Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Chuyên đề Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình, Đặng Việt Đông

Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Chuyên đề Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình, Đặng Việt Đông Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Chuyên đề Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình, Đặng Việt Đông Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Chuyên đề Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình, Đặng Việt Đông Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Chuyên đề Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình, Đặng Việt Đông Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Chuyên đề Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình, Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 17 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: 17 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 23 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 33 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG : 35 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 39 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 40 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 51 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 1) Quy tắc: Nếu u  u  x  v  v  x   uv   uv  uv - Nếu  f  x  g  x    h  x  f  x  g  x    h  x  dx Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;   thỏa mãn điều kiện f 1  x   f   x    f  x   1, x  Giá trị f   A B C D Lời giải Chọn B +)Từ giả thiết, ta có x   f   x    f  x    xf   x   f  x   x    xf  x    x   xf  x     x  1 dx  xf  x   x  x  C +) Lại có f 1   C   f  x   x   f    Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  1;   thỏa mãn đẳng thức f  x    x  1 f   x   A f     x3  x2  x x2  với x  1;   Giá trị f  0 B f    e  C f    Lời giải D f     Chọn A +) Từ giả thiết, ta có x  x  1 x3  x2  x  f  x    x  1 x  1 f   x   x 3 x2  f  x  x 1 x x 1 x  x      f x   f  x  f  x      x 1 x2   x 1  x2   x  1 x  f  x    x  1 f   x    x 1 x x 1 x x 1 f  x     f  x   dx  f  x  x2   C x 1 x 1  x 1  x 3 x 3 có * thỏa mãn với x  1;   nên thay x  vào * ta có C  2 x 1 Suy f  x   x   Do f     x 1    * +) Lại Câu (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f '  x    f  x  f ''  x   x  x với x   f    Giá trị f 1 A B C 16 15 D 15 Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Ta có:  f '  x    f  x  f ''  x    f  x  f '  x  ' Từ giả thiết ta có:  f  x  f '  x   '  x  x Suy ra: f  x  f '  x     x  x  dx  x  x  C Với f     C  Nên ta có: f  x  f '  x   x  x Suy ra:  f  x  f '  x  dx    x   x dx  f  x  16  f 1  15 15 Câu (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  xf   x     x 1  f  x  f   x   với x dương Biết f 1  f  1  Giá trị f   A f    ln  B f    2ln  C f    ln  D f    ln  Lời giải Chọn B Ta có:  xf   x     x 1  f  x  f "  x  ; x  2  x  f '  x     x 1  f  x  f "  x     f '  x      f  x  f "  x  x ' 1   f '  x    f  x  f "  x      f  x  f '  x    x x '   Do đó:   f  x  f '  x   dx     .dx  f  x  f '  x   x   c1 x  x  Vì f 1  f ' 1     c1  c1  1     Nên  f  x  f '  x  dx    x   1.dx   f  x  d  f  x      x   .dx x  x    f  x  x2 1    ln x  x  c2 Vì f 1      c2  c2  2 2 2 f  x x Vậy   ln x  x   f    ln  2 Câu (THPT NÔNG CỐNG LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f  x   x f ( x)  x 2018 x  0;1 Tìm giá trị nhỏ  f  x  dx A 2018.2020 B 2019.2020 C 2020.2021 D 2019.2021 Lời giải