CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12 GIẢI NHANH BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI THPTQG

Tất tần tật công thức giải nhanh toán 12 cho kì thi THPT , giải nhanh môn toán 12 với hình học và đại số, phục vụ cho kì thi thptqg 2022, công thức giải nhanh toán 12 cho kì thi THPT , giải nhanh môn toán 12 với hình học và đại số, phục vụ cho kì thi thptqg 2022,

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 1.1 CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA 1.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước   Bài tốn tởng qt: Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x 1, x thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp:  Bước 1:  Tập xác định: D   Đạo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y   có hai nghiệm phân biệt y  đổi dấu qua nghiệm  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt A  3a  a     m  D1  2 y   B  4AC  4b  12ac  b  3ac   Bước 3: Gọi x 1, x hai nghiệm phương trình y    B 2b x  x     A 3a Khi đó:  C c x x    A 3a Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S tích P Từ giải tìm được m  D2 Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m  D1  D2   * Chú ý: Hàm số bậc ba: y  ax  bx  cx  d a  Ta có: y '  3ax  2bx  c  Điều kiện Kết luận b  3ac  Hàm số cực trị b  3ac  Hàm số có hai điểm cực trị Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu  Hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt trái dấu HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH  AC  3ac   ac   Hàm số có hai cực trị dấu  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt dấu  y     C 0 P  x 1.x   A  Hàm số có hai cực trị dấu dương  phương trình y   có hai nghiệm dương phân biệt   y    B  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Hàm số có hai cực trị dấu âm  phương trình y   có hai nghiệm âm phân biệt   y '   B  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x 1, x thỏa mãn: x1    x x1  x     x1  x  Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x    x       x   x     x 1.x   x  x     Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x  x         x   x    x x   x  x    2   x  x   x  x   2    Hai cực trị x 1, x thỏa mãn   x  x       x   x    x x   x  x    2   x  x  2 x  x  2  Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng b có nghiệm x  , có nghiệm lập thành cấp số nhân có nghiệm 3a x  3 d a HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH 1.1.2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đới điểm với đường thẳng:     đường thẳng  : ax  by  c   c   hai điểm A, B nằm về hai phía so với đường Cho điểm A x A ; yA , B x B ; yB   Nếu ax A  byA  c ax B  byB thẳng     Nếu ax A  byA  c ax B  byB  c  thì hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng  Một số trường hợp đặc biệt: + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị dấu  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt dấu + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y   có hai nghiệm trái dấu + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Đặc biệt: + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y   phương trình y   có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y   phương trình y   có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  (áp dụng khơng nhẩm được nghiệm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt    phương trình hồnh độ giao điểm f x  có nghiệm phân biệt (áp dụng nhẩm nghiệm) HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH 1.1.3 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  2c 2b  y.y y .y  bc g x  y  g  x   9ay  g x   x  d  3y  9a  9a 3     Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc AB  b  3ac 4e  16e với e  9a a 1.