Thông tin tài liệu
Chủ đề Nguyễn Khải, Nguyễn Duy Chiến Admin Nhóm Tốn VD-VDC A-TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Bất đăng thức Cho số phức z1 , z2 ta có: z1 z 0, k , k 0, z kz z1 z z1 z 1 Đẳng thức xảy z1 z2 z1 z2 Đẳng thức xảy z1 z1 0, k , k 0, z2 kz1 Chứng minh Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1, z2 Khi đó: OA z1 ; BO z ; BA z1 z2 z1 z ; OA biểu diễn số phức z1 OB biểu diễn số phức z2 Chứng minh z1 z z1 z + Ta ln có: BA BO OA z1 z z1 z 1 Đẳng thức 1 xảy O, A, B thẳng hàng O thuộc đoạn AB + Khi A O tức z1 điều có nghĩa có số k để OB kOA tức z2 kz1 (Còn z1 , rõ ràng z1 z2 z1 z2 1 xảy Đẳng thức xảy O, B, A ) Vậy đẳng thức z1 z 0, k , k 0, z kz Chứng minh z1 z2 z1 z2 + Ln có BA AO OB z1 z2 z1 z2 thẳng hàng O không nằm A, B + Khi A O tức z1 điều có nghĩa có số k cho OB kOA tức z2 kz1 (Khi z1 ,rõ ràng z1 z2 z1 z2 ) z1 z 0, k , k 0, z kz Vậy đẳng thức 2 xảy 2.Đẳng thức môđun 2.1 Cho số thực m, n số phức z1 , z2 ta có: 2 mz1 nz2 m z1 n z2 mn z1.z2 z1.z2 Chứng minh 2 mz1 nz2 mz1 nz2 mz1 nz2 mz1 nz2 mz1 nz2 m z1 n z2 mn z1.z2 z1.z2 Nhận xét: 2 -Với m 1, n có z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 2 -Với m 1, n 1 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 2 Từ suy z1 z2 z1 z2 z1 z2 2.2 Cho số thực m, n số phức z1 , z2 ta có: 2 z z z z 2 z z1 z z2 z 2 Chứng minh 2 z z1 z z2 z z z z z z z z z z 2 2 2.3.Cho số phức z1 , z2 khác ta có: z1 z2 2 z z z z 2 z 2 z2 z z1 z2 z1 z2 Chứng minh 2 +Ta có: z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 1 ; + z2 z1 z1 z1 z2 z2 z2 z1 2 z1 z1 z2 2 2 +Từ 1 suy ra: z1 z2 z2 z2 z1 z1 z2 z1 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 z2 z1 z2 2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 z2 z z1 z2 z1 z2 3.Một số ý 3.1 z z1 z z z z1 1 +Xét z z2 , đó: Vì z2 z1 z z1 z2 z z z z z1 z z1 nên suy z z1 1 x z2 z x , x 0;1 z z2 x z1 z2 x +Với z z2 thay trực tiếp vào tốn z z1 z z2 z2 z1 +Như có suy z z2 x z1 z2 x , x 0;1 z2 3.2 z z1 z z2 z2 z1 +Xét z z2 , đó:Vì z2 z1 z z1 z2 z z z1 z2 z z2 z1 nên suy z z1 1 x z2 z x , x ; 1; z z2 x z1 z2 x z z1 z z2 z2 z1 +Như có suy z z2 x z1 z2 z2 x , x ; 1; B.VÍ DỤ Câu 1: [Minh Hoạ-L2/N2017] Xét số phức z thỏa mãn z i z 7i Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z i Giá trị biểu thức P m M B 73 Định hướng tìm lời giải: A 13 73 C 73 D 73 Nhận thấy z i z 7i suy z a x b x i với x D Đến ta có tốn quen thuộc Lời giải *Trường hợp 1: z 2 i (thỏa mãn z i z 7i ), đó: z i 3 2i 13 *Trường hợp 2: z 2 i +Vì z i z 7i z 7i z i nên suy z 7i 1 x z i với x , x 0;1 z 2 x 1 x i x + z i 3 x x i 72 x 12 x 13 với x , x 0;1 1 +Xét hàm số f x 72 x2 12 x 13, x 0;1 , dễ thấy f x f ; 0;1 12 max f x f 1 73 0;1 *So sánh hai trường hợp thấy: m Câu 2: ; M 73 Chọn B [Chuyên Thái Bình-L5/N2018] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 1 i z Gọi m , n giá trị lớn giá trị nhỏ z Đặt w m ni , giá trị w 2018 A 21009 B 41009 Định hướng tìm lời giải: C 51009 D 61009 +Biến đổi giả thiết: 1 i z 1 i z z i z i +Áp dụng BĐT: z1 z z1 z dễ dàng tìm m +Áp dụng z z1 z z2 2 z1 z2 z z 2 z 2 a, b ta có : a b a b tìm n Lời giải + z i z i z i z i z z 1 Đẳng thức 1 xảy k , k z i k z i z 1 i m z 2 + z i z i z i z i z i 1 z Đẳng thức w Câu 3: 2018 2 z i z i z 1 i n Vậy xảy z 61009 Chọn D [Đặng Thúc Hứa Nghệ An-L1/N2018] Cho số phức z thỏa z i z 3i z i Giá trị lớn biểu thức z 3i 13 B 13 Định hướng tìm lời giải: C A mãn điều kiện D z 3i z i 1 2i + Khai thác giả thiết: z i z 3i z i thấy , đó: z i z i i 2 2 z 3i z i z i 2i + Mặt khác: z i z 3i z i 1 32 z 3i z i 20 z i Từ suy z i Đến ta có tốn quen thuộc Lời giải z 3i z i 1 2i 2 2 + Vì nên z 3i z i z i 2i z i z i 1 2i Ta có z i z 3i z i suy z i 1 32 z 3i z i 20 z i Từ + z 3i z i 2 4i z i 2 4i z 3i 1 Đẳng z 3i z 1 i z i thức 1 xảy z 2 5i Vậy max z 3i k , k z i k 2 4i Chọn D Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z 2i Giá trị lớn biểu thức T z i z 4i A B Định hướng tìm lời giải: C D Nhận thấy z i z 2i i , z 4i z 2i i Từ 2 tính z i z 4i theo z 2i , i Đây điểm then chốt để đến lời giải Lời giải Đặt z1 z 2i; z2 i 2 2 + z i z 2i i z 2i i z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 ; z 4i z 2i i z 1 2i i z1 z2 z1 z2 24 z1 z2 z1 z2 Từ 2 suy z i z 4i 42 +T z i z 4i 1 z i z 4i Đẳng thức xảy 2 2 z i z 4i 42 z i (Hệ có nghiệm) Vậy max T z 4i Chọn A Tổng quát toán: Cho số phức z thỏa mãn z z r Tìm giá trị lớn biểu thức T a z z1 b z z Biết z0 z1 m z0 z , a, b, r, m số thực dương z0 , z1, z2 số phức cho trước Ý nghĩa hình học: Cho điểm M chuyển động đường tròn tâm I bán kính R Cho A, B hai điểm cố định cho I nằm A, B Tìm giá trị lớn T xMA yMB với x, y hai số thực dương cho trước Câu 5: [Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc-L2/N2018] Cho số phức z thoả mãn điều kiện z i 2 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức H z 2i z 4i Giá trị M m A 16 B 11 C 26 Định hướng tìm lời giải: + Tìm m đơn giản rõ ràng áp dụng: z1 z2 z1 z2 + Ta biết: z z1 z z2 2 z1 z2 z z 2 z 2 D 26 , ta có: 2 2 z 2i z 4i z i 3i Mặt khác biết z i 2 , tìm max z i toán quen thuộc Như áp dụng BĐT : a, b , a b a b tìm M Lời giải + H z 2i z 4i z 2i z 4i 1 k , k k , k k 1 2k 1 i z i Đẳng thức 1 xảy z 2i k z 4i z k k z i 2 z 2i 2 + H z 2i z 4i z i 3i z i 18 z i z i 2i z i 2i Suy H 10 z 2i z 4i l , l Đẳng thức xảy z 3i z i l i z 2i 2 +Vậy m 2; M 10 Chọn A Câu 6: [Đề tham khảo-2018]Xét số phức z x yi ( x, y ) thỏa mãn z 3i Khi biểu thức P z 3i z i đạt giá trị lớn nhất, giá trị x y A B Định hướng tìm lời giải: C D 10 + Nhận thấy z 3i z 3i , z i z 3i 2i khơng tính 2 z 3i z i theo z 3i ( , số thực) 2 2 + Tuy nhiên ta lại có z 3i z i z i 2i Từ ta có lời giải sau: Lời giải + P z 3i z i z i 2i z i 1 + z i z 3i 2i z 3i 2i Đẳng thức xảy k , k z 3i k 2i z 4i z 3i + Từ 1 suy P 10 3 Đẳng thức xảy đẳng thức 1 z 4i đồng thời xảy z 4i z 3i z i Chọn D Câu 7: [Chuyên Đại Học Vinh-Lần 1-Năm 2019]Giả sử z1, z2 hai số phức z thỏa mãn z 68 z i số thực.Biết z1 z2 , giá trị nhỏ z1 3z2 A 21 B 20 21 Định hướng tìm lời giải: C 20 22 D 22 z1 4i +Biến đổi