Chọn D x 2021 Xét hàm số: g  x   x f  x    0;1 2021 Ta có: g   x   x f  x   x f   x   x 2020  x 3 f  x   x f ( x)  x 2018   x  0;1 Do g  x  hàm số không giảm  0;1 , suy g  x   g   x   0;1 x2021 x 2018  0, x   0;1  f  x    0, x   0;1 Hay x f  x   2021 2021 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy: 1  f  x  dx   0 Tích Phân Hàm Ẩn x 2018 dx  2021 2019.2021 Đẳng thức xảy f  x   x 2018 2021  u  uv  uv 2) Quy tắc: Nếu u  u  x  v  v  x     với v  v2 v  f  x   f  x - Nếu   h  x  dx   h  x  g  x   g  x    u  Hệ quả: Nếu u  u  x     với u  u u   - Nếu    g  x  dx   g  x  f x f x       Câu (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   , x   Giá trị f 1 35 19 A  B  C  D  36 36 15 Lời giải Chọn B   f  x +)Ta có f   x   x  f  x     2x      xdx   2 x  f  x  f  x    f  x     x2  C f  x 1 +) Lại có f      C      x   f 1   f  x Câu (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;   thỏa mãn x f   x   f  x   f  x   , x   0;    Tính f   biết f 1  e A f    e2 C f    2e2 B f    e D f    e Lời giải Chọn D Ta có f  x   , x   0;     f  x   khơng có nghiệm khoảng  0;    f  x   khơng có nghiệm khoảng 1;   f 1 f    , x  1; 2 Mà f 1  e  nên f    Do x f   x   f  x    f  x   x2 f  x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 f  x 1 d x   d x    ln f  x   1 x 1 f  x  x1 Suy 1      1   ln f    ln f 1    ln f    ln e  2  1    ln f     ln f     f    e  e 2   Câu Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  f   x    xf  x  với x   Giá trị f   3 16 A B C D 3 16 Lời giải Chọn B   f  x x3 2 x    x    x dx   C +) Từ giả thiết, ta có   f  x f  x  f  x   10  x3  10 +) Lại có f 1   C       f 2  3 f  x f 2 Câu (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện f 1  , 2 f  x   0, x   x  1 f '  x    f  x    x  1 với x  Giá trị f  2 2 5 A B  C  D 5 2 Lời giải Chọn D f ' x x2  2 Ta có  x  1 f '  x    f  x    x  1   x  1; 2 (*) 2  f  x    x  1 Lấy tích phân vế (*) 1; 2 ta 1 x2 1  f  x  dx  1 x  dx   f  x   1  2 dx   x  x  1  d x  1 1 x           1 f   f 1  f 2  1 x  x x     x  f ' x x2 1    1      f 2  f  2 2 Câu 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1   2  f  x   xf   x   x  x  f  x  , x  1; 2 Giá trị tích phân  xf  x dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A ln 3 B ln Tích Phân Hàm Ẩn C ln D Lời giải Chọn B +) Từ giả thiết, ta có f  x   xf   x    x  x  f  x   f  x   xf   x   xf  x    2x 1   1     2 x  1 dx    x  x  C   2 x   xf  x  xf  x   xf  x   2 1 1 +) Lại có f 1    C   xf  x      xf  x dx   dx x  x  1 x x    1 1 x 1     dx  ln  ln x 1 x  x 1 Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f   A T   9ln B T  C T   ln D T   9ln Lời giải Chọn C 2 Ta có f   x    f   x   x     f   x   1    f   x   x    f   x   1   f   x   x  f   x   1 x dx   dx   C f  x   x  f '  x   x  9 Do f     nên C  suy f   x   x   f  x  x x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế    x2    Vậy T  f 1  f       x  dx   9ln x     ln  x 1  0  0 Câu 12 Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f   x    x  3 f  x  f     Biết a a tổng f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   với  a   , b     phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A  1 B  C a  b  1010 D b  a  3029 b b Lời giải Chọn D f  x Ta có f   x    x  3 f  x    2x  f  x  f  x f  x dx    x  3 dx   1  x  x  C Vì f      C  f  x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy f  x     x  1 x    Tích Phân Hàm Ẩn 1  x  x 1 Do f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 