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG  y  ax  bx  c a   MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ  Hàm số có cực trị  ab   Hàm số có ba cực trị  ab  a   Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu   b  a   Hàm số có cực trị cực trị cực đại   b   a   Hàm số có hai cực tiểu cực đại   b  a   Hàm số có cực tiểu hai cực đại   b   Giả sử hàm số y  ax  bx  c có cực trị:  b   b  A(0; c), B    ;   ,C   ;    2a 4a   2a 4a   tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện: ab  y Tổng quát:  b cot  8a Một số công thức giải nhanh hệ thống trang HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP A O B x C TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam giác ABC vuông cân A b  8a Tam giác ABC b  24a Tam giác ABC có diện tích S ABC  S 32a (S )2  b  Tam giác ABC có diện tích max (S ) Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp rABC  r0 S0  r   b5 32a b2  b3    4a 1 1  8a    Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RABC  R R Tam giác ABC có độ dài cạnh BC  m am02  2b  Tam giác ABC có độ dài AB  AC  n 16a 2n 02  b  8ab  Tam giác ABC có cực trị B,C  Ox b  8a 8ab b  4ac Tam giác ABC có góc nhọn b(8a  b )  Tam giác ABC có trọng tâm O b  6ac Tam giác ABC có trực tâm O Tam giác ABC điểm O tạo thành hình thoi Tam giác ABC có O tâm đường trịn nội tiếp Tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC có cạnh BC  kAB  kAC Trục hồnh chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hoành   Đồ thị hàm số C : y  ax  bx  c cắt trục Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị C  : y  ax  bx  c trục hồnh có diện tích phần phần b  8a  4ac  b  2ac b  8a  4abc  b  8a  8abc  b k  8a(k  4)  b  ac b  8ac b2  100 ac b2  36 ac 2   2    c y  c   Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC là: x  y    0  b 4a   b 4a  HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH 1.3 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 1.3.1 Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (C m ) có phương trình y  f (x , m ) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi?  Phương pháp giải: + Bước 1: Đưa phương trình y  f ( x , m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am  B  Am  Bm  C  + Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương A  A   trình:  B  B  C   + Bước 3: Kết luận: - Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong (C m ) khơng có điểm cố định - Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (C m ) 1.3.2 Bài tốn tìm điểm có tọa độ nguyên Cho đường cong (C ) có phương trình y  f (x ) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ ngun đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên  Phương pháp giải: + Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số + Bước 2: Lập luận để giải tốn 1.3.3 Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng Cho đường cong (C ) có phương trình y  f (x ) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị C : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị C     tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I (x I , yI )  Phương pháp giải:       đối   tìm + Gọi M a; Aa  Ba  Ca  D , N b; Ab  Bb  Cb  D hai điểm C xứng qua điểm I a  b  2x I + Ta có  3 2 A ( a  b )  B a  b  C a  b  D  y I      Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N   Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị C : y  Ax  Bx  Cx  D Trên đồ thị C cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH  Phương pháp giải:      Gọi M a, Aa  Ba  Ca  D , N b, Ab  Bb  Cb  D hai điểm  C  đối xứng qua gốc tọa độ a  b   Ta có  3 2 A ( a  b )  B a  b  C a  b  D        Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N     tìm cặp điểm Bài toán 3: Cho đồ thị C : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị C đối xứng qua đường thẳng d : y  A1x  B1  Phương pháp giải:     Gọi M a; Aa  Ba  Ca  D , N b; Ab  Bb  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua đường thẳng d I  d (1)  Ta có:  (với I trung điểm MN u d vectơ phương MN u  (2) d  đường thẳng d )  Giải hệ phương trình tìm M, N 1.3.4 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách  Lý thuyết:    + Cho hai điểm A x 1; y1 ; B x ; y2    AB  x  x1   y 2  y1   Cho điểm M x ; y đường thẳng d : Ax  By  C  , khoảng cách từ M đến d   h M ;d  Ax  By  C A B 2 + Cho hàm phân thức: y  ax  b tiếp tuyến M cắt TCĐ, TCN A B M trung cx  d điểm AB Diện tích tam giác IAB không đổi: S IAB  ad  bc c2  Các toán thường gặp:   ax  b c  0, ad  bc  có đồ thị C Hãy tìm (C ) cx  d hai điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn  Phương pháp giải: Bài toán 1: Cho hàm số y    có tiệm cận đứng x   dc  C   tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng Nên gọi hai số  ,  hai số dương HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH  Nếu A thuộc nhánh trái: x A   d d d  x A       ; yA  f (x A ) c c c  Nếu B thuộc nhánh phải: x B   d d d  x B       ; yB  f (x B ) c c c  Sau tính:  AB  x B  x A   y B  yA          a    a     yB  yA    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tìm kết   có phương trình y  f (x ) Tìm tọa độ điểm M Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số C thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ  Phương pháp giải:    Gọi M x ; y tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d  x  y  Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung  Sau xét tổng qt, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến  Những điểm lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y  f ( x) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trụcOy  Phương pháp giải:      f x  kx y  kx Theo đầu ta có y  k x     f x  kx y  kx Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình ax  b y  f ( x)   c  0, ad  bc   Tìm tọa độ điểm M (C ) cho độ dài MI ngắn cx  d (với I giao điểm hai tiệm cận)  Phương pháp giải:  Tiệm cận đứng x  d a ; tiệm cận ngang y  c c  d a   Ta tìm tọa độ giao điểm I  ;  hai tiệm cận  c c  Gọi M  x M ; yM  điểm cần tìm Khi đó: 2  d  a IM   x M     yM    g  x M  c  c   Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f (x ) đường thẳng d : Ax  By  C  Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn  Phương pháp giải:    Gọi I thuộc (C )  I x ; y ; y  f (x ) Ax  By  C    Khoảng cách từ I đến d g(x )  h I ; d  A2  B  Khảo sát hàm số y  g(x ) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 2.1 Lãi đơn: số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến gửi tiền Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n   Sn  A  nAr  A  nr * ) là:  Chú ý: tính tốn toán lãi suất toán liên quan, ta nhớ r% r 100 2.2 Lãi kép: tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n   Sn  A  r  n  S n  log1r   n A  r%  A n Sn A * ) là:    1 Sn 1  r  n 2.3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số tiền vào thời gian cố định a) Cơng thức tính: Đầu tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% /tháng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng (n  * ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) S n HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH A Sn    r r    n   1  r    S r  n n  log1r    1 A 1r      A  Sn r 1  r  1  r  n  1  2.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng: Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r% /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng Tính số tiền cịn lại sau n tháng bao nhiêu? 1  r  X n  Sn  A  r  n  1 r  X  A  r   n r  Sn  n  1r 1   2.5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r% /tháng Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có 1  r  X n  Sn  A  r  n 1 r Để sau n tháng trả hết nợ S n  nên 1  r  X n  A 1r  n X  1 r  A 1r 1  r  n  n 0 r 1 2.6 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r% /tháng Hỏi sau kn tháng người lĩnh tất số tiền bao nhiêu? 1  r   Ak k Cơng thức tính: Tổng số tiền nhận sau kn tháng Skn HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP 1 r TRANG 10 MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH Lưu ý: khơng phải phương trình đường tròn dạng z1.z2  z2  k  mà dạng z1 z  z2  z1 z  z3 với z1  z2 để kiểm tra điều kiện giả thiết phương trình đường trịn hay phương trình đường thẳng trường hợp lạ cách tốt gọi z  x  yi thay vào giả thiết để biết ( x; y ) thỏa mãn phương trình Dạng 6: Cho số phức z thỏa mãn z  z1z  z2 Tìm GTNN T z  z0 Cách giải Ý nghĩa hình học: điều kiện z  z1z  z2 thực chất phương trình đường thẳng Nếu ta gọi M điểm biểu diễn z , A điểm biểu diễn z1 B điểm biểu diễn z2 giả thiết tương đương với MA  MA hay M nằm đường trung trực AB Gọi I điểm biểu diễn z0 T  IM Vậy IM nhỏ M hình chiếu vng góc I d Giá trị nhỏ T  d ( I , d ) Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng có dạng z  z1z  z2, gặp giả thiết lạ, cách tốt để nhận biết giả thiết đường thẳng hay đường tròn gọi z  x  yi thay vào phương trình Dạng 7: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z1* R z2  z2*z2  z3* với z1* , z2* , z3* cho trước Tìm GTNN T z1  z2 Cách giải Ý nghĩa hình học: Gọi M,N điểm biểu diễn z1 , z2 Giả thiết z1  z1* R tương đương với M thuộc đường trịng tâm I bán kính R (gọi đường tròn (C)) Giả thiết z2  z2*z2  z3* tương đương N thuộc đường thẳng (d) Bài toán trở thành tìm