z 6 z i số thực z 4i 1 z i +Phát quan trọng z1 z2 z1 4i z2 4i 2 +Kết hợp 1 2 tính được: z1 4i z2 4i đến toán quen thuộc Lời giải + z x yi x, y Vì x yi y xi số thực nên x x y y 8 z1 4i z2 4i x y 25 z 4i w1 z1 4i 2 +Đặt , đó:Vì z1 z2 w1 w2 16 w1 w2 w1 w2 w1 w2 w2 z2 4i w1w2 w1w2 34 ; w1 3w2 z1 z2 12 16i 22 2 w1 w2 w1 w2 w1w2 22 Suy + z1 z z1 z 12 16i 12 16i z1 z2 12 16i 12 16i 20 22 Đẳng thức k , k : z1 3z2 12 16i k 12 16i 22 z1 3z2 xảy 12 16i z1 3z2 12 16i 22 Vậy z1 3z2 22 Chọn C Câu 8: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Năm 2019]Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 i z1 7i iz2 1 2i Giá trị nhỏ biểu thức T z1 z2 A 2 B Định hướng tìm lời giải: 1 C 2 D +Thấy làm triệt tiêu biến z2 BĐT T z2 i z1 z2 z2 i z1 z2 z1 i +Lại có z1 i z1 7i suy z1 a x b x i với x D Đến ta có tốn quen thuộc Lời giải *Ta có: T z2 i z1 z2 z2 i z1 z2 z1 i *Trường hợp 1: z1 2 i (thỏa mãn z1 i z1 7i ), đó: z1 i 4 *Trường hợp 2: z 2 i +Vì z1 i z1 7i z 7i z i nên suy z1 7i 1 x z1 i với x , x 0;1 z1 2 x 1 x i x + z1 i 4 x xi 18 x 12 x Xét hàm số f x 18 x 12 x 4, x 0;1 , dễ 1 thấy f ( x) f 2 x 0;1 3 *So sánh hai trường hợp ta có: T 2 1 Đẳng thức 1 xảy z1 3i z1 3i k , k : z1 z2 k z2 i 4 2 Vậy T 2 z i 2 z2 i Chọn C Câu 9: [Gang Thép Thái Nguyên Năm 2018]Xét số phức z thỏa mãn iz 2i z 3i 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P (1 i) z 2i A Pmin B Pmin 26 Định hướng tìm lời giải: C Pmin 17 D Pmin +Biến đổi toán: iz 2i z 3i 34 z 2i z 3i 3 5i ; P z i +Thấy z 3i 3 5i z 2i suy z a x b x i với x D Lời giải + iz 2i z 3i 34 z 2i z 3i 3 5i ; P z i +Vì z 2i z 3i 3 5i z 3i 5i z 2i nên z 3i x 3 5i với x , x z 1 3x x i + z i 3 x x i 34 x 40 x 16 (Vì x ).Đẳng thức xảy z 1 3i Vậy P Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z i Biết biểu thức T z 3i z i đạt giá trị nhỏ z x yi x, y Hiệu x y A 13 B 13 17 17 Định hướng tìm lời giải: C 13 17 D 13 17 + Khai thác kết luận: Biểu thức T z 3i z i đạt giá trị nhỏ Ta phải “cân hệ số” (làm xuất thừa số trước biểu thức z 3i ) trước áp dụng bất đẳng thức mô đun đẳng thức sau: z1 z2 z2 z z1 z2 z1 z2 z1 , z2 ; z1 0, z2 z1 +Tổng quát toán:Cho trước hai số phức z1 , z2 thỏa mãn số thực dương c Biết số phức z1 z2 z z thỏa mãn z c Tìm giá trị nhỏ z z1 z z2 c Lời giải Đặt u z i , u ; u 4i 4i u u 4i u i Ta có T= u 4i u u 4i k , k 1 k u i u u i u 17 Đẳng thức xảy u i 4 u k u 16 13 k Ta có z u i 4k 1 k i Suy 17 u 4k ki x y 3k 13 Chọn C 17 ... nz2 mz1 nz2 m z1 n z2 mn z1.z2 z1.z2 Nhận xét: 2 -Với m 1, n có z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 2 -Với m 1, n 1 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 2 Từ suy... 4i đồng thời xảy z 4i z 3i z i Chọn D Câu 7: [Chuyên Đại Học Vinh-Lần 1-Năm 2019]Giả sử z1, z2 hai số phức z thỏa mãn z 68 z i số thực.Biết z1 z2 , giá... f 1 73 0;1 *So sánh hai trường hợp thấy: m Câu 2: ; M 73 Chọn B [Chuyên Thái Bình-L5/N2018] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 1 i z Gọi m , n giá trị lớn giá trị nhỏ
Ngày đăng: 27/08/2020, 13:37
Xem thêm:
