tim cn ng (hay tim cên đĀng) cûa đồ thð hàm số y  f ( x) nu ớt nhỗt mt cỏc iu kin sau ỵc thúa món: ro lim f (x ) , lim f (x )  , lim f ( x)  , lim f ( x)   x x 0 x x0 x x Lưu ý: VĆi đồ thð hàm phån thĀc däng y  u c  0; ad  bc  0 lu n cò tiệm cên a d tiệm cên đĀng x   c c T s/ p ngang y  ax  b cx  d x x0 KHÂO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Sơ đồ hâo sát hàm số   u ie iL a   Cho hàm số y  f x Tìm tập xác đðnh hàm số Sự biến thi n  Chiều biến thi n i Tớnh y ' ii Tỡm cỏc nghim cỷa phỵng trình y '  điểm täi đị y ' khơng kh ng xác đðnh  Tìm ỵng tim cờn cỷa hm s (nu cũ) Lờp bâng biến thi n Đồ thð  Liệt k điểm đðc biệt ( điểm căc đäi, điểm căc tiểu, tåm đối xĀng,…)  Xác đðnh giao điểm cûa (C) vĆi Ox, Oy (nếu cò)  Vẽ đồ thð c o iH a iD h  Tìm căc trð (nếu cị) Tìm giĆi v căc; giĆi hän täi ,   täi điểm mà hàm số T n   O xác đðnh iii Xột dỗu y ' v suy cỏc khoõng bin thi n cûa hàm số Page | 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MẶT PHẲNG n kh{c v| có gi{ vng góc mp(P) gọi l| véc tơ ph{p tuyến (P) fb (k  0) l| véc tơ ph{p tuyến (P) Nếu n l| véc tơ ph{p tuyến (P) kn c Phương trình tổng quát mp(P): qua M (x ; y0 ; z ) có véc tơ ph{p tuyến n  (A; B;C ) l|: A(x  x )  B(y  y0 )  C (z  z )  o Khai triển phương trình tổng quát: m Ax  By  Cz  D  (P) qua gốc tọa độ  D=0 (P) song song trùng (Oxy)  A=B=0 (P) song song trùng (Oyz)  B=C=0 (P) song song trùng (Ozx)  A=C=0 (P) song song chứa Ox  A=0 (P) song song chứa Oy  B=0 (P) song song chứa Oz  C=0 (P) cắt Ox A(a;0;0), cắt Oy B(0;b;0) v| cắt Oz C(0;0;c) T s/ p u ro         /g (A,B,C không đồng thời 0) Những trường hợp ri ng phương trình tổng quát: x y z   1 a b c  (P) có phương trình  u ie iL a Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:  Cho M x ; y0 ; z v| (P ) : Ax  By  Cz  D  ; d(M ,(P ))  Ax  By0  Cz  D A2  B  C Chùm mặt phẳng  Tập hợp tất cc mặt phẳng qua giao tuyến hai    Gọi d  l| giao tuyến hai mặt phẳng   : A x  B y  C z  D  v|    : A x  B y  C z  D  Khi  P  l| mặt phẳng chứa d  mặt phẳng  P  có mặt phẳng  v| ( ) gọi l| chùm mặt phẳng 1 2 dạng T n O 1 1 2 2   P m2  n  iD h P  : m.(A x  B y  C z  D )  n.(A x  B y  C z  D )  0, d C[C DẠNG TO[N THƯỜNG GẶP VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng   iH a   Để lập phương trình mặt ph ng  ta cần xác định điểm thuộc  VTPT       Dạng 1:  qua điểm M x ; y0 ; z có TPT n  A; B;C :     0 o   : A x  x   B y  y   C z  z     c Dạng 2:  qua điểm M x ; y0 ; z có cặp TCP a , b : 3:   qua điểm  M x ; y0 ; z  v| Page | 68 song song với mặt www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Dạng Khi VTPT  n  a ,b  phẳng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01    : Ax  By  Cz  D  0:   : A x  x   B y  y   C z  z   fb   0 Dạng 4:  qua điểm không thẳng h|ng A, B,C c   Khi ta xác định VTPT  là: n  AB, AC        – Trên d lấy điểm A VTCP u   – Một VTPT  là: n  AM , u  /g m o Dạng 5:  qua điểm M v| đường thẳng d không chứa M :     Dạng 6:  qua điểm M , vuông góc với đường thẳng d : ro     VTCP u đường th ng d VTPT  đường thẳng cắt d1, d2 : u   Dạng 7:  qua p – Xác định VTCP a , b đường th ng d1, d2   T s/ – Một VTPT  là: n  a ,b    – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M     u ie iL a Dạng 8:  chứa đường thẳng d1 v| song song với đường thẳng d2 ( d1, d2 chéo ) : – Xác định VTCP a , b đường th ng d1, d2   – Một VTPT  là: n  a ,b      – Lấy điểm M thuộc d1  M   Dạng 9:  qua điểm