M thuộc (C) N thuộc (d) cho T  MN ngắn Từ hình vẽ ta thấy GTNN MN d  I ,  d    R Vậy T  d  I ,  d    R HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG 22 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH KHỐI ĐA DIỆN         Chỉ có loại khối đa diện Đó loại 3; , loại 4; , loại 3; , loại 5; ,   loại 3;5 Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt Số đỉnh Khối đa diện Số cạnh Tứ diện Số mặt Loại Số MPĐX 3; 3 Khối lập phương 12 4; 3 12 3; 4 20 30 12 5; 3 15 12 30 20 3;5 15 Bát diện Mười hai mặt Hai mươi mặt   Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: p Đ  2C  nM Đường chéo hình vng cạnh a a  Đường chéo hình lập phương cạnh a : a  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c :  Đường cao tam giác cạnh a là: HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP a  b2  c2 a TRANG 23 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Tỷ sớ thể tích: S SA SB  SC   SA SB SC VS AB C  VS ABC V   h B  B   BB  B’ A’ Hình chóp cụt ABC AB C   C’ A B Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP C TRANG 24 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP TÍNH CHẤT HÌNH VẼ Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC , SAC vuông góc với đơi một,    A  diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1, S2, S3 S C 2S1.S2 S3 Khi đó: VS ABC  B   Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với ABC , hai     S mặt phẳng SAB SBC vng góc với nhau, BSC   , ASB   Khi đó: VS ABC C A SB sin 2 tan   12 B Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b Khi đó: VS ABC  a 3b  a 12 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  a tan  Khi đó: VS ABC  24 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  3b sin  cos2  S C A G M B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  a tan  12 S C A G M B HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG 25 MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  SB  SC  SD  b Khi đó: VS ABC S a 4b  2a  D A M O C B Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  a tan  Khi đó: VS ABCD  S A D M O B C Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a,    SAB   , với    ;  4 2 Khi đó: VS ABCD  a S D tan   A Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên   a, góc tạo mặt bên mặt đáy  với    0;   2 4a tan  Khi đó: VS ABCD  3  tan2    C B S A D Khi đó: VS ABCD  O C S F N A E C x a cot  24 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a a3 Khi đó: V  M B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi P  mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với SBC  , góc P  với mặt phẳng đáy  M O G M B A' B' O' D' O1 C' O2 O4 A O3 B O D C Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương S G2 2a Khi đó: V  27 D A G1 N M C B S' HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG 26 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH THỂ TÍCH TỨ DIỆN ĐẶC BIỆT ĐIỀU KIỆN TỨ DIỆN SA  a, SB  b, SC  c  ASB   , BSC   ,CSA   CÔNG THỨC VS ABC  AB  a,CD  b  d AB,CD  d, AB,CD       S SAB  S1, S SAC  S , SA  a   SAB , SAC      SA  a, SB  b, SC  c   SAB , SAC    ASB   , ASC      abc  cos2   cos2   cos2   cos  cos  cos  Công thức tính biết cạnh, góc đỉnh tứ diện VABCD  abd sin  Cơng thức tính biết cạnh đối, khoảng cách góc cạnh VSABC  HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP 3a Cơng thức tính biết cạnh, diện tích góc mặt kề VS ABC  abc sin  sin  sin  Cơng thức tính biết cạnh, góc đỉnh góc nhị diện Tứ diện tất cạnh a Tứ diện gần AB  CD  a  AC  BD  b AD  BC  c  2S1S sin  VABCD VABCD  12 a a3  12    b2  c2 b2  c2  a a  c2  b2  TRANG 27 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH MẶT NĨN – KHỐI NĨN O Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l bán kính đáy r  Diện tích xung quanh: hình nón: S xq   rl  Diện tích đáy (hình trịn): S đáy   r h l  Diện tích tồn phần: hình nón: Stp   rl   r 2 r h + Thể tích khối nón: V  I r M MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT NĨN Dạng Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân có hai cạnh bên hai đường sinh hình nón Thiết diện vng góc với trục hình nón đường trịn có tâm nằm trục hình nón Dạng Bài tốn liên quan đến thiết diện qua đỉnh hình nón Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy r đường sinh l Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện d Gọi M trung điểm AC Khi đó:  AC  SMI      Góc SAC  SI d I , SAC    IH  d   Góc SAC ABC góc SMI   góc MSI HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG 28 MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH Diện tích thiết diện: 1 SM AC  SI  IM 2 AI  IM 2 2 h d h 2d 2  r2  h  h  d2 h2  d2 Std  S SAC  Dạng Bài tốn hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp Hình nón nội tiếp hình chóp S ABCD hình nón có đỉnh S , đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Khi hình nón có: AB + Bán kính đáy r  IM  , + Đường cao h  SI , đường sinh l  SM Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABCD hình nón có đỉnh S , đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Khi hình nón có:  Bán kính đáy: r  IA  Hình chóp tứ giác S ABCD S A D I M B C Hình chóp tứ giác S ABCD S AC AB  2 A D I  Chiều cao: h  SI C B  Đường sinh: l  SA Hình nón nội tiếp hình chóp S ABC hình Hình chóp tam giác S ABC S nón có đỉnh S , đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi hình nón có AM AB   Bán kính đáy: r  IM   Chiều cao: h  SI  Đường sinh: l  SM A C I M B Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC Hình chóp tam giác S ABC S hình nón có đỉnh S , đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi hình nón có:  Bán kính đáy: r  IA   Chiều cao: h  SI  Đường sinh: l  SA 2AM AB  3 HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP C A M I B TRANG 29 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Dạng Bài tốn hình nón cụt Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm hình nón hình trịn Phần hình nón nằm hai mặt phẳng nói gọi hình nón cụt Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với đáy mặt cắt hình trịn Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với trục mặt cắt hình thang cân Cho hình nón cụt có Diện tích xung quanh hình nón cụt: R, r , h S  l R  r xq   bán kính đáy lớn, Diện tích đáy (hình trịn): bán kính đáy nhỏ S đáy   r chiều cao   S đáy   r  R  S đáy   R r Diện tích tồn phần hình nón cụt:     Stp   l R  r   r   R h Thể tích khối nón cụt: V  R    h R2  r  Rr Dạng Bài tốn hình nón tạo phần cịn lại hình trịn sau cắt bỏ hình quạt  Từ hình trịn O; R  cắt bỏ hình quạt AmB Độ dài cung AnB x Phần cịn lại hình trịn ghép lại hình nón Tìm bán kính, chiều cao độ dài đường sinh hình nón HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP Hình nón tạo thành có l  R  2  2 r  x  r  x  h  l  r TRANG 30 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH MẶT TRỤ MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT TRỤ Dạng Thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng + Thiết diện vng góc trục đường trịn O A M bán kính R G + Thiết diện chứa trục hình chữ nhật ABCD AB  2R AD  h Nếu thiết diện qua trục hình vng h  2R + Thiết diện song song với trục khơng chứa trục hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục D   là: d OO '; BGHC   OM B C H Dạng Thể tích khối tứ diện có cạnh đường kính đáy Nếu AB CD hai đường kính hai đáy hình trụ thì: A VABCD  AB.CD.OO '.sin AB,CD * Đặc biệt: Nếu AB CD vng góc thì: VABCD  AB.CD.OO '  O  B C O' D Dạng Xác định góc khoảng cách + Góc AB trục OO ' : AB;OO '  A ' AB O O A A O' B A' + Khoảng cách AB trục OO ' : d AB;OO '  OM   O' A' A O O A M O B A I O' A' HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP O' B A' M B D B O' C TRANG 31 D MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH + Nếu ABCD hình vng nội tiếp O O hình trụ đường chéo hình vng A A đường chéo hình trụ A O Nghĩa cạnh hình vng: AB  4R2  h O' A' I O' B A' B M B D O' C Dạng Xác định mối liên hệ diện tích xung quanh, tồn phần thể tích khối trụ tốn tối ưu Một khối trụ tích V khơng đổi + Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụ để diện tích tồn phần nhỏ nhất:  V R   r 4 Stp   h  V  4 + Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy nhỏ nhất:  V R    S   h  V   l r  Dạng Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ đứng + Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp hình trụ Thể tích 4V khối lăng trụ V thể tích khối trụ V(T)  + Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A ' B 'C ' D ' ngoại tiếp hình trụ Diện tích xung quanh hình trụ S diện tích xung quanh hình 2S lăng trụ S xq   HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG 32 MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH DẠNG TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Loại 1: Cạnh bên SA vng góc đáy ABC  900 S S SC tâm trung điểm SC R  A C A D B C B Loại 2: Cạnh bên SA vng góc đáy đáy hình gì, cần tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy RD S K SA2 , : R  R   RD  I D abc    p p a p b p c  O ( p : nửa chu vi) B  Nếu  ABC vng A thì: R    AB  AC  AS  Đáy hình vng cạnh a RD  RD  C A a , đáy tam giác cạnh a a Loại 3: Chóp có cạnh bên nhau: SA  SB  SC  SD : R  S SA2 2SO ABCD hình vng, hình chữ nhật, O giao hai đường chéo  ABC vng, O trung điểm cạnh huyền  ABC đều, O trọng tâm, trực tâm     Loại 4: Hai mặt phẳng SAB ABC  A D B vng góc với C S có giao tuyến AB Khi ta gọi R1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R2  R12  R22  AB O I A C J K B Loại : Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường trịn ngoại tiếp đáy O Khi  ta giải phương trình: SH  x   OH  x  RD2 Với giá trị x tìm ta có: R2  x  RD2 Loại 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r  HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP 3V Stp TRANG 33 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH TỔNG HỢP CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRỊN XOAY Chỏm cầu:    h  Hình nêm loại 1: V  Hình nêm loại 2: r R  S   R h  h  xq    h1  h2 V   R        Hình trụ cụt: Parabol bậc hai Paraboloid trịn xoay  S  2 Rh   r  h  xq  h  h 2  h  3r V   h  R       h2 h1 R R tan   2 V     R tan   3 3   x a  S ' S  parabol  Rh; S   h    R        1 V   R h  Vtru  2  Selip   ab  Vxoay  quanh 2a   V   xoay  quanh 2b Diện tích Elip Thể tích khối tròn xoay sinh Elip  ab a b h b Hình xuyến a a b Diện tích hình vành khăn S   R2  r  R R R  r Thể tích hình xuyến (phao) R  r R  r  V  2       HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP r R TRANG 34 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH 10 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN   Cho P hai điểm A, B    Tìm M  P để MA  MB   + Nếu A B trái phía so với P  ?    M , A, B thẳng hàng  M  AB  P   Tìm B ' đối xứng B qua  P  + Nếu A B phía so với P    M , A, B ' thẳng hàng  M  AB ' P     Cho P hai điểm A, B   Tìm M  P để MA  MB max + Nếu A B phía so với P ?    M , A, B thẳng hàng  M  AB  P   Tìm B ' đối xứng B qua  P  + Nếu A B trái phía so với P  MA  MB '  AB '  Cho điểm M x M ; yM ; z M  không thuộc trục mặt phẳng tọa độ Viết phương trình P qua M cắt tia Ox ,Oy,Oz   P  : 3xx  M y z  1 3yM 3z M A, B,C cho VO ABC nhỏ nhất? Viết phương trình mặt phẳng P chứa   đường thẳng d , cho khoảng cách từ điểm M  d đến P lớn nhất?   Qua  A  d  P :    n P    u d , AM  , u d      Viết phương trình mặt phẳng P qua A Qua  A P  : n  cách M khảng lớn ?   Viết phương trình mặt phẳng P chứa   đường thẳng d , cho P tạo với  (  không song song với d ) góc lớn lớn ?   Cho  / / P Viết phương trình đường thẳng d song song với  cách  khoảng nhỏ ? Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng P cho trước   HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP  P   AM Qua  A  d  P :    n P    u d , u   , u d    Lấy A   gọi A hình chiếu vng góc A P   Qua  A d: u d  u  Qua  A  d  d:   u d  n P  , AM  TRANG 35 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d lớn ( AM khơng vng góc với P ) ?   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng P cho trước   Qua  A  d  d:    u d   n P  , AM  , n P   cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d nhỏ ( AM khơng vng góc với P ) ?   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  P cho trước, cho d nằm     P tạo với đường thẳng  Qua  A  d  d:    u d   n P  , AM  , n P   góc nhỏ (  cắt khơng vng góc với P )?   HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP TRANG 36 ... 8a Một số công thức giải nhanh hệ thống trang HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP A O B x C TRANG MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG Công thức thỏa... gọi hình thức lãi kép tiên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S  Ae n r HỒ MINH NHỰT SƯU TẦM & BIÊN TẬP (công thức tăng trưởng mũ) TRANG 11 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH TÍCH... TẬP TRANG 26 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH THỂ TÍCH TỨ DIỆN ĐẶC BIỆT ĐIỀU KIỆN TỨ DIỆN SA  a, SB  b, SC  c  ASB   , BSC   ,CSA   CÔNG THỨC VS ABC  AB 