Câu 13 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1  f  x    x  1 f   x   xf  x  , x  1;2 Giá trị  f  x  dx A  ln B  ln  ln 2 C D  ln 2 Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có f  x    x  1 f   x   xf  x   f  x    x  1 f   x  f  x  2x  x   x 1 x 1    xdx   x  C   2x  f  x f  x  f  x   2 1 1  +) Lại có f 1   C   f  x      f  x  dx      dx x x x x  1 12  ln x    ln x1 Câu 14 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f    f  x   f   x    f  x   với x  0;1 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  0; x  B ln A ln D ln C ln12 Lời giải Chọn B +) Ta có f  x   f   x    f  x    e  f  x   e f   x    e x x  f  x   +) Lại có f    ln +) Do S   x f  x  f  x  f  x   1 ex f  x   ex f  x   f  x    ex  e x  ex x    e x dx  e x  C  e  f x f x       ex ex C 2  ex   f  x  f  x  ex ln ex dx  ln  e x  ln  ln  ln x 2e   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 15 Cho hàm số f  x  xác định có đạo hàm liên tục khoảng  0;  thỏa mãn f 1  x  f   x   x   f  x   1, x  Giá trị f  e  A e  e B e  C e  e D e  Lời giải Chọn B +) Từ giả thiết, ta có x  f   x   x   f  x    xf   x   f  x   x  xf   x   f  x  x  xf   x    x  f  x  x   f  x         1 2 x x x x x  x  f  x   x   C x x  +) Lại có f 1   C   f x x  x  f  x   x2   f  e   e  x Câu 16 (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  \ 0 , biết x f  x   1, x  0; f 1  2  x f  x   1  x f   x   f  x   với x   \ 0 Tính e  f  x  dx A 2 e B  e C  e D 1 e Lời giải Chọn A 2 Ta có  x f  x   1  x f   x   f  x     x f  x   1  x f   x   f  x  x f   x   f  x    (do x f  x   1, x  )  x f  x   1   1 1  1  xC  x f  x    x f  x     1 Do f 1  2 nên  C 1   C 1  C  f 1  1 1  x 1 Do  x  x f  x   x  1  f  x     x f  x   x x x e Suy  e e  1 1  f  x  dx       dx    ln x    x x x 1 e 1 Câu 17 (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục khoảng (1;  ) thỏa mãn  xf ( x)  f ( x)  ln x  x  f ( x) , x  (1;  ) ; biết f thuộc khoảng đây? 25    27  A  12;  B  13;       23  C  ;12     e   3e Giá trị f (2) 29   D  14;    Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn C Vì x  (1; ) nên ta có  x f ( x )  xf ( x )  f ( x)  x f ( x)  xf ( x) ln x  x  xf ( x)    ln x   x x   f ( x) f ( x)   f ( x)   f ( x)      ln x       ln xdx   1  dx x x   x   x   f ( x ) ln x f ( x) f ( x)    dx  x   dx  C x x x x2  x  C  f ( x) ln x f ( x) ln x   xC   x  C  f ( x)  x2 x2 ln x x3 Theo f e  3e  C   f ( x) = ln x  23  Do f (2) =   ;12  ln       Câu 18 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;1 f  x   , x   0;1 Biết  3 1 f  a, f  x  xf   x   f  x   , x   0;1 Tính tích phân    b 2    I   sin x.cos x  2sin x dx theo a b f  sin x  3a  b 4ab A I  3b  a B I  4ab 3b  a C I  4ab 3a  b D I  4ab Lời giải Chọn D x   0;1 ta có: x  xf   x   f  x    x   f  x   xf   x   x  x  xf  x   x2 f   x   x  x  x2  x  x xf  x   x f   x       f  x f  x f  x   f  x    Tính I     sin x.cos x  2sin x sin x.cos x  4sin x.cos x d x  dx  f  sin x  f  sin x   Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x    t  , x  t  2 Ta có I   t  4t t2 d t  f t  f t  2  3        3 f    1        3a  b 4ab   4b 4a f  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn f  x   dx    f  x   dx  10 0 Đặt 2t  x   2dt  2dx  dt  dx Đổi cận: x t 2 Vì J    I1   f  2t  dt  2  f  x  dx  10 2 Vậy I  10 TRƯỜNG HỢP RIÊNG: b b Khi đề cho biết giá trị f  a  , f  b  ,  u  x  f   x  dx  h , a thức chứa x tường minh), đề tìm b   f   x   dx  k (với u  x  biểu a