M v| song song với hai đường thẳng chéo d1, d2 :   T n   – Một VTPT  là: n  a ,b  O – Xác định VTCP a , b đường th ng d1, d2     – Xác định VTCP u  d  VTPT n    – Một VTPT   là: n  u, n    – Lấy điểm M thuộc d  M    Dạng 11:   qua điểm M v| vng góc với hai mặt phẳng cắt     ,    : – Xác định VTPT n , n       – Một VTPT   là: n  u , n    Dạng 12:   qua đường thẳng  d  cho trước v| c{ch điểm M cho trước khoảng k Dạng 10:  qua đường thẳng d v| vng góc với mặt phẳng  :  iD h  iH a          ( ta hai phương trình , ) Page | 69 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  – Lấy điểm A, B  d  A, B    – Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D  A2  B  C  c o cho trước: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  – Từ điều kiện khoảng cách d(M,( ))  k , ta phương trình   2, 3 (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 13:   l| tiếp xúc với mặt cầu  S  điểm H : – Giả sử mặt cẩu  S  có tâm I bán kính R – Một VTPT   là: n  IH m o c fb – Giải hệ phương trình , VẤN ĐỀ 2: Vị tr tương đối hai mặt phẳng /g Cho hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  v|  P  : Ax  By  Cz  D  ro Khi đó:  P  cắt  P   A : B : C  A : B : C A B C D    A B C D  P    P   P    P A B C D    A B C D  n P  n P  n P  n P   AA  BB  CC  T s/ p u   P  //  P  u ie iL a VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ m t điểm đến m t mặt phẳng Khoảng c{ch hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm tr n mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng   Khoảng cách từ điểm M x ; y0 ; z đến mặt ph ng ( ) : Ax  By  Cz  D  d  M 0,( )  Ax  By0  Cz  D A2  B  C O  Khoảng cách hai mặt ph ng song song khoảng cách từ điểm mặt T n ph ng đến mặt ph ng Chú ý: Nếu hai mặt ph ng không song song khoảng cách chúng  MH , n cung phuong  Điểm H hình chiếu điểm M P   H  (P )     iD h    Điểm M ' đối xứng với điểm M qua P  MM   2MH 1 1 2 2 A1A2  B1B2  C 1C A12  B12  C 12 A22  B22  C 22 ( )  ( )  AA  B1B2  C1C  Page | 70 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  n1 n2   Chú ý: 00  ( ),( )  900 ; n1.n2 c cos ( ),( )  o      có phương trình:   : A x  B y  C z  D     : A x  B y  C z  D  Góc   ,    bù với góc hai VTPT n , n Cho hai mặt ph ng  , iH a VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 fb VẤN ĐỀ 5: Vị tr tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu        S  khơng có điểm chung  d(I ,( ))  R    tiếp xúc với S   d(I ,( ))  R   tiếp diện Cho mặt ph ng  : Ax  By  Cz  D  mặt cầu S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 o c m Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau:     – Viết phương trình đường th ng d qua tâm I S vng góc với  /g       – Tìm toạ độ giao điểm H d  H tiếp điểm S với      ro   cắt S theo đường tròn  d(I ,( ))  R Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau:     u – Viết phương trình đường th ng d qua tâm I S vng góc với    p – Tìm toạ độ giao điểm H d      T s/ H tâm đường tròn giao tuyến S với  Bán kính r đường trịn giao tuyến: r  R2  IH u ie iL a ĐƯỜNG THẲNG I Phương trình đường thẳng: 1) Vect ch phương đường thẳng: Ðịnh nghĩa: Cho đường thẳng d Nếu vectơ a  v| có gi{ song song trùng với đường phẳng d vect a gọi l| vectơ phương đường phẳng d Kí hiệu:  Chú : TCP d T n TCP d k a (k  0) l| 1) a l| O a  (a1;a2 ;a3 ) ) Nếu d qua hai điểm A, B AB l| TCP d 4) Trục Oy có vectơ phương a  j  (0;1; 0) 5) Trục Oz có vectơ phương a  k  (0; 