Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Chuyên đề tích phân Hàm ẩn

Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN A CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC  x + x + x ≤ b  Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) =  x Biết ∫ f ( x )dx = ae − với a, b, c ∈ N * Tìm 4 e − x ≥ c −1  giá trị nhỏ biểu thức T = a + b + c A 23 B 27 C 33 D 42 Lời giải 1 25 Ta có, ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x + 1) dx +∫ (4 e x − 3) dx = + 2e − = 2e − 6 0 −1 −1 ⇒ T = + 25 + = 33 1 Ví dụ [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \   thỏa mãn f ′( x ) =   x −1 , f (0) = f (1) = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) B + ln15 C + ln15 D ln15 A + ln Lời giải 1  dx = ln(2 x −1) + C1 Cách 1: Trên khoảng  ; +∞ : f ( x ) = ∫   x −1 Lại có f (1) = ⇒ C1 =  1 • Trên khoảng −∞;  : f ( x ) = ∫ dx = ln(1− x ) + C  x −1 2 Lại có f (0) = ⇒ C =  ln(2 x −1) + x > Vậy f ( x ) =   ln(1 − x ) + x <  Suy f (−1) + f (3) = + ln15 Cách 2: 0  2dx  f (0) − f (−1) = f '( x )dx = ∫ ∫ x −1 = ln x −1 |−1= ln (1)  −1 −1 Ta có:   3   f (3) − f (1) = ∫ f '( x )dx =∫ 2dx = ln x −1 |13 = ln (2) x −1  1 Lấy (2)-(1), ta f (3) − f (1) − f (0) + f (−1) = ln15 ⇒ f (−1) + f (3) = + ln15 TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG Điều kiện hàm ẩn có dạng: f ′ ( x ) = g ( x ).h ( f ( x )) f ′ ( x ).h ( f ( x )) = g ( x ) Phương pháp giải: f ′(x ) f ′ (x ) df ( x ) = g (x ) ⇔ ∫ = g ( x )dx dx = ∫ g ( x )dx ⇔ ∫ h ( f ( x )) h ( f ( x )) h ( f ( x )) ∫ ∫ f ′ ( x ).h ( f ( x )) dx = ∫ g ( x ) dx ⇔ ∫ h ( f ( x )) df ( x ) = ∫ g ( x ) dx Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Chú ý: • chất ( cô lập cụm f ( x ), f ′ ( x ) sang vế) • • Ngồi việc ngun hàm hai vế, ta tích phân hai (tùy cách hỏi) f ′ ( x ) phải để tử Ví dụ Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương (0; + ∞) thỏa mãn f (1) = , f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f (5) < B < f (5) < C < f (5) < Lời giải Cách 1: Với điều kiện tốn ta có f ′(x ) f ′(x ) f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + ⇔ = ⇔∫ dx = ∫ f (x ) f (x ) 3x + ⇔∫ d ( f ′ ( x )) f (x ) − d (3 x + 1) ⇔ ln f ( x ) = 3x + + C ⇔ f ( x ) = e 3 + x ( ) ∫ 3 +C =1 ⇔ C = − ⇒ f (x ) = e3 3 x +1− d ( f ( x )) f (x ) = x +1 +C ⇒ f (5) = e ≈ 3,79 ∈ (3; ) Vậy < f (5) < Cách 2: Với điều kiện tốn ta có 5 f ′(x ) f ′ (x ) ⇔∫ f ( x ) = f ′( x ) 3x + ⇔ dx = ∫ = f (x ) f (x ) 3x +1 1 dx 3x + = Khi f (1) = ⇔ e ⇔∫ D < f (5) < dx 3x +1 f (5) 4 ⇔ ln f ( x ) = ⇔ ln = ⇔ f (5) = f (1).e ≈ 3,79 ∈ (3; ) 3 f (1) f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1;4 ] thỏa mãn x + xf ( x ) =  f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1;4 ], f (1) = Giá trị f (4 ) bằng: 391 361 381 371 A B C D 18 18 18 18 Lời giải Biến đổi:  f ′ ( x ) f ′ (x ) 2   =x⇒ = x x + xf ( x ) =  f ′ ( x ) ⇔ x (1 + f ( x )) =  f ′ ( x ) ⇔ + f (x ) 1+ f x Ví dụ Cho ( ) ⇒∫ f ′ (x ) + f (x ) dx = ∫ ⇔ + f (4 ) − = xdx ⇔ + f ( x ) = 1 14 14 391 ⇔ f (4 ) = 18 Ví dụ Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + f (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + Lời giải D 11 + Biến đổi: Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + ⇔ ⇔ f ( x ) f '( x ) f (x ) +1 = 2x ⇒ ∫ f ( x ) f '( x ) f (x ) +1 dx = ∫ xdx f (x ) +1 = x + C Với f (0) = ⇒ C = ⇒ f (x ) +1 = x +1 ⇒ f (x ) = x + 2x = g (x ) Ta có: g '( x ) = x + x > 0, ∀x ∈ [1;3] Suy g ( x ) đồng biến [1;3] f ( x )≥0 → ≤ f ( x ) ≤ 11 Suy ra: g (1) ≤ g ( x ) = f ( x ) ≤ g (3) ⇒ ≤ f ( x ) ≤ 99   f (x ) = min [1;3] ⇒  Max f ( x ) = 11  Chú ý: Nếu khơng tìm ln ∫ f ( x ) f '( x ) dx = f ( x ) + + C ta sử dụng f ( x ) +1 kĩ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) +) Vi phân: −1 f ( x ) f '( x ) f (x ) 2 ∫ f ( x ) + dx =∫ f ( x ) + d ( f ( x )) = ∫ ( f ( x ) + 1) d ( f ( x ) + 1) = f (x ) +1 + C + Đổi biến: Đặt t = f ( x ) + ⇒ t = f ( x ) + ⇒ tdt = f ( x ) f '( x )dx f ( x ) f '( x ) tdt Suy ra: ∫ dx =∫ = ∫ dt = t + C = f ( x ) + + C t f ( x ) +1 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) f (0) = −1 Biết tổng f (1) + f (2) + + f (2017) + f (2018) = a a với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ* phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A < −1 B > b b C a + b = 1010 D b − a = 3029 Lời giải f (x ) f '( x ) Biến đổi f ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) ⇔ = 2x + ⇔ ∫ dx = ∫ (2 x + 3) dx f (x ) f (x ) −1 1 ⇔− = x + 3x + C ⇒ f ( x ) = − Mà f (0) = nên C = f (x ) x + 3x + C ' ' Do f ( x ) = − 1 =− x + 3x + ( x + 1)( x + 2) a = f (1) + f (2 ) + + f (2017 ) + f (2018) b  1 1  = − + + + +  2.3 3.4 2018.2019 2019.2020  1 1 1 1 1   −1009 = − − + − + + − + −  = − − =  3  2020  2020 2018 2019 2019 2020  a = −1009 Với điều kiện a, b thỏa mãn toán, suy ra:  ⇒ b − a = 3029  b = 2020 Khi Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI Học sinh làm BTTL xong, tô phương án Buổi sau học sinh GV kiểm tra kết Câu 3 x [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y = f ( x ) =  4 − x ≤ x ≤ Tính ≤ x ≤ 2 ∫ f ( x )dx A Câu Câu Câu B C D 6 x x ≤  Cho hàm số y = f ( x ) =  I = ∫ f ( x )dx Hỏi có tất số a − a x x ≥ −1  nguyên a để I + 22 ≥ ? A B C D 1 [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \   thỏa mãn   , f (0) = f (1) = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) f ′( x ) = x −1 A + ln B + ln15 C + ln15 D ln15 [Toán học tuổi trẻ số – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {1} thỏa mãn , f (0 ) = 2017 , f (2) = 2018 Tính S = f (3) − f (−1) x −1 A S = B S = ln C S = ln 4035 D S = 1 [Lục Ngạn–Bắc Giang–2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \   thỏa mãn   2 f ′ (x ) = , f (0) = f   = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3)   x −1 A + ln B −2 + ln C + ln D + ln Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−2;2} thỏa mãn f ′ ( x ) = ; f (−3) = ; x −4 f (0) = f (3) = Tính giá trị biểu thức P = f (−4 ) + f (−1) + f (4 ) f ′ (x ) = Câu Câu A P = + ln 25 B P = + ln Trang C P = + ln D P = − ln www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Câu Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−2;1} thỏa 1 ; f (−3) − f (3) = f (0 ) = Giá trị biểu thức mãn f ′ ( x ) = x + x −2 f (−4 ) + f (−1) − f (4 ) 1 + ln B + ln 80 C + ln + ln D + ln 3 5 [Sở Bắc Giang – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−1;1} thỏa mãn A Câu  1 ; f (−3) + f (3) = f −  +   x −1 P = f (0 ) + f ( ) f ′ (x ) = 1 f   = Tính giá trị biểu thức   3 3 A P = + ln B P = + ln C P = + ln D P = ln 5 5 Câu [Sở Phú Thọ - 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−1;1} thỏa mãn  1 1 f '(x ) = ; f (−2 ) + f (2 ) = f −  + f   = Tính f (−2 ) + f (0 ) + f (4 ) =   2   x −1 kết 6 4 A P = + ln B P = −1 + ln C P = + ln D P = −1 + ln 5 5 Câu 10 [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số  π  với ∀x ∈ ℝ \ − + k π, k ∈ ℤ Biết F (0) = F (π ) = Tính giá trị   + sin x  π 11π  biểu thức P = F −  − F   12   12  y= A P = − B P = C Không tồn D P = Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) > , ∀x ∈ ℝ ; f ′ ( x ) = −e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ f (0 ) = Tính giá trị f (ln 2) 2 2 A f (ln ) = B f (ln 2) = − C f (ln ) = D f (ln 2) = 9 3 Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ) , xác định liên tục ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) > ∀x ∈ ℝ , f ′ ( x ) = ( x f ( x )) , ∀x ∈ ℝ f (0 ) = Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị (C ) A y = x + 30 B y = −6 x + 30 C y = 36 x − 30 D y = −36 x + 42 Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [−1;1] , thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ f ' ( x ) + f ( x ) = Biết f (1) = , tính f (−1) A f (−1) = e −2 Câu 14 B f (−1) = e C f (−1) = e D f (−1) = [Sở Yên Bái – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) f ( x ) = x + x Biết f (0) = Tính f (2) 313 332 A f (2) = B f (2) = 15 15 Trang C f (2) = 324 15 D f (2 ) = 323 15 www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng [Sở Nam Định – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục (0; + ∞) , biết f ′ ( x ) + (2 x + ) f ( x ) = f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ; f (2 ) = Tính f (1) + f (2 ) + f (3) 15 11 11 A B C D 15 15 30 30 Câu 16 Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục ℝ Biết f ( x ) f ′ ( x ) = 12 x + 13 f (0 ) = Câu 15 Khi phương trình f ( x ) = có nghiệm? A B C D Câu 17 Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) f (0 ) = f (1) + f (2) + + f (2017 ) + f (2018) = −1 Biết tổng a a với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ * phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A < −1 B > C a + b = 1010 D b − a = 3029 b b Câu 18 [Chuyên Vinh – Lần – 2017] Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương (0; + ∞) thỏa mãn f (1) = , f ( x ) = f ′ ( x ) x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f (5) < B < f (5) < C < f (5) < D < f (5) < Câu 19 [Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần – 2018] Cho f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1;4 ] thỏa mãn x + xf ( x ) =  f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1;4 ], f (1) = Giá trị f (4 ) bằng: 391 361 381 371 A B C D 18 18 18 18 Câu 20 Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + f (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + D 11 + Câu 21 [Chuyên Tuyên Quang – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đồng biến ℝ thỏa mãn f (0 ) = ( f ′ ( x )) = e x f ( x ), ∀x ∈ ℝ Tính tích phân ∫ f ( x ) dx A e − B e −1 C e − D e −1 Câu 22 [Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ \ {0} thỏa mãn x f ( x ) + (2 x −1) f ( x ) = xf ′ ( x )−1 với ∀x ∈ ℝ \ {0} f (1) = −2 Tính ∫ f ( x ) dx 1 ln ln A − − ln B − − ln C −1 − D − − 2 2 Câu 23 [Sở Đà Nẵng – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 4;8 ] f (0) ≠ với ∀x ∈ [ 4;8 ] Biết ∫ A B  ′   f ( x ) dx = f (4 ) = , f (8) = Tính f (6 )  f ( x )   C D Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 3 x  x  [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y  f  x    Tính 4  x  x  2  A Câu f  xdx Ta có,  Lời giải C D  x2  f  x dx  f  x dx   x dx  4  x dx  x  4 x        2 1 2 6 x x   Cho hàm số y  f  x    I   f  x dx Hỏi có tất số a  a x x  1  nguyên a để I  22  ? A B C D Lời giải Ta có 4  a x  2     a  8a I   f  xdx   f  xdx   x dx   a  a xdx  x 1  ax    1 Câu B 1 0 a a  1;0;1;2 I  22    a  8a  22   2a  a      a   Vậy có giá trị nguyên a thỏa mãn 1 [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x) xác định  \   thỏa mãn f ( x)    x 1 , f (0)  f (1)  Giá trị biểu thức f (1)  f (3) A  ln B  ln15 C  ln15 D ln15 Lời giải f ( x)   dx  ln(2 x 1)  C1 x 1 1  Cách 1: Trên khoảng  ;  :   Lại có f (1)   C1   1 dx  ln(1  x)  C2 • Trên khoảng ;  : f ( x)    x 1 2 Lại có f (0)   C2     ln(2 x 1)  x    Vậy f ( x)     ln(1  x)  x      Suy f (1)  f (3)   ln15 Cách 2: 0  2dx  f (0)  f (1)  f '( x)dx    x 1  ln x 1 |1  ln (1)  1 1 Ta có:  3   f (3)  f (1)   f '( x)dx  2dx  ln x 1 |13  ln (2)  x 1 1  Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Câu Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Lấy (2)-(1), ta f (3)  f (1)  f (0)  f (1)  ln15  f (1)  f (3)   ln15 [Toán học tuổi trẻ số – 2018] Cho hàm số f  x  xác định  \ 1 thỏa mãn , f 0  2017 , f 2  2018 Tính S  f 3  f 1 x 1 A S  B S  ln C S  ln 4035 D S  Lời giải dx  ln  x 1   C Cách 1: Ta có  f  x  dx   x 1    f  x   ln  x 1   2017 x  Theo giả thiết f 0  2017 , f 2  2018 nên       ln 2018 f x x x        Do S  f 3  f 1  ln  2018  ln  2017  f   x  Cách 2: 0  dx  f (0)  f (1)  f '( x)dx    x 1  ln x 1 |1  ln (1)  1 1 Ta có:  3   f (3)  f (2)   f '( x)dx  dx  ln x 1 |32  ln (2)  x 1 2  Lấy 1  2, ta Câu f (3)  f (2)  f (0)  f (1)   S  f (3)  f (1)  f (2)  f (0)  1 [Lục Ngạn–Bắc Giang–2018] Cho hàm số f ( x) xác định  \   thỏa mãn   2 , f 0  f    Giá trị biểu thức f 1  f 3 f   x    x 1 A  ln B 2  ln C  ln D  ln Lời giải    ln x 1  C1 x  ;      3 Cách 1: Từ f   x   dx=   f  x    1  x 1 x 1  ln x 1  C1 x   ;      ln x 1  x  ;   f       0  C1  C1        Ta có:     f  x          1  f    0  C2  C2    ln x 1  x   ;    3 3   Khi đó: f 1  f 3  ln   ln    ln 32   ln Cách 2: Ta có 0   f 0  f 1  f  x   f   x  dx    3x 1 dx  ln 3x 1 1  ln 1  1 1 1  3  2 3  dx  ln x 1  ln 2  f 3  f    f  x    f   x  dx   3 x 1 3  2 3  2 Lấy 2  1 , ta được: f 3  f 1  f 0  f    ln 32  f 1  f 3   ln   Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Câu Câu Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng ; f 3  ; x 4 f 0  f 3  Tính giá trị biểu thức P  f 4   f 1  f 4  5 B P   ln C P   ln D P   ln A P   ln 25 Lời giải dx 4 dx  f  x    Từ f   x   x 4 x 4  x  2 x  2  x2    C1 x  ; 2 ln    x     x2   C2 x  2;2 ln   x    x2    C3 x  2;  ln     x2     f 3    ln  C1  C1   ln          Ta có  f 0   0  C2   C2        f 2  C3   ln        ln C      x2   ln -ln5 x  ;2   x2     x2  f  x   ln x  2;2 1  x2    x2   ln   ln x  2;      x2 Khi P  f 4   f 1  f 4   ln  ln  ln   ln   ln   ln [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho hàm số f  x  xác định  \ 2;1 thỏa mãn Cho hàm số f  x  xác định  \ 2;2 thỏa mãn f   x   f 3  f 3  ; x  x2 f 4   f 1  f 4  f   x  A 1  ln 3 f   x  x  x2 B  ln 80 f 0   Giá C  ln  ln Lời giải trị biểu D  ln  x 1 1  ln  C1 x  ; 2   x2   1 dx dx x 1   x  2;1  f  x      ln  C2  x  x2  x 1 x  2  