f  x  trước tiên ta tìm số  ,  cho   f   x    u  x     dx  , suy f   x    u  x    , sau nguyên hàm hai vế để tìm f  x  a Câu 85 (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  liên tục  0; 2 , thỏa điều kiện f     2 f  x  dx    f   x   dx  A Giá trị B C  f  x dx : x2 D Lời giải Chọn C u  f  x  du  f   x  dx Đặt   vx   dv  dx 2 2   f  x  dx  x f  x    x f   x  dx    x f   x  dx   x f   x  dx  0 Ta lại có: x  x dx  12  0 2   3 2 2   Do đó:   f   x   dx   x f   x  dx   x 2dx       f   x   x  dx  3  0 0 2   x  (vì   f   x   x  dx  , x  0; 2 ) 2    f  x   x2  C  f  2   C  C  2 f  x 1 Vậy f  x   x   dx   dx  x  x 4 1  f  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 86 (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn 1 0 x f  x  dx  Tích phân f 1  ,   f   x   dx  36 A B  f  x  dx C D Lời giải Chọn B 1 Từ giả thiết:  x f  x  dx    x f  x  dx  0  du  f   x  dx u  f  x   Đặt:   dv  xdx v  x  1 5 Ta có: I   x f  x  dx  x f  x    x f   x  dx 20 0 1 5  f 1   x f   x  dx  10   x f   x  dx , (vì f 1  ) 20 20 1 Mà: I   x f  x  dx    10  1 18 x f   x  dx   x f   x  dx   20 1 2  10  x f   x  dx  36  10 x f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết:   f   x   dx  36 ) 2 0 1   10 x f   x    f   x    dx    f   x  10 x  f   x   dx    0 10 x3 C 10 x3 10.1  Với f 1     C  C  Khi đó: f  x   3 3  10 x  f   x    f   x   10 x2  f  x   Vậy:  1  10 x   5x  f  x  dx     dx    x  3 0  0 Câu 87 (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;  thỏa mãn 2 f    ,   f   x   dx  A 115 B 0 x f  x  dx  Tích phân 297 115 C  f  x  dx 562 115 D 266 115 Lời giải Chọn C Từ giả thiết:  x f  x  dx    x f  x  dx  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Tính: I   x f  x  dx du  f   x  dx u  f  x  Đặt:    dv  3x dx v  x 2 2 Ta có: I   3x f  x  dx  x3 f  x    x f   x  dx  24   x f   x  dx , (vì f    ) 0 2 Mà: I   x f  x  dx    24   x f   x  dx 0 2   x f   x  dx  23   x3 f   x  dx   23 2 x3 f   x  dx    f   x   dx ,  23 0 (theo giả thiết:   f   x   dx  ) 2 4 4     x3 f   x    f   x    dx    f   x   x3  f   x   dx  23   23  0 4  x  f  x   f  x  x  f  x  x C 23 23 23 16 53 Với f      C C  23 23 53 Khi đó: f  x   x  23 23 Vậy  2 53  562   53  f  x  dx    x  dx   x  x  23 23  23  115  115 0 Câu 88 (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;  thỏa mãn   x  1 A I  f  x  dx   , f  2  , 2   f   x   dx  Tính I   f  x  dx 1 B I   C I   20 D I  20 Lời giải Chọn B u  f  x  Đặt  ta dv   x  1 dx 2 Khi  du  f   x  dx   v   x  1    x 1 2 1 3 f  x  dx   x  1 f  x     x  1 f   x  dx 31 2 1 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  31 Xét   f   x   k  x  1  dx   k    File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Tích Phân Hàm Ẩn    f   x   dx  2k   x  1 f   x  dx  k   x  1 dx  1  x  1 k   2k    k   f   x    x  1  f  x   C 4  x  1 7 Do f    nên C    f  x    4 2    x  1 7   Vậy I    x  1  dx    x    41  5  Câu 89 (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm f  x  có đạo 2 1   x  1 f  x  dx   Tính 45 30 hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f   =0 ,   f   x   dx  I   f  x dx A I   36 B I   15 C I  12 D I   12 Lời giải Chọn D  du  f   x  dx  u  f  x  Xét: E    x  1 f  x  dx Đặt   x    dv   x  1 dx v   2 E  x  1 2 2 2    x  1 f   x  dx  1 Ta có: 15   x  1   f   x   k  x  1 dx  Ta tìm số k để 2 2  x  1 x  1   x  1  f  x   f   x  dx    f   x  dx    f  x  dx   1 2 30 1   f   x  dx  45  dx   f   x   k  x  1  2 2 2 dx     f   x   dx  2k  f   x   