0;1) 2.Phương trình tham số đường thẳng: iD h 3) Trục Ox có vectơ phương a  i  (1; 0; 0) l|m TCP l| : z  a ( ) t   x Page | 71 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phương trình ch nh tắc đường thẳng: c O x  x  ta M ( x, y, z ) y () : y  y  ta  z  z  ta  o M0 iH a Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| nhận a  (a1;a2 ;a3 ) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| nhận a  (a1;a2 ;a3 ) l|m TCP l| : fb () : x  x0 c a1  y  y0 a2  z  z0 ( ) m o II Vị tr tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị tr tương đối đường thẳng mặt phẳng : PP HÌNH HỌC M  a M a  a ( )  n  n ro /g  n a3 M a a  a ( ) x  x  a t (1)  Định l : Trong Kg Oxyz cho: đường thẳng () : y  y  a2t (2) có TCP a  (a1;a2 ;a3 ) z  z  a t (3)   p u  Khi : () cat (  ) T s/ v| qua M (x ; y0 ; z ) v| mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có TPT n  (A; B;C )  a.n  u ie iL a a.n  Aa  Ba2  Ca     Ax  By  Cz  D  M  (P ) a.n  Aa  Ba2  Ca  ()  (  )    Ax  By  Cz  D  M  (P )  a ( )  (  )  a v| n phương () // (  ) Đặc biệt:  Aa1  Ba2  Ca  O   n a1 : a2 : a3  A : B : C   T n   a pt() tìm x, y, z pt( ) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M  v|  ta giải hệ phương trình:  iD h   Thế 1 , 2  ,   v|o phương trình mp  P  v| rút gọn dưa dạng: at  b  (*)  d cắt mp  P  điểm  Pt  * có nghiệm t  d song song với  P   Pt * vô nghiệm  d nằm  P   Pt * có vơ số nghiệm t  d vng góc  P   a v| n phương Suy ra: M x, y, z   Page | 72 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Cho hai đường thẳng:  qua M v| có vectơ phương u1 c o iH a Vị tr tương đối hai đường thẳng: PP HÌNH HỌC Vị tr tương đối hai đường thẳng không gian www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  qua N v| có vectơ phương u2 1    1 // 2   o c fb  u1 , u2   u1 , MN       u , u    2  cắt     u , u  MN      /g m   u , u       u , MN      v|  chéo  u1 , u2  MN  ro pt(1 ) tìm pt(2 )  PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (1 ) va ( 2 ) ta giải hệ phương trình :    u x, y, z Suy ra: M x, y, z   p 3) Vị tr tương đối đường thẳng mặt cầu: T s/ x  x  a t (1)  y  y  a t (2) v| mặt cầu S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có Cho đường thẳng d:  z  z  a t (3)  t}m I (a;b;c) , b{n kính R   u ie iL a PP HÌNH HỌC   B Tính khoảng c{ch từ t}m I mặt cầu S đến đường thẳng d l| h  d (I , d )  IM a    a B So s{nh d(I , d ) với b{n kính R mặt cầu: ● Nếu d(I , d )  R d T n ● Nếu d(I , d )  R d O   tiếp xúc S  cắt S  hai điểm ph}n biệt M , N ● Nếu d(I , d )  R d khơng cắt S đường kính (b{n kính) mặt cầu * iD h   2, 3 v|o phương trình S  v| rút gọn đưa phương trình bậc PP ĐẠI SỐ: Thế , hai theo t v| MN vng góc với    ● Nếu phương trình  *  có nghiệm d tiếp xc S  ● Nếu phương trình  *  có hai nghiệm d cắt S  hai điểm ph}n biệt M , N ● Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt S iH a Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay gi{ trị t v|o phương trình đường thẳng d c o Page | 73 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: fb   n1  ( A1 ; B1 ; C1 )   n2  ( A2 ; B2 ; C ) Định l : Trong Kg Oxyz cho hai mặt phẳng ,  x{c định phương trình : c ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  a 0    90 b cos   A1A2  B1B2  C 1C ( ) A  B C A  B C ro /g m o ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2  Gọi  l| góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: 2 2 2 2  a  (a; b; c)  