x   1 x 1   ln  C3 x  1;   3 x    1 Do f 3  f 3   ln  C1  ln  C3  C3  C1  ln10 3 Trang www.mathvn.com thức Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 1 1  ln  C2   C2   ln 3 3  x    ln x  ; 2  C1   x     x 1 1   f  x    ln   ln x  2;1  x2 3      ln x 1  C1  ln10 x  1;    3 x  1  1  1  1 Khi đó: f 4   f 1  f 4    ln  C1    ln   ln 2   ln  C1  ln10       3 1   ln 3 [Sở Bắc Giang – 2018] Cho hàm số f  x  xác định  \ 1;1 thỏa mãn Và f 0  Câu  1 ; f 3  f 3  f      x 1 P  f 0   f   f   x  A P   ln f   x  2 3 C P   ln D P  ln 5 Lời giải 1 x 1   ln  C1 x  ; 1  1;    x 1 dx    x 1 x  1  x 1 ln  C2 x  1;1     x 1 B P   ln dx   x 1 x 1  1 f    Tính giá trị biểu thức 1 ln  C1  ln  C1   C1  2  1 1 1 Và f    f     ln  C2  ln  C2   C2      2  x 1   ln x  ; 1  1;    x 1   P  f 0  f 4  =  ln Suy f  x     x 1  ln  x  1;1     x 1 [Sở Phú Thọ - 2018] Cho hàm số f  x  xác định  \ 1;1 thỏa mãn Ta có f 3  f 3   Câu  1 1 ; f 2  f 2  f    f    Tính f 2  f 0  f 4       x 1 kết 6 4 A P   ln B P  1  ln C P   ln D P  1  ln 5 5 Lời giải  x 1  C1 x  ; 1  1;  ln x 1 2dx 2dx  f '  x   f  x     x 1 x 1   x 1 x  1  x 1  C1 x  1;1 l n  x  f '  x  Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Câu Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Xét hàm số f ( x ) liên tục [0;1] thỏa mãn f ( x ) + xf (1 − x ) + f (1 − x ) = x +1 Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = ln B I = ln C I = D I = Lời giải Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f ( x ) − (−2 x ) f (1 − x ) + f (1− x ) = x Ta có: u (0) = −1 A =1; B = ; C = u = x − thỏa mãn  u (1) =  Khi áp dụng cơng thức (Xem phần Chú ý sau lời giải Câu 3) ta có: 1 I = ∫ f ( x ) dx = 2 dx = ln x + = ln ∫  1 x +1 − −  +   Cách 2: (Dùng công thức đổi biến không nhớ công thức) Từ f ( x ) + xf (1 − x ) + f (1 − x ) = x +1 1 1 0 dx = ln x + 10 = ln (*) x +1 ⇒ ∫ f ( x )dx + ∫ xf (1− x )dx + 3∫ f (1− x )dx = ∫ +) Đặt u = 1− x ⇒ du = −2 xdx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = Khi ∫ 1 1 xf (1− x )dx = ∫ f (u )du = ∫ f ( x )dx (1) 2 +) Đặt u = − x ⇒ du = −dx ; Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = Khi ∫ 1 ∫ Câu xf (1− x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x )dt (2) Thay (1), (2) vào (*) ta được: 0 1 1 f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + 3∫ f ( x )dx = ln ⇒ ∫ f ( x )dx = ln ⇔ ∫ f ( x )dx = ln 2 0 [Chuyên Thái Nguyên – Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x )− x f ( x )+ x3 x +1 = Tích phân I = ∫ f ( x ) dx = a b ; tối giản Tính a + b + c c c A B −4 a −b với a, b, c ∈ ℤ c C Lời giải Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Trang D −10 www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biến đổi f ( x )− x f ( x ) + x3 x +1 x3 = ⇔ f ( x ) − 2.(4 x ) f ( x ) = − x +1 với A = 1; B = −2 Áp dụng cơng thức ta có: f ( x ) dx = ∫   − x dx =  ∫ + (−2) ∫0  x +  x 3dx x +1 Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx ; Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = Khi đó: 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ 0 x2 x +1 xdx = ∫ 2 t  t −1 2− tdt = ∫ (t −1) dt =  − t  =   t 3 1 a −b c Suy a = 2; b = 1; c = ⇒ a + b + c = = Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ f ( x )− x f ( x )+ x3 1 = ⇔ ∫ f ( x ) dx − ∫ x f ( x ) dx + ∫ x +1 0 x3 x +1 dx = (*) Đặt u = x ⇒ du = x 3dx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = Khi ∫ 4x f ( x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (*), ta được: ∫ 1 f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ 0 x x +1 1 dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ 0 x3 x +1 dx Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx ; Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = Khi đó: 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ 0 x2 x +1 xdx = ∫ 2 t3  t −1 2− tdt = ∫ (t −1) dt =  − t  =   t 3 1 a −b c Suy a = 2; b = 1; c = ⇒ a + b + c = = Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [− ln 2;ln 2] thõa mãn f ( x ) + f (−x ) = e +1 x ln Biết ∫ f ( x ) dx = a ln + b ln , với a, b ∈ ℚ Tính giá trị P = a + b − ln A P = Với ln ∫ − ln B P = −2 C P = −1 D P = Lời giải Cách 1: Dùng công thức - Dạng f ( x ) + f (−x ) = x ta có A = 1; B = , e +1 ln suy ln dx dx f ( x ) dx = = ∫ x x ∫ + − ln e + − ln e + Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến không nhớ công thức Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng ln ln ln dx ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ f (−x ) dx = ∫ x Từ f ( x ) + f (−x ) = x (* ) e + − ln e +1 − ln − ln Đặt u = −x ⇒ du = −dx ln ln f (−x ) dx = ∫ ⇒ − ln ln 2∫ − ln ∫ ln f (u ) du = − ln ∫ f ( x ) dx thay vào (*) ta được: − ln ln ln ln dx dx f ( x ) dx = ∫ x ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ x e + − ln 2 − ln e + − ln Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx ; Với x = − ln ⇒ t = , x = ln ⇒ t = 2 ln ⇒ ln 2 dx e x dx dt t = ∫ e x + ∫ e x (e x + 1) = ∫1 t (t + 1) = ln t + − ln − ln 2 ln ∫ Khi đó: − ln Câu = ln 2 a ,b∈ℚ 1 f ( x ) dx = ln = a ln + b ln → a = , b = ⇒ P = a + b = 2 [Chuyên Vinh- Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ , f (0 ) = ∫ π π  f ( x ) + f  − x  = sin x cos x   với ∀x ∈ ℝ Giá trị tích phân xf ′ ( x ) dx π D − 4 Lời giải Cách 1: (Dùng công thức theo góc nhìn dạng 2) π  Với f ( x ) + f  − x  = sin x cos x , ta có A = 1; B =   π A − Suy B ∫ π C π 1 f ( x ) dx = sin x cos x dx = ∫ 1+1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nhớ công thức) π π π  Từ f ( x ) + f  − x  = sin x cos x ⇒ ∫ f ( x ) + ∫ 0   π π  f  − x dx = ∫ sin x cos xdx = (*)   π − x ⇒ du = −dx π π Với x = ⇒ u = ; x = ⇒ u = 2 Đặt u = Suy ∫ 2∫ π π π π π  f  − x dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx , thay vào (*) ta 0   π f ( x ) dx = 1 ⇔ ∫ f ( x ) dx = (1) Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng u = x du = dx Đặt  ⇒   dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) ⇒∫ π π π  π  f ( x ) dx = f   − ∫ f ( x ) dx (*)   π π xf ′ ( x ) dx = xf ( x ) 02 − ∫ π  Từ điều kiện f ( x ) + f  − x  = sin x cos x suy     f     f   π    − f (0) =   π ⇒ f   = (2)   π (0) + f   = 2 Thay (1), (2) vào (*), ta ∫ π xf ′ ( x ) dx = − Câu 10 [Diễn Châu- Ngệ An- lần 3- 2018] Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn x2 , ∀x ∈ ℝ tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx −1 x +1 π π π π A I = − B I = − C I = − D I = Lời giải t −1 Đặt t = + x ⇒ − x = − t x = , điều kiện trở thành f (1 + 2x ) + f (1 − 2x ) = f ( t ) + f (2 − t ) = t − 2t + x − 2x +1 (*) ⇒ f x + f − x = ( ) ( ) t − 2t + x −2x + Cách 1: (Dùng công thức- theo góc nhìn dạng 2) Với f ( x ) + f (2 − x ) = Suy ∫ −1 x − 2x +1 ta có A = 1; B = x − 2x + x − 2x +1 π dx ≈ 0, 429 = − ∫ + −1 x − x + Cách 2: (Dùng công thức đổi biến – nhớ công thức) f ( x ) dx = Từ (*), ta có f ( x ) + f (2 − x ) = x − 2x +1 x − 2x + x − 2x +1 dx (2*) −1 −1 −1 x − x + Đặt u = − x ⇒ du = −dx Với x = −1 ⇒ u = 3; x = ⇒ u = −1 ⇒∫ Suy f ( x ) dx + ∫ ∫ −1 f (2 − x ) dx = ∫ 3 −1 −1 f (2 − x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx , thay vào (*), ta được: x − 2x +1 x − 2x +1 π dx ⇒ = f x dx dx ≈ 0, 429 = - ( ) 2 ∫ ∫ −1 −1 x − x + −1 −1 x − x + TÓM TẮT HÀM ẨN DẠNG 3: Cách giải: Lần lượt đặt t = u ( x ) t = v ( x ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong có 2∫ f ( x ) dx = ∫ ẩn f ( x ) ) để suy hàm số f ( x ) (nếu u ( x ) = x cần đặt lần t = v ( x ) ) Các kết đặc biệt: Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cho A f (ax + b ) + B f (−ax + c ) = g ( x ) với A ≠ B )  x − b   x − c  A g   − B g    a   −a  f (x ) = (*) A2 − B A g ( x )− B g (−x ) A2 − B g (x ) +)Hệ (*): A f ( x ) + B f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = với g ( x ) hàm số chẵn A+B +)Hệ (*): A f ( x ) + B f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = 1 f (x ) Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ f ( x ) + f   = x Tính I = ∫ dx  x  x 2 A I = B I = C I = D I = −1 Lời giải 1  1 Đặt, t = ⇒ x = điều kiện trở thành f   + f (t ) = ⇒ f ( x ) +  t  x t t 1 Hay f ( x ) + f   = , kết hợp với điều kiện f ( x ) + f  x  x 1 f   =  x  x     = x Suy :  x  2 f (x ) 2   −2  f (x )     dx = ∫  −1 dx =  f ( x ) = − 3x ⇒ = −1 ⇒ I = ∫ − x  =   x   x  x x x x 1 2 Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x Tính π giá trị I = ∫ f ( x ) dx − A I = 2019 π B I = 1009 C I = 2019 D I = 1009 Lời giải Cách 1: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 2) Với f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x ta có A = 1; B = 2018 π Suy I = ∫ f ( x ) dx = − π π Casio x sin xdx = ∫ + 2018 π 2019 − Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3) g (x ) Áp dụng Hệ 2: A f ( x ) + Bf (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = với g ( x ) hàm số chẵn A+B x sin x Ta có f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x ⇒ f ( x ) = 2019 π I =∫ − π π Casio = f ( x ) dx = x sin x d x ∫ 