x  1 dx  k   x  1 dx  1 1 1 1   2k  k   k  45 15 2 1 2  Khi đó:   f   x    x  1  dx   f   x    x  1   f  x    x  1  C 3  1 Mà f     C  1 1 1 3 1  f  x    x  1    f  x  dx     x  1   dx   9 9 9 12 1  Câu 90 (THPT NGHÈN LẦN 1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa 1 mãn f 1  ,  x f  x  dx  1 0  f   x  dx  Tính tích phân I  0 f  x  dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A I  B I  C I  Tích Phân Hàm Ẩn D I  Lời giải Chọn C du  f   x  dx u  f  x    Xét A   x f  x  dx Đặt  x2 dv  xdx v   1 1 x2 1 1  A f  x    x f   x  dx    x f   x  dx    x f   x  dx  20 20 0 + Xét   f   x  1 dx  2k  x f   x  dx  k 2  x dx  1  2k  k   k  5  1 1 trở thành   f   x  dx  6 x f   x  dx  9 x 4dx     f   x   3x2  dx   f   x   3x  2 0     f   x   3x  dx  Do   f   x   3x  2 dx   f   x   3x   f   x   3x  f  x    x dx  x  C f 1   f  x   x3 1 I   f  x  dx   x 3dx  0 Câu 91 (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  1;1 thỏa f 1  ,  f   x   f  x   x  16 x  với x thuộc  1;1 Giá trị  f  x  dx A  B C D  Lời giải Chọn A Cách 1 Đặt I   f  x  dx 1 u  f  x  du  f   x  dx Dùng tích phân phần, ta có:   dv  2dx v  x  1 1 I   x   f  x  1    x   f   x  dx  f 1    x   f   x  dx     x   f   x  dx 1 Ta có  f   x    f  x   x  16 x   1 1 1   f   x   dx   f  x  dx    8x 1 1   16 x  dx 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  1   f   x   dx    x   f   x  dx    x   dx   8 x 1 1 Tích Phân Hàm Ẩn 1 2   16 x  dx    x   dx 1 1    f   x    x    dx   f   x   x   f  x   x  x  C , C   1 1 Mà f 1   C  3  f  x   x  x    f  x  dx   x  x  dx   0 Cách Chọn f  x   ax2  bx  c  a   (lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai)    f   x   2ax  b Ta có:  f   x    f  x   x2  16 x    2ax  b 2   ax2  bx  c   8x2  16 x     4a  4a x   4ab  4b  x  b  4c  x  16 x   4a  a  a     4ab  4b  16  b  c  3 b  4c  8   a  2  b  4 c  6  Do f 1   a  b  c   a  , b  c  3 1 Vậy f  x   x  x    f  x  dx   x  x  dx   0   Câu 92 (THUẬN-THÀNH-BẮC-NINH) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa   mãn f 1   f   x    x  f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 Tích phân  f  x dx bằng? A 23 15 B 13 15 C  17 15 D  15 Lời giải Chọn B  f   x    x  f  x   40 x6  44 x4  32 x2           f   x   dx   x  f  x  dx   40 x  44 x  32 x  dx 1 0 1     Xét I   x  f  x  dx   24 x  f  x  dx 0 u  f  x   du  f   x  dx Đặt     dv   24 x   dx v  x  x   1      I  x3  x f  x    x  x f   x  dx =   x  x f   x  dx 0 Do đó: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1    f   x   1     Tích Phân Hàm Ẩn   dx   x  x f   x  dx   x  x dx   56 x  60 x  36 x  dx   0    f   x   x  x  dx   f   x   x3  x  f  x   x  x  c Mà f 1   c   f  x   x  x  1 Do    f  x  dx   x  x  dx  13 15 Câu 93 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn     0;  thỏa mãn:   f   x  dx   cos x f  x dx  0 A B   f    Khi tích phân 2  1 C  D   f  x  dx  1 Lời giải Chọn B  *) Xét tích phân I   cos x f  x dx u  f  x  du  f   x  dx Đặt    dv  cos xdx v  sin x    I  sin x f  x   sin x f   x  dx    sin x f   x  dx 0  Theo giả thiết I    , suy  sin x f   x  dx   2  *) Tìm số thực k thỏa mãn f   x   k.sin x  Khi   f   x   k sin x  dx        f   x   dx   2k sin x f   x  dx   k sin xdx  0 0      2k     k   k  2k    k  2  2 Từ đó, f   x   sin x   f   x    sin x  f  x   cos x  C    Do f    nên C  Vậy f  x   cos x  2  *) Ta có    f  x  dx    cos x  1 dx   sin x  x  02   0  Trắc nghiệm:     0  f   x   dx  0 sin x f   x  dx   ta suy f   x    sin x Từ giải tiếp phần Từ giả thiết File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn   Câu 94 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    , 2    f   x    dx      cos x f  x  dx  Tính f  2018  A 1 B C D Lời giải Chọn D Bằng cơng thức tích phân phần ta có       cos xf  x  dx  sin xf  x     sin xf   x  dx Suy  sin xf   x  dx   2     cos x   x  sin x  Hơn ta tính  sin xdx   dx         2  Do đó:   f   x  2    2 dx   sin xf   x  dx   sin xdx     f   x   sin x  dx  0 0   Suy f   x    sin x Do f  x   cos x  C Vì f    nên C  2 Ta f  x   cos x  f  2018   cos  2018   Câu 95 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 A I   e e2  Tính tích phân I   f  x  dx B I  e  C I  e D I  e 1 Lời giải Chọn B u  f  x  du  f   x  dx Xét A    x  1 e x f  x  dx Đặt    x x dv   x  1 e dx v  xe 1 1 Suy A  xe f  x    xe f   x  dx   xe f   x  dx   xe x f   x  dx  x x x 0 1 Xét  e2 1 e2  2x 2x  x e d x  e x  x     0 40 2 Ta có 1  x 2x x   f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx    f   x   xe 0  Suy f   x   xe  x  0;1 (do f   x   xe x x  dx  0 x   x  0;1 ) x  f   x    xe  f  x   1  x  e  C Do f 1  nên f  x   1  x  e x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Tích Phân Hàm Ẩn Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx    x  e x  e  0 Câu 96 (THPT-TỒN-THẮNG-HẢI-PHỊNG) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx   ln A  ln B f  x 0  x  12 dx  ln  Tích phân  2ln C  4ln D  f  x  dx  ln Lời giải Chọn A Ta có: f  x   x  1  dx   1 x f   x  f 1 x f   x  x f   x   x  x f  x  f  x d    d x   d x   dx     x 1 0 x 1 x  x   x 1  0 x f   x  f  x dx    dx   ln x 1  x  1 Mặt khác: 2 1      x    0  x   dx  0 1  x   dx  0 1  x    x  12  dx   x  2ln x   x     2ln   Khi đó: 1 x f   x   x  3    f x  d x  d x  0    0 x  0  x   dx   ln    2ln    ln   x  x        f  x    f  x     dx  x 1  x     0 x      f  x  dx  * x    2 x  x     0, x   0;1 nên   f   x   dx  0, x  0;1 Vì  f   x    x  1 x     x x Dấu "  " xảy  f   x    0, x   0;1  f   x   , x  0;1 x 1 x 1 1 1 x2   Khi đó:  f  x  dx  x f  x    x f   x  dx    dx     x    dx x  x    0 0  x2  1  ln     x  ln x     ln   0 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f   x   p  x  f  x   h  x  Phương pháp: + Tìm P ( x)   p( x) dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn p  x dx + Nhân hai vế với e ta p  x  dx p x  dx p  x  dx f   x  e   p  x  e  f  x   h  x  e   f '( x ) e P ( x )  p ( x ).e P ( x ) f ( x)  q ( x ) e P ( x ) p  x dx  p  x dx   f  x  e   h  x  e    + Lấy tích phân hai vế ta f ( x )e P ( x )   q( x)e P ( x ) dx Từ suy f ( x ) Hệ 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x  Phương pháp:  + Nhân hai vế với e x ta e x f   x   e x f  x   e x h  x   e x f  x    e x h  x  + Suy e x f  x    e x h  x  dx + Từ ta dễ dàng tính f  x  Hệ 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x  Phương pháp:  + Nhân hai vế với e  x ta e x f   x   e x f  x   e x h  x   e x f  x    e x h  x  + Suy e  x f  x    e  x h  x  dx + Từ ta dễ dàng tính f  x  Câu 97 (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f  x  thỏa mãn f    f  x   f   x   x3 , x   Giá trị f 1 A 4  10 e B 10 C 2 D 2  10 e Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có e x f  x   e x f   x   x 3e x   e x f  x    x 3e x  e x f  x    x 3e x dx  e x f  x   x3ex  3 x2e x dx  x3e x  3x 2e x  6 xe x dx  x3e x  3x 2e x   x  1 e x  C 10 10 +) Lại có f     C  10  f  x   x3  3x  x   x  f 1  2  e e Câu 98 Cho f  x  thỏa mãn f 1  f '  x   3x f  x   15x  12x  e  x , x  R e Tính I   f  x  dx A I   e B I  2e  C I   e D I  2e+1 Lời giải Chọn C   '     Ta có e3 x f  x   e3x f '  x   3x f  x   e3x 15x  12x e 3x  15x  12x Do đó: e3 x f  x    (15x  12x )dx=3x  6x  C  f  x    3x  6x  C  e 3x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vì f 1  Tích Phân Hàm Ẩn  C   f  x   3x  6x e 3x e  1  Khi I   f  x  dx   3x  6x e 3x dx   e 0    Câu 99 Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục  thỏa mãn f     f    f  x   f   x   f   x   x  x , x   Tích phân  f  x  dx A 107 21  12 e B 107 12  21 e C 107 21  12 e D 107 12  21 e Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có: f  x   f   x    f   x   f   x    x  x  f  x   f   x    f  x   f   x    x3  x  e x  f  x   f   x    e x  f  x   f   x    e x x3  x  e x  f  x   f   x     e x  x  x       e x  f  x   f   x     e x x  x dx  e x x  x    2x  2  C  Mặt khác f    f     nên   2  C  C   e x  f  x   f   x    e x  x  x  x     Do e x f  x   e x x3  x  x            e x f  x     e x x  x  x    dx  e x x3  x  10 x  12  x  C f     C  13  f  x    x  13 e  x  x  x  10 x  12 1   f  x  dx    x  13 e  x  x  x  10 x  12 dx  0 107 21  12 e Câu 100 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , f    f   x   f  x   e x  1, x   0;1 Tính I   f  x  dx A 2e  B  e  1 C  e D  2e Lời giải Chọn B Ta có f   x   f  x   e x   f   x   f  x   e x   e  x f   x   e  x f  x    e  x  e x f  x     e x  e x f  x   x  e x  C  f  x   xe x   Ce x Do f     C   f  x    x   e x  Do I    x   e x  1 dx   e  1 Câu 101 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f   x   f  x   x 2e x  , với x   , f  0  1 Tính f  3 ? A 6e3  B 6e  C 3e  D 9e3  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn D  Ta có: f   x   f  x   x 2e x   e x f   x   x  e  x  e x f  x   x  e x   3 x x xe  e x  C  f  x     Ce x 3 x xe f    1  1  1  C  C   f  x     f  3  9e3    Do đó: e x f  x    e x f  x  dx  Câu 102 (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn   f  x  f  x  x 1 e x  x 1 A 3e12  , x   f 1  e Giá trị f   B 5e17 C 5e17  D 3e12 Lời giải Chọn B Ta  f  x  f  x  x 1 e có: '      e x f  x   x  e  x 1     x 1 x Xét: I   e x 1 5 dx  e f  x    x e x  x 1 x x    f   x e  e f  x  x 1 e x 1 e f  x   dx =  x  e x  x 1 1 dx   e x 1 dx  e5 f     I1  I * dx 2 x 1 x 1   u  e du  xe dx Đặt:   dv  dx v  x I  xe x 1 5 x e x 1 dx  5e12   I1  I1  I  5e12  *  e5 f  5   5e12   f  5  5e17 Câu 103 Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f 1  e  x  2 f  x   xf   x   x với x Tính f  2 A e  e  B e  e  C 2e  2e  D e  4e  Lời giải Chọn A Biến đổi giả thiết  x  2 f  x   xf   x   x  f   x   x2 f  x   x2 x e x f   x   x  2  x  e x  x   e f  x   e   f  x    e x x x x  ex  f  x   ex dx  e x  C  f  x  x2  Cx2ex x Mà f 1  e  C  e 1  f  x   x2   e  1 x2e x1 e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Vậy, f  2  4  4e  e 1  4e  4e  Câu 104 Cho hàm số y  f  x  có f   x  liên tục nửa khoảng 0;  thỏa mãn f  x   f   x    3.e 2 x Khi đó: A e3 f 1  f    C e e2  e f 1  f    3   1  e2  B e3 f 1  f    e2    D e3 f 1  f    e   e2   Lời giải Chọn C e2 x  ex Ta có: f  x   f   x    3.e 2 x  Nhân hai vế giả thiết với e3x ta  3e3 x f  x   e3 x f   x   e x e x   e3 x f  x    e2 x e2 x  Lấy tích phân từ đến hai vế ta  3x 2x 2x  e f  x  dx   e e  dx   e f  x    3x  2x e 3  31 e e f 1  f    3  e2   Câu 105 Trong hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f ( x )  xf ' ( x )  x 2018 Giá trị nhỏ I   f ( x )dx A 2019.2021 