n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng mặt phẳng: x  x0 u Cho đường thẳng () :  y  y0  z  z0 p a b c a v| mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Gọi  l| góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: T s/ sin   Aa  Bb  Cc a x  x0 a'   y  y0 b y  y0 b'    a1  (a; b; c) z  z0 1 c z  z0 c' 2  a  ( a ' ; b' ; c ' ) 0    90 T n O (2 ) : x  x0 u ie iL a A2  B  C a  b  c 3.Góc hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng : (1 ) : 0    90 Gọi  l| góc hai mặt phẳng (1 ) & (2 ) ta có cơng thức: a  b  c a '2  b '2  c '2 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ m t điểm đến m t mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  v| điểm M (x ; y0 ; z ) Khoảng c{ch từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính : M ( x0 ; y ; z ) A2  B  C c a H Ax  By0  Cz  D o d(M ; )  iH a iD h cos   aa '  bb '  cc ' Page | 74 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khoảng cách từ m t điểm đến m t đường thẳng: Cho đường thẳng () qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| có TCP u  (a;b;c) Khi khoảng c{ch fb từ điểm M1 đến () tính cơng thức: M1 M M ; u    ( ) d(M 1, )  u M ( x0 ; y ; z ) H o c  u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: m   Định l : Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng chéo : /g (1 ) co VTCP u  (a;b; c) va qua M0 (x ; y ; z ) ro (2 ) co VTCP u '  (a ' ;b ' ; c ' ) va qua M0' (x 0' ; y 0' ; z 0' ) p u u, u '  M M '   0 Khi khoảng c{ch (1 ) va ( 2 ) tính cơng thức d (1, 2 )  u; u '   1 u   M0  u' 2 u ie iL a T s/ M ' C[C DẠNG THƯỜNG GẶP VẤN ĐỀ 1: L p phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường th ng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Dạng 1: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| có TCP a  (a1;a2 ;a3 ) : ( t  R) O x  x  a t o  (d ) : y  yo  a2t z  z  a t o  T n Dạng 2: d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP  VTCP d iD h   cho trước: Vì d  P  Dạng 4: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| vng góc với mặt phẳng P   nên VTPT P VTCP d  Cách 1: Tìm điểm VTCP iH a   Q : Dạng 5: d l| giao tuyến hai mặt phẳng P , (P ) (với việc chọn giá (Q ) – Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  o trị cho ẩn) Page | 75 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Dạng 6: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| vng góc với hai đường thẳng d1, d2 : c – Tìm VTCP d : a  nP , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường th ng qua hai điểm www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Vì d  d1, d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad    fb Dạng 7: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) , vng góc v| cắt đường thẳng   Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường th ng  m o c  H    M H  u   Khi đường th ng d đường th ng qua M 0, H    P   Q     Cách 2: Gọi P mặt ph ng qua A vng góc với d ; Q mặt ph ng qua A chứa d /g Khi d ro Dạng 8: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| cắt hai đường thẳng d1, d2 :  Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện M , M1, M th ng hàng ta tìm M1, M u Từ suy phương trình đường th ng d         p  Cách 2: Gọi P  (M 0, d1 ) , Q  (M 0, d2 ) Khi d  P  Q Do đó, VTCP T s/ d chọn a  nP , nQ      Dạng 9: d nằm mặt phẳng P     v| cắt hai đường thẳng d1, d2 : Tìm giao điểm A  d1  P , B  d2  P Khi đód đường th ng AB u ie iL a Dạng 10: d song song với  v| cắt hai đường thẳng d1, d2 :   Viết phương trình mặt ph ng P     d P  Q   chứa  d1, mặt ph ng Q chứa  d2 Khi Dạng 11: d l| đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: T n O MN  d1  Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d MN  d2 đường th ng MN  Cách 2: – Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad   2   + Lấy điểm A d1   + Một VTPT P là: nP  a , ad      – Tương tự lập phương trình mặt ph ng Q chứa d d2     Khi d  P  Q   Dạng 12: d l| hình chiếu đường thẳng  l n mặt phẳng P :   o   iH a iD h – Lập phương trình mặt ph ng P chứa d d1, cách:  Lập phương trình mặt ph ng Q chứa  vng góc với mặt ph ng P cách: Page | 76 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   – Vì Q chứa  vng góc với P nên nQ  a  , nP    c – Lấy M   www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01     Khi d  P  Q fb Dạng 13: d qua điểm M, vng góc với d1 v| cắt d2 :  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1, ta tìm N Khi đó, d   – Viết phương trình mặt ph ng Q  chứa M Khi d  P   Q  – Viết phương trình mặt ph ng P qua M vng góc với d1 d2 ro /g m o c đường th ng MN  Cách 2: VẤN ĐỀ 2: Vị tr tương đối hai đường thẳng T s/ p u Để xét VTTĐ hai đường th ng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường th ng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường th ng VẤN ĐỀ 3: Vị tr tương đối đường thẳng mặt phẳng u ie iL a Để xét VTTĐ đường th ng mặt ph ng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường th ng VTPT mặt ph ng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường th ng mặt ph ng VẤN ĐỀ 4: Vị tr tương đối đường thẳng mặt cầu O Để xét VTTĐ đường th ng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường th ng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường th ng mặt cầu T n VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ m M đến đường thẳng d  Cách 1: Cho đường th ng d qua M có VTCP a  – d M , d  MH  Cách 3:   – Gọi N x ; y; z  d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường th ng d)  Khoảng cách hai đường thẳng chéo c  – Khi N  H Do d M , d  MH o – Tìm t để MN nhỏ iH a  iD h M M , a    d(M , d )  a  Cách 2: – Tìm hình chiếu vng góc H M đường th ng d Cho hai đường th ng chéo d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M Page | 77 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 d(d1, d2 )  có VTCP a fb a1, a2  M1M a1, a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường th ng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt ph ng c   chứa d song song với d1 m o Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường th ng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường th ng đến đường th ng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song   song song với khoảng cách từ /g Khoảng cách đường th ng d với mặt ph ng    ro điểm M d đến mặt ph ng  VẤN ĐỀ 6: Góc u p G c hai đường thẳng Cho hai đường th ng d1, d2 có VTCP a1, a2 T s/ Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos a1, a2   a1 a2 u ie iL a a1.a2 G c đường thẳng mặt phẳng   Cho đường th ng d có VTCP a  (a1;a2 ;a3 ) mặt ph ng    có VTPT n  (A; B;C ) Góc   đường th ng d mặt ph ng  góc đường th ng d với hình chiếu d '   Aa1  Ba2  Ca  sin d,( )  A2  B  C a12  a22  a 32 I Phương trình mặt cầu: Phương trình ch nh tắc:  2 iD h S  t}m I a;b;c  , b{n kính R  (z  c)  R 1 Phương trình mặt cầu l|: (S ) : (x  a )2  (y  b)2 T n O MẶT CẦU Phương trình gọi l| phương trình tắc mặt cầu iH a 2 2 Đặc biệt: Khi I  O (C ) : x  y  z  R Phương trình tổng quát: 2 Phương trình : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b2  c  d  l| phương     trình mặt cầu S có t}m I a;b; c , b{n kính R  a  b  c  d 2   Cho mặt phẳng ( ) v| mặt cầu S có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 Page | 78 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 c o II Giao mặt cầu mặt phẳng: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   Gọi d(I ;  ) l| khoảng c{ch từ t}m mặt cầu S đến mặt phẳng  fb Cho mặt cầu S I ; R  v| mặt phẳng P  Gọi H l| hình chiếu vng góc I l n  P   d  IH  d  I ,  P  c dR dR dR o Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu m  P  l| mặt phẳng tiếp diện Mặt cầu v| mặt phẳng không Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện l| đường trịn có mặt cầu v| /g có điểm chung t}m I  v| b{n kính H: tiếp điểm r  R2  IH T s/ p u ro       Dạng 2: S  có t}m I a;b;c  v| qua điểm A : Dạng 1: S có t}m I a;b;c v| b{n kính R : S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 u ie iL a Phương pháp: Khi b{n kính R  IA   Dạng 3: S nhận đoạn thẳng AB cho trước l|m đường kính: Phương pháp:  T}m I l| trung điểm đoạn thẳng xA  xB ; yI  y A  yB O AB : x I  ; zI  zA  zB AB Dạng 4: S qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện) B{n kính R  IA    Phương pháp:   iD h T n    Giả sử S có dạng: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  *  Thay toạ độ c{c điểm A, B,C , D v|o * , ta phương trình  Giải hệ phương trình đó, ta tìm a,b, c, d  Phương trình mặt cầu S  iH a       Dạng 5: S qua ba điểm A, B,C v| có t}m I nằm tr n mặt phẳng P cho trước: Phương pháp: Giải tương tự dạng    Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính b{n kính R Page | 79 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   mặt cầu S ( ét hai trường hợp tiếp xúc v| ngo|i)    {c định t}m I v| b{n kính R ' mặt cầu T c Phương pháp: o   Dạng 6: S có t}m I v| tiếp xúc với mặt cầu T cho trước: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   Chú : ới phương trình mặt cầu S : x  y  z  2ax  2by  2cz  d      Cho hai mặt cầu S I , R  v| S I , R   I I  R R  S  , S   I I R R  S  , S  ngo|i  I I  R R  S  , S  tiếp xúc  I I R R  S  , S  tiếp xúc ngo|i  R R  I I  R R  S  , S  cắt theo đường tròn Dạng 7: iết phương trình mặt cầu S  có t}m I a;b;c  , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho trước Phương pháp: B{n kính mặt cầu R  d I ; P   Dạng 8: iết phương trình mặt cầu S  có t}m I a;b;c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo fb với a  b2  c  d  S có t}m I –a; –b; –c v| b{n kính R  a  b  c  d 1 o c 2 1 /g m 2 2 2 2 2 2 2 2 p u ro 1 u ie iL a T s/ giao tuyến l| đường tròn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có b{n kính cho trước Phương pháp:  Từ cơng thức diện tích đường trịn S   r chu vi đường trịn P  2 r ta tìm b{n kính đường trịn giao tuyến r  Tính d  d I , P   Tính b{n kính mặt cầu R  d  r Kết luận phương trình mặt cầu    2    Ta có b{n kính mặt cầu R  d I ; P  Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 10:  iD h    tiếp xúc với đường thẳng  cho trước v| có t}m iết phương trình mặt cầu S  I a;b;c cho trước    Toạ độ t}m I  P   l| nghiệm phương trình Page | 80 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01    iết phương trình mặt phẳng P qua