2019 π 2019 − Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f (−x ) + 2018 f ( x ) = e x Tính giá trị I = ∫ f ( x ) dx −1 A I = e −1 2019e B I = e −1 2018e C I = D I = e −1 e Lời giải Cách 1: (Dùng cơng thức - theo góc nhìn dạng 2) Với f (−x ) + 2018 f ( x ) = e x ta có A = 1; B = 2018 1 Suy I = ∫ −1 1 x f ( x ) dx = e x dx = e ∫ + 2018 −1 2019 e −1 = 2019e −1 Cách 2: (Dùng cơng thức –theo góc nhìn dạng 3) Áp dụng Hệ 1: A f ( x ) + B f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = A g ( x )− B g (−x ) A2 − B Ta có: f (−x ) + 2018 f ( x ) = e x ⇒ f ( x ) = ⇒∫ −1 2018e x − e −x 20182 −1 1 f ( x ) dx = (2018e x − e −x ) dx 2019.2017 ∫ −1 ≈ 1,164.10−3 ≈ e −1 (Casio) 2019e Câu 14 [Chuyên Hà Tĩnh – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ , thỏa mãn f (2 x ) + f (1 − x ) = 12 x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ A y = x + B y = x − C y = x − D y = x − Lời giải Áp dụng kết Dạng 3: “Cho A f (ax + b ) + B f (−ax + c ) = g ( x ) (với A ≠ B )  x − b   x − c  A g   − B.g    a   a  f ( x ) = ” A2 − B Ta có x  x −1 g   − g   2  −2  f (2 x ) + f (1 − x ) = 12 x = g ( x ) ⇔ f ( x ) = 2 −1 x − ( x −1) = = x + x −1 Trang www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng  f (1) = Suy  , phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = x −  f ′ (1) =  Câu 15 [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho f ( x ) hàm số chẵn, liên tục ℝ thỏa f ( x )dx = 2018 g ( x ) hàm số liên tục ℝ thỏa mãn g ( x ) + g (−x ) = , ∫ mãn ∀x ∈ ℝ Tính tích phân I = ∫ f ( x )g ( x ) dx −1 A I = 2018 B I = 1009 C I = 4036 D I = 1008 Lời giải Áp dụng Hệ (của Dạng 3): A g ( x ) + B g (−x ) = h ( x ) ⇒ g ( x ) = h (x ) A+B Ta có: g ( x ) + g (−x ) = = h ( x ) ⇒ g ( x ) = với h ( x ) hàm số chẵn 1 = +1 Kết hợp với điều kiện f ( x ) hàm số chẵn, ta có: 1 I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx = −1 1 f ( x ) dx = ∫ f ( x )dx = 2018 2∫ −1 a a Chú ý: Nếu f ( x ) hàm số chẵn, liên tục [−a; a ] ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx −a Câu 16 (Sở Kiên Giang – 2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục [0;1] thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1− x ) = x − x Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx A I = − 15 B I = 15 C I = 75 D I = 25 Lời giải Cách 1: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 2) Với f ( x ) + f (1− x ) = x − x ta có A = 2; B = Suy ra: ∫ Casio f ( x ) dx = x − x dx = 0,05 (3) = ∫ +3 75 Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3) Áp dụng kết Dạng 3: “Cho A f (ax + b ) + B f (−ax + c ) = g ( x ) (Với A ≠ B ) Trang 10 www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng  x − b   x − c  A g   − B g    a   −a  f (x ) = ” A2 − B Ta có: f ( x ) + f (1 − x ) = x 1− x = g ( x ) ⇒ f ( x ) = = g ( x )− g (1− x ) 22 − 32 x − x − (1 − x ) x −5 1 Suy ra: I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x − x − (1 − x ) x −5 Casio dx = 0, 05 (3) = 75 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) 1 Từ f ( x ) + f (1 − x ) = x − x ⇒ ∫ f ( x ) dx + 3∫ f (1 − x ) dx = ∫ x − x dx Casio = 0,2 (6) = ∫ (∗) Đặt u = − x ⇒ du = −dx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = 15 Suy 1 f (1 − x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (∗) , ta được: 0 5∫ f ( x ) dx = 4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 15 75 x2 Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ Biết ∫ f (t )dt = x cos(π x ) Giá trị f (4) là: A f (4) = 1 C f (4) = Lời giải B f (4) = D f (4) = ′ u ( x )    Sử dụng công thức  ∫ f (t )dt  = u ′ f (u ) (xem lại DẠNG 4), ta có:   a  x2 ∫ ′  x2     f (t )dt = x cos(π x ) ⇒  ∫ f (t )dt  = ( x cos(π x ))′   ⇔ xf ( x ) = cos(π x ) − π x sin(π x ) (*) Thay x = vào (*), ta được: f (4) = cos(2π )-2π.sin(2π) = ⇒ f (4) = Câu 18 [Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ x2 Biết ∫ f (t )dt = e x + x −1 với ∀x ∈ ℝ Giá trị f (4) là: A f (4) = e + B f (4) = e C f (4) = e + D f (4) = Lời giải Trang 11 www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng ′ u ( x )    Sử dụng công thức  ∫ f (t )dt  = u ′ f (u ) (xem lại DẠNG 4), ta có:   a  x2 ∫ ′  x2   ′ f (t )dt = e + x −1 ⇒  ∫ f (t )dt  = e x + x −1   x2 ( ) ⇔ xf ( x ) = x e x + x Suy ra: f ( x ) = e x + x ⇒ f ( x ) = e x + x ⇒ f (4) = e + Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) > xác định, có đạo hàm đoạn [0;1] thỏa mãn x g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt g ( x ) = f ( x ) Tính A 1011 ∫ g ( x )dx B 1009 2019 Lời giải C D 505 ′  u( x )   Sử dụng công thức  ∫ f (t ) dt  = u ′ f (u ), ta có   0 x ( ) ( ) g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt ⇒ g ′ ( x ) = 2018 f ( x )←  → g ′ ( x ) = 2018 g ( x ) ⇔ f ( x )>0 g x =f x Suy ∫ g ′(x ) g (x ) g ′ (x ) g (x ) = 2018 dx = ∫ 2018dx ⇔ g ( x ) = 2018 x + C (*) x Từ điều kiện g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt ⇒ g (0) = thay vào (*) suy C = Khi g ( x ) = 1009 x + ⇒ ∫ g ( x )dx = ∫ (1009 x + 1) dx = 1011 x2 Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [1;2 ] Biết ∫ f (t ) dt = x + x −1 với ∀x ∈ [1;2 ] Tính x tích phân ∫ b f ( x ) dx = a + ln d Biết a, b, c , d số nguyên tố Tính c T = a + b + c + d A T = 10 B T = 11 C T = 17 Lời giải D T = 16 ′  u( x )   Sử dụng công thức  ∫ f (t ) dt  = u ′ f (u ) − v ′ f (v ), ta có   v( x ) Trang 12 www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng x2 ∫ x Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng ′  x2     f (t ) dt = x + x −1 ⇒  ∫ f (t ) dt  = (2 x + x −1)′ ⇔ x f ( x ) − f ( x ) = x +   x ⇒ f (x ) = Suy x +1 , ∀x ∈ [1;2 ] x −1 2 ∫ f ( x ) dx = ∫ 1   2 x +1  3   dx = ∫ 2 + d x x ln x = + −   = + ln      1 x −1 x − 1 2 a = c = ⇒ T = 10 Suy   b = d = 10 Câu 21 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x + x − 2) = x −1 Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = 45 B I = C I = 135 D I = 27 Lời giải  dt = (3 x + 2) dx Đặt t = x + x − ⇒   f (t ) = x −1  10 10 Ta viết lại I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt 1 Đổi cận: Với t = ⇒ = x + x − ⇔ x = t = 10 ⇒ 10 = x + x − ⇔ x = 10 1 Khi I = ∫ f (t ) dt = ∫ (3 x −1)(3 x + 2) dx = 135 Chú ý: Đây lớp câu hỏi thuộc dạng 5, ta tóm tắt hàm ẩn dạng phát biểu toán sau: Bài toán: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f (u ( x )) = v ( x ) v ( x ) hàm đơn điệu (luôn b đồng biến nghịch biến) ℝ Hãy tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx a dt = u ′ ( x ) dx Cách giải: Đặt t = u ( x ) ⇒   f (t ) = v ( x )  b b Ta viết lại I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt a a Đổi cận: Với t = a ⇒ u ( x ) = a ⇔ x = α t = b ⇒ b = u ( x ) ⇔ x = β b β Khi I = ∫ f (t ) dt = ∫ v ( x ).u ′ ( x ) dx a Câu 22 Cho hàm số α f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x + 1) = x −1, ∀x ∈ ℝ Tính I = ∫ f ( x ) dx Trang 13 www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng A I = −2 B I = C I = −4 D I = Lời giải dt = x dx Đặt t = x + ⇒    f (t ) = x −1  1 Ta viết lại I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt 0 Đổi cận: Với t = ⇒ = x + ⇔ x = −1 t = ⇒ = x + ⇔ x = 1 Khi I = ∫ f (t ) dt = ∫ (2 x −1).3 x dx = −2 −1 Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x + x + 1) = x + 2, ∀x ∈ ℝ Tính I = ∫ x f ′ ( x ) dx A B 17 33 Lời giải C D −1761 du = dx u = x  Đặt  ⇒ ⇒ I = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  f (5) = ( x = 1) Từ f ( x + x + 1) = x + ⇒  , suy I = 23 − ∫ f ( x ) dx  f (1) = ( x = )   dt = (3 x + 3) dx Đặt t = x + x + ⇒   f (t ) = x +  Đổi cận: Với t = ⇒ = x + x + ⇔ x = t = ⇒ x + x + = ⇔ x = 1 Casio Khi I = 23 − ∫ f ( x ) dx = 23 − ∫ (3 x + 2)(3 x + 3) dx = Câu 24 Cho hàm số f ( x ) liên tục R thỏa mãn 33 f ( x ) + f ( x ) = x , ∀x ∈ R Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = Lời giải Đặt y = f ( x ) ⇒ x = y + y ⇒ dx = (3 y + 1) dy  x = → y + y = ⇔ y = Đổi cận    x = → y + y = ⇔ y =  0 Chú ý: Đây lớp câu hỏi thuộc Dạng 6, ta TĨM TẮT HÀM ẨN DẠNG phát biểu toán sau: Khi I = ∫ f ( x ) dx = ∫ y (3 y + 1) dy = ∫ (3 y + y ) dy = 1 Trang 14 www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài tốn: “ Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn g  f ( x ) = x g (t ) hàm đơn điệu ( b đồng biến nghịch biến) R Hãy tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx “ a Cách giải: Đặt y = f ( x ) ⇒ x = g ( y ) ⇒ dx = g ′ ( y ) dy  x = a → g ( y ) = a ⇔ y = α Đổi cận   x = b → g ( y ) = b ⇔ y = β  b β Suy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ yg ( y )dy a α Câu 25 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x ) − f ( x ) + f ( x ) = x , ∀x ∈ ℝ Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = 12 D I = Lời giải Đặt y = f ( x ) ⇒ x = y − y + y ⇒ dx = ( y − y + 1) dy Đổi cận: với x = ⇒ y − y + y = ⇔ y = x = ⇒ y − y + y = ⇔ y = 1 Khi I = ∫ f ( x ) dx = ∫ y.6 ( y − y + 1) dy = ∫ ( y − y + y ) dy = 0 Câu 26 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn x + f ( x ) + f ( x ) = , ∀x ∈ ℝ Tính I = ∫ f ( x ) dx −2 A I = B I = C I = D I = Lời giải Đặt y = f ( x ) ⇒ x = − y − y + ⇒ dx = (−3 y − 2) dy Đổi cận: Với x = −2 ⇒ − y − y + = −2 ⇔ y = ; x = ⇒ − y − y + = ⇔ y = Khi đó: I = ∫ y (−3 y − 2) dy = Câu 27 Cho hàm số f ( x ) liên tục nhận giá trị dương [0;1] Biết f ( x ) f (1 − x ) = với ∀x ∈ [0;1] Tính giá trị I = ∫ A B dx 1+ f (x ) C D Lời giải Trang 15 www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng dt = −dx  dx Đặt t = − x ⇒  x = a ⇒ t = ; x = ⇒ t = Khi I = ∫  f ( x ) = 1+ f (x ) f (t )  =∫ dt 1+ f (t ) 2I = ∫ =∫ f ( x ) dx 1+ f (x ) f ( x ) dx dx +∫ = ∫ dx = ⇒ I = 1+ f (x ) 1+ f (x ) 1 Chú ý: Đây câu hỏi thuộc Dạng 7, ta TĨM TẮC HÀM ẨN DẠNG phát biểu toán sau: b Bài toán: “ Cho f ( x ) f (a + b − x ) = k , I = ∫ a dx b −a = k + f (x ) 2k Chứng minh: dt = −dx  Đặt t = a + b − x ⇒  k x = a ⇒ t − b ; x = b ⇒ t = a  f ( x ) = f (t )  b b b f ( x ) dx dx dx Khi I = ∫ =∫ = ∫ k k + f x k k + f x ( ) ( ) a a k+ a f (t ) b 2I = ∫ a f ( x ) dx b −a 1 dx + ∫ = ∫ dx = (b − a ) ⇒ I = k 2k k + f (x ) k a k + f (x ) k a b b Câu 28 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ , ta có f ( x ) > f (0 ) f (2018 − x ) = Giá trị 2018 tích phân I = ∫ A I = 2018 dx + f (x ) B I = C I = 1009 Lời giải 2018 Áp dụng kết dạng (xem lại câu 27 ), ta có I = ∫ D 4016 2018 − dx = = 1009 1+ f (x ) 2.1 Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn ∫ xf ( x ) dx = Tính tích phân ∫ f ( x ) dx Lời giải Đặt t = − x ⇒ dt = −dx x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = A f (4 − x ) = f ( x ) Biết B C 3 D 11 Khi đó: = ∫ xf ( x ) dx = ∫ (4 − t ) f (4 − t ) dt = ∫ (4 − x ) f (4 − x ) dx = ∫ (4 − x ) f ( x ) dx 1 Trang 16 www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3 Suy ra: 10 = ∫ xf ( x ) dx + ∫ (4 − x ) f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 1 Chú ý: Đây câu hỏi thuộc dạng 8, ta TĨM TẮT HÀM ẨN DẠNG phát biểu toán sau:  f (a + b − x ) = f ( x )  b 2I  b Bài toán: Cho  ⇒ ∫ f ( x ) dx =  xf ( x ) dx = I a +b a ∫  a dt = −dx  Chứng minh: Đặt t = a + b − x ⇒  x = a ⇒ t = b Khi   x = b ⇒ t = a b b I = ∫ xf ( x ) dx = ∫ (a + b − t ) f (a + b − t ) dt a a b b = ∫ (a + b − x ) f (a + b − x ) dx = ∫ (a + b − x ) f ( x ) dx a a b b b b Suy I = ∫ xf ( x ) dx + ∫ (a + b − x ) f ( x ) dx = (a + b ) ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = a a a a 2I a +b Câu 30 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x ) − f (3 − x ) = Biết 4 ∫ xf ( x ) dx = Tính ∫ −1 A f ( x ) dx −1 B Lời giải C Áp dụng kết Dạng (bài 29) ta có: ∫ f ( x ) dx = −1 { D 2I 2.2 = = a + b (−1) + } Câu 31 Tính I = ∫ x ; − x dx A I = B I = C I = D I = Lời giải Ta xét dấu f ( x ) = x − − x đoạn [ 0;2 ] Ta có x − − x = ⇔ x + x − = ⇔ ( x −1)( x + x + 2) = ⇔ x = Bảng xét dấu  x Do x ; − x =   − x  { } x ∈ [0;1] x ∈ [1;2 ] Trang 17 www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng { Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng } Suy I = ∫ x ; − x dx = ∫ x dx + ∫ 0 1 − x dx = + = 4 Câu 32 Tính tích phân I = ∫ max { x ; x }dx A 17 15 Lời giải B C D ] Trên đoạn [ 0; ] , xét x ≥ x ⇔ x ( x −1)( x + 1) ≤ ←[ → ≤ x ≤ x ∈ 0;  x ≤ x ≤  x ∈ [0; 1] ⇒ x ≥ x 3  ⇒ max x ; x = Vậy  { } [ 0; ]  x ∈ [1; ] ⇒ x ≤ x  x ≤ x ≤  Suy I = ∫ max { x ; x 15 } dx = ∫ xdx + ∫ x 3dx = + = 17 Chú ý: Đây câu hỏi thuộc Dạng (Tích phân cho nhiều cơng thức hình thức tốn min, max) ta TĨM TẮT HÀM ẨN DẠNG phát biểu toán sau: b b a a Bài tốn: Tính tích phân I = ∫ max { f ( x ); g ( x )} dx I = ∫ { f ( x ); g ( x )} dx Cách giải: ( tham khảo qua lời giải Câu 31, 32, 33) Câu 33 Tính tích phân I = ∫ max { x ; x − x }dx A 117 B 707 275 12 Lời giải C D 119 Trên đoạn [ 0; 3] : [ ] x ∈ [0; 1] Xét x ≥ x − x ⇔ x ( x −1)( x − 3) ≥ ←→ x ∈ 0;  x ∈ [0; 1] ⇒ x ≥ x − x  x x ∈ [ 0; 1]  Vậy  ⇒ max { x ; x − x } =  [ 0; 3]  x ∈ [1; 3] ⇒ x ≤ x − x 4 x − x x ∈ [1; 3]   3 Khi I = ∫ max { x ;4 x − x } dx = ∫ x dx + ∫ (4 x − x ) dx = 3 Trang 18 275 12 www.mathvn.com ... www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 3 x  x  [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y  f  x    Tính 4 ... www.mathvn.com Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng DẠNG HÀM ẨN XÁC ĐỊNH BỞI ẨN DƯỚI CẬN TÍCH PHÂN  u( x ) ′  Phương pháp giải: Sử dụng công thức  ∫ f (t ) dt  = u '' f (u... Trang 11 www.mathvn.com Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn : A f ( x ) + B u ′ f (u ) +C