B 2018.2021 C 2020.2021 D 2017.2021 Lời giải Chọn A + f ( x)  xf ' ( x)  x 2018  f ' ( x)  f ( x)  x 2017 , x  x + P( x)  3ln x  e P ( x )  x3   ' + Nhân hai vế (*) cho x ta x f ' ( x )  3x f ( x)  x 2019  x f ( x)  x 2020 , x  0;1  + Lấy tích phân từ đến hai vế có x f ( x) 2018  f (t )  1 t  x t t 2020 2021 t 2021 dx  x  , t  0;1 2021 2021 2018 t t   f (t )dt    2021 2021 2019.2021 Câu 106 Cho hàm số f  x  có đạo hàm R thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.x2017 e2018 x với x   f    2018 Tính giá trị f 1 A f 1  2019e2018 B f 1  2018.e2018 C f 1  2018.e2018 D f 1  2017.e2018 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn A + P ( x )    2018 dx  2018 x + Nhân hai vế với e 2018 x ta   ' f   x  e 2018 x  2018e 2018 x f  x   2018.x 2017  f ( x )e 2018 x  2018.x 2017 + Lấy tích phân từ đến hai vế ta  f ( x) e 2018 x  |   2018x 2017 dx  f (1)  2019e2018 Câu 107 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f      xf  x   f   x   x x  với x   0;1 Tích phân  xf  x  dx A e4 8e B C D e4 4e Lời giải Chọn A 2 2 Nhân hai vế giả thiết với e x ta e x xf  x   e x f   x   e x x  x  1    e x f  x    x 3e x  xe x    2 ex x2 x2 e f  x    x  x  1 e dx  x    C  f  x    x    Ce  x  2 2 Do f     C   f  x   x   e  x 1  e4 1 Vậy  xf  x  dx   x  x   e  x dx  8e  0  2     Câu 108 (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0,   Biết f  0  2e f  x  thỏa mãn đẳng thức f '  x   sin x f  x   cos x.ecos x , x   0,   Tính  I   f  x  dx (làm tròn đến phần trăm) A I  6,55 B I  17, 30 C I  10,31 D I  16,91 Lời giải Chọn B f '  x   sin x f  x   cos x.e cos x Chia hai vế đẳng thức cho ecos x ta f '  x  e cos x  e cos x sin x f  x   cos x (vế trái có dạng u ' v  uv ' )      f  x  e  cos x '  cos x   f  x  e  cos x 'dx   cos x.dx  f  x  e cos x  sin x  C Do f    2e nên 2e.e 1  C  C  Vậy f  x    sin x   ecos x  sin x   e  cos x  I   f  x  dx   ecos x  sin x   dx 0 Sử dụng MTCT (để đơn vị rad) KQ: 10,31 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 109 Suy Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2ln x  x  1 f   x   f  x   x  x Giá trị f  2  a  b ln , với a, b   Tính a  b A 25 B C D 13 Lời giải Chọn B + Trước tiên ta đưa phương trình dạng tổng quát f   x   + P( x )   f  x  x  x  1 x dx  ln (ta cần xét x>0) x( x  1) x 1 ' + Nhân hai vế cho e P ( x ) ta f   x  x x x  x   f  x    f ( x )   x   x  1 x 1  x 1  x 1 + Lấy tích phân từ đến hai vế ta có 2 3 x  x 3  dx   x  ln  x  1   f     ln Suy a  b    f ( x)   1 2 x 1  x 1 2  Vậy a  b    Câu 110 Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm  0;  , thỏa mãn hệ thức  2 x     f  x   tan xf   x   Biết f    f    a  b ln a, b   Tính giá cos x 3 6 trị biểu thức P  a  b 14 A P   B P   C P  D P  9 9 Lời giải Chọn A x Từ giả thiết  cot x f  x   f   x   cot x cos3 x cot xdx Nhân thêm vế với e  sin x ta có cos xf  x   sin xf   x   x x  sin xf  x    cos x cos2 x x dx  x tan x  ln cos x  C cos x      Với x    f     ln   3f 3 Suy sin xf  x           ln  2C 3        Với x    f    ln  ln  C   f      ln  2ln  2C 6 6  a      Suy f    f      ln   P  ab    3 6 b  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ... Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 1)... 17 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: 17 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 23 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 33 TÍCH PHÂN...ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP DẠNG 2: PHƯƠNG