điểm M v| vng góc với đường thẳng   c Phương pháp  tiếp điểm o     iết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với đường thẳng  thuộc  v| có t}m I thuộc đường thẳng d cho trước Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S ta có R  d I,  M xo , yo , zo iH a Phương pháp Dạng 11: cho trước theo T n giao tuyến l| đường tròn thoả điều kiện Phương pháp: O   có t}m I a;b;c  , cắt mặt phẳng P  iết phương trình mặt cầu S Dạng 8: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01    Kết luận phương trình mặt cầu S  Dạng 12: iết phương trình mặt cầu S  có t}m I a;b;c  v| cắt đường thẳng  B{n kính mặt cầu R  IM  d I,   c fb hai điểm m o A, B thoả mãn điều kiện: a Độ d|i AB l| số b Tam gi{c IAB l| tam gi{c vuông c Tam gi{c IAB l| tam gi{c Phương pháp /g   {c định d I ,   IH , IAB c}n I n n HB  AB IH  HB IH b B{n kính mặt cầu R  sin 45o IH c B{n kính mặt cầu R  sin 60o MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN   T s/ p u ro a B{n kính mặt cầu R  Cho P hai điểm A, B  ?    M , A, B thỵng hàng  M  AB  P u ie iL a    Tìm M  P để MA  MB   + Nếu A B trái phía so vĆi P   Tìm B ' đối xĀng cûa B qua  P  + Nếu A B phía so vĆi P    M , A, B ' thỵng hàng  M  AB ' P   Cho P hai điểm A, B max ?    M , A, B thỵng hàng  M  AB  P O   Tìm M  P để MA  MB   + Nếu A B phía so vĆi P   Tìm B ' đối xĀng cûa B qua  P  T n + Nếu A B trái phía so vĆi P  Cho điểm M x M ; yM ; z M iD h  MA  MB '  AB '  kh ng thuộc P  : 3xx trýc mðt phỵng tọa độ Viết phỵng trỡnh P qua M v cớt tia M ỵng thợng d , cho khoõng cỏch tÿ   điểm M  d đến P ln nhỗt? qua A v cỏch M mt khõng ln nhỗt Page | 81 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Qua A P : n P AM Vit phỵng trỡnh mðt phỵng P   c   Qua  A  d  P :    n P    u d , AM  , u d o Vit phỵng trỡnh mt phỵng P chĀa y z  1 3yM 3z M iH a Ox,Oy,Oz lổn lỵt tọi A, B,C cho VO ABC nhú nhỗt? www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Vit phỵng trình mðt phỵng P chĀa   Qua  A  d  P :    n P    u d , u   u d fb ỵng thợng d , cho P täo vĆi  c (  kh ng song song vi d ) mt gũc ln nhỗt l ln nhỗt ? Cho / / P Vit phỵng trỡnh o m ỵng thợng d song song vi v cỏch mt khoõng nhú nhỗt ? Lỗy A gi A l hỡnh chiu vu ng gòc cûa   A P /g Viết phỵng trỡnh ỵng thợng d i qua im A cho trỵc v nỡm mt phợng P cho trỵc cho Qua A d: u d u  Qua  A  d  d:   u d  n P  , AM  ro khoâng cỏch t im M cho trỵc n d l ln nhỗt ( AM khụng vuụng gúc u vi P ) ? p Vit phỵng trỡnh ỵng thợng d i qua im A cho trỵc v nỡm T s/   Qua  A  d  d:    u d   n P  , AM  , n P   mðt phỵng P cho trỵc cho vi P ) ? u ie iL a khoâng cách tÿ điểm M cho trỵc n d l nhú nhỗt ( AM khụng vuụng gúc Vit phỵng trỡnh ỵng thợng d i cho  P  qua điểm A  P trỵc , cho d nỡm tọo vi ỵng Qua  A  d  d:    u d   n P  , AM  , n P thợng mt gũc nhú nhỗt vĆi  cít c o iH a iD h T n O nhỵng kh ng vu ng gòc vĆi P ? Page | 82 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y c fb o Tổng quát:  b cot  8a A O x m B /g Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam gi{c ABC vuông c}n... loại n, p Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Tứ diện Khối lập phương u ie iL a Khối đa diện Số cạnh Số mặt 3; 3 12 4; 3 3; 4 12 Mười hai mặt 20 30 Hai mươi mặt 12 30 Số MPĐX 12 20 5; 3... điểm đặc biệt, hông cách  Lý thuyết:    Cho điểm M x ; y0 A B   y 2  y1  ax  b tiếp tuyến täi M cít TCĐ, TCN ć A B M trung cx  d ad  bc c2 Các toán thường gặp: Bài toán 1: Cho hàm